Точные неравенства для максимума скошенного броуновского движения Текст научной статьи по специальности «Математика»

Доказательство теоремы 2. Положим D = DB(фа)• Как было отмечено выше, функция фа,с принадлежит множеству W. Положим £ = (£а1 (xi),... ,£ап(xn)). В силу леммы 3 существует представимая в виде многочлена (относительно набора £) формула Ф глубины D + 2, которая реализует фа,,с. По лемме 4 имеет место равенство

P> = (-1)nc(yi + 1)- ... • (yn + 1).

Из леммы 5 следует, что (D + 2) — 1 ^ Ni(P|ф)+ N-i(P^ф) = 2n — 1. Тогда 2n — 2 ^ D, что и требовалось доказать. Теорема доказана.

Из теорем 1, 2 непосредственно вытекает

Теорема 3. Для любого n ^ 1 имеют место неравенства 2n — 2 ^ DB (W (n)) ^ 2n — 1. В заключение автор выражает искреннюю признательность А. Б. Угольникову за постановку задачи и обсуждение результатов работы.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, грант № 11-01-00508, и программы фундаментальных исследований Отделения математических наук РАН "Алгебраические и комбинаторные методы математической кибернетики и информационные системы нового поколения" (проект "Задачи оптимального синтеза управляющих систем").

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Яблонский С.В. Введение в дискретную математику. М.: Высшая школа, 2006.

2. Лупанов О.Б. Асимптотичексие оценки сложности управляющих систем. М.: Изд-во МГУ, 1984.

3. Лупанов О.Б. О сложности реализации функций алгебры логики формулами // Проблемы кибернетики. Вып.3. М.: Физматгиз, 1960. 61-80.

4. Угольников А.Б. О глубине формул в неполных базисах // Матем. вопросы кибернетики. 1988. Вып. 1. 242-245.

5. Угольников А.Б. О глубине и сложности формул, реализующих функции из замкнутых классов // Докл. АН СССР. 1988. 298, № 6. 1341-1344.

6. Глухов М.М. Об а-замкнутых классах и а-полных системах функций k-значной логики // Дискретн. матем. 1989. 1, вып. 1. 16-21.

7. Чернышов А.Л. Условия а-полноты систем функций многозначной логики // Дискретн. матем. 1992. 4, вып. 4. 117-130.

8. Шабунин А.Л. Примеры а-полных систем k-значной логики при k = 3,4 // Дискретн. матем. 2006. 18, вып. 4. 45-55.

9. Труш,ин Д.В. О глубине а-пополнений систем булевых функций // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2009. № 2. 72-75.

10. Труш,ин Д.В. Об оценках глубины а-пополнений систем функций трехзначной логики // Проблемы теоретической кибернетики: Мат-лы XVI Междунар. конф. Н. Новгород: Изд-во ННГУ, 2011. 484-487.

Поступила в редакцию 14.12.2011

УДК 519.216

ТОЧНЫЕ НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ МАКСИМУМА СКОШЕННОГО БРОУНОВСКОГО ДВИЖЕНИЯ

Я. А. Люлько1

В работе получено максимальное неравенство для скошенного броуновского движения, являющееся обобщением классических неравенств для стандартного броуновского движения и его модуля. Доказательство результата основано на решении задачи оптимальной остановки, для которой найдены оптимальный момент и функция цены.

Ключевые слова: скошенное броуновское движение, максимальные неравенства, оптимальные правила остановки, локальное время.

The maximal inequality for the skew Brownian motion being a generalization of the well-known inequalities for the standard Brownian motion and its modulus is obtained in the paper.

1 Люлько Ярослав Александрович — асп. каф. теории вероятностей мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: yaroslav.lyulko@gmail.com.

The proof is based on the solution to an optimal stopping problem for which we find the value function and optimal stopping time.

Key words: skew Brownian motion, maximal inequalities, optimal stopping rules, local

time.

1. Введение. Процесс Xa = (Xa)t^o, заданный на вероятностном пространстве (Q, F, P), называется скошенным броуновским движением с параметром а Е [0,1], если он удовлетворяет следующему стохастическому уравнению:

ха = xa + Bt + (2а - 1)L°(Xа). (1)

Здесь B = (Bt)t^o — броуновское движение на (Q, F, P), а Lo = (Lo(Xa))t>o, где L°(Xa) =0, — локальное время в нуле процесса Xа.

Скошенное броуновское движение впервые было рассмотрено в книге [1], а в работе [2] показано, что уравнение (1) имеет единственное сильное решение, являющееся непрерывным семимартингалом, удовлетворяющим строго марковскому свойству. Основные свойства скошенного броуновского движения наиболее полно отражены в работе [3].

