УСЛОВИЯ РАЗРЕШИМОСТИ В АНАЛИТИЧЕСКОМ ВИДЕ ДЕСКРИПТОРНОЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2686-9667. Вестник российских университетов. Математика

Том 26, № 134

© Мохамад А.Х., 2021 Б01 10.20310/2686-9667-2021-26-134-130-142 УДК 517.952, 517.955

Условия разрешимости в аналитическом виде дескрипторной системы уравнений в частных производных

Абдулфтах Хосни МОХАМАД

ФГБОУ ВО «Воронежский государственный университет» 394036, Российская Федерация, г. Воронеж, Университетская пл., 1

Solvability conditions in the analytical form of a descriptor system of partial differential equations

Abdulftah H. MOHAMAD

Voronezh State University 33 University Sq., Voronezh 394036, Russian Federation

Аннотация. Рассматривается система дифференциально-алгебраических уравнений в частных производных первого порядка в банаховом пространстве с постоянными вырожденными операторами в случае регулярного операторного пучка. В таком случае исходная система при некотором дополнительном условии расщепляется на вырожденные подсистемы в непересекающихся подпространствах для поиска проекций исходной неизвестной функции в подпространствах. Выявляются условия согласования для параметров систем. Построено решение рассматриваемой системы дифференциально-алгебраических уравнений.

Ключевые слова: банахово пространство, дифференциально-алгебраические уравнения, фредгольмов оператор, дескрипторная система

Для цитирования: Мохамад А.Х. Условия разрешимости в аналитическом виде дескрипторной системы уравнений в частных производных // Вестник российских университетов. Математика. 2021. Т. 26. № 134. С. 130-142. DOI 10.20310/2686-9667-2021-26-134-130-142.

Abstract. A system of first-order partial differential-algebraic equations in a Banach space with constant degenerate operators in the case of a regular operator pencil is considered. In this case, under some additional condition, the original system splits into two subsystems in disjoint subspaces in order to search for the projections of the original unknown function in the subspaces. The matching conditions for the parameters of the systems are identified. A solution of the considered system of differential-algebraic equations is constructed.

Keywords: Banach space, differential-algebraic equations, Fredholm operator, descriptor system

Mathematics Subject Classification: 35F40

For citation: Mohamad A.H. Usloviya razreshimosti v analiticheskom vide deskriptornoy sistemy uravneniy v chastnykh proizvodnykh [Solvability conditions in the analytical form of a descriptor system of partial differential equations]. Vestnik rossiyskikh universitetov. Matematika - Russian Universities Reports. Mathematics, 2021, vol. 26, no. 134, pp. 130-142. DOI 10.20310/2686-9667-2021-26-134-130-142. (In Russian, Abstr. in Engl.)

2021

Введение

Рассматривается уравнение

.4^= В*^ Си(1,Х) + / ((.х). (0.1)

где 4 : Ех ^ Е2 , Ех, Е2 — банаховы пространства; 4 — замкнутый линейный фред-гольмов оператор с нулевым индексом и с плотной в Ех областью определения ГотЛ, ГотЛ = Ех; В, 66 Е Ь(Е1,Е2), оператор В необратим; ((,*) € Т х X, Т = [0,(к], X = [0,*к]; /((, х) — заданная достаточно гладкая вектор-функция со значениями в Е2; и = и((,х) искомая вектор-функция.

Такие уравнения называют дифференциально-алгебраическими, или дескрипторными, или уравнениями Соболевского типа, или уравнениями не типа Коши-Ковалевской. Де-скрипторная система с оператором А, имеющим число 0 нормальным собственным числом, решена в работе [1]. Исследование уравнения (0.1) можно сопоставить с исследованием уравнения

Г7

4- = В 7 + / ((), (0.2)

с необратимыми коэффициентами Л, В , где Л — замкнутый линейный оператор действующий в банаховом пространстве Е, В Е Ь(Е,Е), и с достаточно гладкой вектор-функцией /((); а решение задачи (0.1) — с решением 7 = 7(() уравнения (0.2) при начальном условии

7(0) = 7о € ГотЛ. (0.3)

Над изучением задачи (0.2), (0.3) активно работают известные школы С. Г. Крейна, С. П. Зубовой, А. Г. Руткаса, Н. А. Сидорова, Г. А. Свиридюка, И. В. Мельниковой, А. Еа-уть Достаточно полно результаты исследования этой задачи представлены в [2-7].

