Условия монотонности факторизованной разностной схемы для эволюционного уравнения с двумя пространственными переменными Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вычислительные технологии

Том 6, № 4, 2001

УСЛОВИЯ МОНОТОННОСТИ ФАКТОРИЗОВАННОЙ РАЗНОСТНОЙ СХЕМЫ ДЛЯ ЭВОЛЮЦИОННОГО УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫМИ ПЕРЕМЕННЫМИ

Ю. В. ПИВОВАРОВ Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН

Новосибирск, Россия

For a difference scheme with coefficients satisfying certain relations the sufficient conditions of monotonicity have been obtained in the form of a limitations on a time step. Necessary and sufficient monotonicity conditions are obtained for the problem with small number of partitions. The advantages of monotonous scheme over non-monotonous one are shown using calculations.

В настоящей работе рассматривается проблема выбора временного шага при численном интегрировании нестационарного уравнения, описывающего диффузионный и конвективный перенос субстанции в сплошной среде. Схема записывается в факторизованном виде. Ее коэффициенты удовлетворяют некоторым условиям, обеспечивающим монотонность при достаточно малом шаге по времени. Формулируются ограничения на этот шаг, достаточные для монотонности схемы. (Эти результаты в некоторой степени аналогичны результатам Хартена [1, с. 6, 7], которые выражают условия монотонности абстрактной трехточечной разностной схемы в случае одной пространственной переменной.) Рассмотрена также задача для уравнения теплопроводности с малым числом разбиений, для которой получены необходимые и достаточные условия монотонности схемы. Оказалось, что в этом случае достаточные условия монотонности весьма близки к необходимым и достаточным при значениях весового коэффициента y, меньших 1/2, и далеки от них при Y ^ 1. Предложено скорректировать (без доказательства) достаточные условия монотонности, чтобы снять это несоответствие. Произведены расчеты для уравнения теплопроводности в случае, когда схема является немонотонной (из-за большого шага по времени) и монотонной. Показано, что в 1-м случае в решении возникают осцилляции в окрестности зоны больших градиентов начальных данных, которые затем переносятся на всю область, а во 2-м случае осцилляций нет. Построен график критического шага по времени, при котором решение на 1-м временном слое еще остается монотонным.

1. Описание разностной схемы

При математическом моделировании квазидвумерных (когда имеются три компоненты скорости, зависящие от двух пространственных переменных): плоских и осесимметричных процессов тепломассопереноса приходится решать уравнения вида

© Ю.В. Пивоваров, 2001.

где

ЬгГ

(д/дЬ + Ь + Ь2)Г д

О,

(1)

1

зН2 дх

1 д зН2 ду

дГ

(р + и)Г - ^

(д + V)Г - V

дГ дУ

Ь — время; х, у — независимые пространственные переменные, такие, что функция г(х,у) + гг(х,у) конформно отображает некоторый прямоугольник П на заданную ограниченную односвязную область; г, г, — декартовы или цилиндрические координаты; Н = \/(дг/дх)2 + (дг/ду)2 — коэффициент Ламэ; з = 1 в плоском и з = г в осесим-метричном случае; и, V — модифицированные компоненты скорости, удовлетворяющие уравнению неразрывности ди/дх + дV/дy = 0 и связанные с физическими компонентами скорости и, V в направлениях х, у соотношениями и = зНи, V = зНу; О, р, д, V — заданные функции.

Например, при

+

Ке

О =

д / ди дх дх

1

зН 2

1 ди

д_

дх

+

дз

-Ш

ду V дН

д дз 2

+

д ( ди I 1 ди ду \дх \Н дх Н2 ду

Н ду Н2 дх V дН\ ди

ду

Г (д^Л + . ~_Т

Ке2 \дх \дх ) ду \ду

ду дх ди / 1 дv и дН ду \Н ду Н2 дх 1 дv и дН Н дх Н2 ду дг

+

р

1 / дз ди\ Ке дх дх

д

1 / дз ди\ Ке \ ду ду)

V

из

ке

получаем уравнение для модифицированного вихря П, связанного с физическим вихрем и = (д(иН)/ду — д^Н)/дх)/Н2 соотношением П = и/з, где ш — компонента скорости в направлении Ив — число Рейнольдса; и(Т(х,у,Ь)) — обезразмеренный коэффициент кинематической вязкости; Т — температура; Ог — число Грасгофа.