На протяжении всей статьи будем обозначать через Wa = (Wta)t^o единственное сильное решение уравнения (1) c начальным условием Wа = 0. В качестве фильтрации F = (Ft)t^o рассмотрим естественную фильтрацию Ft = F^vа = a(Wa, s ^ t), t ^ 0. Отметим, что в случае а = 1/2 и а = 1 имеем

Law(Wt1/2, t ^ 0) = Law(Bt, t ^ 0) и Law(W/, t ^ 0) = Law(|Bt|, t ^ 0) соответственно. Впервые в работе [4], а позднее совершенно другим методом в [5] были установлены следующие максимальные неравенства:

Е( max Bt) < л/Ёт, Е( max \Bt\) ^ \/2Бг, (2)

O^t^r 0<t<r

справедливые для любого марковского момента т Е M, где

M = {т — марковский момент относительно (Ft)t^o, Ет < то}.

Целью данной работы является получение максимальных неравенств вида E(maxo№ Wta) < Ма при всех значениях параметра а Е [0,1]. При этом из (2) видно, что -Mi/2 = 1, М\ = \/2. Также нетрудно проверить, что Mo = 0. Для отыскания величины Ma мы будем пользоваться методом, предложенным в работе [5]. Рассмотрим следующую задачу оптимальной остановки:

V*(c) = sup Е( max Wta — ст) (3)

r^rn o^t<r

при всех значениях с > 0. В п. 4 будет показано, как, зная функцию V*(c), получить максимальное неравенство требуемого вида и найти Ma. Заметим, что для одномерных диффузионных процессов X = (Xt)t^o, удовлетворяющих стохастическому дифференциальному уравнению

dXt = b(Xt )dt + a(Xt )dBt (4)

с непрерывными коэффициентами b = b(x) и a = a(x), в [6, гл. IV] приведен метод решения задачи supr E(maxt^r Xt — ст), основанный на ее сведении к задаче со свободной границей. Однако в нашем случае скошенное броуновское движение Wа = (Wta)t^o удовлетворяет уравнению (1), которое при а = 1/2 не является уравнением типа (4). Заметим также, что М.В.Житлухин с помощью метода из статьи [5] в работе [7] получил оценку E(max^r W" — min^r W^ у/КаЕт для разности максимума и минимума скошенного броуновского движения, обобщив тем самым известный ранее результат для стандартного броуновского движения.

2. Основные результаты. Максимальное неравенство для скошенного броуновского движения устанавливается в следующей теореме.

Теорема 1. Для любого марковского момента т Е M и для любого а Е (0,1) имеет место неравенство

Е ^ max Wta^j < Ма^Ёт, (5)

где Ma = а(1 + Aa)/(1 — а), а Aa — единственное решение уравнения

АаеАа+1 = Ц^, (6)

а2

удовлетворяющее условию Аа > — 1. При этом неравенство (5) является "точным" в том смысле, что для любого Т > 0 существует марковский момент т с Ет = Т, такой, что

Е ( тах шА = Мау/Ёг.

Рис. 1. Величина Ма пространством состояний Е функции цены

Замечание 1. В теореме 1 рассматривался случай а € (0,1). Однако, пользуясь выражением для Ма, нетрудно проверить, что М1/2 =

1, Ма —► 0 и Ма —► \/2 (см. рис. 1). Таким образом, с помощью предельного перехода получаются известные ранее результаты.

Как было отмечено выше, для получения неравенства (5) нам необходимо знать решение задачи оптимальной остановки (3). Для произвольных х € М, в ^ 0, таких, что х ^ в, определим процессы Х4(х) = х + Ша, Б^х, в) = шах{в, шахо^г Хи(х)}.

Заметим, что двумерный процесс (X, 5) является марковским с {(х, в) € М2 : х ^ в, в ^ 0}. Рассмотрим для (X, 5) задачу отыскания

Ус(х, в) = вир Е(5г(х, в) — ст). г ет

Теорема 2. Оптимальный момент остановки тс в задаче (7) существует и равен

тс = М{г > 0 : X < д&)}, где зависимость д = д(в), в ^ 0, задана в виде

д +1/(2с),

в = < в2 — 1

2св2

е2ф9 + 1 +

1

в 2св2'

если д ^ 0; если д < 0,

(7)

(8)

(9)

параметр в = (1 — а)/а.

Если ввести множества Б* = {(х, в) € Е : х ^ д(в)}, О* = Е \ Б*, то функция цены Ус(х,в) определится следующими формулами:

Ус(х, в) =

в + с(х — д(в))2

(х, в) € О; (х, в) € В*.