Дескрипторные системы нашли свое применение при моделировании движения самолетов [8], химических процессов [9], экономических систем [10]. Большое количество работ по дескрипторным системам также относится к теории электрических цепей [11].

В работе [12] проведено обоснование численного метода для решения системы (0.1) с постоянными матрицами коэффициентов с некоторыми граничными условиями.

Наша цель — получить условия, при которых система (0.1) с граничными условиями разрешима в аналитическом виде.

Если оператор пучок Л — АВ , при Л достаточно малых по модулю, является регулярным, то есть оператор Лд = (Л — АВ)-1Л : ГотЛ ^ Ех имеет число 0 нормальным собственным числом [13], то Ех разлагается в прямую сумму двух подпространств

Ех = М ф N. (0.4)

где N — корневое подпространство для Л\ , а М инвариантно относительно Л\ и такое, что сужение Лд оператора Лд на М имеет обратный оператор (Лд)-1. Сформулируем известные свойства фредгольмовых операторов (см. [14]).

Свойство 0.1. Пространства Ех и Е2 расщепляются в прямые суммы [3]

Ех = КегЛ ф СогтЛ, Е2 = 1тЛ ф СокегЛ,

(0.5)

где СогтЛ —прямое дополнение к ядру КегЛ в Е\, СокегА — дефектное подпространство, СгтКегЛ = СгтСокегЛ < то. Сужение Л оператора Л на СогтЛ П Сот(Л) имеет ограниченный обратный оператор Л-1. Определим отвечающие разложениям (0.5) проекторы Ро и д0 на КегЛ и СокегЛ, соответственно, а также оператор Л- = Л-1(1 — Яо), называемый полуобратным, Л- : 1тЛ ^ СогтЛ П Сот(Л). Здесь и далее через I обозначен единичный оператор в соответствующем пространстве.

Свойство 0.2. Уравнение

Ль = т, V Е Е1 П Сот(Л), т Е Е2, (0.6)

эквивалентно системе

Яот = 0, V = Л-т + Роь Е КегЛ П Сот(Л).

Первое равенство в последней системе является условием корректности уравнения (0.6) (см. [3]).

Определим операторы

Ло = Л, (о = Я, Ро = Р, Л- = Л-, То = Л-В, Бо = ЯоВ, Л = Бj—lpj—l, Б = Я]Бj-lTj-l, Т = Тз-1— Л7Б,-1Т,--1 И = 1, 2,...,Р).

Операторы Р] и Я] в (0.7) —это проекторы на КегЛ] и СокегЛ], отвечающие соответствующим разложениям, Л- = Л~1(Я]-1 — Я]) (см. [3]).

Свойство 0.3. Цепочки Жордана В -присоединенных элементов оператора Л имеют максимальную длину р < то тогда и только тогда, когда оператор Лр обратим (описание оператора Лр см. в работах [3,15,16]).

Свойство 0.4. Пучок (Л — ХВ) регулярен в том и только том случае, когда существует д Е N такое, что оператор Лд обратим (см. [3]). Число р — есть минимальное из таких д. Число 0 является нормальным собственным числом оператора Л\, при этом выполняется (0.4), где

М = {у Е Е1 : Бгу = 0, г = 0,1,...,р — 1}. (0.8)

Сужение Л\ оператора Л\ на М имеет ограниченный обратный оператор Л-1 :

Л-1 = I — ХТР.

Свойство 0.5. В -присоединенные элементы длины р определяются из соотношений (см. [3]):

Ль1 = 0, Льг = ВЬг-1 (г =1, 2, . . . ,р), Бг= 0 (г + г < р).

(0.9) (0.10)

1. Расщепление уравнения

Воспользуемся очевидным равенством В = ^(АВ — Л + Л). Умножение уравнения (0.1)

А

слева на (Л — АВ)-1 приводит к уравнению

Лд = ^^ дХ + (Л — АВ)-1 (Си + / ((,*)). (1.1)

Поскольку Лд имеет число 0 нормальным собственным числом, вектор-функция и((,*), отвечающая разложению (0.4), принимает вид

и((,ж) = Яи + Ри, (1.2)

где Р — проектор на подпространство N Я — проектор на М. Подстановка соотношения (1.2) в (1.1) дает:

д(р + я)и

Лд-

Лд — / д(р + + (р + ^)(л — ав)-1с (р + + (р + я)(л — ав )-1/((, *).

