CC BY
6
DOI: https://doi.org/10.23670/IRJ.2019.79.1.003
УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ РЕШЕНИЙ ЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ С АНАЛИТИЧЕСКИМИ ФУНКЦИЯМИ
Научная статья
Мураталиева В.Т. * ORCID: 0000-0002-7246-7529, Жалал-Абадский государственный университет, Жалал-Абад, Кыргызстан
* Корреспондирующий автор (vmuratalieva70[at]mail.ru)
Аннотация
Ранее автором были получены с помощью метода степенных рядов условия для алгоритмизации задач установления существования решений некоторых типов линейных интегро-дифференциальных уравнений с аналитическими функциями. В данной статье показано, что примененный метод можно также использовать для линейных интегро-дифференциальных уравнений с пропорциональным запаздыванием аргумента. Проведен обзор использования понятия «алгоритм» в различных разделах математики.
Ключевые слова: алгоритм, интегро-дифференциальное уравнение, теорема, доказательство, линейное уравнение, метод степенных рядов, аналитическая функция.
CONDITIONS FOR EXISTENCE OF SOLUTIONS OF LINEAR INTEGRODIFFERENTIAL EQUATIONS WITH
DELAY WITH ANALYTICAL FUNCTIONS
Research article
Muratalieva V.T. *
ORCID: 0000-0002-7246-7529, Jalal-Abad State University, Jalal-Abad, Kyrgyzstan
* Corresponding author (vmuratalieva70[at]mail.ru)
Abstract
Previously, with the help of the power series method, the author obtained conditions for the algorithmization of problems of establishing the existence of solutions of certain types of linear integrodifferential equations with analytic functions. This article shows that the applied method can also be used for linear integrodifferential equations with a proportional delay of the argument. A review of the usage of the "algorithm" concept in various branches of mathematics was made.
Keywords: algorithm, integrodifferential equation, theorem, proof, linear equation, power series method, analytic function.
Введение и обозначения
В работах [1], [2], [3], [4], [5], [6], [7] мы рассмотрели различные вопросы существования решений и спектральных свойств интегро-дифференциальных уравнений с аналитическими функциями, при этом мы использовали [9]. В данной статье мы переносим разработанный метод на интегро-дифференциальные уравнения с пропорциональным запаздыванием аргумента. Показано, что для решения задачи требуется конечное количество действий с исходными данными, то есть задача установления существования или несуществования решения в некотором смысле алгоритмизируема. С этой целью проведен обзор использования понятия «алгоритм» в различных разделах математики.
Обозначения:
N - множество натуральных чисел; N0 - множество, состоящее из нуля и натуральных чисел; Z - множество целых чисел; R - множество вещественных чисел; R+ - множество неотрицательных вещественных чисел; C -множество комплексных чисел.
Обзор ранее полученных результатов
В [1] рассмотрено уравнение
tpu' ( t)+A f*u (v) d v = f( t) ,te R+,peN, (1)
- аналитическая функция, с обязательным условием
Установлено, что спектральные свойства по параметру A возникают при p = 2. Поэтому рассмотрено более общее уравнение
t2u' ( t) + Af*K (t) u (v) d v = f( t) ,te R+,peN,K ( 0 ) # 0 , (2)
К (t) — аналитическая функция.
В [2] рассмотрены спектральные свойства уравнений
t3 u" (t) + A fu (v) dv = f (t) ,te R+, (3)
t3u' (t) + A f К (t) u (v) d v = f( t) ,te R+, К (0) # 0 . (4)
В [3] сформулирована аксиоматика класса бесконечных систем разностных уравнений, возникающих при поиске спектров линейных вольтерровских интегральных и интегро-дифференциальных уравнений третьего рода. Найдены достаточные условия существования бесконечных дискретных спектров таких уравнений. Введена функция А: Zx N0^R+ по формулам:
10, если (т > 0 и т > п) или (п < 0) ]
—-, есл и (т > 0 и т <п) ил и (т < 0) I ' (5)
По заданным числам , тке Z, Ьк е Я (Ьк # 0), к=1.. К е /[п] е Я, пе N0 составлена бесконечная система разностных уравнений для чисел и[п] еЯ, пеN0 : 1к: = рк-тк, к=1.. К,
гЪкА(тк,п-1к)и[п-1к]=[[п] , пеЫ0. (6)
В [4] предложен алгоритм для определения существования бесконечных дискретных спектров систем разностных уравнений вида (6).
