УСЛОВИЯ ФИЗИЧЕСКОЙ РЕАЛИЗУЕМОСТИ ТИПОВОЙ СОСТАВЛЯЮЩЕЙ Z(Y)-МАТРИЦЫ СОГЛАСУЮЩЕГО ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКА ОБЩЕГО ВИДА В СОСРЕДОТОЧЕННОМ ЭЛЕМЕНТНОМ БАЗИСЕ Текст научной статьи по специальности «Математика»

_ДОКЛАДЫ АН ВШ РФ_

2020_июль-сентябрь_№ 3 (48)

- ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ -

УДК 621.372.0

УСЛОВИЯ ФИЗИЧЕСКОЙ РЕАЛИЗУЕМОСТИ ТИПОВОЙ СОСТАВЛЯЮЩЕЙ z(y)-МАТРИЦЫ СОГЛАСУЮЩЕГО

ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКА ОБЩЕГО ВИДА В СОСРЕДОТОЧЕННОМ ЭЛЕМЕНТНОМ БАЗИСЕ

Г.Н. Девятков

Новосибирский государственный технический университет

При решении задач широкополосного согласования очень часто появляется необходимость в определенной форме амплитудно-частотной характеристики. В связи с этим возникает задача синтеза широкополосных согласующих устройств, обладающих одновременно корректирующими свойствами, т.е. имеющих заданную частотную зависимость коэффициента преобразования мощности в рабочей полосе частот. Использование широкополосных реактивных согласующе-корректирующих цепей в большинстве практических случаев затруднено из-за отраженной мощности. Это приводит к проблеме синтеза широкополосных согласующе-корректирующих цепей при произвольных иммитансах источника сигнала и нагрузки в элементном базисе общего вида, содержащем наряду с реактивными активные элементы, которая в должной мере не решена. В связи с этим возникает необходимость в нахождении условий физической реализуемости типовой составляющей имми-тансной матрицы четырехполюсника общего вида, содержащей полюсы в левой полуплоскости комплексных частот. В работе определены необходимые и достаточные условия физической реализуемости иммитансной матрицы типовой составляющей подкласса четырехполюсников общего вида в сосредоточенном элементном электрическом базисе, когда полюсы собственных функций в фостеровском представлении могут находиться в левой полуплоскости комплексных частот, исключающие мнимую и вещественную оси. Это позволяет осуществить с единых позиций синтез широкополосных диссипативных согласующих, согласующе-корректирующих цепей и согласованных аттенюаторов в элементном базисе общего вида при произвольных иммитансах источника сигнала и нагрузки.

Ключевые слова: широкополосное согласование, коррекция, иммитансные матрицы, собственные параметры, условия физической реализуемости.

Б01: 10.17212/1727-2769-2020-3-13-20

Введение

При построении широкополосных радиотехнических трактов наряду с решением проблемы широкополосного согласования возникает необходимость в коррекции сильной частотной зависимости коэффициента преобразования мощности используемых полупроводниковых приборов (транзисторов, диодов) в рабочей полосе частот. Этой задаче, по существу относящейся к задачам синтеза амплитудных выравнивателей и тесно связанной с общей проблемой синтеза электрических цепей, частотные характеристики которых приближенно воспроизводят заданные зависимости в определенной области частот, посвящено большое количество публикаций [1-3]. Следует отметить, что раздельное решение задач широкополосного согласования и коррекции, как правило, приводит к более сложному варианту построения устройств. В связи с этим возникает проблема синтеза широкополосных согласующих устройств, обладающих одновременно корректирующими свойствами, т. е. имеющих заданную частотную зависимость коэффициента преобразования мощности в рабочей полосе частот. Использование широкополосных реактивных согласующе-корректирующих цепей [2, 4] позволяет реали-

© 2020 Г.Н. Девятков

зовать большую широкополосность устройств по сравнению с раздельным решением задач широкополосного согласования и коррекции, но в большинстве практических случаев затруднено из-за отраженной мощности. Это, в свою очередь, приводит к проблеме синтеза широкополосных согласующе-коррек-тирующих цепей при произвольных иммитансах источника сигнала и нагрузки в элементном базисе общего вида, содержащем наряду с реактивными активные элементы, которая в должной мере не решена. В известных публикациях в основном используется параметрический подход к синтезу диссипативных согласую-ще-корректирующих цепей при простейших нагрузочных иммитансах, что связано со сложностью решаемой проблемы.

