Условия разрешимости двух точечной краевой задачи у правляемой системы дифференциальных уравнений Текст научной статьи по специальности «Математика»

Известия Тульского государственного университета

Естественные науки 2008. Выпуск 2. С. 49-54

= МАТЕМАТИКА =

УДК 517. 938

И.М. Турусикова

Рязанский государственный университет имени С.А. Есенина

УСЛОВИЯ РАЗРЕШИМОСТИ ДВУХТОЧЕЧНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ УПРАВЛЯЕМОЙ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Аннотация. Предлагается способ нахождения управления, переводящего объект, описываемый системой дифференциальных уравнений, за заданный промежуток времени из начального состояния в конечное. Установлены достаточные условия разрешимости двухточечной краевой задачи в предположении, что импульсная переходная матрица объекта является неособенной.

При исследовании математических моделей биологических, социальноэкономических, химических, экологических и других процессов часто возникает задача определения управляющего воздействия, которое переводит объект из начального состояния в некоторое конечное.

В данной работе описан процесс построения управления посредством разбиения исходного промежутка времени на части, при условии, что конечное состояние не является заранее заданным.

В качестве математической модели объекта управления выбран процесс, удовлетворяющий нелинейной системе обыкновенных дифференциальных уравнений

х = A(t)x + B(t)u + /(£, ж, и), (1)

в которой х £ Еп, и £ Еп, и — управление, t £ [0. Т]. Т — некоторое положительное число, Ek — к .мерное векторное пространство, A(t),B(t) — квадратные матрицы порядка п. f(t. х. и) — п .мерная вектор-функция.

Введем следующие обозначения: |s| = max { |.%•*|}. \\y (-)|| = sup \y (t)\,

* te[0,T]

||B(*)|| = sup |i?(£)s|, ||-B(.)|| = sup ||B(*)||, s £ Ek, у it) — вектор-\s\^l te[0,T]

функция, Bit) — матрица, D{Sq) = {[t. x. a) : t £ [0. T]. x £ En. a £ En. \x\ ^ £o> \u\ ^ £()}> ^0 > 0 — некоторое число.

В качестве допустимых управлений будем рассматривать кусочно-непрерывные на сегменте [0. Т] п-мерные вектор-функции и (£). удовлетворяющие условию ||у/(.)|| ^ 60. Множество всех допустимых управлений обозначим и(8о).

Предположим, что выполняются условия: — непрерывные на

сегменте [0. Т) матрицы, при любом £ £ [0. Т) матрица В {{) неособенная; вектор-функция /(£. ;г. и) непрерывна на множестве I) (д'о).

^ 0, и 0, равномерно относительно I € [0. Г] и х (\х\ ^ 5о).

Пусть и0 = {«(■) еи(60) : и (4) = Нт (ТЛ)1, I е ¥(50)Л е [0,Г]},

где У(<ЗД = {I £ Еп : |2| ^ (ЗД, Н (£,т) = X (£) X-1 (г) В (г) — импульсная переходная матрица, X (£) — фундаментальная матрица системы х = А (£) х, удовлетворяющая условию X (0) = Е, Е — единичная матрица, (Т) — знак транспонирования.

Заметим, что согласно условию 1) матрица Н (£. т) является неособенной на сегменте [0. Т].

Ставится задача — найти вектор /3 ^ 0 и управление и (•) £ 11о, при котором система (1) имеет решение, удовлетворяющее равенствам

х (0) = 0, х(Т) = /3. (2)

Здесь 0 — п .мерный нулевой вектор.

Поставленную задачу будем называть далее задачей (1), (2).

Аналогичная задача рассматривалась в работах [1], [2] при изучении множеств достижимости, в работах [3], [4] при исследовании проблемы локальной управляемости системы (1).

Положим у = х — Тогда система (1) сведется к системе

У = А (£) у + В (£) и + /(£, у + и) + с (£), (3)

где с (4) = . 1 * /. ^^ . /((, у + • 0 при и —> 0 равномерно по

( € [0, Т] и е = у + § (|£К 2<5о).

Краевые условия для переменной у имеют вид

у (0) = О, у(Т) = 0. (4)

Под решением системы (3) будем понимать непрерывную, кусочнодифференцируемую на сегменте [0. Т) вектор-функцию у (£). удовлетворяющую всюду в точках дифференцируемости на этом сегменте системе (3).

Лемма. Пусть при любом £ £ [0, Т] |с1е1 В (£) Вт (£) | ^ с?, с? > 0 -

некоторое число. Тогда существует число 3 > 0 такое, что для любых

значений £" £ [0, Г] выполняется неравенство

\detH (г',г")нТ (*',*") | >

£

как только < 5.

