CC BY
57
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион УДК 535.32
Е. И. Барыкина, Р. А. Браже
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ОТРИЦАТЕЛЬНОЙ РЕФРАКЦИИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН В ЭЛЕКТРОПРОВОДЯЩЕЙ СРЕДЕ, ДОПУСКАЮЩЕЙ ИНВЕРСИЮ ЭЛЕКТРОННОЙ ПОДСИСТЕМЫ
Построена математическая модель рефракции электромагнитных волн, в частности света, в электропроводящей среде. Исследованы возможности существования отрицательной рефракции. Проведена апробация построенных математических моделей путем их сопоставления с экспериментальными данными.
Введение
Интерес к материалам с отрицательным показателем преломления света возник в связи с недавним обнаружением этого явления в области микроволн [1] и теоретическим предсказанием возможности создания на его основе так называемой идеальной линзы [2]. Обычно отправным пунктом исследований в этой области считают работу Веселаго (1967) [3], показавшего, что в среде с одновременно отрицательными значениями относительной диэлектрической проницаемости е и относительной магнитной проницаемости ц имеет место отрицательная рефракция электромагнитных волн. Однако, как было недавно показано в фундаментальном обзоре данной проблемы Аграновичем и Гарт-штейном [4], в действительности история обсуждаемого явления началась гораздо раньше - с лекций Л. И. Мандельштама (1944) [5], в которых был дан детальный анализ отрицательного преломления на плоской границе раздела двух сред, в одной из которых могут распространяться волны с отрицательной групповой скоростью.
Настоящая работа посвящена построению математической модели отрицательной рефракции электромагнитных волн в среде с одновременно отрицательными значениями е и ц (среда Веселаго), из нашего вывода следует [6, 7], что это, тем не менее, лишь один из двух возможных случаев наблюдения данного явления в изотропной среде. Действительно, направление преломленного луча и знак показателя преломления определяются направлением лучевого вектора, сонаправленного с вектором Пойнтинга 8 = (Ж}vgr, где
(Ж) = 1/4|е0е£,2 + ЦоЦН02) - средняя за период колебаний плотность энергии
в электромагнитной волне; Vgr - ее групповая скорость. Записанное выражение справедливо лишь в отсутствие дисперсии, когда е и ц действительны и не зависят от частоты. В диспергирующей среде в условиях, когда диссипацией энергии можно пренебречь, следует пользоваться более общим выражением [8]
. В выражении для (Ж) ео и Цо - соот-
э(ше)ео Ео2+^ц(л2
Эю дц
ветственно диэлектрическая и магнитная проницаемость вакуума; а Ео и Но -амплитудные значения напряженностей электрического и магнитного полей волны. Ясно, что проекция лучевого вектора на направление волнового вектора будет отрицательной в двух случаях: когда Vgr < о (обратная волна), либо ко-
1о2
гда < о (волна отрицательной энергии). Как обратные волны, так и волны
отрицательной энергии хорошо известны в электронике, гидродинамике, физике плазмы и других областях физики и математики [9]. Первые связаны с диспергирующими средами [7], а вторые - с инверсными средами [Ю]. Обобщенная математическая модель инверсной среды предложена в работе [11]. Заметим, что в случае обратной волны отрицательной энергии, т.е. когда действуют оба фактора, отрицательная рефракция не наблюдается.
1 Показатель преломления электромагнитных волн в электропроводящей среде (математическая модель)
Диэлектрическая проницаемость электропроводящей среды определяется выражением [12]
1 юг/ ю
е = 1 +-—----, (1)
-ют + 7
где т - время свободного пролета электрона; юг = а/ео - частота релаксации проводимости, положительная в случае нормального электронного газа и отрицательная для инверсного электронного газа, когда удельная электропроводность среды а< о [11].
Комплексный характер е связан с затуханием колебаний электронов при столкновениях с ионами при юг > о.