Целью работы является определение необходимых и достаточных условий, физической реализуемости иммитансных матриц, позволяющих осуществить с единых позиций синтез широкополосных диссипативных согласующих и согла-сующе-корректирующих цепей и согласованных аттенюаторов в элементном базисе общего вида при произвольных иммитансах источника сигнала и нагрузки.

1. Метод решения

В данной работе ограничим класс решаемых задач сосредоточенным элементным базисом. А также учтем результативность подхода, используемого при автоматизированном синтезе широкополосных реактивных согласующих четырехполюсников, связывающих произвольные иммитансы источника сигнала и нагрузки и позволяющего найти его собственные функции, имеющие минимальную сложность, при которых коэффициент преобразования мощности удовлетворяет поставленным требованиям с одновременным выполнением ограничений, обеспечивающих физическую реализуемость [5]. Тогда так же, как и в случае чисто реактивного четырехполюсника, имеет смысл использовать при синтезе выражения для собственных параметров идеального четырехполюсника в элементном базисе общего вида, согласующего произвольные иммитансы источника сигнала и нагрузки, представляющие собой бесконечные быстросходящиеся ряды в виде первой и второй формы Фостера, что позволяет синтезировать устройства, имеющие сравнительно небольшое число элементов с рабочими характеристиками, близкими к предельным [6]. Это приводит к необходимости нахождения условий физической реализуемости типовой составляющей иммитансной матрицы в элементном базисе общего вида.

Следует отметить, что в сосредоточенном элементном базисе реализация по Фостеру применима к трем типам двухэлементных цепей, содержащих ЬС, ЬЯ, СЯ элементы, т. е. когда полюсы функций сопротивления (проводимости) расположены только на мнимой или отрицательной части вещественной оси комплексных частот [7]. В общем же случае для реализации цепей, содержащих три элемента ЬСЯ, метод Фостера применим лишь при определенных условиях. Это связано с тем, что разложение сопротивления (проводимости), являющегося положительной вещественной функцией на сумму простых составляющих не гарантирует, что эти составляющие также являются положительными вещественными функциями. В то же время, как следует из систем уравнений для собственных параметров [6], полюсы собственных функций синтезируемого согласующего четырехполюсника в элементном базисе общего вида могут находиться в любом месте левой полуплоскости комплексной частоты. В связи с этим возникает необходимость в нахождении условий, при которых разложение по Фостеру применимо и для общего случая.

Учитывая, что полюсы пассивной цепи, лежащие в левой полуплоскости комплексной частоты кроме отрицательной части вещественной оси, являются комплексно-сопряженными парами, в работе [7] показано, что для физической реализуемости сопротивления г(я)-соответствующего такой паре

* (я)

(1)

где к. = а. + jPV - вычет относительно полюса при я. = -ст. + , на составляющие вычета к. должны быть наложены следующие ограничения:

а., > 0

(2)

при этом ст. и юу являются положительными величинами по определению.

Используя эти результаты, вначале определим условия физической реализуемости, которым должна удовлетворять совокупность функций (я), г.1(я),

*22(5) (((я), У21 (я), У22(я)) типовой оставляющей

2 V (У V) = 2. (у.)+z. (у.), (3)

где

2 V (у V) =

к11 /( - ) (-)к12 /( - ) (-)к21 / (я - ) к22 /(я - )

2 ¡V (У ¡V ) =

(кй)*/(*-^) (-Х^)*/(я-.;)

(-Х*21)*/(™;) (*22)*/(™;)

2(у) - матрицы четырехполюсника общего вида, содержащей полюсы в точках

*

я. и я. (я. =-ст. + jюV) левой полуплоскости комплексных частот. Матрицы (У.), (у.), также как и в более простых случаях, могут быть реализованы в виде четырехполюсников общего вида (рис. 1), соответствующая 2ов (уов)- матрица которых имеет вид

{ (у ов )

Кп/ К12/ К*21/ К 22 /

(4)

где под / следует понимать функции , 1Б, 2б/(£2 - Б.).

