CC BY
23
ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ
УДК 535.323
Е. И. БАРЫКИНА, Р. А. БРАЖЕ
УСЛОВИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ ОТРИЦАТЕЛЬНОЙ РЕФРАКЦИИ СВЕТА В МАГНИТОДИЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СРЕДАХ
Рассмотрены условия возникновения явления отрицательной рефракции света в изотропных не-диссипативных и диссипативных средах, обладающих одновременно проводящими и диэлектрическими свойствами.
Ключевые слова: отрицательный показатель преломления, магнитодиэлектрик.
Явление отрицательной рефракции связано с ситуацией, когда в преломлённой волне фазовая и групповая скорости направлены противоположно друг другу [1]. С формальной математической точки зрения это соответствует отрицательной фазовой скорости преломлённой волны {ор}1<0) и отрицательному показателю преломления (п < 0).
Как следует из уравнений Максвелла, показатель преломления электромагнитных волн
п = , (1)
где е\\ ц — соответственно относительные
диэлектрическая и магнитная проницаемости среды. Легко видеть, что и<0, если в (1) одновременно £<0 и /л<0 (среда Веселаго [2]).
Действительно, в этом случае
п = = (2)
Из (1) следует, что отрицательно преломляющая среда должна быть магнитодиэлектри-ком, т. е. она должна обладать как свойствами проводника так и свойствами диэлек-
трика (е ).
В отсутствие дисперсии средняя плотность энергии такой среды должна быть отрицательной:
(3)
Здесь £о и - соответственно диэлектрическая и магнитная проницаемости вакуума. В этом случае вектор Пойнтинга плотности потока энергии электромагнитной волны
¿V (4)
5 = (Ж)
во второй среде должен быть направлен к грани-
Барыкина Е. И., Браже Р. А., 2009
це раздела, что противоречит принципу причинности. Следовательно, отрицательная рефракция возможна только при наличии дисперсии.
В диспергирующей среде средняя плотность энергии
«4
дсо
дсо
(5)
Частотная зависимость диэлектрической проницаемости магнитодиэлектриков имеет вид, характерный для плазмы [3]:
2
£{СО) = 1 -
со
(6)
со
где сор - плазменная частота или частота собственных продольных колебаний заряженных частиц, связанная с флуктуациями плотности заряда. Частотная зависимость магнитной проницаемости такой среды имеет такой же вид [4]:
.2
ц{(0) = 1 -
со
со
2 •
(7)
Тогда, подставляя (6), (7) в (1), получаем
2
п = \-
со
со
2 •
(8)
Подстановка (6), (7) в (5) дает
г
N
1 +
со'
со
\
у
\sqEQ +МОНО).
(9)
Фазовая скорость волны
'рИ
Групповая скорость
п
1 - со2р ¡со2
(10)
' а4-1
\
с!со
7
\ + со2р/ со
2 '
(И)
Из (6) - (11) следует, что при со<сор £-<0, //<0, я<0, (ж)>0, ир/)<0, и&>0. Возникает
случай обратной волны и отрицательной рефракции (рис.1). Удовлетворяющие выражению (4) направления плотностей потоков энергии падающей, отражённой и преломлённой волн, обозначенные соответственно как 5(>гс, 8гец, Бгф,
не зависят от того, является ли дифракция положительной или отрицательной. Величина плотности потока энергии преломлённой волны также не зависит от знака рефракции:
5 =1
ге/г 4
о
(12)
Амплитудные значения напряжённостей электрического и магнитного полей (£0 и ^о
соответственно) в (12) относятся ко второй среде и отличаются от их значений в первой среде.
Соотношение амплитуд в падающей, отражённой и преломлённой волнах зависит от коэффициентов отражения и преломления.