В случае электропроводящей среды свободные электроны в электрическом и магнитном полях внешней волны будут обладать периодически изменяющимися магнитными моментами, что приводит к намагничиванию среды. Магнитная проницаемость определяется выражением [12]
ц — 1 + -
1 -ю2т2 -і (2ют)
(2)
Как и в случае относительной диэлектрической проницаемости, комплексный характер ц связан с затуханием циклических вращений электронов
при столкновениях с ионами при юг > о.
Показатель преломления п среды показывает, во сколько раз фазовая скорость электромагнитной волны V в данной среде отличается от ее скорости в вакууме: п = с/V = ^/ёц . В нашем случае величины е и ц определяются выражениями (1) и (2).
1. В области низких частот ( 1/т, ю юг) получаем следующее
выражение для показателя преломления:
п — <
( ^ 2 "
ю„ юГ
Г 1 + Г
ю ю „
К Р
1/2
(3)
(ю
где юр = I —— I - плазменная частота колебаний электронов. Так как л/-7 (о - / )/л/2 , выражение (3) приводится к виду
\1/2 2ю J
( л 2 "
юг
1 +
ю „
V р
1/2
(1 - *)
(4)
или, в более компактной форме, n = Hr + inj , где
юг юг
nR = yJtl- , ni = -4^ , Y = . 2ю 2ю
( Л
1+ юг
ю p
V p J
(5)
Частные случаи:
а) электронный газ в нормальном состоянии, тогда уравнения для электрической и магнитной составляющих плоской бегущей волны в среде запишутся в виде
Ey = E0exp[irn(t-nx/c) ;
Hz = Ho exp [iro(t - nx /c) , или, в компактной форме,
Г Ev Л ( Eo Л
v Hz j
0
vH 0y
3fflnIx / ci{wt-nRx / c)
(6)
где пк и П{ находятся из формул (5). Из уравнения (6) видно, что при распространении в электропроводящей среде амплитуда электромагнитной волны убывает по закону
( Eo Л H0
- x / S о 1
e , S =
2c
1
юг ю y
2eoc
2
аю
(7)
где 5 - глубина скин-слоя, отличающаяся от обычно принятой величины [8] множителем 1/ у . Фазовая скорость волны в среде V = с / пк ;
2
б) электронный газ в инверсном состоянии, тогда юг < о, юр < о, и выражение (3) можно представить в виде
n =
(41Л
1/2
v 2ю J
1 +
ю
ю
1/2
(1 + *),
(8)
или n = Hr + inj , где
nR = Y -
ю
2ю
, nj =-Y .
ю
2ю
, Y =,
1- юг
ю p
(9)
Легко видеть, что в этом случае амплитуда электромагнитной волны будет нарастать по закону
2
(10)
где 5' - глубина слоя, в котором амплитуда волны увеличивается в е раз. Разумеется, это справедливо лишь при |юг / Шр| < 1. Если |юг /Шр| = 1, то у' = о , п% = о, П{ = о, и, как видно из уравнения (6), все электроны среды придут в синхронные колебания на частоте ю = юр . Если |юг / юр| > 1, то у', п%, пI будут минимальными, и формула (6) примет вид ( Еу ^
еа\ пк\х / сеі( - щ\х / с) (її)
т. е. волна в среде станет обратной.
2. В области высоких частот ( »1/т) получаем
п = 1 -
2
(12)
Возможны частные случаи:
а) электронный газ в нормальном состоянии, тогда в зависимости от соотношения между плазменной частотой и частотой электромагнитной волны получаем:
- если юр /ю< 1, о<п < 1, фазовая скорость электромагнитной волны в
среде превышает скорость света в вакууме;
- если юр / ю = 1, п = о , фазовая скорость электромагнитной волны обращается в бесконечность. В среде возникают колебания на частоте ю = юр ;
- если ю р / ю> 1, п < о, фазовая скорость обратной волны превышает по величине скорость света в вакууме;
б) электронный газ в инверсном состоянии, тогда юр < о и, как следует
из формулы (12), п > 1.
