CC BY
7
(JT, СибАК
www.sibac.info
РУБРИКА «МАТЕМАТИКА»
КИНЕМАТИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО И ДОКАЗАТЕЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
Жораев Адахамжан Хамитжанович
канд. физ.-мат. наук, доц. Кыргызско-Узбекского университета,
Кыргызская Республика, г. Ош E-mail: _ [email protected]
KINEMATICAL SPACE AND VALIDATING SOLVING OF SYSTEM OF ALGEBRAIC EQUATIONS
Adahаmjan Joraev
candidate of Science, assistant professor Kyrgyz-Uzbek University,
Republic of Kyrgyzstan, Osh
АННОТАЦИЯ
Построен интерактивный алгоритм виртуального движения на плоскости, который дает возможность пользователю построить области, гарантированно содержащие решения системы из двух алгебраических уравнений. Исходные данные: доказательные представления функций в левых сторонах этих уравнений. Применяется принцип ненулевого вращения векторного поля.
ABSTRACT
There is constructed an interactive algorithm of virtual motion in a plane to provide opportunity for the user to construct domains surely containing solutions of a system of two algebraic equations. Data are validating presentations of functions in left hand parts of these equations. ^e principle of non-zero rotation of a vector is applied.
Ключевые слова: кинематическое пространство; алгебраическое уравнение; система уравнений; алгоритм; движение; принцип ненулевого вращения.
Keywords: kinematical space; algebraic equation; system of equations; algorithm; motion; principle of non-zero rotation.
Введение
Для целей интерактивного компьютерного представления топологических пространств в книге [1] было введено определение кинематического пространства и осуществлена реализация некоторых известных пространств. Эта концепция дала возможность построения алгоритмов виртуального движения [6] для решения различных задач в разделах математики, связанных с непрерывностью.
Для обеспечения доказательности вычислений [3] возможно применение интервального анализа. Обзор первых результатов для дифференциальных уравнений, полученных с его помощью, имеется в
[5].
Ранее нами были построены алгоритмы для исследования римановых поверхностей, представленных заданным дифференциальным уравнением [2] или алгебраическим уравнением [4].
В данной статье предлагается алгоритм виртуального движения по плоскости для выделения и уменьшения областей, гарантированно содержащих решения системы двух алгебраических уравнений.
1. Постановка задачи Рассматривается система уравнений
Му)=О,
В(х,у)=0,(1)
где /(х,у), g(x,y) - непрерывные функции. Эти функции задают векторное поле (Дх,у), g(x,y)}.
Предполагается, что заданы алгоритмы для интервальных расширений ¥(Х,У) и 0(Х,У), где Х,У -машинные интервалы, такие, что из хеХ, уеУ следует /(.х,у) е¥(Х,У), g(x,y) еО(Х,У). При этом интервалы ¥(Х, У) и 0(Х, У) «достаточно узкие» для «узких» интервалов Х,У. Требуется построить такие прямоугольные области на плоскости, чтобы они гарантированно содержали решения системы [1]. Используется следующая известная ТЕОРЕМА. Если векторное поле {/(х,у), g(x,y)} на границе области не обращается в нуль и вращение векторного поля по границе области отлично от
(^Г, СибАК
www.sibac.info
нуля, то система (1) имеет хотя бы одно решение внутри области.
2. Неформальное описание интерактивного алгоритма и целей пользователя
Выбирается некоторое (машинное) число И>0. Начиная с некоторой (машиной) точки, в которой вектор не равен нулю, пользователь двигается шагами длины И параллельно одной из осей координат, при этом алгоритм
• вычисляет интервальный вектор {¥(Х, У), 0(Х, У)} на каждом получающемся звене;
• в тех случаях, когда этот интервальный вектор содержит нулевой вектор, предупреждает о некорректности данного шага (*) и не переходит в следующую точку;
• иначе, переходит в следующую точку и запоминает ее; вычисляет изменение вращения;
• если текущая точка уже была пройдена ранее, то выводит сообщение об этом; выводит пройденную границу области и вращение по ней (**); выводит список всех событий (*).
В последнем случае пользователь принимает решение о продолжении поиска или начале нового поиска.
Сначала пользователю рекомендуется обойти более широкую область. Далее, пользователь, с учетом сообщений (*) и (**), либо проверяет более широкую область, либо сужает область поиска. При нахождении достаточно узкой области, содержащей решение, можно уменьшить шаг и попытаться еще сузить область.
3. Формальное описание интерактивного алгоритма
Предлагается следующая индексация I направлений векторного поля:
(¥>0, 0ев)^ 0; (¥>0, в>0)^45; (0е¥, в>0)^ 90; (¥<0, в>0)^135;
(¥<0, 0ев)^ 180; (¥<0, в<0)^ 225; (0е¥, в<0)^270; (¥>0, в<0)^315.
Случай(0 е¥, 0е0)не допускается (*).
При каждом переходе вращение изменяется на разность нового и прежнего индексов (она может принимать значения--90; -45; 0; 45; 90). При переходе от 315 к 0 прибавляется 360 (0-315+360=45), при обратном переходе вычитается 360. Таким образом, при возврате в уже пройденную точку вращение получается кратным 360.