(10)

Замечание 2. Пользуясь выражением (9), можно проверить, что функция в = в(д) строго возрастает, обратима, непрерывна и кусочно-дифференцируема. При этом д(в) < в для всех в ^ 0, и функция в — д(в) ограничена (рис. 2).

3. Доказательство теоремы 2. Проведем сначала предварительные рассмотрения.

Особенность многих задач оптимальной остановки состоит в том, что доказательство утверждения об оптимальности заключается в проверке того, что некоторая функция и некоторый марковский момент являются решением исходной задачи. При этом непонятно, как догадаться, что следует брать именно те функцию и момент, которые мы рассматриваем. Поэтому приведем соображения, показывающие, почему функция цены имеет вид (10), а момент — вид (8).

Задача (7) является задачей оптимальной остановки в марковской постановке. Из общей теории известно, что пространство состояний Е можно представить в виде дизъюнктного объединения "множества остановки" Б* и "множества продолжения наблюдений" О*. Множество Б* характеризуется тем, что если начальная точка (х, в) € Б*, то следует мгновенно остановиться, т.е. тс = 0, а Ус(х, в) = в. Таким образом, получаем условие "мгновенной остановки"

Рис. 2. Граница в = в(д) множества остановки при с =1 и значениях а = 0,1; 0, 2; ...;0, 9

Ус(х, в) = в, (х, в) € Б*

(11)

Если же мы начинаем движение из области О*, то останавливаться необходимо в первый момент попадания процесса (Х,Б) во множество В*. Следовательно, тс = [Ь ^ 0 : (Xt€ В*}. Чтобы найти общий вид границы В*, заметим, что процесс 5 может увеличиваться только в те моменты времени Ь, когда XI = Если же максимум Б1 достаточно велик, а значение XI намного меньше Б1, то нам следует прекращать наблюдения, так как время возвращения процесса X на диагональ А = [(х,з) € Е : х = з} может оказаться довольно большим. Это наводит на мысль, что существует граница д = д(з), такая, что В* = [(х,з) € Е : х ^ д(з)}. Далее, предположим, что существует точка зо ^ 0, такая, что (зо,зо) € В*. Тогда Ус(зо, во) = ^о- Но если продолжить наблюдения, то получим = £о + а при малых £ имеем

ел/1 > сЬ. Поэтому продолжать наблюдения выгоднее, чем останавливаться, и, следовательно, для любого з ^ 0 имеем (з, з) € О*, в частности д(з) < з.

Теперь получим условия для определения границы д = д(з) и функции цены Ус(х,з). Из работы [8, ч. I, прил. 1] известно, что производящий оператор Ь процесса X = (Х^)^о определен для функций [/ : f" существует на М \ [0}, /''(0+) = f''(0-), Иш™ /(х) = 0 и а/(0+) = (1 - а)/(0-)} и имеет вид Ьх = Далее, из общей теории (см. [6, гл. IV]) имеем з) = с для (х, в) € С*. Но так как при

XI < St максимум не меняется, то производящий оператор процесса (X, 5) совпадает с производящим опрератором процесса X, и мы получаем уравнения

/ (У<0"хх(х, з) = 2с, х = 0, (х, з) € О*;

1а(К)Х(0+,з) = (1 - а)(Ус)Х(0-,з), (0,з) € О*,

решая которые, находим цену

V (х з) = 1 сх2 + (1- а)А(з)х + В(з), х ^ 0, (х,з) € О*; (12)

с сх2 + аА(з)х + В(з), х< 0, (х,з) € О*

с точностью до неизвестных функций А(з), В(з). Так как само множество О* зависит от неизвестной функции д = д(з), то для решения задачи помимо условия (11) необходимо указать еще два условия для определения трех функций. Этими условиями являются условие "гладкого склеивания" и условие "нормального отражения"

= 0,

= 0 (13)

х|8

соответственно (подробнее о возникновении этих условий см. в [5, 6]). Отметим только, что первое условие в (13) есть усиленное условие (11), означающее непрерывность не только самой функции Vc(x,з), но и ее производной на границе областей О* и В*. Перепишем условие нормального отражения в форме

(1 - а)А'(з)з + В (з) = 0, з ^ 0. (14)

Из (12) видно, что функцию V(х,з) следует находить отдельно для х ^ 0 и х < 0. Рассмотрим сначала з ^ 0, такие, что д(з) ^ 0. Из первого уравнения в (13) имеем

А(з) = -2сд(з)/(1 - а). (15)