При учёте диссипации энергии в среде относительные диэлектрическая и магнитная проницаемости изотропного магнитодиэлектрика будут
мнимыми
величинами:
£ = £г + 1£{,
/л = цг + ///;. Запишем равенство п2 = с/л как [5]
п2 -п} + Ъпгп1 - (/иг£г -//,•£/)+¡{/¿¡ег + Мг£1 ) • ('З) Знак пг определяет знак фазовой скорости, а
знак плотности потока энергии характеризует действительная часть отношения п/ц [6]:
Яе
Г \
п
"гМг+П1№
/
и2
(14)
Таким образом, в рассматриваемой средс фазовая скорость электромагнитной волны будет отрицательной, а плотность потока энергии положительной, если одновременно выполняются следующие условия:
пг< 0, (15)
пг/иг + njj.ii > 0. (16)
Из (13) следует биквадратное уравнение 4 - (мг £ г - М1 £1 )" г - ^ С"/ £г + Иг £ / )2 = 0 » (1 7)
имеющее только два действительных корня:
/, „ I N1/2
пг=±
ИИ+Мг£г - т'
/
(18)
Для любых £г1 и /лг1
И1£1 (до, -¡ЛГ8Т) + {щег + //,*,) • (19)
» 4,
' V
Рис. 1. Направления фазовой и групповой скоростей преломленной волны при отрицательной рефракции электромагнитной волны в изотропной недиссипативной диспергирующей среде
Но правая часть неравенства (19), согласно (13), равна п1 =|4Н' следовательно, его можно
записать в виде
0 < \е\/л + ¡лгег - Jлi£i, (20)
и выражение, входящее в (18) в круглых скобках, положительно. Поэтому, согласно (15),
пг=-^ ЙИ+^г£г - т ]'2 1
(21)
Щ =
__+ Иг£г
^ ЙИ+мг£г-н£У'2
(22)
-так как из (13) следует, что
Щ£г + Мг£1
Щ =
2«,
(23)
Применяя (14), (21), (22) к условию (16) положительной плотности потока энергии при отрицательной фазовой скорости, его можно записать в виде
£г\/л\ +/лг\£\ <0 . (24)
Выражение (24), полученное Лахтакиа из Университета Пенсильвании (США) с соавторами, является общим условием наблюдения отрицательной рефракции в изотропных диссипатив-ных магнитодиэлектриках. Для пассивных (неинверсных) сред, когда > 0 и > 0, его
можно записать в виде
£ГЩ + /лг£, < 0,
(25)
так как ju¡ <\ju\, e¡ <\s\. Из (25), в частности, следует, что в пассивных диэлектриках (// = 1 + 0/) не может выполняться условие n¡ < 0 .
Условие (24) выполняется, когда одновременно sr < 0 и /лг < 0. В этом случае действительная часть комплексного показателя преломления становится отрицательной:
и, =-\]£гМг <0 • (26)
- В частном случае нсдиссипативных сред (e¡ = 0, щ- 0) выражение (25) становится условием для сред Весел aro.
Условие (26) является достаточным условием для n¡ < 0 в некотором диапазоне частот. Условие (25) является более общим (необходимым и достаточным) для достижения этой же цели. Оно сводится к тому, что удовлетворяющие ему требования сводятся к sr < 0 либо цг < 0 (но не одновременно оба).
Для различения двух типов сред, обладающих отрицательной действительной частью показателя преломления, в зарубежной литературе [7] используются следующие названия: DNNIM -double-negative negative index materials (двухот-рицателъные материалы с отрицательным показателем преломления) и SNNIM - single-negative negative index materials (одноотрицателъные материалы с отрицательным показателем преломления). Авторами работ [7, 8], выполненных под руководством В. М. Шалаева из Университета Пурдю (США), предложен фактор качества (FOM - figure of merit) для оценки величины потерь интенсивности волны в отрицательно преломляющем материале, определяемый как
FOM =
пг £>Н + Иг £
"i sí\H\ + H¡ s
(27)
ЭКЖМ (ег < 0, цг < 0) имеют гораздо более высокий РОМ, чем БЫММ, у которых щ <0, но щ>0. Иными словами, имеют более
низкие значения п1 по сравнению с 5МММ при одной и той лее величине пг.
Первые попытки поиска материалов, у которых в определённом диапазоне частот одновременно становились бы отрицательными е и ¡1,
были предприняты ещё В. Г. Веселаго [9]. Он пытался создать материал с отрицательным преломлением «на основе магнитного полупроводника CdCr2Se4, однако эти усилия не увенчались успехом из-за существенных технологических трудностей, которые характеризуют синтез этого материала».
Первый успех в практическом наблюдении отрицательной рефракции выпал на долю Р. Зен-герле (Германия), который теоретически и экспериментально исследовал это явления в пла-нарных волноводах [10], в том числе в диапазоне видимого света. Затем Кэмли и Миллс [11] показали, что в антиферромагнитных металлах фазовая скорость как объёмных, так и поверхностных поляритонов направлена противоположно их групповой скорости.
В 1999 г. Пендри предложил создать искусственный материал, состоящий из так называемых расщеплённых кольцевых резонаторов (SRR -split ring resonators), который демонстрировал в определённой полосе частот отрицательные значения б [12]. Эта идея была усовершенствована в 2000 г. Д. Смитом с коллегами, которые создали первый композитный материал с одновременно отрицательными е и /л [13], состоящий из перемежающихся слоёв SRR и тонких металлических проволочек. Такой материал обнаруживал отрицательный показатель преломления для электромагнитных волн частотой около 10 ГГц.
