ИССЛЕДОВАНИЕ ЖЕСТКОСТИ АЛГЕБРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ ПЕРВОГО ПОРЯДКА С ВОЗМУЩЕНИЕМ В ПРАВОЙ ЧАСТИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Том 26, № 134 © Усков В.И., 2021

Б01 10.20310/2686-9667-2021-26-134-172-181 УДК 517.928+517.956

Исследование жесткости алгебро-дифференциальной системы первого порядка с возмущением в правой части

Владимир Игоревич УСКОВ

ФГБОУ ВО «Воронежский государственный лесотехнический университет им. Г.Ф. Морозова» 394087, Российская Федерация, г. Воронеж, ул. Тимирязева, 8

Study of rigidity of a first-order algebro-differential system with perturbation in the right-hand side

Vladimir I. USKOV

Voronezh State University of Forestry and Technologies named after G.F. Morozov 8 Timiryazeva St., Voronezh 394087, Russian Federation

Аннотация. Исследуется жесткость динамической системы, описываемой дифференциальным уравнением первого порядка с необратимым оператором при старшей производной. Система возмущена операторной добавкой порядка второй степени малого параметра. Определяются условия, при которых система робастна относительно этих возмущений и условия, при которых влияние возмущений значительно, для чего выводится уравнение ветвления. С помощью него устанавливается вид функций погранслоя. В качестве примера исследуется начально-краевая задача для системы уравнений в частных производных со смешанной второй частной производной, встречающейся при изучении процессов сорбции и десорбции газов, процессов сушки и т. д.

Ключевые слова: жесткость, динамическая система, дифференциальное уравнение первого порядка, сингулярное возмущение, малый параметр, 0-нормальное собственное число, функция погранслоя, уравнение ветвления

Для цитирования: Усков В.И. Исследование жесткости алгебро-дифференциальной системы первого порядка с возмущением в правой части // Вестник российских университетов. Математика. 2021. Т. 26. № 134. С. 172-181. DOI 10.20310/2686-9667-2021-26-134-172181.

Abstract. The rigidity of a dynamical system described by a first-order differential equation with an irreversible operator at the highest derivative is investigated. The system is perturbed by an operator addition of the order of the second power of a small parameter. Conditions under which the system is robust with respect to these disturbances are determined as well as conditions under which the influence of disturbances is significant. For this, the bifurcation equation is derived. It is used to set the type of boundary layer functions. As an example, we investigate the initial boundary value problem for a system of partial differential equations with a mixed second partial derivative which occurs in the study of the processes of sorption and desorption of gases, drying processes, etc.

Keywords: rigidity, dynamical system, first-order differential equation, singular perturbation, small parameter, 0-normal eigenvalue, boundary layer function, bifurcation equation

Mathematics Subject Classification: 34D05, 35A24, 35B20

For citation: Uskov V.I. Issledovaniye zhestkosti algebro-differentsial'noy sistemy pervogo poryadka s vozmushcheniyem v pravoy chasti [Study of rigidity of a first-order differential

2021

system with perturbation in the right-hand side]. Vestnik rossiyskikh universitetov. Matematika - Russian Universities Reports. Mathematics, 2021, vol. 26, no. 134, pp. 172-181. DOI 10.20310/2686-9667-2021-26-134-172-181. (In Russian, Abstr. in Engl.)

Введение

Рассматривается задача Коши для динамической системы, описываемой дифференциальным уравнением

ли

= + еС + е2О)и(Ь,е), (0.1)

и(Ь°,е) = и°(е), (0.2)

где А, В, С, О — замкнутые линейные операторы, действующие в банаховом пространстве Е(М), ёош А = Е, ёош В = Е, ёош С = Е, ёош О = Е ; и(Ь,е) € Е —искомая функция; и°(е) € Е — голоморфная в окрестности точки е = 0 функция; Ь € Т = [Ь°; Ьтах]; е € Е = (0; е°) — малый параметр.

Оператор А обладает свойством иметь 0 нормальным собственным числом (далее, 0-КЕУ-свойством).