А дх

Поскольку подпространства N и М инвариантны относительно Лд, получим, что все слагаемые расщепляются на уравнения в подпространстве М с искомой функцией х)

и в подпространстве N с искомой функцией ри((, х), кроме слагаемого (р + Я)(Л — АВ)-1С(р + Я)и. Для того чтобы уравнение расщепилось на уравнения в подпространствах М и N подставим р(Л — АВ)-1СЯ = 0, т. е.

(Л — АВ )-1Си = Я(Л — АВ )-1С (ри + дм) + р (Л — АВ)-1 Сри, (1.3)

где Я(Л — АВ)-1С(ри + ди) € М , р(Л — АВ)-1Сри € N. Итак, получим уравнение в подпространстве N

Лддрт = ^ + р(Л — АВ)-1(Сри + /), где С = , (1.4)

и уравнение в подпространстве М

Лд^Т = ~—д^ + Я(Л — АВ) ^ + ^. (1.5)

2. Постановка задачи

Уравнение (0.1) расщепляется на уравнения (1.4), (1.5) в подпространствах N и М соответственно, при условии р(Л — АВ)-1СЯ = 0, каждое из них решается с граничными условиями

ри((, 0) = € N (2.1)

Яи(0,ж) = ф(х) € М. (2.2)

Таким образом, уравнение (0.1) эквивалентно системе, состоящей из алгебраического уравнения (1.2) и двух дифференциальных уравнений (1.4), (1.5), в этом смысле уравнение (0.1) является алгебро-дифференциальным, дескрипторным. Теперь требуется найти решение в корневом подпространстве N затем подставить его в уравнение дополнительного подпространства М.

3. Решение задачи в корневом подпространстве

Решение системы (1.4), (2.1) является решением в корневом подпространстве. Чтобы описать операторы в уравнении (1.4), примем СгтКегЛ = 1. Эти операторы раскладываются на базису {ьг, г = 1, 2,... ,р} :

р р ,х) = ^ вг(г, х)ьг, Рф(г) = ^ гргЩЬг

г=1 г=1

рр

Рп(г,х) = ^ ег(1,х)ьг, Рф(1) = ^ фг(г)ьг, (3.1)

С(г, х, Х) = Р(Л — ХВ)-1СРп(г, х) = ^ ^ ацс](г, х)ьг, (3.2)

г=1 3=1

где аг] = а](Х) Е С, ац = 0 Уг > ],

р

(Л — ХВ)-7(г,х) = р(г,х,х) = ^ ¡гьг + яр, яр е м, (3.3)

г=1 р

Р (Л — ХВ )-7 (г, х) = ^ 7г(г, х, Х)ы, (3.4)

г=1 г-1 1

Л^г = Х-. (3.5)

к=1

Используя соотношения (3.1)-(3.5), запишем уравнение (1.4) в виде

1 р я Р я 1 я г-1 1 р р р

1 дсг , дсг 1 дсг, 1 .

Х^дх Ьг = ^( Ж — Ш ^ Хг-кЬк ^ ^ Ь + 7ьг.

г=1 г=2 к=1 г=1 ] = 1 г=1

Сравнение в этом равенстве коэффициентов при ьг с одинаковыми индексами приводит к соотношениям

дс

дх = Харрср + Х7р, (3.6)

дх = + Хаггсг + ^ (Хац — аг+1])с] + (Х7 — ^+1). (3.7)

]=г+1

Лемма 3.1. Функции Х/р, Х7 — /г+1, г = 1,... ,р не зависят от Х. Доказательство. В силу (3.4) имеем:

р

-1

(Л — ХВ)-17(г,х) = ^ 7гЬг + яр,

г=1

где ЯР = Я (Л — ХВ)-7 (г, х). Отсюда

р

7 (г, х) = ^ МЛ — ХВ )ьг + (Л — ХВ )яр.

