CC BY
25
УДК 517.929
УСЛОВИЯ РАЗРЕШИМОСТИ НАЧАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ
© A.C. Ларионов, П. М. Симонов, М. В. Шейна
Ключевые слова: система функционально-дифференциальных уравнений; дифференциальные неравенства; матрица Коши; разрешимость.
Доказываются теоремы существования и единственности решения задачи Коши для систем нелинейных функционально-дифференциальных уравнений. При доказательстве теорем существенно используется положительность матрицы Коши соответствующей линейной системы.
В основе многих теорем об оценках решений нелинейных дифференциальных уравнений лежат утверждения типа теоремы Чаплыгина (см., например, [1]). В этой теореме для скалярного уравнения х = f(t,x), t G [а, Ь] не предполагается никаких специальных ограничений на функцию /. Для системы обыкновенных дифференциальных уравнений
Xг = fi(t,x 1,...,хп), г = 1,... ,71
теорема Чаплыгина справедлива лишь при дополнительном условии неубывания функций /¿ по Xi, г = 1,... , гг.
В предлагаемой статье теорема Чаплыгина распространяется на системы дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом. При доказательстве приводимых ниже утверждений существенно используются условия положительности матрицы Коши вспомогательной линейной системы. В первой части статьи приводятся некоторые признаки положительности матрицы Коши.
1. Будем пользоваться следующими обозначениями: — пространство вектор-функ-
ций z = col {zi,..., znj с измеримыми и ограниченными в существенном компонентами Zi : [0, Ь] —> Ж.1, i — 1,..., п; АСоо — пространство таких вектор-функций х — col {.xi,..., хп\ с абсолютно непрерывными компонентами ж* : [0,6] —> К1, i = 1,..., п, что х G L^.
Рассмотрим уравнение
Сх = / (1)
с линейным вольтерровым оператором С : АСоо Loo- В предположениях, которые мы сформулируем, к виду (1) сводится система скалярных уравнений нейтрального типа
(Ax)(í) = Xi(t) - ¿ bi3(t)xjai.(t) + ¿py(i)xjhi.(t) - t G [0,6], i = 1,..., n, (2)
j=i j=i
где
u\ A / УИ*)]> если r(t) e [0,4,
^ \ 0, если r(í) ^ [0,6].
Пусть выполнены следующие условия:
1) коэффициенты bij,Pij ■ [0, 6] —> К1 измеримы и ограничены существенном на [0,6], функции Qij, htj, fi : [0,6] —> К1 измеримы; gij(t) sí t, hij(t) ^ t для почти всех t G [0,6], i,j = l,...,n;
2) функции gij удовлетворяют условию
mesv = 0 => mesgij1(v) = 0, i,j = 1,...,
n
(mes— мера Лебега, д^(у) = {t £ [0,6] : gij(t) 6 v });
3) функции gij таковы, что спектральный радиус p(S¿) операторов S¡ : Loo —► L^, определяемых равенствами
П
{Siy)(t) = 'У ' bij(t)Ujgi:j (í); г — 1, ■ ■ ■ ,п,
3=1
меньше единицы (эффективные признаки, гарантирующие оценку p(5¿) < 1, приведены, например, в [1], с. 87).
Известно [1], [2] что общее решение системы (2) в сделанных предположениях имеет представление
c(í) = J£(í)x(0) + í C(t,s)f(s) ds, Jo
где (n х п) -матрица X (t) — фундаментальная матрица, X (а) = Е, C(t, s) — матрица Коши системы (2).
Т. Важевский показал |3|, что для системы обыкновенных дифференциальных уравнений (6jj(i) = 0, hij(t) = t, t € [0,6], i,j = 1 ,...,п) условия pij(t) < 0, i ф j, i,j = 1, ...,n являются необходимыми и достаточными для неотрицательности матрицы Коши C(t,s). В работах [4], [5] теорема Важевского была распространена на системы функциональнодифференциальных уравнений (ФДУ). Ниже результаты упомянутых работ применяются для исследования вопроса разрешимости задачи Коши для систем квазилинейных ФДУ.