Подставляя полученное выражение для А(з) в (11) и дифференцируя по з, находим В' (з) = 2сд(з)д (з) + 1. Наконец, подставляя А (з), В (з) в (14), выводим уравнение для границы д = д(з) :

V ^ 1

9 00 =

2с(з - д(з)):

общее решение которого есть з(д) = аое2сд + д + 1/(2с). Рассуждая тем же образом, что и в случае д > 0, получаем уравнение для границы в случае д(з) < 0 :

'( ^ 1 9 00 =

2с(вз - д(з))

с общим решением з(д) = Ъое2свя + д/в + 1/(2св2) (параметр в определен в утверждении теоремы 2). Покажем, что в случае д > 0 необходимо положить ао = 0. Действительно, зная выражения А(з) из (15)

и B(s) из (11), подставим их в (12) и получим Vc(x, s) = s + c(x — g(s))2, (x, s) E CИз неравенства Дуба E(maxt^r \Bt\) ^ 2VEt и того, что Law(|Wta|, t ^ 0) = Law(|Ut|, t ^ 0), выводим

0 < V(s, s) = s + c(s — g(s))2 < 1/c

при всех s ^ 0, откуда с необходимостью следует, что ao = 0. Тогда константа bo, будучи определенной из непрерывности g = g(s), равна (в2 — 1)/(2св2). Тем самым вид границы g = g(s), цены Vc(x,s) и момента тс установлен.

Теперь перейдем непосредственно к доказательству теоремы 2. Рассмотрим функцию т(x,s), определяемую правой частью (10), и момент т, определяемый правой частью (8). Нам необходимо проверить, что т(x, s) = Vc(x, s), т = тс.

Докажем сначала, что Ex,sr < оо для любых (x, s) E E, где Exs — математическое ожидание по мере Pxs = Law(X, S | P, Xo = x, So = s). Без ограничения общности будем считать, что Xo = So = 0. Согласно замечанию 1, функция s — g(s) ограничена. Пусть s — g(s) ^ K для всех s ^ 0. Тогда ясно, что если для некоторого to справедливо Sto — Xto ^ K, то (Xto, Sto) E D*. В связи с этим рассмотрим моменты 0 i = inf {t ^ 0 : lXtl = K + 1}, 02 = inf {t ^ 01 : St — Xt ^ K}. Тогда очевидно, что т ^ 02, и Ет ^ Eoi + Е(и2 — 01).

Так как Law(|X|) = Law(|B|), то E01 = (K + 1)2 < о. На отрезке [01,02] скошенное броуновское движение ведет себя, как стандартное, а из теоремы Леви имеем Law(maxB — B) = Law(|B|). Поэтому

E(02 — 01) = E(inf{t ^ 0 : max Bu — Bt ^ K}) = E(inf{t ^ 0 : ^ K}) = K2 < о.

o^u^t

Таким образом, математическое ожидание ET конечно и т E M.

Далее, заметим, что для любого т E M справедливо неравенство т(Xr,ST) ^ ST. Поэтому

Vc(x, s) = sup Ex,s(St — т(Xt, St) + т(Xt, St) — ст) < sup ExsV(Xt, St) — ст). теш t еш

Следовательно, для доказательства оптимальности т(x, s) и т достаточно проверить, что, во-первых, для любого марковского момента т E M выполняется

Exs^(Xt,St) — ст) < т(x,s) (16)

и, во-вторых,

Ex,s(Sf — ст) = т (x,s). (17)

Применим формулу Ито для семимартингалов к процессу т(Xt, St) (обоснование применимости формулы к т(Xt,St) дано с заменой обозначений в работе [9]). Имеем

rt rt 2а-1

Ю Jo 2 Jo

V{Xt, St) = V(X0, So) + / Vx(Xu, Su)dBu + / Vs (Xu, Su)dSu + —— / (Ул(0+, Su) + V^O-, Su))dL°u+

1 гЬ 1 гЬ

+ 2 I (%(0+,Зи) - -,8и))<1Ь0и + - Уо Ухх(Хи,8и)1(Хи ф 0)йи. (18)

Заметим, что в силу условия а\УХс(0+,«) — (1 — а)у(0— ,в) = 0 сумма интегралов по локальному времени равна нулю. Далее, третий член в правой части (18) также равен нулю, так как если для некоторого и мы имеем Хи < Би, то и для любого V из некоторой окрестности и справедливо Sv — Su = 0. А для всех и, таких, что Хи = Su, ввиду условия нормального отражения У8 (^и, Su) = 0.