Доказательство. Предположим противное. Пусть не существует такого числа 6 > 0. о котором идет речь в лемме. Это значит, что для всякого 6 > 0 найдутся такие значения I и I из промежутка [0, Г], что |£ — Ц < 6 и |сЫ; Н (£, Г) НТ (£, £) | ^ |.

Возьмем последовательность { д„} положительных чисел так, что 8п —>•

0, п —^ оо. Тогда для каждого 8п существуют значения . 1(-п ^ £ [0, Г]

такие, что < 8п и | с1е! Н Нт ^ |.

По лемме Больцано-Вейерштрасса из ограниченной последовательности { } можно извлечь подпоследовательность, сходящуюся к некоторой 'Точке I € [0. Т). Будем считать, что сама последовательность { } сходится к

1.

Так как < 5п, а 8п —>• 0, п —>• оо, то —>• 0. Отсюда

следует, что и последовательность { } сходится к I.

Переходя к пределу при п —>• оо в неравенстве

йеЬН Нт

й.

2 '

ввиду непрерывности матрицы Н (£, £) будем иметь |(1е1 Н (£, I) И1 (£, Г) | ^ Отсюда | с1е! В (I) Вт (£) | ^ |, что невозможно. Лемма доказана.

Следствие. Существует такое число 8 > 0, что для любого разбиения сегмента [0, Г] на части точками ^ £ [0, Т\, г = 0, в, выполняется неравенство |с[еЬ Н (£*, £*_х) НТ (£*, £*_х) | > как только длина частей

\и - и^11 < (I. у = 1..%•.

Пусть Сч (^') — множество определенных и непрерывных на сегменте [^_х,£г] 5 '/ = 1..%•. //-.мерных вектор-функций ^/г (£), удовлетворяющих условиям Уг (£г-1) = 0, (£г) = 0, Цд* (-)|| ^ 3, 3 <Е (0, £()] — НвКОТОрОв ЧИСЛО.

Рассмотрим произвольный промежуток [£*_х,£г] 5 1 £ {1.2..... .%•}. разбиения сегмента [0, Г] на части. Пусть вектор /*’ € V (5), вектор-функция #г° (•) € (£), управление (£) = НТ (£*,£) £г°, £ е [^_х,^]*

Решение системы у = Л (£) у+-В (£) гг+/(£,^° + ^,гг°) + с (£), определенное на сегменте [^_х,^]5 запишется в виде

д] (£) = / Я (£, г) (г) с?г+

4 4

х(*,т)1 (т^9{ (г) + (т)\ (1т + [ X (£, т) с (т) б?т,

гд еХ{1:т)=Х(1)Х-1(т).

Найдем условия, при которых д] (£*) =0, то есть условия выполнимости следующего равенства

Н (U,t) Нт (U,t) tfdr

ti — 1

X (U,T)f (т, gf (г) + ^ .Нт (U,t) dr

X (и,т)с(т) dr.

ti — 1

ti — 1

(5)

Применяя в (5) теорему о среднем, сократим на ti — 1 и получим систему линейных уравнений = г1 [Т. д^. /*’). в которой матрица

А г = Н (**.£) Н1 (ил). I е вектор г.' (Т. д". /‘’) = -X (£*,£) с (£) -

-х(и,1)} (?,(I) + ^,нт {и,г) г?).

Матрица А* является неособенной как произведение двух неособенных матриц Н (и, Г) и Н1 (и, Г) одного порядка. Следовательно, существует мат-рнца Л“ .

Заметим, что IIА •

_Ц_

det А;

Л,:

I det Лг; I ’

где Лi — матрица из алгебраиче-

ских дополнений к элементам матрицы Л*. В силу непрерывности элементов

Л;

ограничена сверху. Согласно

матрицы Aj на сегменте [U-i,ti] норма

лемме |(let И (ti,t) Нт (U,t) | > |, так как |ti — t\ ^ 5. Следовательно, существует такое число К > 0, что ||11| ^ К.

На множестве

Zi (S) = {zi (•) = (дг (•), 1г) : дг (•) <= С?г (8) ,k^Y(S), \\Zi (-)|| < 6} определим оператор F{Z{ (•) = colon (•). У^Ц) согласно равенствам

Flig°(t)= I H (t, t) Ht (t, t) l°dr+

t% — \

t t + [ X (t,r)f (т,д° (r) + ^,HT (t,T)lf) dr + [ X (t,r) c(t) dr, (6)

T

ti — 1

ti — 1

Обозначим М

\Н(; .)Ц Нг| + ||Х(., -)|| ||С(*)|| + ||*(*, ОН 11/11, ГДЄ

І/ІІ = эир

на множестве

[О, Г] х (і,д) :

9 +

~Т

Теорема. Пусть выполняются условия 1), 2), 3). Тогда существует вектор /3^0, при котором задача (1), (2) имеет решение.

