CC BY
8Краткие сообщения
УДК 519.216
УСЛОВИЕ ВЫРОЖДЕННОСТИ ОПТИМАЛЬНОГО МОМЕНТА В ЗАДАЧЕ ОПТИМАЛЬНОЙ ОСТАНОВКИ ДЛЯ ФУНКЦИОНАЛА ОТ СКОШЕННОГО ВНИЗ СЛУЧАЙНОГО БЛУЖДАНИЯ И ЕГО МАКСИМУМА
А. Л. Воробьёв1
В задаче оптимальной остановки для функционала от скошенного вниз случайного блуждания и его максимума предложен новый класс функционалов, для которых оптимальным моментом на конечном временном интервале является вырожденный момент — начало интервала.
Ключевые слова: скошенное случайное блуждание, оптимальная остановка, правило "купи и держи".
The paper presents a new class of functions dependent on skew-down random walk and its maximum such that the optimal moment in the optimal stopping problem for this function on a finite time interval is trivial and equal to the beginning of the interval.
Key words: skew random walk, optimal stopping, "buy-and-hold" rule.
1. Введение. Рассмотрим несимметричное случайное блуждание Sn, задаваемое следующим образом:
So = 0, Sn = (Xi + X2 + ... + Xn),
где Xi,X2,... — независимые, одинаково распределенные случайные величины, P (Xj = 1) = p, P(Xj = -1) = q = 1 — p для любого i.
Для данного процесса имеет место задача оптимальной остановки
V (f ) = sup Ef (St ,Mn ),
o^r^N П.Н.
где т пробегает все моменты остановки относительно естественной фильтрации процесса (Sk)o^fc^w
(т.е. Fk = 0"(Xj, i ^ k)), те превосходящие N с вероятностью 1; Mn = sup Sk — максимум траекто-
OKkKN
рии блуждания на отрезке [0,N]; f (s,m) — некоторая функция.
Если записать f(Sr, Mn) = h(eSr,eMN), то поиск оптимального момента остановки в этой задаче можно интерпретировать как выбор оптимального момента для продажи акции на временном интервале [0,N] в рамках модели Кокса-Росса-Рубинштейна (см. [1]) инвестором, v которого есть такая акция и который должен продать ее в какой-то момент данного интервала. В такой интерпретации процесс eSt
т
некоторым соотношением цены акции в данный момент и максимальной цены на всем интервале, или величиной h(eSr, eMN). Эта интерпретация аналогична описанной в работе [2] для модели Блэка-Мертона-Шоулза.
Основным известным результатом для сформулированной задачи является следующая теорема, в которой рассматривается случай f (s,m) = g(m — s) (см. [3]).
Теорема 1. Пусть g : {0,1,... , N} ^ К — невозрастающая, выпуклая вниз на своей области определения функция. Обозначим
т* = arg( sup E(g(MN — Sr))).
O^r ^N
Тогда:
1) если p < mo r* = 0 n.n.;
2) если p > mo r* = N n.n.;
3) если p = mo r* — любой момент остановки, удовлетворяющий условию Р{т* = N или ST* = Mr *} = 1.
Воробьёв Александр Леонидович — асп. каф. теории вероятностей мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: alvorobyev88Qgmail.com.
Множество оптимальных моментов в этой теореме включает вырожденные моменты начало и конец интервала. В упомянутой финансовой интерпретации такой результат соответствует классу стратегий "купи и держи".
2. Основные результаты. Укажем еще один класс функций f (s, m), для которых в исходной задаче при р ^ ^ можно останавливаться вначале, т.е. одним из оптимальных моментов является т = 0 п.н.
Теорема 2. Пусть функция f (s, m) дважды дифференциируема, fss(s,m) ^ 0 fsm(s,m) ^ 0 при s Е [—N, N],m Е [0,iV],s ^ т. Тогда при р ^ | для tq = 0 п.н. выполняется,
Ef (ST0 ,Mn )= sup Ef (Sr ,Mn ).
O^r^N П.Н.
f(s, m)
Лемма. Для функции f (s, m) из условия теоремы 2, любых целых si ^ s2; 0 ^ mi ^ m2 и натурального As выполняется
f (si + As, mi) + f(s2, m2) ^ f(si, mi) + f(s2 + As, m2).
(1)
Расположение аргументов на плоскости («,ш) указано на рисунке: светлыми кружками обозначены точки из правой части неравенства, темными из левой части.
Доказательство. Итак, пусть /33(в,т) ^ ¡зт(в,ш) ^ 0. Необходимо доказать неравенство (1), которое можно переписать как
/(«1 + А«, Ш1) - /(«1, Ш1) ^ /(«2 + А«, Ш2) - /(«2, Ш2).