Будем говорить ( см. также [1], [2]), что вектор-функция £(£) = coZ{£i(i),... ,£n(i)} поло-
П t
жительна, если для почти всех t 6 [0,6] имеем £*(i) > 0, i = 1,..., n, f &(s) ds > 0;
¿=1 о
матрица A = {<%■}" положительна (A ^ 0), если aij(t) ^0, i,j = 1,..., n, для почти всех t E [0,6]; оператор T : Loo ~* Loo (T : ACqo —» Loo) изотонен (антитонен), если x(t) ^ y(t) влечет (Tx)(t) ^ (Ty)(t) ((Tx){t) ^ (Ty)(t)).
Обозначим
+ _ / P{t), если p(t) >0, . . _ f 1, если r(i) G [0,6],
0, если p(t) <0, r \ 0, если r(t) £ [0,6].
Сформулируем утверждения работы [5] о положительности матрицы Коши в удобной для дальнейшего изложения форме.
Лемма 1. Пусть bij(t)agij(t) ^ 0, i,j — 1,... ,n, Pij{t)ahi:j{t) <0, г ф j, i, j = 1,... ,n и существуют такие измеримые и ограниченные в существенном функции у* ^ 0 для
t £ [0,6], yi(t) — 0 для t < 0), что при почти всех t € [0,6] выполняются неравенства
yi{t)>Y\bij(t)yjg{t)ex р( [ yiiOdt) +Ри(*)°ыЛ*)ех р( [ Уг(О^) > *= 1,
Тогда матрица Коши системы (2) положительна для 0 si s ^ t ^ 6.
Соответствующий выбор функций yi приводит к эффективным признакам положительности матрицы Коши системы (2).
Обозначим
5 = max < vraisup(i - gij(t)), vraisup(f - hij(t)) > , i, j = 1,..., n.
[ te[0,6] iS [0,6] J
Положив Vi(t) — 4 , i = 1,..., n, получим вытекающее из леммы 1
Следствие 1. Пусть > °> i,j = l,...,n, Pij(t)ahij(t) ^ 0, i,j = l,...,n,
i ф j, и при почти всех t €Е [0, b] выполняются неравенства
1 п 1
j=i
Тогда матрица Коши системы (2) положительна при 0 ^ s ^ t ^ Ь.
В случае линейного отклонения аргументов (<7¿j(í) = |, hij{t) — ^ , к > 1, i, j = 1,... ,п ) получаем
Следствие 2.. Пусть bij{t)agij{t) ^ 0, i,j = l,...,n,Pij{t)<Thij(t)^0, i,j = l,...,n, i ф j , и при почти всех t 6 [0, Ь] соблюдаются неравенства
" 1 5^ bij it)crgij (t) + tp± (1t)ahii (t) ^ —-, i = 1,..., n.
j=i
Тогда матрица Коши системы (2) положительна при 0 ^ s ^ t ^ b.
Доказательство следствия 2 использует лемму 1 при y¿(t) = , г = 1,..., гг.
2. В этом пункте доказываются утверждения об оценках решения системы квазилинейных ФДУ.
Рассмотрим задачу Коши
п п
(CiX)(t) — Xj(t) — ^ 'bjj(t)xjgii(t) + ^ (t)xjhij (t) = • • • ixnhi„{t))i Í 6 [0)6], (3)
j=l j'=l
a;¿(0) = a¿, G M1, i = l,...,n. (4)
Пусть v,zG ACqo- Обозначим
[u, z] = {a; £ ACoo : v(t) < x(t) ^ z(í), i G [0,6]},
[ü,z]i = col{[vihil, zlhil],... ,[vnhin, znhin]}, i =
Будем предполагать (ср. [1]), что функции fi, i = 1,..., п удовлетворяют условию Llu Z(L% z), если существуют измеримые И ограниченные В существенном функции rjj(t)(rfj(t)) , такие, что операторы М/ : [v,z]i —> Loo (Л'/*2 : [w, z]¿ —> Loo), определяемые равенствами
TI
(.M¡u)(t) = fi(t,Ul(t), ...,un(t)) + ^r¿(í)uj(í)
j=1
71
({M¡u)(t) = fi(t, ui(t),..., un(t)) + rfji^Ujit)), i = 1,..., n
i=l
являются изотонными (антитонными). Без ограничения общности считаем в дальнейшем rjjit) ^ 0, r?(í) <0, i, j = 1,.. . ,п. Будем предполагать, что операторы
Mi : [в) z\i ► Lqo (М< : [и, z]¿ > Lqo)î i 1,..., я
ограничены.