При

О 0 2 дз 2 дз

О = 0, р = ——и, д = —и,

Ке дх Ке ду

получаем уравнение для модифицированной скорости Ш

V

из

ке

зш, а при

О

р = д

0,

V

з

Ре,

где Ре — число Пекле, — уравнение для Т.

Введем в прямоугольнике П неравномерную сетку

0 = х0 < хг < и обозначим

< хИ-г <хИ = 1, 0 = уо <уг < ... < ум-г < ум = У

п+1/2

хп + хп+1 2 ;

нх

г+1/2 = хп+1 — хп

П

0,М — 1;

2

ут + ут+1 , 7:—77-7

Ут+1/2 = -2-' "ут+1/2 = Ут+1 - Ут, Ш = 0, М - 1;

хп+1 хга-1 ^—¡г-г 7" ут+1 ут—1

= 2 "" \ П =1,^ - 1; ^ут = Ш =1,М - 1.

Будем предполагать, что имеют место соотношения

^хга+1/2 - ^хга-1/2 = O(hжra+1/2), п = - 1

^ут+1/2 - ^ут-1/2 = ^(^+1/2), Ш = 1, М - 1.

Введем разностные аналоги Л1, Л2 операторов Ь2 следующим образом (см. [2, с. 280288]):

Л р _ _„х р | р _ ьх р

Л1 ргат „птр™+1т + сптр™т ьптрга-1то

Л2 ^гат аптРПт+1 + СптрПт ЬптРПт—1, (2)

где

= - . ип+1/2т + Рп+1/2т + ^га+1/2тага+1/2т СоШ ап+1/2т

5гатНПт \ ^жга+1/2 ^жга

Сх = - I ---__- -- - +

т „ Н 2 ~~ ~~

'гатНгат

т + Рп+1/2 т — 1 /2т + Рга-1/2т

я Н2 V 2ь 2ь

^га+1/2тага+1/2т С°Л ага+1/2т ^га-1/2тага-1/2т С°Л ага-1/2т

+

1 / 1/2т + Рп-1/2т + ^га- 1/2тап- 1/2т С°Л ага-1/2т

у = I ^гат+1/2 + ?гат+1/2 + ^гат+1/2вгат+1/2 С°Л Дгат+1/2 ■ („)

„пт ~ 772 I ^ ' 7 ^ I ; (3)

3«,тНПт \ 2^ут ^ут+1/2^ут

у _ 1 ^^пт+1/2 + ?гат+1/2 ^гат-1/2 + ?гат-1/2

5гатНпт V 2^ут 2^ут

+ ^гат+1/2^гат+1/2 С°Л ^гат+1/2 + ^гат-1/2вгат-1/2 С°Л ^пт-1/2 ^ут+1/2^ут ^ут-1/2 ^ут

^у _ 1 / ^гат-1/2 + 5гат-1/2 + ^гат- 1/2впт-1/2 С°Л в„т-1/2

8птНпт у 2^ут ^ут-1/2^ут

_ ^жга+1/2(ига+1/2т + рп+1/2т) ап+1/2т = ~ ;

^гат+1/2

2^га+1/2т ^-ут+1/2(^гат+1/2 + ?гат+1/2)

2^гат+1/2

Здесь для произвольной функции / (ж,у,£) принято обозначение /т = / (хп,ут,тк), где т — шаг по оси ¿, индекс к пока для простоты опущен.