СХ..СТ

V" V

со

V

Рис. 1 - Четырехполюсники общего вида Fig. 1 - General view quadrupoles

Элементы четырехполюсников могут быть определены по следующим формулам:

Zi( У1) = (- K) f,

z2 (У2) = Kf, n = Kf22l K

12 >

K = (K12 )2 / K22 • Тогда, используя формулы (5), запишем следующие уравнения:

«22 + Jß22 .

n = -

«21 + jß21

„v + jß21 -«21 + jß21

= «1 + jß1.

(5)

(6)

(7)

„21 + jß2

1 = „2 + jß2.

(8)

Считая коэффициент трансформации п идеального трансформатора действительным, можно из (6)-(8) получить соотношения:

n = «222 / «21 , n = ß22 / ß21. «11 -«21/ n =«1, ß11 -ß21 / n = ß1. «21/ n = « 2, ß21 / n = ß2,

(9) (10) (11)

из которых следует, что п будет иметь такой же знак, что и действительная часть

7 V

вычета «21.

Уравнения (10) и (11) с учетом (10) и (2) могут быть записаны в виде соотношений:

\2

а!

1 >0, «22 >0, «11 «22-(«21) >0 ß21

21

^ , ß22 =ß21 ^

ю„

«21

(12) (13)

б

а

n

п

,v (P2l)2

P11

Р22

av («2i)2 A

aii 7" a 22

(14)

являющихся искомыми необходимыми условиями физической реализуемости.

При реализации матрицы (3) в форме четырехполюсников общего вида (рис. 1) их составляющие 21(5) и 22(5) будут иметь вид (рис. 2, а), а >1(5) и >"2(5) -(рис. 2, б), элементы которых могут быть найдены по формулам:

Cf (Ly ) = 1/ (2a,- ), Gf (R,y ) = (av + ■^ ^ ) / 2a, ;

a,

Lf (Cf ) = A .

Rf (G, ) = A(av — —^ ), a

(15)

(16)

где i — 1,2;

A — -

2a ,

(

32 A

1

V ai y

a1 — a11 —

(a21 )

(a20

a22 2

l22

P1 = Pv1 —

(P21)2 P22

P2 =

(P21 )2 P22

f, (s)

y г (s)

Рис. 2 - Структуры цепей zi (s) и yi(s) Fig. 2 - Structures of circuits z, (s) and yг(s)

Таким образом, структура z(y)-матриц четырехполюсников, являющихся подклассом четырехполюсников общего вида, когда полюсы функций Zu(s),

Z22 (s), f21(s) (yn(s), y22(s), y21(s)) могут находиться в левой полуплоскости комплексных частот, исключая мнимую и вещественную оси, запишутся в следующем виде:

б

а

т

(>п(5) ) — Е

V—1

к,1 ,(1)

5 - 5 -

V У

+ 2110(8) ^(^110 (8) )

г21(8 ) ^.У21(8 ) ) — (-) Е

V—1

/ * Л

кЪ +((21)

*

8 - .V 5 - 5, ,

т

¿22 (5) (>22(5)) — Е —1

^ +((22** ^ 5 - 5 - 5*

V У

+ ^220(5) (>220(5) )

(17)

где к?ъ (к^) , к^1,(к21) , к^, (к22) - вычеты функций ¿п(5), 122(5), ^5) (>11(5), >"22(5), >"21(5)) относительно полюсов 5 —-ст„+ , 5 —-ст„- ; ¿110 (5), ¿220(5) (>110 (5), >220(5)) - функции, полюса которых не вошли в число полюсов функций ¿21(5), (>21(5)).

Необходимые и достаточные условия физической реализуемости, которым должны удовлетворять элементы матрицы (17), определяются соотношениями

(12)—(14), где а21, Рп, Р21, Р22 могут принимать как положительные, так и отрицательные значения.