Теорема 1. Пусть bij(t)crgij(t) ^ 0, i,j = 1,... ,n, Pij{t)ahi:j(t) < 0, i,j — 1,... ,п,
i ф j, и существует такая пара v,z£ ACoo, v ^ z, что выполняются функционально-диф-
ференциальные неравенства
(■£*'y)(f) ^ fi{t) vlhn (í)> ■ • ч (0)> (®)
(Ciz)(t) ^ fi{t, Zlhu{t)i ■ ■ ■ 1 znhin{t)), (®)
и*(0) < а* ^ ^(0), г = 1,...,п. (7)
Пусть, далее, функции /¿, г = 1,...,п удовлетворяют условию Ь\г с такими коэффициентами г,,7 = 1,... ,тг, -что матрица Коши С'1(£,я) системы
П
(£*)(*) +53 !Лу(*) = /<(0, * е [0,6], г = 1,..., п, (8)
¿=1
положительна при 0 ^ в ^ ^ 6 .
Тогда существует решение х €Е [г;, г] задачи (3), (4).
Если, кроме того, функции /¿, г = 1, ...,п удовлетворяют условию 1%г с коэффициен-
тами г?-(*), ¿,.7 = 1,.. .п такими, что матрица Коши С'2(£, в) системы
П
(Аж)ОО + 53 г?-(*)®,-ьу(£) = /¿(*), * е [0,6], г = 1,..., п (9)
¿=1
положительна при 0 ^ в ^ ^ 6, то это решение х € [г», г] единственно. Доказательство. Запишем задачу (3), (4) в виде
п
(Сгх)(0 + 53(*)®л-йу(4) = М/(<,а1Л41 ЖпА*,^)), *е [0,6], (10)
л=1
Хг(0) = «г, ^ € К1, 1 = 1 (4)
Задача (10), (4) эквивалентна уравнению х = Ах в пространстве С” вектор-функций с
непрерывными компонентами. Изотонный оператор А : [и, г] —> С", определен равенством
(Ах)^) = [ С1(1;,8)(М1х)(з)с1з + 7Х(£),
Уо
где С1 (¿, в) — матрица Коши системы (8),
(М1х)({) = со1{(М\х{г),..., (М*®)(*)},
71 (£) — решение задачи
п
(¿¿ж) (г) + 53 ГЬ (0*^ (0 = о. * е [о, ь],
¿=1
ж*(0) = а», г = 1,...,п
Оператор А : [гг, г] —> С" вполне непрерывен. Покажем, что из неравенств (5)—(7) следуют неравенства
и(г) < (Аи)(*), г(0 ^ (Аг)(0, г е [0,6].
Действительно, записывая, например, неравенства (5) в виде
71
(/»(г) + 53 гу (*)«**«(*) < м1ц,и1Ы1^),... ,упН1пЦ)),
¿=1
получим
г;(£) < [ С1 (Ь, в) (М1 у) (в) ¿в-Ьг»1^), Jo
где и1 (¿) есть решение задачи
71
(Аж) (г) + 53 ^ (*(0 = °. * е [о, 6],
¿=1
£¿(0) = ^¿(0), г = 1,... ,п.
Так как и(0) < ж(0), то «(£) ^ (Аь)(1). Аналогично можно установить справедливость неравенства ^ (Ах)(£).
Таким образом, вполне непрерывный оператор А : [и, г] —> С” отображает ограниченное замкнутое множество [и, г] в себя. На основании принципа Шаудера заключаем, что существует неподвижная точка х € [и, г] оператора А.
Теперь потребуем дополнительно, чтобы функции /г, г = 1,..., тг удовлетворяли условию Ьу2. В этом случае докажем, что решение х будет единственным в конусном отрезке [о, г].
Предположив обратное, на основании теоремы 1.5 из [1], с. 217, можно утверждать, что
существует пара различных решений ж1,®2, таких, что х1^) < х2(Ь).