Группа учёных, возглавляемых В. Шалаевым, создала конструкцию, состоящую из парных ячеек в виде параллельных металлических полосок [14]. В каждой такой паре полосок для падающей перпендикулярно на них электромагнитной волны возникают два резонанса: электрический - благодаря смещению зарядов электрическим полем волны вдоль полосок и магнитный - благодаря токам смещения, замыкающим токи проводимости в полосках, вследствие чего возникают магнитные моменты. В этих экспериментах была достигнута отрицательная рефракция в ближней ИК области: на длинах волн от 1,3 мкм до 1,6 мкм действительная часть показателя преломления пг = -0,3 ±0,1. В последующих работах группы Шалаева [7] система из параллельных полосок была заменена на двумерную структуру из двух слоёв серебра, разделенных тонким слоем окиси алюминия или фторида магния, последовательно нанесённых на стеклянную подложку. Методам литографии в этом сэндвиче были вытравлены округлые отверстия поперечником около 120 нм, причём размер отверстий в нижнем слое серебра был несколько больше, чем в верхнем слое. В зависимости от поляризации падающей волны материал является DNNIM или SNNIM. В первом случае действительная часть показателя преломления составляет около -1,0 в диапазоне 799-813 нм с FOM »1,3. Во втором случае в диапазоне 753 — 810 нм с FOM « 0,7 .
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИМ СПИСОК
1. Агранович, В. М. Пространственная дисперсия и отрицательное преломление света /
B. М. Агранович, Ю. Н. Гартштейн // УФН. -2006.-Т. 176, № 10.-С. 1051-1068.
2. Веселаго, В. Г. Электродинамика веществ с одновременно отрицательными значениями s и ju / В. Г. Веселаго // УФН. - 1967. - Т. 92. -
№3.- С. 517-526.
3. Арцимович, JI. А. Элементарная физика плазмы / Л. А. Арцимович. - М. : Атомиздат, 1969.- 192 с.
4. Барыкина, Е. И. Математическая модель отрицательной рефракции электромагнитных волн в электропроводящей среде, допускающей инверсию электронной подсистемы / Е. И. Барыкина, Р. А. Браже // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. - 2008. - №1. -
C. 102-109.
5. Depine, R. A. A new condition to identify isotropic dielectric-magnetic materials displaying negative phase velocity / R. A. Depine, A. Lakhtakia // Microwave Opt. Tech. Lett. - 2004. - V. 41. - No. 4. - P. 315-316.
6. McCall, M. W. The negative index of refraction demystified / M. W. McCall, A. Lakhtakia, and W. S. Weiglhofer // Eur. J. Phys. - 2002. - V. 23. -P. 353-359.
7. Chettiar, U. K. Dual-band negative index metamaterial: double negative at 813 nm and single negative at 772 nm / U. K. Chettiar et al. // Opt. Lett.-2007.-V. 32.-No. 12.-P. 1671-1673.
8. Yuan, H.-K. A negative permeability material
at red light / H.-K. Yuan et al. // Optics Express. -2007.-V. 15. -№ 3. - P. 1076-1083.
9. Веселаго, В. Г. Электродинамика материалов с отрицательным коэффициентом преломления / В. Г. Веселаго // [Электронный ресурс]. Режим доступа: http://physics.mipt.ru/S_lV/Opt_man/ Veselago.pdf.
10. Zengerle, R. Light propagation in singly and doubly periodic planar waveguides / R. Zengerle // J. Mod. Optics. - 1987. -V. 34. - P. 1589-1617.
11. Camly. R. E. Surface polaritons on uniaxial antiferromagnetics / R. E. Camly, D. L. Mills // Phys. Rev. B. - 1982. - V. 26. - P. 1280-1287.
12. Pendry, J. B. Magnetism from conductors and enhanced nonlinear phenomena / J. B. Pendry et al. // IEEE Trans. Micr. Theory Techniques. - 1999. -V. 47.-P. 2075-2084.
13. Shelby, R. A. Experimental verification of a negative index of refraction / R. A. Shelby, D. R. Smith, and S. Schultz // Science. - 2001. - V. 292. -P. 77-79.
14. Shalaev, V. M. Negative index of refraction in optical metamaterials / V. M. Shalaev // Opt. Lett. - 2005. - V. 30. - P. 3356-3358.
Барыкина Елена Ивановна, аспирант кафедры «Физика» УлГТУ, имеет публикации в области математического моделирования. Браже Рудольф Александрович, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой «Физика» УлГТУ. Имеет публикации в области нелинейных волновых процессов.
V
