Неявная гибридная монотонная разностная схема второго порядка точности Текст научной статьи по специальности «Математика»

Неявная гибридная монотонная разностная схема второго порядка точности

Демьянов А.Ю., Чижиков Д.В. [email protected])

Московский Физико-Технический Институт

Введение

Как известно [1], при численном решении уравнения переноса нельзя построить однородную монотонную разностную схему выше первого порядка аппроксимации. Поэтому построение монотонной схемы высокого порядка осуществляется с помощью специальных приемов. Здесь могут применяться явные схемы с переменными шагами по времени [2], различные операторы сглаживания [3], могут использоваться гибридные схемы [4], могут строиться алгоритмы коррекции конвективных потоков (таких, например, как ТУБ [5], £N0 [6], ТУБ [7]), могут использоваться многослойные схемы [8].

Следуя [9], будем рассматривать класс разностных схем, которые можно записать в виде двухпараметрического семейства, зависящего от параметров а и р. При Р=0 это будет класс с ориентированными разностями, при а=0 - класс схем с центральными разностями. В отличие от [9], рассмотрим неявные схемы из этого класса. После получения П-формы первого дифференциального приближения, исходя из требования минимума аппроксимационной вязкости, можно записать условие, налагаемое на а и р. Последовательно принимая а=0 и Р=0, проводится исследование монотонности такой гибридной схемы. Как и в [9], в результате анализа находятся области монотонности схемы в зависимости от чисел Куранта.

Данная схема апробировалась на одномерном уравнении переноса (как в линейном, так и в нелинейном случае). В качестве начальных условий задавался разрыв в форме "ступеньки". Граничные условия задавались в виде условий свободного вытекания. Сеточные уравнения разрешались методом пятиточечной прогонки [10].

Схема

Построение неоднородной конечно-разностной схемы рассмотрим на примере уравнения переноса:

(1) /, - а/х = 0.

Введем равномерную по пространству сетку О={х^Ш, h>0, i=0, 1, ...} и шаг по времени т. Определим на О сеточную функцию £п , совпадающую в узлах сетки с искомой функцией f. Запишем конечно-разностную аппроксимацию уравнения (1):

гп+\ - гп г - г

(2) ¿А_-/г + а J г+1/2 J г—1 /2 = 0

т И

Исследуем класс разностных схем, который можно записать в виде двухпа-раметрического семейства, зависящего от а и в следующим образом:

(3) £+1/2=а-+1+(1 -а-в)/г1+вс1.

В этом случае первое дифференциальное приближение для уравнения (2) имеет вид:

(4) £ + а/х = (1 / 2)[Иа(1 + 2а - 2 в) + та2 £.

Введем число Куранта:

(5) с = а(т/И).

Для схем с ориентированными разностями (т.е. при в=0) требование минимума аппроксимационной вязкости налагает условие (см. (4), (5)):

(6) а = -(с +1)/2 .

Для схем с центральными разностями (т.е. при а=0) требование минимума аппроксимационной вязкости налагает условие (см. (4), (5)):

(7) в = (с + 1)/2 .

На примере уравнения (2) проведем исследование монотонности схем при а=0 (в из (7)) и при в=0 (а из (6)). Анализ будем проводить для с>1, что обусловлено требованием спектральной устойчивости.

Предположим, что имеется монотонная сеточная функция {£п}. Функция {^п+1} будет также монотонной:

a) для схемы с в=0 и а из соотношения (6) - при выполнении одного из условий:

| £+1 - £ |> А(с) | £ - £- |, где А(с) = 2с /(с +1),

или

| /м - £ |< В(с) | £ - £- |, где В(с) = (с +1) /[2(с + 2)];

b) для схемы с а=0 и в из соотношения (7) - при выполнении одного из условий:

| /м - £ |> Е(с) | £ - £- |, где Е(с) = 2(с - 1) / с,

или

| £+1 - £ |< Н(с) | £ - £- |, где Н (с) = с /[2(с + 1)] . Заметим, что:

Л(с)>Б(с), А(с)>Е(с), В(с)>Н(с), Е(с)>Н(с) при любых значениях числа Куранта с. Если с>1.2, то Е(с)>В(с). Поэтому при с>1.5 имеем:

Л(с)>Е(с)>Б(с)>Н(с).