Уравнение (0.1) с вырожденным оператором при старшей производной называется алгебро-дифференциальным. Динамическая система, описываемая этим уравнением, не является жесткой. Одним из важнейших свойств таких динамических систем является свойство чувствительности системы даже к незначительным возмущениям параметров.

Возмущениями, вызываемыми наличием малого параметра при операторных коэффициентах, занимались многие авторы: М. М. Вайнберг и В. А. Треногин (см. [1]), С. Г. Крейн (см. [2]) и С. П. Зубова и К. И. Чернышов (см. [3]). Жесткость динамической системы вида (0.1) с фредгольмовым оператором А, имеющим одномерное ядро, с более простой правой частью (В + еС) изучена в работе [4], а в работе [5] построено асимптотическое разложение решения по степеням параметра е.

Возможно следующее поведение решения и(Ь,е) при е ^ 0.

a) Равномерная сходимость на Т решения и(Ь,е) задачи Коши (0.1), (0.2) к решению и(Ь) предельной задачи Коши:

Аш = Ви<Ь)

и(Ь°) = и°.

Это означает, что система жесткая (робастна по отношению к возмущению еС + е2О), т. е. изменение параметра е мало меняет само решение.

Определение 0.1. Ограниченная функция ^(Ь,е) называется функцией по-гранслоя вблизи точки Ь = Ь°, если ^(Ь, е) равномерно (по норме в банаховом пространстве Е) стремится к 0 на [¿'; Ьтах] при каждом Ь € (Ь°; Ьтах) и не стремится равномерно к 0 на Т.

Данное определение функции погранслоя обобщает определение, приведенное в работе [6] в случае Ь° = 0.

b) Явление погранслоя вблизи точки Ь = Ь° :

и(Ь, е) = и(Ь) + ^(Ь, е),

где ^(Ь,е) — функция погранслоя вблизи Ь = Ь°. Этот случай возникает, когда вблизи (в пограничном слое (Ь°; £')) начальной точки решение сильно изменяется.

Остальные случаи:

c) lim ||u(t,e)|| = то или £—

d) предел u(t,e) не существует.

Это критические случаи, когда малое изменение параметра приводит к такому сильному изменению решения в пограничном слое, что может разрушить систему.

Явление погранслоя имеет место при выполнении некоторых условий регулярности вырождения. В работе [7] в качестве примера исследуется динамическая модель Леонтьева выпуска валовой продукции. Невыполнение условий регулярности вырождения влечет за собой расхождение между планируемым объемом производства (е = 0) и полученным на практике.

Цель данной работы — исследовать жесткость динамической системы (0.1), (0.2) и определить, при каких условиях на операторные коэффициенты уравнения имеют место случаи a)-d) поведения решения. Для этого в работе получено уравнение ветвления, позволяющее определить вид функций погранслоя.

В качестве примера рассматривается система уравнений в частных производных со старшей смешанной второй частной производной. Такие уравнения встречаются при изучении процессов сорбции и десорбции газов, процессов сушки и т. д. (см. [8]). Для ее исследования вводится матрично-дифференциальный оператор первого порядка. В работе [9] доказано, что он обладает O-NEV-свойством. С применением этого свойства устанавливается, что при некоторых условиях на числовые коэффициенты система является жесткой.

1. Необходимые сведения

Пусть A : E ^ E — линейный оператор, обладающий O-NEV-свойством. Это свойство влечет разложение E = M ф N, где N — корневое подпространство, элементов ei, отвечающих нулевому собственному числу, а M — инвариантное подпространство и такое, что сужение A оператора A на M имеет ограниченный обратный A-1 (см. [10]).

Рассматривается частный случай оператора A, обладающего двумерным ядром (n = 2) без присоединенных элементов к элементам ядра, т. е. N = Ker A. В подпространстве N вводится скалярное произведение <,> так, что

f 0, если i = j, <ei,ej >=<,' ..

[1, если i = j.