Используя определение ьг, из (0.9) получаем:

р-1

7(г, х) = ^7г+1 — Х7г)ВЬг — Х7рВЬр + (Л — ХВ)ЯР,

г=1

откуда

p-i

AQF = f (t, x) + ABQF - - Afi)Bv + AfpBv (3.8)

i=i

Согласно свойству 0.2 соотношение (3.8) эквивалентно системе

p-i

Qof + AQoBQF - ^(fi+i - Afi)QcßVi + (Afp)QoBvp = 0,

г=1 , (3.9)

p- i

QF = A-f + AA-B(QF) - ^(fi+i - Afi)A-Bv + AfpA-Bvp + Po(QF).

i=i

В первом равенстве этой системы, в силу уравнения (0.8), выполнено

AQoBQF = ASoQF = 0,

а в силу свойства 0.5 выполнено

QoBvi = SoVi = 0

при всех i = 1,... , p - 1. Поэтому первое равенство принимает вид

Qof + (Afp)QoBvp = 0.

Поскольку Qof и QoBvp не зависят от A, то и Afp также не зависит от A.

Во втором равенстве системы (3.9) Po(QF) = 0, и поэтому это равенство принимает вид

p-i

QF = AA-B(QF) - ^(fi+i - Afi)A-Bv + A-f + AfpA-Bvp. (3.10)

i=i

Применяя Si к обеим частям (3.10), в силу свойств 0.4, 0.5 получаем

0 = (Afp-i - fp)A-BSiVp-i + AfpA-BSiVp.

Слагаемые AfpA-BSivp, A-BSivp-i в правой части полученного уравнения не зависят от A, следовательно, (Afp-i - fp) не зависит от A.

Применяя S2 к обеим частям (3.10), в силу свойств 0.4, 0.5 получаем

0 = (Afp-i - fp)A-BS2Vp-i + (Afp-2 - fp-i)A-BS2Vp-2 + AfpA-BS2V

Так как (Afp-i - fp), Afp не зависят от A, то слагаемые (Afp-i - fp)A-BS2vp-i и AfpA-BS2vp в правой части полученного уравнения не зависят от A. Таким образом, (Afp-2 - fp-i)A-BS2vp-2 не зависит от A, а следовательно, (Afp-2 - fp-i) не зависит от A.

Применяя к обеим частям (3.10) последовательно Si, i = 3,...,p - 2, и пользуясь свойствами 0.4, 0.5, получаем что элементы (Af - fj+i), j = 1,... ,p-3, также не зависят от A. □

В силу доказанного утверждения в представлении вектор-функции P(A - AB)-if (t, x) можно обозначать

Afp = Фp(t,x), Afi - fi+i = Фi(t,x), i = 1, 2,... ,p - 1. (3.11)

Лемма 3.2. Элементы Аагг, (Аа^ — йг+у), г = 1,2,...,р, г = 1,2,...,р — 1, = г + 1, г + 2,... ,р, не зависят от А.

Доказательство. Запишем (1.3) в виде

См = (А — АВ)^(А — АВ)-1 С (Рм + ^м) + (А — АВ )Р (А — АВ )-1СРм.

В силу (3.2) это уравнение эквивалентно уравнению

р р

См = ^ ^ ау с, (А — АВ + (А — АВ )«м,

г=1 ¿=1

где а^ = 0 при всех г > «м = ^(А — АВ)-1См, м = Рм + Согласно (0.9) запишем

полученное уравнение в виде

( р р ^

А( — Айг-1^-)с,-V + «м ) = См + АйррСр+ АВ«м. (3.12)

^ г=2 ^=1 '

В силу свойства 0.2, уравнение (3.12) эквивалентно системе

^оСм + АйррСр ^оВг>р + А^оВ^м = 0,

р р

У^ ^(йг^ — Айг-у)с,-V = А-См + АйррСрА-В^р — См,

г=2 ¿=1

(3.13)

рр

где См = «м — АА В«м — Ро (^ — Айг-у)с,-V» + «м).

г=2 ¿=1

В первом уравнении системы (3.13) для последнего слагаемого левой части выполнено ^оВ«м = 5о«м = 0 (в силу свойства 0.4 подпространства М). А поскольку ^0См, ^0В^р не зависят от А, то и Аарр не зависит от А.

В силу свойства 0.4 имеем Ро«м = 0. Поэтому

рр

См = «м — АА-В«м — Ро^ — Айг-у)с,-V».

г=2 ¿=1

Умножим это равенство слева А, получим

АСм = (А — АВ)«м.