Для численного решения уравнения (1) используем разностную схему

рк+1 _ рк

(Е + 72т%Л2) пт т пт + (Л1 + Л2)(7ркт+1 + (1 - 7)ркт) = ^т,

1

п - 1, т = 1,М — 1, (4)

где Е — тождественный оператор; 7 £ [0,1] — весовой коэффициент.

На каждой из четырех сторон прямоугольника могут быть поставлены условия 1-го, 2-го или 3-го рода, но так как, например, при х = 0 последние два могут быть сведены к 1-му добавлением фиктивного узла х-1 = —Х1 (см. [3, с. 419]), то будем для простоты рассматривать только постановку условий 1-го рода:

Р0т = 91т, Р^т = 92т, Рп0 = 93п, РпМ = #4га- (5)

Зададим также начальное условие

Рпт Рпт- (6)

Описанная схема является консервативной. Кроме того, если функции и, V удовлетворяют разностному уравнению неразрывности

и,п+1т ип-1т + "пт+1 "пт-1 _ о

2к 2к

и условиям непротекания

и0т = иМт = "п0 = "пМ =

то она нейтральна с точностью до членов 0(к+т2), где к — максимальный шаг сетки около границы в направлении, ортогональном к ней [2]. Если функции и, V и ^ одного порядка, то описанная схема превращается в схему с центральными разностями для конвективных членов, которая имеет 2-й порядок аппроксимации по пространству. Если и^ ^, то данная схема с точностью до несущественных при выполнении условий (4) множителей вида кхп/кхп±1/2 превращается в схему для уравнений Эйлера с разностями против потока, которая имеет 1-й порядок аппроксимации по пространству. По времени описанная схема имеет 1-й порядок аппроксимации.

2. Достаточные условия монотонности в общем случае

Согласно работе [4, с. 348] в случае одной пространственной переменной схема называется монотонной, если она сохраняет монотонность решения при переходе с к-го на (к + 1)-й временной слой. Там же сформулирован признак монотонности: схема

N

Як+1 = у^ Я Гк

1 п / Ипт1 т

т=0

монотонна тогда и только тогда, когда все коэффициенты /Зпт > 0. Так как этот признак необходимый и достаточный, его можно принять за определение монотонности. А последнее легко распространяется на случай двух пространственных переменных: схему

N М г=0 ]=0

назовем монотонной, если все /Зпт^ > 0.

Предложение. Пусть операторы Л1, Л 2 определены равенствами (2), причем коэффициенты аПт, „Пт, ЬПт, ЬПт неотрицательны, а коэффициенты сПт,сПт положительны (например, эти коэффициенты вычисляются по формулам (3)). Тогда разностная схема (4) с граничными условиями (5) и начальным условием (6) монотонна при т < ттах, где

Ттах = шт{т 1,т2};

т11 при 7 = 0; т1 = ^ т12 при 0 < 7 < 0.5; т13 при 0.5 < 7 < 1;

1

т11

X + У'

12 = (1 - 7)(Х + У) - у 72(Х - У)2 + (1 - 27)(Х + У)2; т 272ХУ ;

] (1 - 7) (1 - 7)

т =тП ; (7)

X = тах{<т : 1 < п < N - 1; 1 < ш < М - 1};

У = тах{сПт : 0 < п < N; 1 < ш < М - 1};

2 21 22 т2 = тт{т21, т22};

21 _ Г то, если А < 0, т = | 1/А, если А > 0;

22 Г то, если В < 0, т = | 1/В, если В > 0;

А = тах{7(<т + ЬПт - сПт) : 1 < п < N - 1, 1 < ш < М - 1}; В = тах{7«т + ЬПт - сПт) : 1 < п < N - 1, 1 < ш < М - 1}. Доказательство. Запишем разностную схему (4) в факторизованном виде:

(Е + ТтЛ1)(Е + 7^2)^ = (Е - (1 - 7)т(Л1 + Л2) + 72т^^т + ^т,

п = 1, N - 1, Ш =1,М - 1. (8)

Вычисления по схеме (8) можно разбить на три этапа:

1) вычисление правой части (8);

2) обращение оператора Е + 7тЛ1;

3) обращение оператора Е + 7тЛ2.