Элемент ядра z раскладывается по базису e1, e2 :

z = ciei + C2e2. (1.1)

Пусть P — проектор на N, Q — проектор на M. Вводится полуобратный оператор H = A-1 Q : M ^ M.

Имеет место следующее утверждение, доказанное в работе [7].

Лемма 1.1. Линейное уравнение

Av = w, v £ dom A, w £ E,

равносильно системе

v = Hw + z для любого z £ Ker A, <Pw,ej >=0, j = 1, 2.

Далее, вводится определитель-функция

7п(х,У) /12 (Х у)

Р(Х,У)=абЧ/21 (X, у) /22 (X, у) где все функции /¿у достаточно гладкие. Обозначим

/ /11 /12 \

^¿2 (х,У) = ^

дХ1ду2 дХ1 ду2

дт—¿1+п—¿2 д™—¿1+п—¿2

/Ы _ П

п

г!(те — г)!

\5жт—¿1дуп—¿2 дхт—¿1дуп—¿2 / Имеет место следующее утверждение о дифференцировании определитель-функции. Теорема 1.1. Частная производная определитель-функции вычисляется по формуле

д т+п^

^ ] Стсп2^¿^(х,у)-

дхтдуп

* ¿1,12=0

Это утверждение достаточно очевидно доказывается методом математической индукции по т, п.

Далее, введем определитель-функцию

С(х,у) = ае1 , (1.2)

где ^¿у —многочлены по степеням х, у с постоянными коэффициентами 7Г/, т.е.

те

(х,у) = X] у'.

г,«=0

Из теоремы 1.1 получаем следующее утверждение

Следствие 1.1. Функция (1.2) является суммой ряда Маклорена

С(ж,у) = X Сг«Жгу«

с коэффициентами

' Г«»-1

г,«=0

^¿2 ^¿2 /11 /12

^Г« ^ ^ 1 Г — ¿1—¿2 Г — ¿1,«—¿2

¿1 ,¿2 =0 V721 722

2. Уравнение ветвления

Для вывода уравнения ветвления сделаем подстановку

е) = ехр((£ — ¿0)/А)г>(е)

в (0.1), где А = А(е) — числа, достаточно малые по модулю, отличные от нуля, ■и(е) — равномерно ограниченная функция и г>(е) = 0. Эта подстановка приводит к спектральному уравнению

4и(е) = А(В + еС + е2Е)^(е).

В силу леммы 1.1 оно равносильно системе

(/ - ЛЯ (В + еС + е2В)Це) = г, г = 0, (2.1)

<Р(В + еС + е2В)^(е),е3 >= 0, ^ = 1, 2. (2.2)

Пусть в дальнейшем выполнены следующие условия.

Условие 2.1. Операторы РВ, РС, РВ, ЯВ, ЯС, ЯВ ограничены.

Условие 2.2. Числа Л таковы, что при каждом е Е Е выполнено

0 < ||ЛЯ(В + еС + е2В)|| < 1.

Тогда оператор (/ — ЛЯ (В + еС + е2В)) обратим; выразив ■и(е) из (2.1) и подставив в (2.2), получим систему

< Я(Л,е)г,е3 >=0, ] = 1, 2, (2.3)

где ( )

В(Л,е) = Р (В + еС + е2 В)(/ — ЛЯ (В + еС + е2В))-1. Представив оператор (Я(В + еС + е2В))п в виде

2п

(Я(В + еС + е2В))п = ^ е*Я(п), п = 0,1,...,

«=0

запишем оператор В(Л,е) в виде ряда

те

В(Л, е) = ^ Л3егВ^г

1,3=0

в обозначениях

Воо = РВ, Во1 = РС, Во2 = РВ, Воз = 0, ^ = 3,4,...,

Во = РВЯоз) , пя = РВЯ 13) + РСЯоз) ,

3 = РВЯ(3) + РСЯЙ + РВЯ*—, ^ = 1, 2,..., г = 2, 3,..., 2^',

^3,23+1 = РСЯ3 + РВЯ23-1, ^3,23+2 = рвя3 Вц = 0, ^ = 1, 2, 3,..., г = 2 + 3, 2^' + 4,....