В [5] рассмотрена система уравнений (векторно-матричное уравнение), являющаяся обобщением уравнения (1) при р=2:
/аи а12ч /и'Щ ^ (иЩ //(0\ пл
Ь и ! а22)[р(ь))+1о[р(я))йя = {д(ь)). (7)
В [6] рассмотрено уравнение, являющееся обобщением уравнения (1) для функций двух переменных
ЬхШ(Ь,х)и(Ь,х) + $*и(з,£)а&Б = / (Ь ,х), ЬеЯ+,хеЯ+. (8)
Алгоритмизация и использование компьютеров в математических исследованиях
В каждом разделе математики возникает вопрос, можно ли доказывать утверждения о ее объектах каким-либо стандартным (раньше еще применялся термин «регулярным») методом [8].
В настоящее время такой вопрос особенно актуален, потому что, в свою очередь, формализация такого метода дает возможность применять компьютеры, что повышает эффективность математических исследований.
Такие стандартные методы в литературе также называются «алгоритмы». Но здесь следует отметить, что это слово понимается по-разному. В строгом смысле, применительно к математике.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Алгоритм допускает: использование букв, рациональных чисел, четырех арифметических операций и операции сравнения (для букв: равно - не равно, для чисел: меньше - равно - больше), операторов: ввода исходных данных, присвоения, условного перехода, вывода результатов и окончания работы.
Иногда под словом «алгоритм» понимают вышеприведенное определение с заменой «рациональных чисел» на «вешественные числа». Но сами вешественные числа и операции сравнения для них алгоритмически не определены, поэтому для формализации такого понятия нужно использовать строгое понятие «алгоритм с оракулом», оракул и сообщает о результате сравнения.
Если еще добавить, что оракул может находить решения алгебраических уравнений с вещественными коэффициентами (будем называть его «вещественным оракулом»), то получаем
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. «Вещественный алгоритм» допускает: использование букв, чисел из Я, арифметических операций над ними, решения алгебраических уравнений с вещественными коэффициентами и сравнения (для букв: равно - не равно, для вещественных чисел: меньше - равно - больше), операторов: ввода, присвоения, условного перехода, вывода и окончания работы.
Такому определению соответствуют большинство методов линейной алгебры.
Также, иногда неявно допускаются бесконечное количество раз «единообразно исполняемые действия».
Определение 2 при компьютерной реализации отличается от Определения 1 в основном в невозможности определить, равно ли малое число (разность двух близких чисел) нулю.
Возможны различные классификации использования компьютеров в математике:
Классификация по связи ответа, данного компьютером, с истинным.
При строгой (математической) постановке задачи на поиск объекта ответ, данный компьютером (результат работы программы), может:
- заведомо совпадать с истинным;
- иметь гарантированную связь с истинным (в тех случаях, когда истинный ответ нельзя изобразить средствами компьютера);
- иметь нестрогую (статистическую) связь с истинным.
Первая возможность достигается при использовании точных методов (взаимно-однозначного соответствия между математическим объектом и физическим состоянием компьютера при его соответствующей интерпретации). Неформально их можно разделить на точные вычисления (с целыми числами и подобными им объектами) аналитические (символьные, алгебраические) преобразования и эвристически-логический вывод.
Мы будем использовать оба Определения 1 и 2.
Пример уравнения с запаздыванием
Рассматривается интегро-дифференциальное уравнение типа Вольтерра с запаздыванием аргумента, с аналитическими функциями, вида
Ьи' ( Ь) + аи (аЬ) + Ьр £ и (р) й V = /( Ь) ,ре ,0 < а<1. (9)
Будем искать решение в виде
и (Ь) = и0+и1Ь + и2Ь2+...; (10)
Правую часть представим в виде
/ (Ь)=/о+А ь + /2ь2 + - ■ ■. (11)
Подставляя (10) и (11) в (9), получаем:
щЬ + 2и2Ь2 + Згг3С3+... +аи0 + ащаЬ + сш2а2£2+... +
(и01 + -щ12 +-и213 + = /о + А^ + /2£2+---;
Отсюда следует бесконечная система уравнений для коэффициентов искомой функции
аи о = /о,
щ + аща =Д, (12)
рир + аирар = fp, (р + 1 )ир+1 + aup+1ap+1 + и0= fp+1,
1
(Р + 2 )ир+2 + аир+2аР+2 + -щ = fp+2,
ТЕОРЕМА 1. Для установления наличия аналитического решения уравнения (8) достаточно проверить конечное число равенств.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Возьмем n eN, n> a.Тогда, если k >n и предыдущие значения u0,u..., uk_x существуют, то | k + ааk \> k — \а| > 0, из
k-того уравнения (12) однозначно определяется uk и сходимость ряда (9) такая же, как сходимость ряда (10).