В табл. 1 представлены численные оценки величин характерных частот для исследуемой среды: частоты релаксации проводимости юг, плазменной частоты электронов юр и частоты столкновений электронов с ионами 1/ т. Из
табл. 1 видно, что электромагнитные волны оптических частот, включая ближнюю инфракрасную область, во всех исследуемых средах соответствуют режиму высоких частот. Радиоволны можно считать низкочастотными в металлах вплоть до терагерцевых частот, в полупроводниках - до гигагерцевых частот, а в ионосфере и высокотемпературной плазме - до килогерцевых частот.
В табл. 2 представлены значения п для рассмотренных примеров электропроводящей среды. Как видно из таб. 2, показатель преломления радиоволн всех рассматриваемых диапазонов в металлах и низкочастотного диапазона в плазме (как низкотемпературной, так и высокотемпературной) является комплексной величиной. Ее действительная часть п% характеризует меру
уменьшения фазовой скорости соответствующей волны в данной среде по сравнению с ее значением в вакууме = с / V), а мнимая часть - меру убы-
вания амплитуды волны в данной среде, определяющую глубину скин-слоя 8 = —с/ (ю«!). Из приведенных численных оценок следует, что в данных средах указанные радиоволны резко замедляются и сильно поглощаются.
Таблица 1
Среда а, см/м N, м-3 юг, с 1 ю р, с-1 1/т, с 1
Металл (Си) [13] 5, 9 0 -о 1,1 • 1029 6,7 • 1018 1,9 • 1016 5,3 • 1013
Полупроводник (п-ваАє в области р-п-перехода полупроводникового * лазера ) -3,1 2,9 • 1018 -3,5 • 1011 10 ,6 9, 2,6 • 1010
Ионосфера (слой Е) [14] 0,21 3,0 • 1011 2,4 • 1010 3,1 • 107 ■'Г 0 ,0 4
Плазма (термоядерный реактор, 7~108 К) [15] 1,0 • 109 1,0 • 1021 1,1 • 1020 1,8 • 1012 2, 9 0 -и
Таблица 2
Среда X = 560 нм X = 845 нм X = 3 • 10-4 м 5! ь 3 = << X = 3 • 105 м
Металл (Си) -33 1,8 • 105(1-0 5,7 • 106(1-0 5,7 • 109(1-0
Полупроводник (и-GaAs в области р-п-перехода полупроводникового лазера) 1,9-109
Ионосфера (слой Е) ~1 ~1 0,999 7,6 • 104(1-0
Плазма (термоядерный реактор, Г~108 К) ~1 -2,2 -3,2 • 106 4,0 • 1015(1-/)
2 Возможности существования отрицательной рефракции в электропроводящей среде
Как следует из построенной в предыдущем разделе математической модели показателя преломления п электромагнитных волн в электропроводящей среде и табл. 2, в исследованных средах п принимает отрицательные значения лишь в металлах (на оптических частотах) и в высокотемпературной плазме (на терагерцевых и гигагерцевых частотах), т.е. в бесстолкновитель-ном режиме, когда отсутствует диссипация. При этом пространственной дисперсией в большинстве случаев можно пренебречь [8], т.к. фазовая скорость
* Данные для а получены из анализа реальной ватт-амперной характеристики полупроводникового лазера типа ИЛПН-204 и геометрии его р-п-перехода. Так как электронный газ в р-п-переходе лазера находится в инверсном состоянии, то его удельная электропроводность и частота релаксации проводимости отрицательны, а плазменная частота мнимая.
волны V = с / п по величине значительно превышает среднюю скорость тепло-
(приближение «холодной» плазмы). Лишь в случае высокотемпературной плазмы построенная математическая модель может применяться с ограничениями, например, для оптических частот, когда п ~ 1. Для корректного описания показателя преломления высокотемпературной плазмы в случае радиоволн необходимо учитывать наряду с временной дисперсией и пространственную дисперсию.
