CC BY
9MATHEMATICAL SCIENCES
УДК 517.922
REGULARIZATION OF AN ALGEBRO-DIFFERENTIAL FIRST-ORDER EQUATION WITH A FREDHOLM OPERATOR IN THE DERIVATIVE
Uskov V.
candidate ofphysical and mathematical sciences, Assistant of department of mathematics,
Voronezh State Forestry University named of G.F. Morozov
РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ АЛГЕБРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА С ФРЕДГОЛЬМОВЫМ ОПЕРАТОРОМ ПРИ ПРОИЗВОДНОЙ
Усков В.И.
кандидат физико-математических наук, Ассистент кафедры математики, Воронежский государственный лесотехнический университет им. Г. Ф. Морозова
Abstract
We consider a first-order algebraic differential equation with an irreversible operator at the derivative. The equation is resolved relative to the derivative by the decomposition method. The case of a Fredholm operator with zero index and a multidimensional kernel is considered. To solve the problem, a result was obtained on splitting the linear equation into equations in subspaces. The results can be applied in the study of problems for degenerate systems.
Аннотация
Рассматривается алгебро-дифференциальное уравнение первого порядка с необратимым оператором при производной. Уравнение разрешается относительно производной методом декомпозиции. Рассматривается случай фредгольмова оператора с нулевым индексом, имеющего многомерное ядро. Для решения задачи получен результат о расщеплении линейного уравнения на уравнения в подпространствах. Полученные результаты могут применяться при исследовании задач для вырожденных систем.
Keywords: first-order algebra-differential equation, Fredholm operator, multidimensional kernel, regulari-zation.
Ключевые слова: алгебро-дифференциальное уравнение первого порядка, фредгольмов оператор, многомерное ядро, регуляризация.
ВВЕДЕНИЕ
Рассматривается алгебро-дифференциальное уравнение первого порядка:
dx
A— = Bx(t) + F(t), (1)
где A, В - замкнутые линейные операторы, вообще говоря, неограниченные, действующие из банахова пространства Е1 в банахово пространство Е2, dom A = dom В = Е±; A - фредгольмов оператор с нулевым индексом; F(t) - заданная достаточно гладкая функция со значениями в Е2.
Уравнением (1) описываются динамическая модель Леонтьева выпуска валовой продукции [1], состояние лесопромышленной системы (дифференциальные уравнения Колмогорова) [2], явления тепло- и влагопереноса и т.д.
Свойство [3]. Фредгольмов оператор с нулевым индексом (далее Ф0-оператор) A: Е1 ^ Е2 вполне определяется свойством:
1) Е1 = Ker A ® Coim A, Е2 = Coker A ® Im A;
2) dim Ker A = dim Coker A < те;
3) сужение A = A|Coim ¿ndom A имеет ограниченный обратный A-1.
1. РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ
Рассматривается уравнение
Ax = у, (2)
где А - линейный замкнутый Ф0-оператор, действующий из банахова пространства Е1 в банахово пространство Е2, х Е Е1П dom А, у Е Е2.
Вводятся: Р - проектор на подпространство Ker А, Q - проектор на подпространство Coker А, А- = A-1(I - Q) - полуобратный оператор.
В частном случае одномерного ядра результат получен в кандидатской диссертации д. ф.-м. н. Зубовой С.П. (1973) и в работе [4].
Лемма. Уравнение (2) равносильно системе: х = А-у + Рх для любого Рх Е Ker А, (3)
Qy = 0. (4)
Рассмотрим случай: dim Ker А = п. В подпространстве Coker А вводится скалярное произведение <•,•> так, что
<<pi,(pj>= 813. (5) Элемент Qy Е Coker А разложим по базису
Qy = ^dkpk.
k=1
Вычислим коэффициенты йк в последнем разложении. Применив поочередно функционалы <• >, ] = 1,2, ...,п, к элементу Qy, с учетом (5), имеем:
< Qy,<Pj >=< ^ dk9k,9j >
k=1
n
= ^dk< Pk,Pj > =
k = 1
^dk< P^ Pj >=^dk< P^ Pj > + dj < Pj, Pj
k=1
k*j >= d
Следовательно,
Qy = ^ < Qy,Pk >
Pk.
k=1
Из последнего равенства и равенства (4) вытекают соотношения:
<Qy,Pk>= 0,к = 1,2, ...,п.(6)
Таким образом, получен следующий результат.
Теорема 1. Пусть выполнено условие (5). Тогда уравнение (2) равносильно системе (3) и (6).
2. РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ УРАВНЕНИЯ (1)
Рассмотрим случай: dim Ker4 = п. Разложим элемент ядра Рх по базису е1,е2,... ,en:
Рх = ^ckek.
Пусть Д^ - алгебраическое дополнение элемента в этой матрице.
Пусть выполнено следующее условие. Условие 2. detД ^ 0. В этом случае оператор Д обратим. Вводятся следующие обозначения:
п
К = ^ку^д^о,^^)
¿=1
п =1
Система (9) имеет единственное решение, равное
сЛ0 = Ккх(ь) + Фк(0,к = 1,2, ...,п. (10) Подставив выражение (10) в (7), получим искомое уравнение:
йх
— = Тх(Ь) + Ф(Ь), (11)
d
к=1
В силу теоремы 1 уравнение (1) равносильно системе:
п
-Х = А-(Вх(1) + Р(1))+^Ск(1)ек, (7)
к=1
< Q(Вх(t) + Р&)), р, >= 0,] = 1,2,..., п, (8) где функции ск (Ь) надлежит найти. Пусть выполнено следующее условие. Условие 1. Функции < QР(t), р^ > дифференцируемы.
Вводятся следующие обозначения: О = -< QВА-В(•),<pj >, й
Р&) = -< QВА-Р(t),pj >~г< QР(t),фj >,
йу =< QВеi,(pj >. Продифференцируем соотношения (8) по £ и подставим выражение (7). Получим систему относительно с к ( Ь):
п
^ с, (1)йч = ЦхЮ + Р] (I),} = 1,2.....п. (9)
¿=1
Вводится матрица
Д = (йц)Л,] = 1,2.....п.
в обозначениях:
п
Т=А-В + ^Кк()ек,Ф(1)
к=1
п
= А-Р(1) + ^Фк(1)ек.
к=1
Таким образом, получен следующий результат.
Теорема 2. Пусть выполнены условия 1, 2. Тогда уравнение (1) равносильно уравнению (11) и условиям (8).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:
1. Экономико-математические модели и методы / Под общей ред. А.В. Кузнецова. - Мн.: БГЭУ, 2000.
2. Игнатенко В.В., Турлай И.В., Федоренчик А.С. Моделирование и оптимизация процессов лесозаготовок: учебное пособие для студентов специальности «Лесоинженерное дело». Мн, БГТУ. -2004.
3. Никольский С.М. Линейные уравнения в линейных нормированных пространствах // Изв. АН СССР. Сер. матем. - 1943. - Т. 7, вып. 3. - С. 147-166.
4. Зубова С.П., Усков В.И. Асимптотическое решение задачи Коши для уравнения первого порядка с малым параметром в банаховом пространстве. Регулярный случай // Математические заметки. - 2018. - Т. 103, вып. 3. - С. 393-404.