Для монотонности схемы в целом достаточно, чтобы она была монотонной на каждом из трех этапов. Рассмотрим этап 1:

пПт = (Е - (1 - 7)т(Л1 + Л2) + 72т2Л1Л2)рПт + ^Пт

(1 - (1 - ™)т(сх + су )+ ^2т2сх су )рк + (((1 - ^)т - Ут2с^ )ах +

\ \ //' \^пт 1 ^пт/ 1 / ' '-"пт^пт/ пт ' \\\ I/' I п+1т 1

+ (((1 - 7)т - 7 т Сп-1т)Ьпт)рп,-1т + (((1 - 7)т - 7 т Спт)апт)рп,т+1 +

+ (((1 - 7)т - 7 т Спт)Ьпт)рпт-1 + ... + ^пт,. (9)

Здесь не выписаны члены с заведомо неотрицательными коэффициентами при Fn±1m±1. Пусть y > 0. Тогда нужно решить систему неравенств относительно т :

Г 1 - (1 - y)t(x + y) + Y2T2xy > 0, x G (0, X], y G (0,Y]; ( )

\ т < min {(1 - y)/(y2X), (1 - y)/(y2Y) } , (10)

где X, Y определены в (7). Обозначим f (x,y) = 1 - (1 - y)t(x + y) + Y2T2xy. Имеем df/dx = -(1 - y)t + Y2T2y < 0 при y < y0 = (1 - y)/(y2t) и df/dy = -(1 - y)t + y2t2x < 0 при x < y0. Из второго неравенства (10) имеем X < y0, Y < y0. Следовательно, минимум функции f (x,y) достигается при x = X, y = Y. Теперь первое неравенство (10) можно заменить на

1 - (1 - y)т(X + Y)+ y2t2xy > 0. (11)

Его решение есть т < т12 (см. формулы (7)). Пусть для определенности X > Y. Составим разность (т12 - т 13)2y2XY = (1 - y)(X - Y) - ^Y2(X - Y)2 + (1 - 2y)(X + Y)2. Предположим, что y таково, что подкоренное выражение неотрицательно. Тогда имеем разность двух неотрицательных чисел, а последняя имеет тот же знак, что и разность их квадратов, которая равна (1 - 2y)(2X2 + 2Y2). Таким образом, т12 < т13 при y < 1/2, т12 = т13 при y = 1/2, т12 > т13 при y > 1/2 на участке существования вещественного т12. Если же

Y таково, что т12 комплексное, то неравенство (11) выполняется при любом т и, следовательно, ограничение на т дает только функция т13. При этом y > 1/2. Определим т1 при

Y = 0 как предельное значение т12 при y ^ 0. В результате получим формулу для т11 в (7) (это несколько более грубая оценка, чем та, которая непосредственно следует из (9)).

Рассмотрим этап 2. Мы имеем серию одномерных задач:

-YTanmFn+1m + (1 + YTCnm)Fnm ^ - YTbnmFn-1m Vnm, П 1, N - 1,

F0m1/2 = (E + YтЛ2)glm, FkN+m:/2 = (E + YтЛ2)g2m, m = 1,M - 1.

Известно (см. [5, с. 270]), что для монотонности схемы на этом этапе достаточно неотрицательности коэффициентов axnm, bxnm, которая имеет место в силу условий предложения, и свойства диагонального преобладания 1 + YTC^-m > YT(anm + bnm), которое можно записать в виде т < т21, где т21 вычисляется по формулам (7). На этапе 3 опять имеем серию одномерных задач

-YTanmFnm+1 + (1 + YTCn,m) Fmn - YTb^imFnin-1 = Fnm ^ , m = 1, M - 1,

Fk+ = g3n, F^M1 = g4n, n =17N-I, для которой аналогично этапу II получаем т < т22. Предложение доказано.