Следовательно, «м = Ад См, и, в силу инвариантности подпространства М относительно

Ад, имеем См £ М. Теперь второе уравнение в системе (3.13) запишем в виде

рр

— Айг-у )с,- V» = —См + ?(£,я), (3.14)

г=2 ¿=1

где = А-См + АаррсрА-В^р не зависит от А. Подействуем на обе части уравнения

(3.14) отображением $о. С учетом свойства 0.5 получим

( — Аар-1р-1ср-1 + (арр — Аар-1р)с^ = — 5о См +

В силу свойства 0.4 БоОм = 0. Далее, Бод(г,х) и Боьр не зависят от Х, в результате элементы Хар-1р-1, (арр — Хар-1р) также не зависят от Х.

При применении Б1 слева к обеим частям уравнения (3.14), с учетом свойств 0.4, 0.5 получим, что элементы Хар-2р-2, (ар-1р-1 — Хар-2р-1), (ар-1р — Хар-2р) не зависят от Х. Аналогично, при применении Бг, г = 1, 2,... ,р — 2, слева к обеим частям уравнения (3.14), с учетом свойств 0.4, 0.5 получим, что элементы Хap—г—1p—г—1, (ap—гp—j — Хap—г—1p—j), ] = 0,1,... ,г, не зависят от Х. □

Согласно лемме 3.2 можем обозначить

Хагг = Тг, ( — Хаг]+1 + aг+1j+1) = Сг]+1, (3.15)

где 'Уг, (г]+1 — это числа ( г = 1,... ,р, г = 1,... ,р — 1, ] = г,... ,р — 1). Из (3.11) и (3.15) следует, что система (3.6), (3.7) записывается в виде

дс

дх = 7рср + Фр, (3.16)

дх = Ц+Т + 1гСг + £ ^с] + ф*> (г = 1,...,р — 1). (3.17)

]=г+1

Из (2.1), (3.1) при х = 0 получим

сг(г,0) = фг(г) (г = 1,...,р). Поэтому решение уравнения (3.16) с условием ср(г, 0) = фр(г) имеет вид

¡•х

ср(г,х)= ехр (тр(х — т))Фр(г,т)Ст + ехр('Урх)'фр(г), (3.18)

о

Затем выражение (3.18) подставляется в уравнение (3.17) при г = р — 1, чтобы получить ср-1(г,х). Этот процесс повторяется для г = р — 2,р — 3,... , 1, и таким образом, определяются все элементы сг(г,х).

Решение уравнения (3.17) с условием сг(г, 0) = фг(г) для г = 1,... ,р — 1, имеет вид

[Х (дс++\ \

сг(г,х) = у ехр (уг(х — т))1 (г,т) + гг(г,т)) Ст + ехр^х)^),

р

где гг(г,т) = ^ с](г,т) + Фг(г,т). ]=г+1

Рассмотрим случай СгтКегЛ = п > 1. Согласно свойству 0.3 р — это максимальная длина цепочек В -присоединенных элементов для оператора Л. Операторы

Л] : КегЛ^ СокегЛ

являются конечномерными и задаются соответствующими квадратными матрицами, т. е. являются фредгольмовыми. Таким образом, выполнено

KeгЛj—1 = СогтЛ] ф КегЛ],

СокегЛ3-1 = 1тЛ] ф СокегЛ], ] = 1, 2, 3,...,р — 1.

Обозначим длину В -жордановой цепочки элемента из СогтА? через , имеем

Р <Р+ь

Пусть {г?} —элементы В -жордановых цепочек к элементам г? ядра оператора А, т. е. выполнены соотношения

Агг = 0, Аг? = Вг^ (^ = 2,...,р),

и уравнения А^ = Вгр} не разрешимы относительно 7. Введем следующие обозначения: N = 11п{г|}, N — прямая сумма подпространств N, Р? — проектор из N на N7 (= 1, 2, ...,п), Р = ^П=1 Рг. В силу (0.10) имеем

г? = 0, г = 0,1,...,р — 1, г + г < р.

