УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ ЛОКАЛЬНО НЕОДНОРОДНЫХ СВЯЗНЫХ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Инновации в науке № 5(54), 2016г

СЕКЦИЯ «МАТЕМАТИКА»

УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ ЛОКАЛЬНО НЕОДНОРОДНЫХ СВЯЗНЫХ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ

Жораев Адахамжан Хамитжанович

канд. физ.-мат. наук, доц. Кыргызско-Узбекского университета,

Кыргызская Республика, г. Ош E-mail: _ [email protected]

CONDITIONS OF EXISTENCE OF NON-HOMOGENEOUS LOCALLY CONNECTED TOPOLOGICAL SPACES

Adahamzhan Zhoraev

candidate of Science, assistant professor of Kyrgyz-Uzbek University,

Kyrgyzstan, Osh

АННОТАЦИЯ

Найдены достаточные условия локальной неоднородности связных пространств в терминах существования непустых пересечений связных множеств (траекторий).

ABSTRACT

Sufficient conditions for local non-homogeneity of connected space in terms of non-empty intersections of connected sets (trajectories) are found.

Ключевые слова: связное пространство; топологическое пространство; неоднородное пространство, кинематическое пространство.

Keywords: connected space; topological space; non-homogeneous space, kinematical space.

(^СибАК

www.sibac.info

Инновации в науке № 5 (54), 2016г.

1. Общие определения и ранее доказанные результаты.

Известно понятие однородного пространства - множества X вместе с заданным на нем транзитивным действием некоторой группы О: задана такая группа О автоморфизмов g:X—X, что для любых двух элементов Х1, Х2е X существует такое gl2е О, что gl2(xl)= Х2. В этом случае любые два элемента (вместе с положением в пространстве в целом) неразличимы.

Различные обобщения этого понятия рассмотрены в [5]. Все они связаны с различными преобразованиями пространства в целом. Поэтому в [2] предложены более общие понятия.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Если две точки топологического пространства имеют гомеоморфные окрестности, то они называются локально однородными.

Соответственно, в [4] предложено

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Если хотя бы две точки Х1еХ, Х2еХ не являются локально однородными, то пространство X в целом называется локально неоднородным.

Достаточные условия локальной неоднородности получены в [3; 4] на языке кинематических пространств.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. [1]. Кинематическим пространством называется множество О точек и множество К маршрутов. Каждый маршрут М состоит из числа Тм >0 (время маршрута) и функции шм : [0, Тм] — О (траектория маршрута). Выполняются следующие свойства.

(К1) Для любых различных 20 и 21 существует такое МеК, что шм(0) = 20 и шМ(ТМ) = х1, и множество значений Тм для таких М ограничено снизу положительным числом {передвижение между любыми точками возможно, но сколь угодно быстрое передвижение невозможно}.

(К2) Если М= {Тм, шм(г)} е К, то {Тм, шм(Тм~ г)} также принадлежит К {движение в обратном направлении}.

(КЗ) Если М= {Тм, шм(Щ е К и Т*е (0, Тм), то пара: Т* и функция ш*(г)=шм(г) ( 0 < г < Т*) также принадлежит К {можно остановиться в любой момент}.

(К4) Если {Т1, ш1(г)} е К, {Т2, ш2(г)} е К и ш1(Т1)=ш2(0), то пара:

число Т* = Т1 + Т2 и функция

ш*(г)= ш() (0 <г < Т); ш*(г)= ш2(г-Т0 (Т1 <г ¿Т1+Т2)

также принадлежит К {транзитивность}.

Инновации в науке № 5(54), 2016г

Для любой функции - траектории маршрута тм : [0, Тм] — С множество ее значений естественно называть линией.

Кинематическое пространство является линейно связным (без изолированных точек) метрическим топологическим пространством с метрикой

рк (го, 21) = т/ {Тм :Ме К, тм(0) = 20 и тм(Тм) = 21}.

Условия существования локально неоднородных кинематических пространств были найдены в [4; 6].

Пусть Х - линейно связное множество на плоскости К2, маршруты - непрерывные отображения т отрезков в Х такие, что

Цт(х1) - т(х2)\\< || Х1 -Х2\\. (1)

Тогда Х - кинематическое пространство.

ТЕОРЕМА 1. [4]. Если 1) внутренность множества Х не пуста; 2) в кинематическом пространстве Х существуют такие точки А, В, С, Б, и такая линия [АС], что любая линия [ВБ] имеет хотя бы одну общую точку с этой линией, то Х не является открытым множеством в К2. Таким образом, Х является локально неоднородным кинематическим пространством.

В [6] этот результат обобщен на многомерный случай:

ТЕОРЕМА 2. Если в кинематическом пространстве Х

1) существует точка, имеющая окрестность, изометричную шару в К";

2) существуют такие точки А, В, С, Б, и такая линия [АС], что любая линия [ВБ] имеет хотя бы одну общую точку с этой линией, то Х является локально неоднородным кинематическим пространством.

2. Основной результат.

Поскольку подмножество кинематического пространства, даже связное, может не быть кинематическим пространством, понятие локальной связности нуждается в уточнении.