Запишем задачу (3), (4) в виде
П
(£<®)(*) + 534(0^(0 = М\&х 1Ла(г),... ,хпПш(г)), ь е [о,ь], (и)
.7=1
Жг(0) = сц, «г € К1 г = 1, ...,7г. (4)
Задача (11), (4) эквивалентна в пространстве С” уравнению
х - Вх
с антитонным оператором В, определенным равенством
)(*)=/ С‘2{1,з)(М2х)(з)(1з + 72(£), (12)
./о
где (72(£, в) — матрица Коши системы (9),
(М2ж)(£) = со*{(М?®)(*),..., (М2ж)(*)},
72(£) — решение задачи
П
(А®)(*) + 53 = о, г е [о, 6],
¿=1
Жг(0) = «¿, с*г е Е1, г = 1,...,тг.
Для разности ж1(£) — ж2(0 имеем:
х*(£) — ж2(0 = (Вх*)(£) — (Вх2){Ь) ^ 0.
Следовательно, ж1^) = х2(Ь). Теорема доказана.
С л е д с т в и е 3. Пусть ^ 0, г,^ = 1,... ,тг, РгДО^у (0 ^ 0, г,^ = 1,...,п,
г Ф 3, и существует такая пара »,г£ АСоо что неравенства (5)-(7) выполнены. Пусть, далее, функции /¿, г = 1,...,тг удовлетворяют условию Ь12 с такими коэффициентами 7+ (£), г, ^ = 1,..., тг, чт,о неравенства
£ 53 М*Ку № + (Р«(*) + г = 1,..., гг,
з=1
|ру(*)<^Лу(*)1 > ^(¿Ну№’ * ^3, г^ = 1,...,п
выполнены для почти всех Ь £ [0,6].
Тогда существует решение х задачи (3), (4) такое, что х 6 [и, г].
Если, кроме того, функции , г = 1 ,...,п удовлетворяют условию Ь2 г с такими коэффициентами г^(Ь), г,^ = 1,... ,п, что неравенства
I " 1
^ 53 М*)0яу (*)«(*) + (Р«(<) + 4(0КЙ (0 < г = 1,..., гг .7=1
выполнены для почти всех £ £ [0,6], то это решение х £ [г>,г] единственно.
Следствие 4. Пусть Ьф)(7д^(Ь) ^ 0, i,j = l,...,n, рф)а^(Ь) < 0, *, ^ = 1,... ,гг, г ^ _7, и выполнены следующие условия:
1. существуют функции V, г £ АСоо, V ^ г такие, что соблюдаются неравенства (5)—(7);
2. функции /г, г = 1,..., гг удовлетворяют условию причем, с такими коэффициентами гг^(£), г, ^' = 1,..., п, что неравенства
5^ 6у(*)о-ду (4) + ¿(р*(*) + * = 1,..., п,
¿=1
Ьи(0°7ч,-(01 ^ ^(¿Ну(0, *,0 = 1,• • •,га,
выполняются для почти всех £ € [0,6].
Тогда существует решение х задачи (3), (4) такое, что х £ [ь,г\.
Если, кроме того, функции /¿, г = 1, ... , гг удовлетворяют условию Ь2и 2 с такими
коэффициентами rfAt), i,j = l,...,n, что неравенства
53 bij(t)agij (і) + t(jp±(t) + (i))fffc« (*) < , * = 1, • • •, ra,
j=1
справедливы при почти всех t £ [0,6], то это решение х £ [г;, z] единственно.
Теорема 1 основана на редукции задачи (3), (4) к уравнению с изотонным оператором. Если исходная задача может быть сведена к уравнению с антитонным оператором, то для доказательства существования решения этой задачи может быть использована
Теорема 2. Пусть bij(t)a9ij(t) ^ 0, i,j = 1, ... ,п, Pij(t)ahij(t) ^ 0, г, j = 1,..., п, і ф j , и существует пара таких функций v,z £ ACqq , v ^ z, что выполняются следующие условия:
1. функции fi, і = 1, ... ,п удовлетворяют условию
2. коэффициенты h І — 1,. • -, га, этого условия таковы, что для почти всех t £ [0,6]
соблюдаются неравенства
п п
(£iv)(t) + 53rfjWvjhijit) < fi(t,zlhil(t), ... ,znhin(t)) + 534(0^(0, (із)
j=1 j=1
n n
(CiZ)(t) + 53 rij(t)zjhij(t) ^ fi(t,Viha{t), . . . ,Vnhin{t)) + 53 rij(t)vjhij(t), (14)
j=1 3=1
Vi(0) ^ c*i < Zj(0), г = 1 ... , n. (15)
Тогда существует решение x Є [v,z\ задачи (3), (4).