Каноническая схема четырехполюсника, соответствующая элементам z(y)-матрицы (17), может быть получена последовательным (параллельным) соединением более простых четырехполюсников, описываемых матрицами (4).

В заключение следует отметить, что в общем случае, когда собственные функции 5), ¿22(5), ¿21(5) (>ц(5), >22(5), >21(5)) содержат несколько типовых составляющих, ограничения на физическую реализуемость (12)—(14) каждой из них могут быть сняты и заменены на более слабые, определяющие физическую реализуемость в целом всего синтезируемого четырехполюсника [8]:

Яе гп(5) (Яе >11(5)) > 0; Яе ¿22(5) (Яе >22(5))> 0;

Яе ¿11(5) Яе ¿22 (5) (Яе>п(«)Яе>22 («)) > (е ^(я))2 ((Яе>21(5))2 ) .

Естественно, что реализация согласующего четырехполюсника должна быть в этом случае произведена общими методами [7].

(18)

Заключение

Определены необходимые и достаточные условия физической реализуемости матриц типовой составляющей подкласса четырехполюсников общего вида в сосредоточенном элементном базисе, когда полюсы собственных функций четырехполюсников могут находиться в левой полуплоскости комплексных частот, исключая мнимую и вещественную оси.

ЛИТЕРАТУРА

1. Ланнэ А. А. Оптимальный синтез линейных цепей. - М.: Связь, 1969. - 272 с.

2. Шварц Н.З. Линейные транзисторные усилители СВЧ. - М.: Советское радио, 1980. -368 с.

3. Ортюзи Ж. Теория электронных цепей: пер с фр. Т. 2 / под ред. Л.Р. Явича. - М.: Мир, 1971. -548 с.

4. Богачев В.М. Обобщенная предельная задача Фано-Юлы // Радиотехника. - 1985. -№ 6. - С. 47-51.

5. Девятков Г.Н. Автоматизированный синтез широкополосных согласующих устройств, связывающих произвольные иммитансы источника сигнала и нагрузки // Научный вестник НГТУ. - 2004. - № 1 (16). - С. 155-165.

6. Девятков Г.Н. Структура собственных параметров идеального согласующе-корректирующего четырехполюсника общего вида // Известия Международной академии наук высшей школы. - 2006. - № 1 (35). - С. 83-92.

7. Гиллемин Е.А. Синтез пассивных цепей. - М.: Связь, 1970. - 720 с.

8. Реза Ф., Сили С. Современный анализ электрических цепей: пер. с англ. - М.; Л.: Энергия, 1964. - 480 с.

CONDITIONS FOR THE PHYSICAL REALIZABILITY OF A TYPICAL

COMPONENT z(y)-MATRIX OF A MATCHING QUADRUPOLE OF A GENERAL FORM IN A CONCENTRATED ELEMENTAL BASIS

Devyatkov G.N.

Novosibirsk State Technical University, Novosibirsk, Russia

When solving problems of broadband matching, very often there is a need for a certain form of the amplitude-frequency characteristic. In connection with this, the problem comes up of synthesizing broadband matching devices that simultaneously have correcting properties, i.e. having a given frequency dependence of the power conversion coefficient in the operating frequency band. The use of broadband reactive matching - correcting circuits in most practical cases is difficult because of the reflected power. This leads to the problem of the synthesis of broadband matching-correcting circuits with arbitrary immittances of the signal source and load in an elemental basis of a general form, containing along with reactive and active elements, which has not been adequately solved. Therefore, it becomes necessary to find the conditions for the physical realizability of a typical component of the immitance matrix of a two-port network of general form containing poles in the left half-plane of complex frequencies. In this paper the necessary and sufficient conditions are defined for the physical realizability of the immitance matrix of a typical component of a subclass of two-terminal networks of general form in a lumped elemental electric basis, when the poles of the Eigen functions in the Foster representation can be in the left half-plane of complex frequencies, excluding the imaginary and real axes. This allows to synthesis of broadband dissipative matching, matching-correcting circuits and matched attenuators in an elemental basis of a general form with arbitrary immitances of the signal source and load from a single point of view.