3. Необходимые и достаточные условия монотонности для задачи с малым числом разбиений

Доказанное предложение дает ограничения на шаг т, выполнения которых достаточно для монотонности схемы. Возникает вопрос: насколько эти ограничения близки к необходимым и, в частности, является ли схема безусловно немонотонной при y =1 (ттах = 0 при y = 1). Для ответа на эти вопросы рассмотрим разностную схему для уравнения теплопроводности

dF/dt - x(d2F/dx2 + d2F/dy2) = 0

с числами разбиений N = M = 4 и равномерными шагами по осям x, y (здесь х = const — коэффициент температуропроводности). Положим на границе области F = 0. Исключив граничные точки, как показано в [6, с. 363], получим разностную задачу с девятью узлами на каждом временном слое:

k

nm)

n, m = I, 2, 3.

(Е + 7ГЛх)(Е + 7^2)^ = ЛпЕ Введем обозначения:

$ = 1 = ^УЧ •

Оператор Е + 7тЛ1 действует по столбцам и задается матрицей

1 + 27$ —7$ 0

—7$ 1 + 27$ — 7$ 0 —7$ 1 + 27$

Оператор Е + 7тЛ2 действует по строкам и задается матрицей

1 + 27$/ —7$/ 0

—7$/ 1 + 27$/ —7$/ 0 —7$/ 1 + 27$/

Оператор Лп действует следующим образом:

ЛпЕц = АЕц + £^21 + СТ12 + БЕ^,

Лп^21 = АЕ21 + В(Ез1 + Ей) + СТ22 + ^(^12 + ^32),

ЛпЕз1 = АЕз1 + £Е21 + СЕз2 + БЕ^, ЛпЕ12 = АЕ12 + £Е22 + с (Еп + Е\з) + Б(^1 + Щ,

Лп^22 = АЕ22 + В (Ез2 + Е12) + с (Е21 + Е2з) + Б(ЕП + Езз + Е13 + Ез1), ЛпЕз2 = АЕз2 + ВЕ22 + с (Ез1 + Езз) + Б(^1 + Е2з),

ЛпЕ1з = АЕ\з + ВЕ2з + СЕЪ + БЕ^, Лп^2з = АЕ2з + В(Езз + Е\з) + СТ22 + Б(^2 + Щ, ЛПЕзз = АЕзз + ВЕ2з + СЕз2 + ДЕ22,

где

А =1 — 2(1 — 7 )$(1 + /) + 472 $2/; В = (1 — 7)$ — 272$2/; С = (1 — 7 )$/ — 272$2/; Б = 7 2$2/• Оператор (Е + 7тЛ1)-1 действует по столбцам и задается матрицей

1

д

(12)

Ex Fx Gx

Fx Hx Fx

Gx Fx Ex

где

Ex = (1 + 27£)2 - 7V; Hx = (1 + 27£)2; Fx = (1 + 27£)7£;

Gx = 72^2; Ax = (1 + 47i + 27V)(1 + 275).

Оператор (Е + 7тЛ2) 1 действует по строкам и задается матрицей

где

1

Д

Еу = (1 + 278/)2 - 7282/2;

.,2x2,2.

Еу Еу Су

Еу Ну Еу

Су Еу Еу

Ну = (1 + 2181)2; Еу = (1 + 2151)151;

2 х2,2\

Су = 728212; Ду = (1 + 4у61 + 2725212)(1 + 278/) Разрешая (12) относительно Е^1, получим

Ект1 = (Е + 1тЛ2)-1(Е + 1гЛ1)-1ЛпЕ^т =

1

3 3

ЕЕ в

ДХДу .-,.-,

" г=1 ]=1

* Е к

птг] Е г]'

Среди 81 коэффициентов вПт^ в силу симметрии задачи только 25 различных. Это следующие коэффициенты:

в:

в**111 = Еу (ЕхА + ЕхВ) + Еу (ЕхС + ЕхВ),

в*2111 = Еу ((Ех + Сх)В + ЕхА) + Еу ((Ех + Сх)В + ЕхС), в \211 = (Еу + Су )(ЕхС + ЕхВ) + Еу (ЕхА + ЕхВ), (Еу + Су )((Ех + Сх)В + ЕхС) + Еу ((Ех + Сх)В + ЕхА),

вз*ш = Еу (ЕхВ + СхА) + Еу (ЕхВ + СхС),

2211

в

3211

(Еу + Су )(ЕхБ + СхС) + Еу (ЕхВ + СхА),

в

2311

в1зи = Еу (ЕхС + ЕхВ) + Су (ЕхА + ЕхВ), -- Еу ((Ех + Сх)В + ЕхС) + Су ((Ех + Сх)В + ЕхА), в3зи = Еу (ЕхВ + СхС) + Су (ЕхВ + СхА),

в

1121

Еу (ЕхА + НхВ) + Еу (Ех С + НхВ),

в

в*2121 = Еу (2ЕхВ + НхА) + Еу (2ЕхВ + НхС), в 1221 = (Еу + Су )(ЕхС + НхБ) + Еу (ЕхА + НхВ), в 2221 = (Еу + Су )(2ЕхВ + НхС) + Еу (2ЕхВ + НхА), в 1з21 = Еу (ЕхС + НхВ) + Су (ЕхА + НхВ), в*2321 = Еу (2Ех В + НхС) + Су (2ЕхВ + НхА), в*ш2 = Еу (ЕхА + Ех В) + Ну (ЕхС + ЕхВ), вт2 = Еу ((Ех + Сх)В + Ех А) + Ну ((Ех + Сх)В + ЕхС), в1212 = 2Еу (Ех С + ЕхВ) + Ну (ЕхА + ЕхВ), 2Еу ((Ех + Сх)В + +ЕхС) + Ну ((Ех + Сх)В + ЕхА),

*

2212

вз112 = Еу (ЕхВ + Сх А) + Ну (ЕхВ + СхС),

3212 = 2Еу (ЕхВ + СхС) + Ну (ЕхВ + СxA),

в*

*

*

вп22 = Ру (Р А + НхВ) + Ну ^С + Их В), $122 = Ру (2Рх В + НхА) + Ну (2РхЛ + НхС), $222 = 2Ру (Рх С + НхЛ) + Ну (РхА + НхВ), $222 = 2Ру (2Рх В + НхС) + Ну (2Рх в + Нх А).

Анализ показывает, что при 6 > 0 и любых 7 (в том числе 7 = 1) все коэффициенты /ЗПту > 0 в некоторой окрестности точки 6 = 0. Следовательно, можно определить максимально допустимый шаг 6тах, при котором все коэффициенты вПтц будут неотрицательны, если 6 < 6тах. Умножив в формулах (7) левые и правые части на хМх, получим достаточные условия монотонности относительно 6: 6 < бтах(т; 1), где

Сах(т;1) = <

1

2 + 21

при 7 = 0,

(1 - 7)(1 + 1) - у 72(1 - 1)2 + (1 - 27)(1 + 1)2

Ш1П

1 - 7 1 - 7 272 , 2721

4721

при 1/2 < 7 < 1.

при 0 < 7 < 1/2, (13)

На рис. 1 представлены зависимости 6тах и 6тах от 7 при различных значениях 1. Так как 6тах(7;1/1) = 16тах(7; 1) и аналогичным свойством обладает величина 6тах, то рассматривался только случай 1 < 1. А так как при 7 > 1/2 величины 6тах, 6тах уже не зависят от 1 при 1 < 1, то принята различная нумерация кривых при 7< 0.5 и 7 > 0.5. Кривые 1, 3, 5 показывают зависимость 6тах, кривые 2, 4, 6 — зависимость 6тах от 7 при 1 = 1, 0.25 и 0.01 соответственно, 0 < 7 < 1/2. Кривые 7, 8 показывают зависимость от 7 величин 6тах и 6тах соответственно при 1/2 < 7 < 1. Из рис. 1 видно, что при 7 < 1/2 6тах весьма близко к 6тах. При 7> 1/2, 7 ^ 1 кривые 6тах и 6тах далеки (6тах не стремится к нулю в отличие от 6тах). Цифрой 9 на рис. 1 обозначена кривая

Рис. 1.