Рассмотрим последовательно 0-е, 1-е, ..., n-e уравнения (11).
Из 0-го уравнения находим u 0.
Для k=1,...,p:
Если p + а 0е # 0 , то находим u k; если p + а а = 0 и fk = 0, то полагаем «u k - любое», иначе выдаем сообщение «уравнение не имеет аналитических решений» и на этом останавливаемся.
Для k>p:
Если p + аак^ 0 , то:
если определено, то находим , иначе полагаем « - любое».
Если p + аоР = 0 , то:
если (u k_р_х определено и uk_р_х = fk) или «u k_р_х любое», то находим uk_р_х = (k — p)f k и полагаем «u k -любое»;
если uk_р_x определено и ~~uk-p-±^fk, то в^1даем сообщение «уравнение не имеет аналитических решений» и на этом останавливаемся.
Если все 0-е, 1-е, ..., n-e уравнения пройдены, то получаем, что уравнение (8) имеет аналитическое решение (или бесконечное количество таких решений).
Таким образом, для уравнения (8) построен алгоритм согласно Определения 2. Если заданные числа а, а и коэффициенты функцииf(t) - рациональные числа, то можно построить алгоритм в смысле Определения 1.
Заключение
В большинстве работ по теории уравнений различных видов найдены достаточные условия существования решений. Из статей [1]-[7] и рассмотренного в данной статье примера видно, что для некоторых типов уравнений с аналитическими функциями можно построить алгоритмы, решающие альтернативу существования или не существования решений.
Конфликт интересов Conflict of Interest
Не указан. None declared.
Список литературы / References
1. Мураталиева В.Т. Спектральные свойства линейных вольтерровских интегро-дифференциальных уравнений третьего рода / В.Т. Мураталиева // Вестник КРСУ. Серия естественные и технические науки, 2016, № 5. - С. 63-66.
2. Мураталиева В.Т. Спектральные свойства линейных вольтерровских интегро-дифференциальных уравнений третьего рода второго порядка / В.Т. Мураталиева // Наука вчера, сегодня, завтра: сб. статей по матер. XXXIV междунар. научно-практ. конф. № 5(27). Часть I. - Новосибирск: СибАК, 2016. - С. 57-61.
3. Панков П.С. Спектральные свойства линейных задач с аналитическими функциями / П.С. Панков, В.Т. Мураталиева // Доклады Национальной академии наук КР, 2016, № 1. - С. 11-14.
4. Мураталиева В.Т. Алгоритм для исследования спектральных свойств линейных задач с аналитическими функциями / В.Т. Мураталиева // Вестник Жалал-Абадского государственного университета, 2016, № 1(32). - С.55-59.
5. Мураталиева В.Т. Спектрилик касиеттери болгон YчYнчY тYPYндeгY сызыктуу Вольтерралык интегро-дифференциалдык тецдемелер системасы / В.Т. Мураталиева // Интернет-журнал Высшей аттестационной комиссии КР, 2016, № 4. - 7 c.
6. Мураталиева В.Т. Табличный метод определения спектров линейных вольтерровских интегральных уравнений третьего рода с двумя переменными / В.Т. Мураталиева // Наука вчера, сегодня, завтра: сборник статей по матер. XLIII междунар. научно-практ. конф. № 2(36). - Новосибирск: СибАК, 2017. - С. 32-38.
7. Мураталиева В.Т. Использование степенных рядов для исследования линейных ин-тегро-дифференциальных уравнений / В.Т. Мураталиева // Международный научный журнал "Наука. Образование. Техника" Кыргызско-Узбекского университета, 2017, № 3-4, с. 13-16.
8. Панков П.С. Доказательные вычисления на электронных вычислительных машинах /П.С. Панков. - Фрунзе: Илим, 1978. - 179 с.
9. Вирченко Ю.П. Алгебра последовательностей коэффици-ентов степенных рядов аналитических функций // Научные ведомости. Серия математика, физика / Ю.П. Вирченко, Н.Н. Витохина. 2010. № 11(82). - Вып. 19. - С. 28-61.
10. Евграфов М.А. Асимптотические оценки и целые функции / М.А. Евграфов, 3-е издание. - Москва: Наука, 1979. - 320 с.