Подстановка разложения (1.1) для г в равенства (2.3) приводит к системе

с1 < В(Л, е)е1, е3- > +с2 < В(Л, е)е2, е3- >= 0, = 1, 2.

Определитель А = Д(Л,е) этой системы равен 0, так как иное влечет равенства с1 = с2 = 0, а значит, г = 0, что противоречит (2.1). Таким образом, получаем уравнение

=< ^(А,е)е1,е1 > < ^(А,е)е2,е1 ^ = о,

\< Д(А,е)б1,б2 > <Д(А,е)е2,в2 >)

являющееся искомым уравнением ветвления. Разложив выражение Д(А,е) с применением следствия 1.1, перепишем это уравнение в виде:

те

обозначениях

где

Д(А,е) = X Дг«Аге« = 0 (2.4)

г,«=0

¿1 ¿2 ¿1 ¿2

Д = V ®11 ■ ^12 • (25

Г« / у I >Г —¿1,«—¿2 ;Г—¿1,«—¿2 I 1

>Г — ¿1,«—¿2 1 ¿1 ,¿2=0 ^21 ¿22

С =< Д^г ,е« >. (2.6)

в

3. Решение уравнения ветвления

Рассмотрим уравнение ветвления (2.4)-(2.6). Для его решения применяется диаграмма Ньютона (см. [11]). Возможны следующие случаи.

Случай 1. Д00 = 0.

В этом случае имеет место асимптотическое представление Д(А,е) при е ^ 0

Д(А,е) = Д00 + О(е),

где О(е) вмещает в себя нормы ограниченных, в силу условия 2.1, операторов. Тогда диаграмма Ньютона вырождается в точку, что означает случай а) поведения решения. Далее, пусть выполнено следующее условие.

Условие 3.1. Справедливо неравенство

Д10 = 0.

Случай 2. Существует такое натуральное число 5, что Д^ = 0, г = 0,1,..., 5 — 1,

Д0« = 0.

В этом случае имеет место асимптотическое представление Д(А,е) при е ^ 0 :

Д(А, е) = е«Д0« + 0(е«+1) + АД 10 + о(А).

В обозначении ^ = —— по диаграмме Ньютона (см. рис. 1) решение уравнения ветвления Д10

равно А = — ^е«.

Рис. 1. Диаграмма Ньютона

Подстановка в (2.1) приводит к следующему результату о поведении решения при е ^ 0.

Теорема 3.1. Пусть выполнены условия 2.1, 2.2. Пусть Доо = 0. Тогда имеет место случай а).

Теорема 3.2. Пусть выполнены условия 2.1, 2.2, 3.1 и пусть существует такое натуральное число 5, что Аш = 0, г = 0,1,..., 5 — 1, Ао^ = 0. Тогда:

1. Если ^ > 0, то выполнен случай Ь), и функции погранслоя имеют переменную т = (* — ¿о)/е*.

2. Если ^ < 0, то имеет место случай с).

4. Пример

Исследуем жесткость динамической системы

52м1 5М2

_ _ — а^— = 6ИМ1 + 612И2 + еспИ1 + ес12«2 + е ¿пи + е 812И2, джот от

52«2 2 2

■7—7- + а^— = О21И1 + О22М2 + ес21«1 + ес22«2 + е ¿21^1 + е ¿22^2, джот от

(4.1)

«1(ж,^о,е) = ^1(ж,е), М2(х,^о,е) = ^(х,е),

м1(0,^,е) = и1(2п/а, ¿, е), и2(0,£,е) = и2(2п/а, ¿,е), (4.2)

#1(0,е) = ^(Ма^), #2(0,е) = ^^а^

где а, 63, ,83 — заданные вещественные постоянные, а > 0; и = мД£,е) — искомые достаточно гладкие функции, д^(ж,е) — голоморфные в окрестности точки е = 0, г, .7 = 1, 2; х € X; £ Е Т; е ЕЕ.