Докажем:

ТЕОРЕМА 3. Если в кинематическом пространстве Х 1) существует точка Б, что для шаровой окрестности 8Г(Б) множество Бг(Б)\{Б} является кинематическим пространством для любого радиуса г>0; 2) существуют такие различные точки А, В, С, что любая линия [АС] проходит через точку В, то Х является локально неоднородным пространством.

Доказательство. Предположим, что Бг(В)\{В} является кинематическим пространством для любого г>0.

(^СибАК

www.sibac.info

Инновации в науке № 5 (54), 2016г.

Выберем т<шт{р(Л, В), р(С,Б)}, тогда А0БГ(В), СеБг(Б). Пусть Е -первая точка пересечения линии [ЛВ] с БГ(В), Е - последняя точка пересечения линии [ВС] с БГ(В). Поскольку 8Г(В)\{В} - кинематическое пространство, существует линия [ЕЕ] с 8Г(В)\{В}. Следовательно, [ЛЕЕС] - линия, не проходящая через В, что противоречит условию. Теорема доказана.

Более обшая

ТЕОРЕМА 4. Если 1) выполняется условие 1) Теоремы 3; 2) существуют такие различные точки Л, В1, В2,..., Вп,С, что любая линия [АС] проходит хотя бы через одну из точек В1, В2,..., Вп, то Х является локально неоднородным пространством.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим, что 8г(Вк)\{Вк} -кинематические пространства для любых к=1..п, г>0.

Выберем

г < ш1п{ш1п{ш1п{р(Л,Вк), р(С,Вк)}: к=1..п}, шт{р( Вк, ВЩ к,]=1..п; к*]}/2},

тогда множества {Л}, 8г(Вк), к=1..п, {С} попарно не пересекаются. Предположим, что траектория [ЛС] проходит через точку В1. Пусть Е -первая точка пересечения линии [ЛВ1] с 8Г(В1), Е - последняя точка пересечения линии [ВС] с Sr(Bl). Поскольку 8у(В1)\{В1} -кинематическое пространство, существует линия [ЕЕ] с Sr(B1)\{B1}. Следовательно, [ЛЕЕС] - линия, не проходящая через В1. Продолжая этот процесс, получим траекторию, не проходящую ни через одну из точек Вк, что противоречит условию. Теорема доказана.

Аналогично доказываются.

ТЕОРЕМА 5. Если в отделимом связном топологическом пространстве Х 1) существует точка Б, имеющая такую базу окрестностей ^(Б)}, что множества 0)\{Б}} являются связными; 2) существуют такие различные точки Л, В, С, что любое связное множество, содержащее точки Л и С, содержит также точку В, то Х является локально неоднородным пространством.

ТЕОРЕМА 6. Если в отделимом связном топологическом пространстве Х 1) выполняется условие 1) Теоремы 5; 2) существуют такие различные точки Л, В1, В2,..., Вп,С, что любое связное множество, содержащее точки Л и С, содержит также хотя бы одну из точек В1, В2,..., Вп, тоХявляется локально неоднородным пространством.

Список литературы:

1. Борубаев А.А., Панков П.С. Компьютерное представление кинематических топологических пространств. - Бишкек: Кыргызский государственный национальный университет, 1999. - 131 с.

Инновации в науке

№ 5(54), 2016г

2. Борубаев А.А., Панков П.С. Распознаваемость размеченных топологических пространств // Вестник Кыргызского национального университета. - 2007. -Серия 3, выпуск 4. - С. 5-8.

3. Жораев А.Х. Кинематическое построение и исследование топологических пространств. - Автореферат дисс. канд. физ.-мат. наук. - Бишкек, 2012. -16 с.

4. Жораев А.Х. Условия существования неоднородных кинематических пространств // Вестник Международного Университета Кыргызстана. -№ 1(27). - 2015. - С. 45-47.

5. Hart K.P., Nagata J.-I., Vaughan J.E. Encyclopedia of General Topology. Elsevier Science Ltd, 2004. - h4 Homogeneous Spaces. - P. 376-378.

6. Zhoraev A. Conditions of existence of multidimensional locally non-homogeneous kinematical spaces // Abstracts of the Issyk-Kul International Mathematical Forum. - Bishkek: Kyrgyz Mathematical Society, 2015. - P. 22.

^СЛЕДОВАНИЕ АСИМПТОТИКИ РЕШЕНИЙ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ С ПОМОЩЬЮ РАСЩЕПЛЕНИЯ ПРОСТРАНСТВА

Жээнтаева Жумагул Кенешовна

канд. физ.-мат. наук, зав. кафедрой Кыргызско-Узбекского университета, Кыргызская Республика, г. Ош E-mail: _ [email protected]

INVESTIGATION OF ASYMPTOTICS OF SOLUTIONS OF LINEAR DELAY-DIFFERENCE EQUATIONS BY MEANS OF SPLITTING SPACE

Zhumagul Zheentaeva

candidate of Science, manager of chair of the Kyrgyz-Uzbek University,

Kyrgyzstan, Osh