Согласно соотношениям (3.1)-(3.4)

п V} п V}

Рм(*,х) = ££ с? (*,*)«?, Р^) = ££ $ (*)«?,

7=1 г=1 7=1 г=1

п р}

Р (А — АВ )-1/(*,х) = ££ / (*,*)«?', (3.19)

7=1 г=1

п р} р }

Р(А — АВ)-1СРм = £ £ £ йкск(*, ,

7=1 г=1 к=1

где 7 = 0 ^ > к ^ = ^(А) е С. Аналогично решается задача (1.4) с условием

с^, 0) = г =1, 2,...,р?, ^ = 1,...,п,

и ее решение имеет вид

¡•X

ср.(£,х)=/ ехр (тр.(х — т))фр,.(^,т)«т + ехр(7р.яШ.^ = 1,...,п (3.20)

о

гх (дс7 \

сг(*,х) = у ехр (77(х — т))( (*,т) + (*, т)) «т + ехр (т7х)^7(*), (3.21)

г = 1,..., р7 — 1, = 1,..., п,

причем выполнены соотношения

А/р} = фр} (*,*), а/7 — /г+1 = Ф7 (¿,х),

АаГг = 7Г , ( —Аа7к+1 + а7+1к+1) = — Сг7г+]

р}

(¿,т )= X] 7 4 (¿,т ) + Ф7 (*,Т ),

к=г+1

где 7Г , Стг+1 е C, г = ^ . . . ^, г = ^ . . . ^ — 1, к = г, . . . ,Р7 — 1.

Итак, имеет место следующее утверждение.

Лемма 3.3. Пусть оператор Р(Л — ХВ)-1С, действующий на подпространство Ы, является верхним треугольным оператором, 7(г,х) непрерывно дифференцируема р — 1 раз по г и х, ф(г) непрерывно дифференцируема р — 1 раз. Тогда решение задачи (1.4), (2.1) существует, единственно, не зависит от Х и определяется из соотношений (3.20), (3.21).

Пусть оператор Р(Л — ХВ)-1С действующий на подпространство N является верхним треугольным оператором, и 7(г,х) непрерывно дифференцируема р — 1 раз по г и х, и ф(г) - непрерывно дифференцируема р — 1 раз. Тогда решение задачи (1.4), (2.1) существует, единственно, не зависит от Х и определяется из соотношений (3.20), (3.21).

Замечание 3.1. Условия гладкости функций 7 (г,х) и ф(х) можно ослабить за счет того, что от разных их компонент в N требуется разная гладкость.

4. Решение задачи в дополнительном подпространстве М

Вследствие обратимости оператора Л\ на подпространстве М, уравнение (1.5) приводится к виду:

-1

д(п(г,х) Я — Ах д(п(г,х) ~ 1,п ^ ,

—дг— = —х--дх— + л^ Я(Л — ХВ) {Сп + 7(г,х)). (4.1)

Так как п(г,х) не зависит от Х и, в силу леммы 3.3, Рп не зависит от Х, из (1.2) следует, что решение Яп уравнения (1.5) в подпространстве М также не зависит от Х. Из свойств

Я Л -1

0.3 и 0.4 получаем, что оператор ---= Тр в уравнении (4.1) не зависит от Х.

Лемма 4.1. Оператор Ах Я (Л — ХВ)-1 не зависит от Х.

Доказательство. В уравнении (4.1) слагаемые

-1

д(п(г,х) Я — лЛ-х д(п(г,х) дг Х дх

не зависят от Х, поэтому в силу уравнения (4.1) вектор-функция

Лх-1Я(Л — ХВ )-1 (Сп(г, х) + 7 (г, х)) не зависит от Х. Из того, что Сп(г,х) и 7(г,х) не зависят от Х, следует что

Лх Я (Л — ХВ )-1

также не зависит от Х . □

Согласно лемме 4.1 уравнение (4.1) может быть записано в виде

-1

д(п(г,х) Я — Ах д(п(г,х) ^^ ^^--д^ + к(г,х), (42)

к(г,х) = Лх 1Я(Л — ХВ )-1(Сп + 7 (г,х)

Положим

Ал 1д(А — АВ )-1 (СРм + / (Ь, ж)) = ж). Уравнение (4.2) эквивалентно уравнению

дОмМ = Тр + !л-1д(А — АВ)-1СОм(Ь, ж) + Ь(Ь, ж). (4.3)

-1 -1

Заметим, что если операторы Ал и Ал О(А — АВ) СО коммутируют, то уравнение (4.3) разрешимо.

Лемма 4.2. Если операторы О(А — АВ)-1 СО и О(А — АВ)-1АО коммутируют, то коммутируют и операторы Ал , Ал О(А — АВ)-1С^.