ПРИМЕЧАНИЕ. Такое свойство дискретной величины (в данном случае - в цикле из восьми элементов, в более общем случае - в вершинах связного графа) - переходить только к некоторым соседним значениям - можно назвать «обобщенной непрерывностью».
(Для интервалов запись [а,Ь] при а>Ь преобразуется в запись [Ь,а]).
Алгоритм. Пользователь вводит координаты {х0, у0} начальной точки и значение шага И. Не должно быть (0 е¥([х0, Х0], [у0, У0]), 0 еО([х0, Х0], [у0, У0])).
Вычисляем индекс интервального вектора {¥([Х0, Х0], [у0, У0]), 0([х0, Х0], [у0, У0])}. Полагаем вращение Б:=0; номер точки п:=0. Основной шаг алгоритма.
A) От текущей точки {Хп,уп} пользователь выбирает одно из четырех направлений движения у:у[1] = {1,0}, V [2]={0,1}, у[3] ={-1,0}, у[4] = {0, -1}.
Б) Вычисляем координаты следующей точки {xn+l,yn+l}:={xn,yn}+Иv; интервальный вектор {¥([хт Хп+1], [уп уп+1]), 0([хт Хп+1], [уп уп+1])}.
B) Если этот вектор содержит нулевой вектор, то выводим соответствующее сообщение «ДАННОЕ ДВИЖЕНИЕ НЕВОЗМОЖНО» и переходим к п. А), иначе
Г) Вычисляем индекс интервального вектора
{¥([хп, Хп+1], [уп, уп+1]), 0([хт Хп+1], [уп, уп+1])}, изменение индекса и новое значение & Полагаем п:=п+1.
Д) Если для хотя бы одного к=0..п-1 будет {хп,уп}={хк,ук}, то выводим соответствующее сообщение «ГРАНИЦА ОБЛАСТИ ЗАМКНУЛАСЬ», список точек и значение запрашиваем: «ПРОДОЛЖАТЬ ИЛИ НАЧАТЬ СНАЧАЛА?». ИЛЛЮСТРАТИВНЫЙ ПРИМЕР. Система
х-3=0, уу-0.1х-1.7=0
в полуплоскости у>0 (для применения формулы квадратного корня интервала).
Имеем: ¥([х-,х+],[у-,у+])=[ х--3,х+-3]; в([х-,х+],[у-,у+])=[ л/у--х+-1.7, л/у+-х_-1.7]. Направленное округление будем производить до
0.1.
Шаг И=2, начальная точка х0=2, у0= 3. Б=0. {¥([2,2],[3,3]), в([2,2],[3,3])}= {[-1, -1],[ -0.2, -0.1]}, 1=225.
1) Пользователь выбирает v= {1,0}, х=4,у1 = 3. {¥([2,4],[3,3]), в([2,4],[3,3])}= {[-1,
1],[-0.4,-0.1]}, 1=270. Б=45.
2) Пользователь выбирает v= {0,1}, Х2=4у = 5. {¥([4,4],[3,5]), в([4,4],[3,5])}= {[1,
1],[-0.4,0.2]}, 1=0. Б=135.
3) Пользователь выбирает v= {-1,0}, х3=2,у3 = 5. {¥ ([2,4],[5,5]), в([2,4],[5,5])}= {[-1, 1],[0.1,
0.4]}, 1=90. Б=225.
4) Пользователь выбирает v= {0, -1}, х4=2, у4 = 3. {¥ ([2,2],[3,5]), в([2,2],[3,5])}= {[-1,
-1],[-0.2,0.4]}, 1=180. Б=315.
Граница замкнулась. В начальной-конечной точке 1=225, Б=360 - решение существует. Заключение
Мы надеемся, что такие интерактивные алгоритмы будут полезны также в учебных целях - самостоятельное изучение студентами сразу нескольких понятий, в данном случае - системы уравнений, векторное поле, ненулевое вращение, интервальный анализ.
с
СибАК
www.sibac.info
Список литературы:
1. Борубаев А.А., Панков П.С. Компьютерное представление кинематических топологических пространств. -Бишкек: Кыргызский государственный национальный университет, 1999. - 131 с.
2. Жораев А.Х. Доказательное кинематическое представление римановой поверхности, определяемой дифференциальным уравнением // Математический журнал, 2008, том 8, № 4. - Алматы: Институт математики Министерства образования и науки РК. - С. 52-58.
3. Панков П.С. Доказательные вычисления на электронных вычислительных машинах. - Фрунзе: Илим, 1978.
4. Панков П.С., Жораев А.Х. Автоматизация метода определения рода римановой поверхности, заданной алгебраическим уравнением // Актуальные проблемы теории управления, топологии и операторных уравнений: Тезисы докладов II международной научной конференции, посвященной 20-летию образования Кыргызско-Российского Славянского университета и 100-летию Я.В.Быкова. - Бишкек, 2013. - С. 155-156.
5. Шокин Ю.И. Интервальный анализ. - Новосибирск: Наука, 1981. - 112 с.
6. Pankov P.S., Joraev A.H. Manned search in kinematical topological spaces // Reports of the Third Congress of the World Mathematical Society of Turkic countries, Vol. 1. Almaty, June 30 - July 4, 2009. - Almaty: Al-Farabi Kazakh National University, 2009. - Pp. 102-105.
- 179 с.