Под решением задачи (4.1), (4.2) подразумеваются функции и = иДх, ¿, е) при каждом е Е (0; ео):

1) непрерывно дифференцируемые по х при каждом Ь Е Т и непрерывно дифференцируемые по Ь при каждом х Е X;

д2^(х,Ь) _ д2^(х,Ь)

2) удовлетворяющие условию

дхдЬ дЬдх

3) удовлетворяющие (4.1), (4.2) при каждых х,Ь Е X х Т.

Для исследования этой задачи введем оператор

при каждых x, t G X х T;

Л

V dx/

с областью определения

dom A = |u(x) = действующий в банаховом пространстве

Mi(x) U2(x)

^ : Ui(x) G C 1(X), u¿(0) = u¿(2n/a), i = 1, 2},

E = {u(x) = (j^)) : Ui(x) G C 1(X), i =1, 2}.

Для этого оператора построим подпространство N = Ker A = {c1e1(x) + c2e2(x)},

, N f cos ax \ , ч f sin ax\ ,, .

e1(x) = , e2(x) = , и определим проектор на N формулой

sin ax cos ax

a

P = —

2п

/ 2тг/о. 2тг/о. \

/ (■) cos(a(x — s))ds / (-)sin(a(x — s))ds о о

27г/а 27г/а

— / (-)sin(a(x — s))ds / (-)cos(a(x — s))ds

оо

Тогда полуобратный оператор запишется в виде

2тг/а

2тг/а

H12 = — (-)sin(a(x — s)) ds + — (-)s sin(a(x — s)) ds,

21

'12,

= 1, 2,

a 2n/a Í ()

J () о

a 2n/a Í ()

J 0 о

H22 = H11

Задача (4.1), (4.2) сводится к задаче вида (0.1), (0.2) с операторами A = A, B = (6^

(x, t, e)

C = (cjj), D = (ijj), i,j = 1,2, искомой вектор-функцией u(x, t,e)

U2(x,t,e)

начальной вектор-функцией u0(x,e) =

g1(x,e) g2(x,e)

Пусть выполнено следующее условие.

Условие 4.1. Имеет место неравенство 612 = 621 и выполнено хотя бы одно из неравенств: 611 = 622 или 612 = —621.

Вычисления по формулам (2.5), (2.6) показывают, что

(611 + М2 + (621 — м2

Aqq =

Д01 =

4

(bii + b22)(cii + c22) + (b2i - bi2)(c2i - C12) 2 :

Д _ (cii + C22)2 + (C2i - Ci2)2 (bii + &22)(^ii + ¿22) + (&2i - bi2)(b2i - &i2) A02 = -;--г

A

4 2

(&2i - M((&ii - M2 + (bi2 + &2i)2)

i0 = 8a *

Нетрудно видеть, что при выполнении условия 4.1 имеем A00 = 0 и Ai0 = 0. Поскольку все операторы в условии 2.1 ограничены (P, H ограничены как интегральные, B, C, D — как числовые), и выполнены условия 2.2, 3.1, то теорема 3.1 влечет результат: динамическая система (4.1), (4.2) жесткая.

References

[1] М. М. Вайнберг, В. А. Треногин, Теория ветвления решений нелинейных уравнений, Наука, М., 1969. [M. M. Wajnberg, V. A. Trenogin, Teoriya Vetvleniya Reshenij Nelinejnyh Uravnenij, Nauka Publ., Moscow, 1969 (In Russian)].

[2] С.Г. Крейн, Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве, Наука, М., 1967. [S.G. Krejn, Linejnye Differencial'Nye Uravneniya v Banahovom Prostranstve, Nauka Publ., Moscow, 1967 (In Russian)].

[3] С. П. Зубова, К. И. Чернышов, "О линейном дифференциальном уравнении с фредгольмов-ским оператором при производной", Дифференциальные уравнения и их применение, 1976, №14, 21-39. [S.P. Zubova, K.I. Chernyshov, "On a linear differential equation with a Fredholm operator at the derivative", Differential Equations and Their Applications, 1976, № 14, 21-39 (In Russian)].