Доказательство. Воспользуемся очевидным равенством

О(А — АВ)-1СО = О(А — АВ)-1СОАл^л-1.

Из предположений доказываемой леммы следует

О(А — АВ)-1СО = АлО(А — АВ)-1 С^Ал-

Умножив последнее уравнения на (Ал )2, получим

1 1 1 1 А л Ал О(А — АВ)-1СО = Ал О(А — АВ)-1С^Ал .

□

Решение задачи в подпространстве М является решением уравнения (4.3) с условием (2.2). Введем переменные

С = Ь, П = Тр£ + ж^1,

таким образом,

ддм ддм + т ддм ддм ддм дЬ д£ р дп ' дж дп Используя приведенные соотношения в (4.3), получаем

ддм = нлм(/ П) + П) П = пП_ТЬ Н = ААВ-1' дЬ

откуда

Н^м^ ,П) + ,П) , П = пО — Тр Ь , Н = Ал д(А — АВ )-1СО ,

Ом(Ь, ж) = ехр(НЬ)ф(ТрЬ + ж^)+ / ехр (Н(Ь — в))й(в,Тр(Ь — 5) +

о

где

ф(ТрЬ + жО) = Ом(0,ж).

Решение задачи (4.3), (2.2) опирается на спектральные свойства линейного ограниченного оператора (см. [17]). Пусть Г — замкнутый спрямляемый контур, окружающий спектр оператора жО + (Ь — в)Тр, 0 ^ в ^ Ь. Справедливо следующее утверждение.

£

Лемма 4.3. При выполнении предположений леммы 4.2 решение Яп(г,х) задачи (1.5), (2.2) с аналитическими вектор-функциями ф(х) и Н(г,х) существует. Решение имеет вид

Qu(t, x) = - j) exp(Ht) (tTp + (x - j)Q) 1ф(р) dj

— -—: I ф exp (H(t — s))((t — s)Tp + (x — j)Q) 1h(s,j) dsdj. J0 Jr

4.4)

1

Из результатов, полученных в предыдущих пунктах, следует, что справедлива следующая теорема.

Теорема 4.1. Пусть выполнено Р(Л — ХВ)-1С( = 0, операторы Я(Л — ХВ)-1С( и Я (Л — ХВ)-1 ЛЯ коммутируют, оператор Р (Л — ХВ )-1СР является верхним треугольным оператором, ф(г), 7(г,х) — аналитические вектор-функции по г, ф(х), 7(г,х) — аналитические вектор-функции по х. Тогда решение п(г, х) уравнения (0.1) с условиями (2.1), (2.2) существует, единственно и определяется формулами (1.2), (3.19), (3.20), (3.21) и (4.4).

References

[1] S. P. Zubova, A. H. Mohamad, "Analytical solution for descriptor system in partial differential equations", Computational Methods for Differential Equations (CMDE), 9:2 (2021), 467-479.

[2] Ф.Р. Гантмахер, Теория матриц, ФИЗМАТЛИТ, М., 2010. [F.R. Gantmacher, The Theory of Matrices, FIZMATLIT, M., 2010 (In Russian)].

[3] С. П. Зубова, К. И. Чернышов, "О линейном дифференциальном уравнении с фредгольмовым оператором при производной", Дифференциальные уравнения и их применение, 1976, №14, 21-39; англ. пер.^.Р. Zubova, K.I. Chernyshov, "On the linear differential equation with a Fredholm operator at a derivative", Differential Equations and Their Application, 1976, № 14, 21-39 (In Russian).

[4] С. П. Зубова, Свойства возмущённого фредгольмовского оператора. Решение дифференциального уравнения с фредгольмовским оператором при производной, Воронеж, Воронежский гос. ун-т, 1991, 17 с. [S.P. Zubova, Properties of the Perturbed Fredholm Operator. Solution of a Differential Equation with a Fredholm Operator at the Derivative, Voronezh State University, 1991 (In Russian), 17 pp.]

[5] Математическая энциклопедия. Т. 3, ред. И.М. Виноградов, Советская энциклопедия, Москва, 1982, 592 с. [ Encyclopedia of Mathematics. V. 3, ed. I. M. Vinogradov, Publishing House "Soviet Encyclopedia", Moscow, 1982 (In Russian), 592 pp.]

