Условно-круговые а-устойчивые распределения финансовых индексов Текст научной статьи по специальности «Математика»

_ЭКОНОМИКА И УПРАВЛЕНИЕ ПРЕДПРИЯТИЕМ_

УДК 519.87

УСЛОВНО-КРУГОВЫЕ а-УСТОЙЧИВЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ФИНАНСОВЫХ ИНДЕКСОВ

© 2009 г. М.А. Бутакова, П.А. Лужецкая

Ростовский-на-Дону государственный Rostov-on-Don State

университет путей сообщения Transport University

Предлагается вычислительный метод для расчета преобразования Гирсанова и вычисления на основе этого преобразования мартингальной меры для модели поведения финансовых индексов, в которой используются методы круговой статистики.

Ключевые слова: а-устойчивые распределения; статистика направленных значений; преобразование Гирсанова; мартингальная мера.

We propose a computational method for calculating the Girsanov transformation and calculations on the basis of the martingale measure for the behavior offinancial indices, which uses the methods of circular statistic.

Keywords: а-stable distribution; statistic direct values; Girsanov transformation; martingale measure.

Для многих областей применения научных результатов экспериментальные данные измерений подчиняются законам круговой статистики (статистики направленных значений) [1]. Это означает, что существует естественный период Т на временной оси [2], без учета которого при оценке данных можно пропустить реальные закономерности. Не исключением являются технические, экономические и социальные системы. Традиционные методы математического моделирования систем и процессов зачастую не учитывают такие закономерности, возникающие при функционировании технических и иных систем, которые требуют анализа периодических пространственных процессов. В последнее время к изучению данных факторов и построению моделей с их участием в области идентификации и оценки данных экспериментов возрос научный интерес, что, например, отражено в работах [3, 4].

Данная статья посвящена распространению подхода статистики направленных значений на технико-экономические системы.

В работе [5] рассматривалась модель поведения цены акции

Яп = Яп1еХР + СТпеп ) , (1)

в которой распределение еп - круговое а-устойчивое распределение [6]. Причем последовательность е -последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин.

Модель (1) предлагалась в качестве альтернативы условно-гауссовым распределениям финансовых индексов [5], поскольку гауссово распределение не позволяет учесть такие наблюдаемые факты, как пики, кластерность и тяжелые хвосты в поведении финансовых индексов. Желание учесть эти факты в условно-гауссовых моделях приводит к усложнению модели и

как результат - появлению нелинейных моделей, таких как ARCH, GARCH, TGARCH и стохастической волатильности. Отметим также, что колебание цен происходит в определенном коридоре, который в условно-гауссовых распределениях решается за счет того, что вероятность для стандартной нормальной величины попасть в интервал [-3,3] приблизительно

равна единице. Однако быстрое убывание хвостов приводит к тому, что значение плотности стандартного нормального распределения на концах интервала приблизительно равно нулю. Противоположная ситуация с равномерным распределением на этом же интервале. На концах интервала, также как и во всех внутренних точках, значение плотности равно 1/6. Желание получить компромисс между двумя альтернативами приводит к использованию круговых а -устойчивых распределений. При этом стандартным интервалом будем считать интервал от [-л, л).

Будем считать, что еп в модели (1) - независимые одинаково распределенные величины, с общим распределением круговым Sa (1,0,0).

Равенство нулю параметров скошенности и положения означает, что мы ограничиваемся симметричным распределением. Отметим, что параметр положения может быть учтен параметром цn Равенство единице параметра масштаба не ограничивает общности рассмотрения, поскольку в модели при еп присутствует множитель стп . Индекс устойчивости а определяет скорость убывания хвостов в следующем смысле. Если а е (0,2), то

lim хаP (|Х| > x) = Са , (2)

где

1 -а

а Ф1;

Г( 2-а)

а)cos-

яа

(3)

—, а = 1. я

При а = 2 характер поведения хвостов существенно меняется, поскольку Б2 (1,0,0) = N (0,2).

В [5] показано, что если исходное распределение Ба (1,0,0), то плотность соответствующего кругового распределения

1 1 ш

/а (у) = — + - £ ехр(-ка ку.

2л я к=1

Соотношения (2), (3) сказываются существенным образом на плотности соответствующего кругового распределения. При различных значениях параметра а вид плотности кругового а-устойчивого распределения приведен на рисунке.

0,8

0,6

0,4

0,2

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

Плотность кругового устойчивого симметричного

распределения:--alfa = 0,5;----alfa = 1,0;

----- alfa = 1,5

Рассмотрим естественную фильтрацию F0 =а(0,0),..., Fn =a(El,..., 8„ ).

Мартингальная мера

Будем считать, что цn, стп е Fn_1. Пусть мера P

порождается последовательностью (ц п + стпе п )п>1. *

Рассмотрим меру P , эквивалентную мере P . Меры

* *

Рп и Рп сужения мер P и P на сигма-алгебру Fn. Из эквивалентности мер следует, что существует процесс плотности Z , удовлетворяющий соотношению:

с ап, р» 6 К-и и ^ =1.