[4] С. П. Зубова, Е. В. Раецкая, "Исследование жесткости дескрипторной динамической системы в банаховом пространстве", Проблемы математического анализа, 2015, №79, 127-132; англ. пер.^.Р. Zubova, E. V. Raetskaya, "A study of the rigidity of descriptor dynamical systems in a Banach space", Journal of Mathematical Sciences (New York), 208:1 (2015), 119-124.

[5] С. П. Зубова, В. И. Усков, "Асимптотическое решение задачи Коши для уравнения первого порядка с малым параметром в банаховом пространстве. Регулярный случай", Математические заметки, 103:3 (2018), 393-404; англ. пер.^. P. Zubova, V. I. Uskov, "Asymptotic Solution of the Cauchy Problem for a First-Order Equation with a Small Parameter in a Banach Space. The Regular Case", Mathematical Notes, 103:3 (2018), 395-404.

[6] С. П. Зубова, "О роли возмущений в задаче Коши для уравнения с фредгольмовым оператором при производной", Доклады Академии наук, 454:4 (2014), 383-386; англ. пер.^. P. Zubova, "The role of perturbations in the Cauchy problem for equations with a Fredholm operator multiplying the derivative", Doklady Mathematics, 89 (2014), 72-75.

[7] В.И. Усков, "Явление погранслоя в дескрипторном уравнении первого порядка с малым параметром в правой части", Проблемы математического анализа, 2020, №104, 157-162; англ. пер.УЛ. Uskov, "Boundary layer phenomenon for a first order descriptor equation with small parameter on the right-hand side", Journal of Mathematical Sciences (New York), 250:1 (2020), 175-181.

[8] А. Н. Тихонов, А. А. Жуховицкий, Я. Л. Забежинский, "Поглощение газа из тока воздуха слоем зернистого материала", Журнал физической химии, 20:10 (1946), 1113-1126. [A. N. Tikhonov, A. A. Zhukhovitsky, Ya. L. Zabezhinsky, "Absorption of gas from air flow by a layer of granular material", Journal of Physical Chemistry, 20:10 (1946), 1113-1126 (In Russian)].

[9] С. П. Зубова, Е.В. Раецкая, В. И. Усков, "Свойства вырожденности некоторого матричного дифференциального оператора и их применение", Проблемы математического анализа, 2021, №109, 97-108; англ. пер.:Я.Р. Zubova, E.V. Raetskaya, V.I. Uskov, "Degeneracy property of a matrix-differential operator and applications", Journal of Mathematical Sciences, 255:5 (2021), 640-652.

[10] И. Ц. Гохберг, М. Г. Крейн, Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов, Наука, М., 1965. [I. C. Gohberg, M. G. Krejn, Vvedenie v Teoriyu Linejnyh Nesamosopryazhennyh Operatorov, Nauka Publ., Moscow, 1965 (In Russian)].

[11] Н.Г. Чеботарев, Теория алгебраических функций, Либроком, М., 2009. [N. G. Chebotarev, Teoriya Algebraicheskikh Funktsiy, Librokom Publ., Moscow, 2009 (In Russian)].

Информация об авторе

Усков Владимир Игоревич, кандидат физико-математических наук, старший преподаватель кафедры математики. Воронежский государственный лесотехнический университет им. Г. Ф. Морозова, г. Воронеж, Российская Федерация. E-mail: [email protected] ORCID: http://orcid.org/0000-0002-3542-9662

Поступила в редакцию 26.03.2021 г. Поступила после рецензирования 17.05.2021 г. Принята к публикации 10.06.2021 г.

Information about the author

Vladimir I. Uskov, Candidate of Physics and Mathematics, Senior Lecturer of the Mathematics Department. Voronezh State University of Forestry and Technologies named after G. F. Morozov, Voronezh, Russian Federation. E-mail: [email protected] ORCID: http://orcid.org/0000-0002-3542-9662

Received 26.03.2021 Reviewed 17.05.2021 Accepted for press 10.06.2021