Доказательство. Воспользуемся принципом неподвижной точки Ю. Ша-удера [5] и убедимся, что существует число 8 Є (0,8о] такое, что оператор имеет неподвижную точку па множестве 2і (8), то есть докажем существование такого 8 > 0. что оператор Ь\ отображает множество 2і (8) в себя.

Так как / (^. у + . Н1 (Т, і) |/| 0 при I —>• 0 равномерно по £ Є [0, Т]

м £ = .</ + тр- такое, что |£| ^ 28о, то для всякого £ > 0 существует такое число д > 0. что для любого і Є [0. Т] и для всех I ( |/| д) выполняется

неравенство Возьмем £

\11

< £ . Откуда

}[1,у + Ц,Нт(ТЛ)1

т

< є8.

2К\\Х(-

. Тогда существует такое число 8' > 0. что для любого /3 (\(3\ 8') выполнены неравенства К \\Х (•, -)|| ||с(-)|| < § и

|^Л°| = = |Л“1У’ (т,д°, 1?)\^К ||Х (•, -)|| 11/11 + к ||Х (•, -)|| ||с (-)|| < <5. Это

значит, что оператор /-’2; • определенный равенством (7), на множестве У (£) имеет неподвижную точку, которую обозначим I*. Следовательно, справедливо соотношение (5) и д\ (£*) = 0.

В равенство (5) вместо /•’ подставим вектор I*, получим Уц(/{- (£*) =

9} (и) = о.

Выберем число 8, определяющее разбиение сегмента [0, Г], так, чтобы 8 А/ ^ 8. Тогда будем иметь

|ґі,А°(-)И І \н(и,т)нт(и,т)і;\ <іт+

Іі — 1

+

Іі — 1

Х(и,т)/(т,д°(т) + ^,Нт(и,т) I*

бІТ+

+ j \Х(і:і,т)с(т)\ о1т ^ — £г-і) М ^ 8М ^ 8.

Іі — 1

Таким образом, для любого д® (•) £ (£) выполняется Рид® (•) £ (^)?

то есть оператор Уц отображает множество Сч (^') в себя.

Из равенства (5) следует, что оператор Ум является вполне непрерывным на множестве Сч (д). По теореме Шаудера существует неподвижная точка оператора У\{. которую обозначим д* (£). Это означает, что оператор У{ на множестве 2^(6) имеет неподвижную точку (_у| (£)./*). Следовательно, можем построить кусочно-непрерывное управление и* (£), заданное на отрезке [О, Г], определенное равенствами и* ({) = Н1 (!;.£) / • при

г £ [и-г,и), г = 1,5 -1, и и*8 (г) = нт (т,£) 1*8 при г е [^_ьт].

Соответствующее управлению и* (£) решение у* (£) системы (3), заданное на отрезке [О, Г], определяется согласно равенству у* (£) = д* (£) при £ £ , г = 1,5, и удовлетворяет краевым условиям (4).

Решением задачи (1), (2) является вектор-функция х* (£) = у* (£) + ^. Теорема доказана.

Таким образом, исследована двухточечная краевая задача управляемой системы дифференциальных уравнений, получены достаточные условия существования управления, при котором система (1) имеет решение х (£), удовлетворяющее краевым условиям (2).

Библиографический список

1. Габасов Р. Качественная теория оптимальных процессов / Р. Габасов, Ф.М. Кириллова. - М.: Наука, 1971.

2. Ли Э.Б. Основы теории оптимального управления / Э.Б. Ли, Л. Маркус. - М.: Наука, 1972.

3. Арутюнов А.В. Регулярные нули квадратичного отображения и локальная управляемость нелинейных систем / А.В. Арутюнов, В.Н. Розова // Дифференциальные уравнения. -1999. -Т.35. -№ б. -С. 723 - 728.

4. Мастерков Ю.В. К вопросу о локальной управляемости в критическом случае / Мастерков Ю.В. // Известия вузов. Математика. -1999. -№ 2(441). -С. 68 - 74.

5. Люстерник Л.А. Элементы функционального анализа / Л.А. Люстерник, В.И. Соболев. - М.: Наука, 1965.

Поступило 20.04.2008