6тах = Ш1М 2^, ^

- < 7 < 1. 2 ~

Видно, что эта кривая уже близка к кривой 7. Поэтому можно выдвинуть гипотезу, что и в общем случае в формулах (7) можно заменить функцию т13 на

т = min

1

1

2yx 2jy J

при этом полученный критерий останется достаточным.

4. Пример расчета

Рассмотрим задачу

dF д 2F d2F

dt дх2 ду2

= 0, 0 < х < 1, 0 <у < 1, t> 0;

F = -0.5, х = 0; F = 0.5, х = 1; F = f (x,t), у = 0; F = f (x,t), у = 1; (14)

F = в(х - 0.5) - 0.5, t = 0,

где

f (x,t) = х - 0.5 +

0(х) =

^ 2 cos(kn/2) -k2n2t .

v ' ^ k n t sin(knx);

k=i

kn

-e

0 при х < 0;

1 при х > 0.

Она имеет аналитическое решение F(x,y,t) = f (x,t).

Введем в квадрате 0 < х < 1, 0 < у < 1 равномерную сетку: xn = n/N, n = 0, N; ym = m/M, m = 0,M. Имеем AiFnm = (-Fn+im + 2Fnm - Fn-im)/h2x, A2Fnm = (-Fnm+i +

2Fnm Fnm- 1)/hl, где hx = 1/N; hy = 1/M. Используем для численного решения задачи

(14) разностную схему (4).

Рис. 2.

Положим N = М = 25 (тогда I = 1). Сначала произведем расчет при 7 = 0,1, т = 3^ах(0Л; 1)Н2Х (см. формулу (13)). На рис. 2 приведена зависимость от х полученной в расчете функции F при у = 0.48, I = т (непомеченная кривая) и I = 2т (кривая,

помеченная кружками). При увеличении £ осцилляции в решении распространяются на всю область значений переменной х.

Произведем аналогичный расчет при 7 = 0,1, т = 5тах(0.1; 1)ЛХ На рис. 3 приведена зависимость от х полученной в расчете функции Е при у = 0.48, £ = т (непомеченная кривая) и £ = 2т (кривая, помеченная кружками). Видно, что в этом случае осцилляций нет.

Определим теперь величину ттах как наибольшее значение т, при котором решение при £ = т, у = 0.48 остается монотонным, и рассчитаем зависимость величины 5тах = ттах/ЛХ от 7. Полученная зависимость показана на рис. 4. (При 7 = 0 5тах = 0, 5; при 7 = 0.5 ^тах = 1.5.) Она обрывается на значении 7 = 0.9, так как при 7 = 0.9 5тах скачком увеличивается от значения 39 до 550 и затем плавно уменьшается до значения 500 при 7 = 1. Это говорит о том, что с точки зрения уменьшения осцилляций при заданном т лучше использовать схему с 7, близким к 1.

Рис. 3.

Рис. 4.

Список литературы

[1] Harten A. On a Class of High Resolution Total - Variation - Stable Finite - Difference Schemes // SIAM J. Numer. Analys. 1984. Vol. 21, No. 1. P. 1 - 23.

[2] Булеев Н. И. Пространственная модель турбулентного обмена. М.: Наука, 1989. 344 с.

[3] Самарский А. А., Николаев Е. С. Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука, 1978. 592 с.

[4] КАлиткин Н. Н. Численные методы. М.: Наука, 1978. 512 с.

[5] Воеводин В. В., Кузнецов Ю. А. Матрицы и вычисления. М.: Наука, 1984. 320 с.

[6] Марчук Г. И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1977. 456 с.

Поступила в 'редакцию 3 января 2001 г.