Заменим в (18) £ на т и возьмем от обеих частей математическое о^кидание Ех ^. Так как для всех (х,в) Е Е имеем Ух(х,в) ^ 2с(в — д(в)) ^ 2сК и Ех>3т < о, то математическое ожидание стохастического интеграла равно нулю:

Ех^ Ух (Хи^и^Ви =

Jo

Таким образом, для любого т Е М окончательно получаем

1 Г

ЕЖ;,У(ХТ, Бт) = 9(х, в) + -Ех>3 / Ухх(Хи, ЗиШХи ф 0)&ч. (19)

2 70

Ввиду того что для всех (x, s) Е E выполнено неравенство VX'x(x,s) ^ 2с, второй член правой части (19) не превосходит cEx,sт, и мы получаем (16). Если в (19) в качестве марковского момента взять V, то для любого u Е (0,V) будем иметь (Xu,Su) Е C*, а значит, VX'x(Xu,Su) = 2с. Мера Лебега множества {u ^ 0 : Xu = 0} равна нулю Р^-п.н., поэтому (19) преобразуется в (17):

Ex,sSv = V (x, s) + сЕх,3т. (20)

Теорема 2 доказана.

4. Доказательство теоремы 1. Покажем, как, зная решение задачи (7), получить максимальное неравенство (5). Для любого с > 0 и любого марковского момента т Е M выполнено

Е( max Wta) < сЕт + Vc(0,0).

Согласно (10), имеет место уравнение Vc(0, 0) = сд2(0). Значение д(0) удовлетворяет уравнению (в2 — 1)e2ceg(o)/(2св) + д(0) + 1/(2св) = 0. Обозначив Aa = —1 — 2свд(0), приходим к уравнению (6). Выражая VC(0, 0) через Aa, находим Vc(0, 0) = (Aa + 1)2/(4св2). Тогда, взяв инфимум в (20) по всем с > 0, получим

Е( max Wta) < inf (cEr + (Aa + l)2/(4ф2)) = Мал/Ё7, (21)

o^t^r c>o

что и требовалось. Для завершения доказательства теоремы достаточно установить, что полученное неравенство является точным. Для этого заметим, что для любого с > 0 имеет место совпадение распределений Law(c-1Xc2t(cx), t ^ 0) = Law(Xt(x), t ^ 0), и, следовательно, Law{c-1Xc2t(cx), c-lSc2t(cx,cs), t ^ 0} = Law{Xt(x), St(x,s), t ^ 0}. Отсюда прямыми вычислениями можно получить, что для любых с > 0, (x,s) Е E

Vc(x, s) = c-1Vi(cx, cs), Law{c-Vi | Xo = cx, So = cs} = Law^ | Xo = x, So = s}. (22)

Пусть x = s = 0. Для любого T > 0 положим с = у^Ет\/Т. Покажем, что момент остановки г (с) := rj является искомым. Действительно, воспользовавшись (22), имеем Ет(V) = T. Из (21) в силу оптимальности момента т(с) следует, что Мал/Т ^ E5r(g) = Vj(0, 0) + сЕт(с) ^ infc>o(Fc(0, 0) + сЕт(с)) = Ма\[Т. Таким образом, ESr(V) = T. Теорема 1 доказана.

Автор приносит благодарность A. Н. Ширяеву за постановку задачи и внимание к работе.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ито К., Маккин Г. Диффузионные процессы и их траектории. М.: Мир, 1968.

2. Harrison J.M., Shepp L.A. On skew Brownian motion // Ann. Probab. 1981. 9, N 2. 309-313.

3. Lejay A. On the construction of the skew Brownian motion // Probab. Surv. 2006. 3. 413-466.

4. Dubins L., Schwarz G. A sharp inequality for sub-martingales and stopping times // Asterisque. 1988. 157—158. 129-145.

5. Дубинс Л.Е., Шепп Л.А., Ширяев А.Н. Оптимальные правила остановки и максимальные неравенства для процессов Бесселя // Теория вероятн. и ее примен. 1993. 38, № 2. 288-330.

6. Shiryaev A., Peskir G. Optimal Stopping and Free-boundary Problems. Basel: Birkhauser, 2006.

7. Zhitlukhin M.V. A maximal inequality for skew Brownian motion // Statist. Decisions. 2009. 27. 261-280.

8. Бородин A. Н., Салминен П. Справочник по броуновскому движению. СПб.: Лань, 2000.

9. Graversen S., Peskir G. Optimal stopping and maximal inequalities for geometric Brownian motion //J. Appl. Probab. 1998. 35, N 4. 856-872.

Поступила в редакцию 30.09.2011