Еще одно предварительное замечание относительно формулы (12). На первый взгляд она явно противоречит традиционному выражению для показателя преломления электромагнитных волн в разряженной плазме (напри/ 2 / 2 \1/2
мер, в ионосфере) [8]: п = 11 - юр ю I . Однако именно это традиционное
выражение противоречит опытным данным. Действительно, при ю < юр показатель преломления получается чисто мнимым, причем с положительной мнимой частью. Это означает усиление волн при взаимодействии со средой. За счет чего? Ведь режим бесстолкновительный. Выражение же (12) приводит к единственно правильному выводу: на частотах выше плазменной частоты среда прозрачна (как, например, ионосфера) для света и высокочастотных радиоволн. Но при ю < юр она отражает падающее излучение (как, например,
в металлах), где п принимает действительные отрицательные значения, и волна изменяет направление своей фазовой скорости на противоположное.
Теперь, используя выражения для е и ц , приведем , записанное во введении, к виду
Используя выражение (12), найдем волновое число к = юп / с и группо-
Подставляя формулы (13), (14) в выражение для плотности потока энергии из введения, получаем
Таким образом, в бесстолкновительном режиме плотность потока энергии электромагнитной волны в электропроводящей среде такая же, как и в вакууме. Совершенно естественный вывод: ведь волна не вызывает столкновений электронов с ионами, и, стало быть, диссипативные процессы отсутствуют.
вого движения электронов V ~ (к^Т/т)1/2, где кв - постоянная Больцмана
(13)
V
/
вую скорость волны Vgr
с
(14)
(15)
Что же происходит со светом, падающим на плоскую металлическую поверхность из воздуха (вакуума)? На этот вопрос дает ответ рис. 1, на котором приведено построение Гюйгенса для поверхностей фазовой и групповой скоростей вторичных сферических световых волн, излучаемых точками волнового фронта в изотропной диспергирующей электропроводящей среде. На рис. 1,а показан случай отрицательной рефракции света в металле, когда электронный газ находится в нормальном состоянии и показатель преломления п < — 1. Фазовая скорость волны в этом случае отрицательна, а групповая скорость, как видно из формулы (14), положительна. Положительна и средняя плотность энергии в волне, как следует из выражения (13). Так что плотность потока энергии положительна, и лучевой вектор 8 , сонаправленный с вектором Умова-Пойнтинга 8 направлен вниз, в среду. Волновой вектор к2, наоборот, направлен из среды к границе раздела под углом /'2 = г к нормали. Свет, идущий из среды, испытывает отрицательную рефракцию, преломляясь под углом г = -/. Поскольку коэффициент отражения света от металла близок к единице, то свет внутрь металла почти не заходит. Поэтому наблюдателю, находящемуся за такой средой, недоступен некоторый объем пространства в некотором диапазоне длин волн.
На рис. 1,б показан случай того же металла, когда электронный газ находится в инверсном состоянии. Квадрат плазменной частоты в этом случае принимает отрицательное значение, показатель преломления больше единицы, фазовая скорость световой волны положительна, групповая скорость, наоборот, отрицательна. Но, поскольку средняя плотность энергии в волне также отрицательна, то плотность потока энергии, как и следует из выражения (15), снова положительна. Обратная волна в среде является волной отрицательной энергии, и, как отмечалось во введении, отрицательная рефракция не наблюдается.
