Об одной математической модели биологической популяции Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.929

ОБ ОДНОЙ математическом модели

БИОЛОГИЧЕСКОЙ ПОПУЛЯЦИИ

© А.С. Ларионов, Ю.А. Загорулько

Ключевые слова: дифференциальное уравнение; математическая модель; популяция. Рассматривается функционально-дифференциальное уравнение, являющееся обобщением известного уравнения Хатчинсона-Райта. Формулируются условия разрешимости этого уравнения.

Известно, что природные популяции не могут мгновенно реагировать на внешние воздействия - реакция наступает лишь через некоторый промежуток времени. Одной из первых математических моделей в биологии, в которых учитывается временное запаздывание, была модель Дж.Е. Хатчинсона [1]. Такое же (автономное) уравнение изучал Е.М. Райт [2] в связи с распределением простых чисел. Обобщенной формой уравнения Хатчинсона-Райта является уравнение с параметрами, зависящими от времени.

Рассмотрим уравнение

т

(£х)0) = ) + ^ Р3 0)хи3 (г) = /((t, хА 0X к, хкт 0)Х I е [а, да) (1)

3=1

х(£) = 0, если £ < а,

где обозначено (см., например, [3])

\х [г(г)], если г() е [а, да), хг (г) = \

[0, если г (г) £ [а, да).

Уравнение (1) будем рассматривать в следующих предположениях. Функции р3 : [а, да) ^ Я суммируемы на каждом конечном отрезке [а, Ь] ^ [а, да), р3 (г) > 0, при почти

всех г е [а, да); функции Из : [а, да) ^ Я измеримы, Из (г) < I при почти всех I е [а, да), 3 = 1, к, т ; функция / (г, и1, к, ит), I е [а, да), | и^ | <да , ] = 1, к, т , удовлетворяет условиям Каратеодори. Будем также предполагать, что существуют такие суммируемые функции Г3 (г), что оператор М, определяемый равенством

(Ми)0) = /(7, и) + ^ Гз (г) из (г), и(г) = {^(7^ ит 0)},

3=1

является антитонным (из того, что х1 < х2 следует Мх1 >Мх2).

1932

Для уравнения (1) рассмотрим задачу Коши

x(a) = а, а е R. (2)

Т е о р е м а. Пусть существуют абсолютно непрерывные функции v, z, удовлетворяющие неравенствам

m

V < z (£v)(t) + £ r (t)vh,(t) < M((t, zh (t), . K, zK (t)),

j=1

m

(£z )(t) + £ rj(t) zhj (t) > M ((t, vh(t), ., vhm (t)), t е [a дах

j=1

v(a) < x(a) < z(a).

Пусть, далее, функция Коши уравнения

m

(£х)(t) + £ rj(t)xh.(t) = n(t), t е [a, “X (3)

j=1

положительна при a < 5 < t < да.

Тогда существует решение х задачи (1), (2) такое, что v < х < z.

З а м е ч а н и е 1. Условия сохранения знака функции Коши уравнения (3) приведены в работе [4] (см. также [5, 6]).

З а м е ч а н и е 2. В качестве следствия теоремы получено утверждение о разрешимости в некотором конусном отрезке классического уравнения Хатчинсона—Райта.

ЛИТЕРАТУРА

1. Hutchinson G.E. Circular causal systems in ecology // Ann. New York Acad. Sci. 1948. № 50. P. 221-246.

2. Wright E.M. A non-linear difference-differential equation // J. reine and angew. Math., 1955. Bd. 194. № 14. P. 66-87.

3. Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Введение в теорию функциональнодифференциальных уравнений. М.: Наука, 1991.

4. Березанский Л.М., Ларионов А.С. Положительность матрицы Коши линейного функциональнодифференциального уравнения // Дифференциальные уравнения. 1988. Т. 24. № 11. С. 1843-1854.

5. Гусаренко С.А., Домошницкий А.И. Об асимптотических и осцилляционных свойствах линейных функционально-дифференциальных уравнений первого порядка // Дифференциальные уравнения. 1989. Т. 25. № 12. С. 2090-2103.

6. Сабатулина Т.Л. О положительности функции Коши одного интегро-дифференциального уравнения // Вестник Удмурт. ун-та. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2008. Вып. 2. С. 122-123.

Поступила в редакцию 20 августа 2010 г.

Larionov A.S., Zagorulko Yu.A. About mathematical model of biological population In this paper functional differential equation is considered, which is a generalization of well known Hutchin-son-Wright's equation. The conditions of solving the equation are formulated.

Key words: differential equation; mathematical model; population.

1933