Поскольку «2 ^ «1, Ш2 ^ Ш1, то последнее неравенство будет выполняться, если д(«,ш) = /(« + А«, ш) — /(«, ш) является невозрастающей по обоим аргументам в и ш. Покажем, что последнее верно, а именно, что производные функции д(«, ш) по каждому из аргументов неположительны: д8(«, ш) = /8(« + А«,ш) — /5(«,ш) ^ 0 так как /««(«, ш) ^ 0 и /8(«, ш) убывает по ш) = /т(« + А«,ш) — /т(«,ш) ^ 0 так как /те(«,ш) = /8т(«,ш) ^ 0 и
/т(«, ш) убывает по Лемма доказана. □
Доказательство теоремы 2. Введем обозначение = Е/(5Т, )• Распишем данное математическое ожидание:
Хт = Р(^)/(^тН,Му(ш)),
где ш пробегает все возможные случайные исходы, исход соответствует траектории случайного блуждания на интервале [0,Ж] и количество таких траекторий равно 2м; Р(ш) — вероятность исхода ш; $т(ш) — значение случайного блуждания в момент г при исходе ш; Мм(ш) — значение максимума случайного блуждания па интервале [0,Ж] при исходе ш.
Докажем, что для момента остановки го = 0 п.н. и любого другого момента остановки Г1
^то ^ ^п •
(2)
го
го
щуюся моментом п, такую, что каждый следующий в последовательности момент гк+1 отличается от предыдущего гк только на одной траектории случайного блуждания внутри интервала [0, гк], причем па этой траектории процесс останавливается в момент гк+1 на один шаг позже, чем в момент гк. То есть с каждым новым моментом остановки в этой последовательности мы по какой-то траектории на один шаг приближаемся к п. Пусть го = г\ г1 = гг. Очевидно, достаточно доказать, что для к = 1,...,г — 1
fc+i •
(3)
Пусть моменты гк и гк+1 равны и ¿к+1 на траекториях, на которых они отличаются. Суммы к и к+1 будут отличаться только слагаемыми, соответствующими этим траекториям. Разобьем эти траектории на пары: пару образуют траектории, отличающиеся на шаге после момента гк и одинаково шагающие далее (одновременно идущие вниз или вверх).
В каждой паре траекторий (ш/,ш//) па шаге после момента гк:
одна траектория w' идет вверх, и STk+1 (w') = STk (w') + 1;
другая траектория w'' идет вниз, и STk+i(w'') = STk(w'') — 1. Заметим также, что STk(w') = STk(w''), Mn(w')—Mn(w'') £ {0,1, 2}. Действительно, максимумы двух траекторий, отличающихся только на одном шаге, отличаются на 0, 1 или 2:
0, если обе они достигли своего максимума Mn(w') = Mn(w'') до шага разветвления (шаг, на котором они отличаются);
1, если до шага разветвления они достигли лишь значения Mn (w') — 1;
2, если до шага разветвления они не достигли значения Mn(w') — 1. Тогда эта пара вносит следующий вклад в разницу (XTk — XTk+i):
(f (Stk (w''),Mn(w'')) — f (Stk+i(w''),Mn(w''))) — (f (Stk+i (w'),Mn(w')) — f (Stk (w'),Mn(w'))) ^ 0. Данное неравенство является следствием леммы при s1 = STk+i (w''), s2 = STk (w'), As = 1, mi = MN(w''), m2 = MN(w') (тогда мы знаем, что s2 = s1 + 1, m2 — m1 £ {0,1,2}).
Таким образом, каждая пара траекторий вносит неотрицательный вклад в разницу (£Tk — XTk+i) для любого k = 1,...,r — 1, откуда следует неравенство (3), а го него — неравенство (2). Теорема 2 доказана. □ Автор приносит благодарность А. Н. Ширяеву за постановку задачи и внимание к работе.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. Т. 2: Теория. М.: Фазис, 1998.
2. Shiryaev A.N., Xu Z., Zhou X.Y. Thou shalt buy and hold // Quantitative Finance. 2008. 57, N 8. 765-776.
3. Allaart P.C. A general "bang-bang" principle for predicting the maximum of a random walk //J. Appl. Probab. 2010. 47, N 4. 1072-1083.
Поступила в редакцию 01.03.2013
УДК 511
АСИМПТОТИКА КОНЪЮНКТОРНОЙ СЛОЖНОСТИ САМОКОРРЕКТИРУЮЩИХСЯ СХЕМ для монотонных СИММЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ С ПОРОГОМ 2
Т. И. Краснова1
Для монотонных симметрических булевых функций /^(xi,..., xn) = V xiхз ПРИ
растущем n установлена асимптотика L&(/n) ~ (k + 2)n, где L&&(/n) _ конъюнкторная сложность реализации функции /П k-самокорректирующимися схемами из функциональных элементов в базисе B = {&, —}, вес над^кного конъюнктора ^ k + 2.
Ключевые слова: схемы из функциональных элементов, монотонные симметрические булевы функции, конъюнкторная сложность, самокорректирующаяся схема.
It is stated that the conjunction complexity L&(/n) of monotone symmetric Boolean functions /П(х1,..., xn) = \J XjXj realized by k-self-correcting circuits in the basis B =
{&, —} asymptotically equals (k + 2)n for growing n when the price of a reliable conjunctor is > k + 2.
Key words: circuits, monotonie symmetric Boolean functions, conjunction complexity, self-correcting circuit.
В работе
рассматривается реализация булевых функций /^(xi,... ,xn) —
V x^xj (т.е. монотонных симметрических пороговых функций с порогом 2) k-самокорректирующимися схемами из функциональных элементов в базисе B = {&, —} [1, 2]. Схема называется k-самокорректирующейся, если при
1 Краснова Татьяна Игоревна — асп. каф. дискретной математики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: kotovatï®ya.ru.