[6] С. П. Зубова, "Решение однородной задачи Коши для уравнения с нетеровым оператором при производной", Доклады АН, 428:4 (2009), 444-446. [S.P. Zubova, "Solution of the homogeneous Cauchy problem for an equation with a Fredholm operator at the derivative", Reports of the Academy of Sciences, 428:4 (2009), 444-446 (In Russian)].

[7] С. П. Зубова, Сингулярное возмущение линейных дифференциальных уравнений, неразрешенных относительно производной, дисс. ... канд. физ.-матем. наук, Воронеж, 1973. [S. P. Zubova, Singular Perturbation of Linear Differential Equations Unsolved with Respect to the Derivative, diss. ... cand. phys.-math. sciences, Voronezh, 1973 (In Russian)].

[8] B.L. Stevens, F.L. Lewis, Aircraft Control and Simulation, Wiley-Interscience, New York, 2004, 640 pp.

[9] A. Kumar, P. Daoutidis, "Feedback control of nonlinear differential-algebraic equation systems", American Institute of Chemical Engineers, 41:3 (2018), 619-636.

[10] D. G. Luenberger , A. Arbel, "Singular dynamic Leontief systems", Econometrica, 45:4 (1977), 991-995.

[11] M. Bodestedt, C. Tischendorf, "PDAE models of integrated circuits and index analysis", Mathematical and Computer Modelling of Dynamical Systems, 13:1 (2007), 1-17.

[12] О. В. Бормотова, В. Ф. Чистяков, "О методах численного решения и исследования систем не типа Коши-Ковалевской", Журн. вычисл. матем. и мат. физики., 44:8 (2004), 1380-1387; англ. пер.:О.У. Bormotova, V.F. Chistyakov, "On methods of numerical solution and study of systems not of the Cauchy-Kovalevskaya type", Comput. Math. Math. Phys., 44:8 (2004), 13061313.

[13] И. Ц. Гохберг, М. Г. Крейн, Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов, Наука, М., 1965. [I.Ts. Gokhberg, M. G. Kerin, Introduction to the Theory of Linear Non-self-Adjoint Operators, Nauka Publ., Moscow, 1965 (In Russian)].

[14] Ф.В. Аткинсон, "Нормальная разрешимость линейных уравнений в нормированных пространствах", Математический сборник, 28(70):1 (1951), 3-14. [F.V. Atkinson, "Normal solvability of linear equations in normed spaces", Mathematical Collection, 28(70):1 (1951), 3-14 (In Russian)].

[15] А. Д. Баев, С. П. Зубова, В. И. Усков, "Решение задач для дескрипторных уравнений методом декомпозиции", Вестн. Воронеж. гос. ун-та. Сер. Физика, математика, 2013, №2, 134140. [A.D. Baev, S.P. Zubova, V.I. Uskov, "Solving problems for descriptor equations by the decomposition method", Proceedings of Voronezh State University. Series: Physics. Mathematics, 28(70):2 (2013), 134-140 (In Russian)].

[16] С. П. Зубова, В. И. Усков, "Решение задачи Коши для дескрипторного уравнения в случае двухшаговой декомпозиции", Вестник ИЖГТУ имени М. Т. Калашникова. Серия: математика, 2015, №1(65), 120-122. [S.P. Zubova, V.I. Uskov, "Solving the Cauchy problem for descriptor equation in case of two-step decomposition", Bulletin of Kalashnikov ISTu. Series: Mathematics, 2015, № 1(65), 120-122 (In Russian)].

[17] С.Г. Крейн, Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве, Наука, М., 1967. [S.G. Kerin, Linear Differential Equations in Banach Space, Nauka Publ., Moscow, 1967 (In Russian)].

Информация об авторе

Мохамад Абдулфтах Хосни, аспирант. Воронежский государственный университет, г. Воронеж, Российская Федерация. E-mail: [email protected] ORCID: http://orcid.org/0000-0003-1087-0512

Поступила в редакцию 09.04.2021 г. Поступила после рецензирования 01.06.2021 г. Принята к публикации 10.06.2021 г.

Information about the author

Abdulftah H. Mohamad, Post-Graduate Student. Voronezh State University, Voronezh, Russian Federation. E-mail: [email protected] ORCID: http://orcid.org/0000-0003-1087-0512

Received 09.04.2021 Reviewed 01.06.2021 Accepted for press 10.06.2021