Keywords: broadband matching, correction, immitance matrices, Eigen parameters, conditions of physical feasibility.

DOI: 10.17212/1727-2769-2020-3-13-20

REFERENCES

1. Lanne A.A. Optimal'nyi sintez lineinykh tsepei [Optimal synthesis of linear circuits]. Moscow,

Svyaz' Publ., 1969. 272 p.

2. Shvarts N.Z. Lineinye tranzistornye usiliteli SVCh [Linear transistor microwave amplifiers].

Moscow, Sovetskoe radio Publ., 1980. 368 p.

3. Ortusi J. Teoriya elektronnykh tsepei. T. 2 [Theory of electronic circuits. Vol. 2]. Ed. by

L.R. Yavich. Moscow, Mir Publ., 1971. 548 p. (In Russian).

4. Bogachev V.M. Obobshchennaya predel'naya zadacha Fano-Yuly [Generalized Fano-Yula limit problem]. Radiotekhnika = Radioengineering, 1985, no. 6, pp. 47-51.

5. Devyatkov G.N. Avtomatizirovannyi sintez shirokopolosnykh soglasuyushchikh ustroistv, svyazyvayushchikh proizvol'nye immitansy istochnika signala i nagruzki [Automated sunthe-sis jf broad-band matching devices connecting arbitrary immitance of signals sourse and load]. Nauchnyi vestnik Novosibirskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta = Science bulletin of the Novosibirsk state technical university, 2004, no. 1 (16), pp. 155-165.

6. Devyatkov G.N. Struktura sobstvennykh parametrov ideal'nogo soglasuyushche-korrektiruyushchego chetyrekhpolyusnika obshchego vida [The structure of the Eigen parameters of an ideal matching-correcting four-terminal network of general form]. Izvestiya mezhdu-narodnoj akademii nauk vysshej shkoly = Proceedings of the International higher education academy of sciences, 2006, no. 1 (35), pp. 83-92.

7. Guillemin E.A. Synthesis of passive networks. New York, Wiley, 1957 (Russ. ed.: Gille-min E.A. Sintezpassivnykh tsepei. Moscow, Svyaz' Publ., 1970. 720 p.).

8. Reza F., Seely S. Modern network analysis. New York, McGraw-Hill, 1959 (Russ. ed.: Reza F., Sili S. Sovremennyi analiz elektricheskikh tsepei. Moscow, Leningrad, Energiya Publ., 1964. 480 p.).

СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРАХ

Девятков Геннадий Никифорович - родился в 1945 году, д-р техн. наук, профессор, профессор кафедры конструирования и технологии радиоэлектронных средств Новосибирского государственного технического университетам. Область научных интересов: автоматизированный синтез активных и пассивных устройств СВЧ. Опубликовано 190 научных работ, в том числе 2 монографии. (Адрес: 630073, Россия, Новосибирск, пр. К. Маркса, 20. E-mail: devyatkovgn@mail.ru).

Devyatkov Gennadii Nikiforovich (b. 1945) - Doctor of Science (Eng.), Associate Professor, Professor at the Department of Design and Technology of Electronic Devices in the Novosibirsk State Technical University. Research interests: automated synthesis and design of active and passive microwave devices. He is the author of over 150 scientific papers and 2 monographs. (Address: 20, Karl Marx Av., Novosibirsk, 630073, Russia. E-mail: devyatkovgn@mail.ru).

Статья поступила 19 июля 2020 г.

Received July 19, 2020

To Reference:

Devyatkov G.N. Usloviya fizicheskoi realizuemosti tipovoi sostavlyayushchei z(y)-matritsy soglasu-yushchego chetyrekhpolyusnika obshchego vida v sosredotochennom elementnom bazise [Conditions for the physical realizability of a typical component z (y)-matrix of a matching quad-rupole of a general form in a concentrated elemental basis]. Doklady Akademii nauk vysshei shkoly Rossiiskoi Federatsii = Proceedings of the Russian higher school Academy of sciences, 2020, no. 3 (48), pp. 13-20. DOI: 10.17212/1727-2769-2020-3-13-20.