Значит, принцип построения неоднородной схемы можно сформулировать следующим образом:

1) при | /м — ^ |< Н(с) | / — | используется схема с а=0 и в из соотношения (7);

2) при Н (с) | £ — /г—х |<| /г+1 — £ < В(с) | £ — /г—х | используется схема с в=0 и а из соотношения (6);

3) при В(с) | £ — <| /м — £ < Е(с) | £ — | используется схема с в=0 и а из соотношения (6);

4) при Е(с) | £ — |<| £м — £ < А(с) | £ — | используется схема с а=0 и р из соотношения (7);

5) при | /м — £ |> А(с) | £ — £—1 | используется схема с Д=0 и а из соотношения (6).

Численные расчеты

Данная схема на гладких решениях имеет второй порядок аппроксимации по временной и пространственной переменным, устойчива при с>1 и монотонна при се[2;3].

Уравнение (2) запишем в виде:

(8) — са2£—+1 — с(1 — а! — а2 — Д)/—+1 + [1 + с(1 — а! — Д — Д2)]£п+ + сД1/1++1 = /П,

где коэффициенты а1, Д1 и а2, Д2 вычисляются вышеизложенным способом и относятся к £+1/2 и к £_1/2 соответственно.

Сеточное уравнение (8) решается с помощью метода пятиточечной прогонки [10].

Для уравнения (2) в качестве начальных данных берется "ступенька":

/0,х е [0;Ь/3),

/ (0, х) = {

/„х е [Ь/3;Ь].

Граничные условия - условия свободного вытекания:

/ (/,0) = /0, / (/, Ь) = 0.

Значения параметров: /0 = 200, /1 = 100, Ь = 400, И = 0.5, с(яв)=0.5, с(неяв)=2.5.

На рисунке показана функция {£п}, полученная с помощью явной гибридной схемы (кривая 2) [9], неявной схемы первого порядка точности (кривая 3) и рассматриваемой в данной работе схемы (кривая 4). Кривая 1 - точное решение уравнения переноса.

Отметим, что схема первого порядка точности обладает слишком большой диссипацией, в то время как предлагаемая схема сравнима с явной гибридной схемой второго порядка точности [9].

Графики

Литература

1. Годунов С.К. Разностный метод численного расчета разрывных решений гидродинамики. //Матем. Сб. - 1959 -Т. 47 - С. 271-306.

2. Лебедев В.И. Явные разностные схемы для решения жестких задач с комплексным или разделимым спектром. //ЖВМ и МФ - 2000 - Т. 40, N 12 - C.1801-1812.

3. Лобановский Ю.И. О монотонизации конечно-разностных решений в методах сквозного счета. //ЖВМ и МФ - 1979 -Т. 19, N 4 - C. 1063-1069.

4. Федоренко Р.П. Применение разностных схем высокой точности для численного решения гиперболических уравнений //ЖВМ и МФ - 1962 - Т. 2, N 6 - C. 1122-1128.

5. Harten A. High resolution schemes for hyperbolic conservation laws. //J. Comput. Phys. - 1983 - V. 49 - PP. 357-393.

6. Harten A. ENO schemes with subcell resolution. //J. Comput. Phys. - 1989 - V. 83 -PP. 148-184.

7. Harten A. On a large time-step high-resolution scheme. //Mathem. Of Comput. -1986 -V. 46, N 174 - PP. 148-184.

8. Головизнин В.М., Самарский А. А. Разностная аппроксимация конвективного переноса с пространственным расщеплением временной производной. //Ж. Мат. Моделирования - 1998 - Т. 10, N1 - C. 86-100.

9. Белоцерковский О.М., Гущин В.Я., Коньшин В.Н. Метод расщепления для исследования течений стратифицированной жидкости со свободной поверхностью. //ЖВМ и МФ - 1987 - Т. 27 - C. 594-609.

10. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решений сеточных уравнений. //М.: Наука, 1978.