Выберем меру Р* таким образом, чтобы последовательность (Б» )п>0 была (Fn, Р*) -мартингалом. Это

эквивалентно выбору процесса плотности [7] таким образом, чтобы:

1. Процесс плотности (Zn) 0 был (Fn, Р) -мартингалом.

2. Процесс (ZnSn) 0 был (Fn, Р) -мартингалом. В результате получаем систему уравнений относительно параметров (у п , Рп )п>1 :

(ехР (УП + р»я) - ехР (УП - р»я)) х

^ + ßn ¿(-^ eXP(-kа)

2яр„ я k=i ' k2 +РП

= 1;

(ехр((ц„ +у„ )+(ст„ +ß„ )я)-exp ((ц„ +у„ )-(ст„ +ß„ )я))

+ ßn )¿( 1)k еХр(-ка)

2я(ст„ + ßn) Я k=1 k2 +(ст„ + ßn)

= 1. (4)

Отсюда процесс плотности существует тогда и только тогда, когда система (4) имеет решение.

Отметим, что исследование системы уравнений (4) представляет определенную трудность, поэтому приведем несколько иное рассуждение по поводу существования мартингальной меры.

Непосредственно из мартингального равенства следует

E* (еХР (цn +СТ„E„ )/Fn- ) = 1.

(5)

Не нарушая общности, будем считать, что ст» > 0 . Отсюда и из (5) получаем

Утверждение: для существования мартингальной меры необходимо и достаточно, чтобы

-ст»я < ц» < ст»я .

Рассмотрим алгоритм вычисления параметров процесса плотности, основанный на методе Ньютона. 1. Инициализация. Выбор начальных значений

^У 0 ^

2. Итерация. Вычисление

dPn = ZndPn,

Представим процесс плотности в виде, аналогичном (1)

Zn = Zn_1 eXP (yn +PnSn ),

0,1 =

f (уГ1, ßr1) t-1_ f (уn-1, ßi-1)

9у

5ß

i = 1,2.

где

2

x

X

1

X

ß

/ ^ ß) = (exP (У + М - exP (У - М) -

+ £у( tf eXP(-kа)

2Kß л k=r k2 +ß2

-1;

/ (У, ß) = (exp ((цn + у) + К +ßH" - exP ((Ц n +У)-(° n + ß^))x

Таким образом, в результате исследования предложена новая модель эволюции стоимости акции, для которой существует алгоритм вычисления мартин-гальной меры, что позволяет построить эквивалентную мартингальную меру, и, следовательно, производить вычисления для более широкого класса поведения рисковых активов.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект 09-08-00097-а)

К+ß)

V 2л(стп +ß) Л

-W I)k exp(-kа) '¿Т ' k2 +(an +ß)2

-1.

Вычисление

f..t Л f.t-1Л

it-1

t-1 t-1 _ t-1 t-1

«2,2 "1,1 "2,1 "1,2

( _t-1

j-Л

-a

„t-1 t-1

2,1

1,1

/1 (у г1, ßn-1 ^ /2 (у г1, ßr1)

3. Если условие на остановку выполнено, то переход к 4, иначе переход к 2.

4. Останов.

Литература

1. Fisher N.T. Statistical Analysis of Circular Data. Cambridge University Press, 1995.

2. Бутакова М.А. К вопросу идентификации и оценки данных в информационных сетях методами статистики направленных значений // Изв. вузов. Сев.-Кав. регион. Техн. науки. 2005. № 4. С. 33 - 38.

3. Jammalamadaka S. Rao, Sengupta A. Topics in Circular Statistics. World Scientific Press, Singapore, 2001.

4. Mardia K.V., Jupp P.E. Directional Statistics: 2nd Edition. Wiley; N.Y., 2000.

5. Бутакова М.А., Лужецкая П.А. Дискретное преобразование Гирсанова для гауссовской модели финансовых индексов // Вестн. Ростовского государственного университета путей сообщения. 2008. № 2. С. 112 - 115.

6. Золотарев В.М. Устойчивые законы и их применения // Новое в жизни, науке, технике. Серия «Математика, кибернетика». М., 1984. № 11.

7. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. Факты. Модели. Фазис. М., 1998. 489 с.

Поступила в редакцию

22 сентября 2009 г.

х

1

1

х

ß

х

Бутакова Мария Александровна - д-р техн. наук, профессор, кафедра информатики, Ростовский государственный университет путей сообщения. Тел. 8(863)272-65-43.

Лужецкая Прасковья Алексеевна - аспирант, кафедра информатики, Ростовский государственный университет путей сообщения. Тел. 8(863)272-65-43.

Butakova Mariya Aleksandrovna - Doctor of Technical Sciences, professor, departament of informatics, Rostov-on-Don State Transport University. Ph. 8(863)272-65-43.

Luzhetskaya Praskov'ya Alekseevna - post-graduate student, departament of informatics, Rostov-on-Don State Transport University. Ph. 8(863)272-65-43.