Разрешимость нелинейных задач для дифференциального уравнения с запаздывающим аргументом Текст научной статьи по специальности «Математика»

Известия Института математики и информатики УдГУ. 2012. Вып. 1 (39)

УДК 517.929

© А. С. Ларионов, И. А. Кузнецова

РАЗРЕШИМОСТЬ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ЗАПАЗДЫВАЮЩИМ АРГУМЕНТОМ

Предлагаются утверждения о существовании решений начальной и краевой задач для нелинейного функционально-дифференциального уравнения.

Ключевые слова: дифференциальное уравнение, оператор, запаздывание, задача Коши, разрешимость, математическая модель.

Рассматривается задача Коши

(£ж)(і) = Ж(і) — р(і)Жя(і) + д(і)ж(і) = /(і, ж(і),ж^(і)), і Є [0, то),

где обозначено

Жй(£) =

жя(і) =

ж(0) = а, а Є Я,

[ж[Л,(і)], если Л,(і) Є [0, то),

^ 0, если Л,(і) Є [0, то),

І Ж[#(£)], если #(і) Є [0, то),

І 0, если #(і) Є [0, то),

(1)

(2)

в предположениях: р € Ьте[0, то) (Ьте[0, то) — пространство функций г: [0, то) ^ Я измеримых и ограниченных в существенном на [0, то)), р > 0; д € Ьр[0, то) (ЬР [0, то) — пространство функций г: [0, то) ^ Я локально суммируемых со степенью р, 1 ^ р < то на каждом конечном отрезке [0, Ь] С [0, то)); $, Н — измеримые функции, $(£) ^ £, Н(£) ^ £ при почти всех £ € [0, то); функция / удовлетворяет условиям Каратеодори.

Для V, г € Ьте [0, то) обозначим [V, г] = (ж € Ьте : V ^ ж ^ г}.

Будем говорить, что функция /(£,^1,^2) удовлетворяет условию Ь^,г] (Ь2^,г]) (см., например, [1]), если существуют такие функции г1 € Ьр (г2 € Ьр), г = 1, 2, что оператор

М ^, И1(£),И2(£)) = /(£, «1(£),«2(£)) + г^и^) + г^и(£)

М2(£, и^),-^ (£)) = / (£, И1(£),«2 (£)) + г2(£)и1(£) + г|(г)«2 (£)

является изотонным (антитонным).

Справедливы следующие утверждения о разрешимости задачи (1), (2).

Теорема 1. Пусть р < 1 и существуют такие функции V, г € Ьте, что V ^ г и выполняются неравенства

(^)(г) < /(М(£),^(£)), (£г)(£) ^ /(г,г(г),гн(£)),

v(0) ^ а ^ г(0).

Пусть, далее, функция / удовлетворяет условию Ь1^, г] с такими коэффициентами г1(£), г = 1, 2, что функция Коши уравнения

(£ж)(£) + г1(£)ж(£) + г^ж^) = П1 (£)

положительна в области А = {(£,$): 0 ^ 8 ^ £ < то}. Тогда существует решение ж задачи (1), (2), удовлетворяющее неравенствам

Если, кроме того, функция f удовлетворяет условию L2[v,z] с такими коэффициентами r2(t), i = 1, 2, что функция Коши уравнения

(Lx)(t) + r2(t)x(t) + r2(t)xh(t) = n2(t)

положительна в области А, то это решение единственно.

Теорема 2. Пусть p < 1 и существуют такие функции v, z € L^, что v ^ z и выполняются неравенства

(Lv)(t) < f (t,z(t),zfc(t)), (Lz)(t) ^ f (t,v(t),vfc(t)),

v(0) ^ a ^ z(0).

Пусть, далее, функция f удовлетворяет условию L2[v,z] с такими коэффициентами r2(t), i = 1, 2, что функция Коши уравнения

(Lx)(t) + r2(t)x(t) + r2(t)xh(t) = n2(t)

положительна в области А . Тогда существует решение x задачи (1), (2), удовлетворяющее неравенствам

v ^ x ^ z.

Замечание 1. Уравнение (1) при p = 0, q(t) = q = const, f (t, x(t), xh (t)) = sin x(t — t), t > 0 является [2] математической моделью динамики основных производственных фондов на предприятиях.

Список литературы

1. Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1991. 361 с.

2. Кундышева Е.С. Математическое моделирование в экономике: Учебное пособие. М.: Издательско-торговая корпорация «Дашков и Ко», 2006. 352 с.

Поступила в редакцию 11.02.2012

A. S. Larionov, I. A. Kuznetsova

The solvability of nonlinear problems for a differential equation with retarded argument

The statements about the existence of solutions of the initial and boundary value problems for nonlinear functional-differential equations are offered.

Keywords: differential equation, operator, delay, Cauchy’s problem, solvability, mathematical model.

Mathematical Subject Classifications: 34K10, 34K40, 34K60

Ларионов Александр Степанович, к.ф.-м.н., доцент, Братский государственный университет, 665709, Россия, г. Братск, ул. Макаренко, 40. E-mail: [email protected]

Кузнецова Ирина Андреевна, аспирант, кафедра математики, Братский государственный университет, 665709, Россия, г. Братск, ул. Макаренко, 40. E-mail: [email protected]

Larionov Aleksandr Stepanovich, Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor, Bratsk State University, ul. Makarenko, 40, Bratsk, 665709, Russia

Kuznetsova Irina Andreevna, post-graduate student, Department of Mathematics, Bratsk State University, ul. Makarenko, 40, Bratsk, 665709, Russia