Список литературы на английском языке / References in English
1. Murataliyev V.T. Cpektral'nyye svoystva lineynykh vol'terrovskikh integro-differentsial'nykh uravneniy tret'yego roda [Spectral Properties of Linear Volterra Integro-differential Equations of the Third Kind] / V. T. Muratalieva // Vestnik KRSU. Seriya yestestvennyye i tekhnicheskiye nauki [Bulletin of the Kyrgyz-Russian Slavonic University. A series of natural and technical sciences], 2016, No. 5. - P. 63-66. [In Russian]
2. Murataliyev V.T. Cpektral'nyye svoystva lineynykh vol'terrovskikh integro-differentsial'nykh uravneniy tret'yego roda vtorogo poryadka [Spectral Properties of Linear Volterra Integro-differential Equations of Third Kind of Second Order] / V. T. Muratalieva // [Science yesterday, today, tomorrow: collection of articles. articles on the mater. XXXIV Intern. scientific and practical conf]. No. 5 (27). Part I. - Novosibirsk: SibAK, 2016. - P. 57-61. [In Russian]
3. Pankov P.S. Cpektral'nyye svoystva lineynykh zadach s analiticheskimi funktsiyami [Spectral properties of linear problems with analytic functions] / P. S. Pankov, V. T. Muratalieva // Doklady Natsional'noy akademii nauk KR [Reports of the National Academy of Sciences of the Kyrgyz Republic], 2016, No. 1. - P.11-14. [In Russian]
4. Murataliyev V.T. Algoritm dlya issledovaniya spektral'nykh svoystv lineynykh zadach s analiticheskimi funktsiyami [Algorithm for Study of Spectral Properties of Linear Problems with Analytic Functions] / V. T Murataliyev // Vestnik Zhalal-Abadskogo gosudarstvennogo universiteta [Vestnik of Jalal-Abad State University], 2016, No. 1 (32). - P.55-59. [In Russian]
5. Murataliyeva V.T. Cpektrilik kasiyetteri bolgon YchYnchY tyryndegy syzyktuu Vol'terralyk integro-differentsialdyk te«demeler sistemasy / V. T. Muratalieva // Internet-zhurnal Vysshey attestatsionnoy komissii KR [Internet Journal of the Higher Attestation Commission of the KR], 2016, No. 4. - 7 p. [In Kyrgyz]
6. Murataliyev V.T. Tablichnyy metod opredeleniya spektrov lineynykh vol'terrovskikh integral'nykh uravneniy tret'yego roda s dvumya peremennymi [Tabular Method for Determining Spectra of Linear Volterra Integral Equations of Third Kind with Two Variables] / V. T. Murataliev // Nauka vchera, segodnya, zavtra: sbornik statey po mater. XLIII mezhdunar. nauchno-prakt. konf [Science yesterday, today, tomorrow: collection of articles on the material. XLIII Intern. scientific and practical conf. Number 2 (36). - Novosibirsk: SibAK], 2017. - P. 32-38. [In Russian]
7. Murataliyev V.T. Ispol'zovaniye stepennykh ryadov dlya issledovaniya lineynykh in-tegro-differentsial'nykh uravneniy [Use of power series for the study of linear integral-differential equations] / V. T. Murataliyev // Mezhdunarodnyy nauchnyy zhurnal "Nauka. Obrazovaniye. Tekhnika" Kyrgyzsko-Uzbekskogo universiteta [International scientific journal "Science. Education. Technique" of the Kyrgyz-Uzbek University], 2017, No.3-4. - P. 13-16. [In Russian]
8. Pankov P.S. Dokazatel'nyye vychisleniya na elektronnykh vychislitel'nykh mashinakh [Evidence-based calculations on electronic computers] / P. S. Pankov/. - Frunze: Ilim, 1978. - 179 p. [In Russian]
9. Virchenko Yu.P. Algebra posledovatel'nostey koeffitsi-yentov stepennykh ryadov analiticheskikh funktsiy [Algebra of sequences of coefficients of power series of analytic functions] / Yu. P. Virchenko, N. N. Vitohina // Nauchnyye vedomosti. Seriya matematika, fizika. [Scientific statements. A series of mathematics, physics]. 2010. No. 11 (82). - Vol. 19. - P. 28-61. [In Russian]
10. Evgrafov M.A. Asimptoticheskiye otsenki i tselyye funktsii, 3-ye izdaniye [Asymptotic estimates and entire functions, 3rd edition] / M. A. Evgrafov. - Moscow: Science, 1979. - 320 p. [In Russian]