Рис. 1 Построение Гюйгенса для рефракции света на границе с изотропной диспергирующей электропроводящей средой с нормальным электронным газом (а) и инверсным электронным газом (б)
Заключение
Предложенная математическая модель рефракции электромагнитных волн в электропроводящей среде может служить базовой моделью для исследования различных сред и длин волн излучения на предмет возможности су-
ществования в этих средах (как нормальных, так и инверсных) отрицательной рефракции. Можно также решить и обратную задачу: подобрать параметры среды (например, концентрацию свободных электронов) таким образом, чтобы для электромагнитных волн определенного частотного диапазона получить отрицательный (или любой иной) показатель преломления. Более того, энергетической накачкой среду можно переводить в инверсное состояние и скачкообразно изменять показатель ее преломления, превращая среду то в «идеальное зеркало», то в прозрачную среду. Результаты работы могут быть полезны для разработки элементной базы оптических устройств обработки информации нового поколения, в частности так называемых сверхлинз.
Список литературы
1. Shelby, R. A. Experimental verification of a negative refractive index of refraction / R. A. Shelby, D. R. Smith, S. Schultz // Science. - 2001. - V. 292. - P. 77-79.
2. Pendry, J. B. Negative refractive index makes perfect lens / J. B. Pendry // Phys. Rev. Lett. - 2000. - V. 85. - P. 3966.
3. Веселаго, В. Г. Электродинамика веществ с одновременно отрицательными значениями е и ц / В. Г. Веселаго // УФН. - 1967. - Т. 92. - № 3. - C. 517-526.
4. Агранович, В. М. Пространственная дисперсия и отрицательное преломление света / В. М. Агранович, Ю.Н. Гартштейн // УФН. - 2006. - Т. 176. - № 10. -C. 1051-1068.
5. Мандельштам, Л. И. Полное собрание трудов Т. 5 / Л. И. Мандельштам. -М. : Изд-во АН СССР, 1950.
6. Бр аже, Р. А. Отрицательная рефракция «левых сред» с позиций физики инверсных систем / Р. А. Браже, Р. М. Мефтахутдинов // Физика и технические приложения волновых процессов. - Самара, 2006. - C. 311-312.
7. Барыкина, Е. И. Обобщение построения Гюйгенса на обратные волны и волны отрицательной энергии / Е. И. Барыкина // Актуальные проблемы физической и функциональной электроники : тезисы школы-семинара. - Ульяновск, 2006. -C. 5.
8. Виноградова, М. Б. Теория волн / М. Б. Виноградова, О. В. Руденко, А. П. Сухоруков. - М. : Наука, - 1979. - 384 с.
9. Рабинович, М. И. Введение в теорию колебаний и волн / М. И. Рабинович, Д. И. Трубецков. - Ижевск : НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2000. -560 с.
10. Браже, Р. А. Волны отрицательной энергии и инверсные среды / Р. А. Браже, Р. М. Мефтахутдинов // Математические методы и модели в прикладных задачах науки и техники : труды Межд. конф. «Континуальные алгебраические логики, исчисления и нейроинформатика в науке и технике». - Ульяновск, 2006. - Т. 4. -C. 54-58.
11. Браже, Р. А. Обобщенная математическая модель инверсной среды и ее практические приложения / Р. А. Браже // Прикладная математика и механика : сборник науч. тр. - Вып. 7. - Ульяновск, 2006. - C. 61-70.
12. Барыкина, Е. И. Отражение и преломление электромагнитных волн в атмосфере на границе раздела с плазменными объектами / Е. И. Барыкина, Р. А. Браже // Труды Пятой Всероссийской научно-практической конф. (с участием стран СНГ) : [посвящ. 50-летию Ульяновского гос. техн. ун-та]. - Ульяновск, 2007. -С. 263-265.
13. Кошкин, Н. И. Справочник по элементарной физике / Н. И. Кошкин, М. Г. Ширкевич. - М. : Наука, - 1988. - 256 с.
14. Мизун, Ю. Г. Ионосфера Земли / Ю. Г. Мизун. - М. : Наука, - 1985. - 158 с.
15. Арцимович, Л. А. Элементарная физика плазмы / Л. А. Арицимович. - М. : Атомиздат, 1969. - 192 с.