Доказательство. Запишем задачу (3), (4) в виде
П
(Cix)(t) + 534(0^(0 = Mf{t,Xllm(t), ■ ■ ■ ,xnhin(t))i j=l
®г(0) =~ CX-i, ttj Є М , І 1, ... , Tl.
Эта задача в пространстве С" эквивалентна уравнению х = Вх с антитонным оператором
В, определяемым равенством (12).
Оператор В : [и, z] —» С" вполне непрерывен.
Покажем, что неравенства v(t) ^ (Bz)(t), z(t) > (Bv)(t) следуют из неравенств (13)—(15). Действительно, запишем, например, неравенства (13) в эквивалентной форме
v(t) < [ C2(t,s)(M2z)(s)ds + v2(t),
Jo
где v2(t) — решение задачи
П
[CiX) (£) + rij (tfXjhij (t) = о, t е [0, b],
3=1
Xi(0) = Vi(0), i = l, ... ,n.
Так как u(0) ^ г(0), то неравенство v(t) ^ (Bz)(i) установлено. Аналогично можно показать
справедливость неравенства z(t) ^ (Bv)(t).
Таким образом, вполне непрерывный оператор В отображает ограниченное замкнутое множество [г;, z\ в себя. Ссылка на принцип Шаудера завершает доказательство теоремы. Пример 1. Рассмотрим задачу Коши
Г ®i(t) - bn(t)xlgil(t) + Pu(t)xlhn(t) = an(t)x?hu(t) + ai2(i)eX2hi2(i), ^ ^
\ x2(t) - b22(t)x2g22(t) + P22{t)x2h22(t) = a21(t)x^h21(t) + a22(t)x2h22(t),
xi(0) = ai, x2{0) = a2, «1,0:2 € R1,
где функции Ьц , Pij, aij, i,j = 1,2, измеримы и ограничены в существенном; функции gtj,
hij измеримы, Qij{t) < t, hij(t) < i, (lijit) ^ 0, при почти всех t € [0,6], i,j = 1,2.
Если выполняются неравенства
bu(t)<Tgii{t) ^ 0, ^bii(t)agii(t) + Pii(t)ahii(t) ^ i = 1,2,
Pn(t)<Jhll(t) > an(t)crhll(t) + a12(t)crhl2(t) • e,p22(t)ah22(t) ^ a2i(t)ah21{t) + a22{t)crh22(t),
то на основании следствия 4 существует решение х = col {х\,х2} задачи Коши, удовлетворяющее неравенствам 0 ^ xi(t) ^ 1, 0 ^ x2(t) ^ 1.
ЛИТЕРАТУРА
1. Азбелев Н. В., Максимов В. П., Рахматуллина Л. Ф. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1991. 280 с.
2. Азбелев Н. В., Максимов В. П., Рахматуллина Л. Ф. Элементы современной теории функционально-дифференциальных уравнений. Методы и приложения. М.: Институт компьютерных исследований, 2002. 384 с.
3. Wazewski Т. Systemes des equations et des ineqalites differentielles ordinaries deuxieme membres monotones et leurs applications // Ann. Polon. Math. 1950. V. 23. P. 112-166.
4. Домошницкий А. И., Шейна М. В. Алгебраический признак устойчивости линейной системы дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом // Функц.-диф-ференц. уравнения: межвуз. сб. науч. тр. / Перм. политехи, ин-т. 1987. С. 24-29.
5. Березанский Л. М., Ларионов А. С. Положительность матрицы Коши линейного функционально-дифференциального уравнения // Дифференц. уравнения. 1988. Т. 24. № 11.
С. 1843-1854.
Вестник ТГУ, т.15, вып.2,2010
БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ и администрации Пермского края (грант №10-01-96054-р-урал-а) и ЗАО “ПРОГНОЗ".
Поступила в редакцию 26 феврцйя 2010 г.
A.S. Larionov, P.M. Simonov, M.V. Sheina, Conditions of initial task resolvability for systems of nonlinear functional differential equations. Theorems of existence and uniqueness of Cauchy’s problem solution for systems of nonlinear functional and differential equations are proved. During the proof of the theorems the positivity of the Cauchy’s matrix corresponding linear system is used essentially.
Key words: system of functional differential equations; differential inequalities; Cauchy’s matrix; solving.
