CC BY
10
Теорема 1. Решая расширенную систему уравнений Хомского — Щутценбер-же (2) методом последовательных приближений и считывая мономы нужной степени относительно терминальных символов, можно за конечное число шагов провести беступиковый синтаксический анализ (с учётом порядка применения продукций) любого монома КС-языка, заданного грамматикой (1).
ЛИТЕРАТУРА
1. Глушков В. М., Цейтлин Г. Е., Ющенко Е. Л. Алгебра. Языки. Программирование. Киев: Наукова думка, 1973.
2. Salomaa A. and Soitolla M. Automata-Theoretic Aspects of Formal Power Series. N.Y.: Springer Verlag, 1978.
3. Egorushkin O. I., Kolbasina I. V., and Safonov K. V. On solvability of systems of symbolic polynomial equations // Журн. СФУ. Сер. Матем. и физ. 2016. Т. 9. Вып. 2. С. 166-172.
4. Егорушкин О. И., Колбасина И. В., Сафонов К. В. Аналог теоремы о неявном отображении для формальных грамматик // Прикладная дискретная математика. Приложение. 2017. №10. С. 149-151.
УДК 519.682 DOI 10.17223/2226308X/12/55
УСЛОВИЕ РАЗРЕШИМОСТИ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ФОРМАЛЬНЫХ ГРАММАТИК
И. В. Колбасина, К. В. Сафонов
Продолжено исследование систем некоммутативных полиномиальных уравнений, которые интерпретируются как грамматики формальных языков. Такие системы решаются в виде формальных степенных рядов (ФСР), выражающих нетерминальные символы через терминальные символы алфавита и рассматриваемых как формальные языки. Всякому ФСР поставлен в соответствие его коммутативный образ, который получается в предположении, что все символы обозначают коммутативные переменные, принимающие значения из поля комплексных чисел. В продолжение исследований совместности систем некоммутативных полиномиальных уравнений, которая напрямую не связана с совместностью её коммутативного образа, получено достаточное условие совместности в виде обобщения теоремы о неявном отображении на формальные грамматики, содержащие произвольное число уравнений. Доказано, что если для коммутативного образа системы ранг матрицы Якоби коммутативного образа системы уравнений в начале координат максимален, то исходная система некоммутативных уравнений имеет единственное решение в виде ФСР.
Ключевые слова: системы полиномиальных уравнений, некоммутативные переменные, формальный степенной ряд, коммутативный образ, матрица Якоби.
Продолжая исследование, начатое в работах [1, 2], рассмотрим систему полиномиальных уравнений
Pj (z,x) = 0, Pj (0,0) = 0, j = 1,...,k, (1)
которая решается относительно символов z = (zi,... , zn) в виде ФСР, зависящих от символов x = (x1,... , xm).
Такие системы имеют приложения в теории формальных языков, поскольку являются грамматиками, порождающими важные классы формальных языков: контекстно-свободных, языков непосредственно составляющих, языков в нормальной форме Грейбах и др. [3, 4].
Математические основы информатики и программирования
197
В теории формальных языков символы х1,... , хт называются терминальными и образуют словарь (алфавит) данного языка, а символы х1,... ,гп называются нетерминальными и необходимы для задания грамматических правил. Над всеми символами определена некоммутативная операция умножения (конкатенации) и коммутативная операция формальной суммы, а также определена коммутативная операция умножения на комплексные числа, и потому можно рассматривать символьные многочлены и ФСР с числовыми (комплексными) коэффициентами. Наконец, мономы от терминальных символов интерпретируются как предложения языка, а каждый ФСР, который является решением системы (1), рассматривается как порождённый грамматикой формальный язык, т. е. формальная сумма всех «правильных» предложений этого языка [3, 4].
Исследовать решения символьных систем (1) достаточно трудно, поскольку некоммутативность умножения и отсутствие деления не дают возможности исключать неизвестные, и потому в работах [1,2] наряду с некоммутативной системой (1) рассмотрен её коммутативный образ, который получается в предположении, что все переменные, входящие в систему, принимают значения из поля комплексных чисел.
Так, предположим, следуя [1], что все мономы от XI,... ,хт занумерованы в лексикографическом порядке по возрастанию степеней в последовательность п0,п1,..., играющую роль базиса, тогда каждый ряд в можно единственным образом записать в виде разложения по этому базису с числовыми коэффициентами (в,щ) при мономах щ:
те
в = Е (в, «¿К. (2)
i=0
Теперь поставим в соответствие ФСР (2) его коммутативный образ сг(в) —степенной ряд, который получается из в в предположении, что символы XI,... ,хт (равно как и ¿1,... , гп) обозначают коммутативные переменные, принимающие значения из поля комплексных чисел [5].
В работе [1] рассмотрен коммутативный образ системы уравнений (1)
сг(Рз (г,х)) = 0, ] = !,..., к, (3)
и отмечено, что из совместности некоммутативной системы (1) следует совместность коммутативной системы (3), однако обратное утверждение неверно. Как результат, вопрос о достаточном условии совместности системы уравнений (1), важный для приложений, оставался открытым.
В [2] получено достаточное условие совместности и единственности решения исходной некоммутативной системы (1) в терминах якобиана коммутативной системы (3), в котором предполагается, что число уравнений равно числу неизвестных.
Однако формальные полиномиальные грамматики, возникающие в приложениях, могут иметь любое число уравнений. В связи с этим обобщим аналог теоремы о неявном отображении на случай произвольных формальных грамматик, содержащих произвольное число уравнений.
Пусть
3 (г,х) = ((ся(Р^,х)))'гл)
— матрица Якоби системы уравнений (3) относительно переменных ... ,гп.
Обобщением дискретного (символьного) аналога теоремы о неявном отображении на произвольные формальные грамматики является следующая
Теорема 1. Если для некоммутативной символьной системы уравнений (1) выполнено условие
rank(J(0, 0)) = n, то она имеет единственное решение в виде ФСР.
Замечание 1. Из условия теоремы вытекает существование и единственность решения для коммутативного образа системы полиномиальных уравнений; кроме того, оказывается, что из этого условия вытекает также существование и единственность решения исходной некоммутативной символьной системы уравнений (1).
Поскольку ФСР, которые являются компонентами решения системы (1), интерпретируются как формальные языки, порождённые грамматикой (1), то теорема 1 позволяет установить случаи, когда грамматика действительно определяет формальный язык.
ЛИТЕРАТУРА
1. Egorushkin O. I., Kolbasina I. V., and Safonov K. V. On solvability of systems of symbolic polynomial equations // Журн. СФУ. Сер. Матем. и физ. 2016. Т. 9. Вып. 2. С. 166-172.
2. Егорушкин О. И., Колбасина И. В., Сафонов К. В. Аналог теоремы о неявном отображении для формальных грамматик // Прикладная дискретная математика. Приложение. 2017. №10. С. 149-151.
3. Глушков В. М., Цейтлин Г. Е., Ющенко Е. Л. Алгебра. Языки. Программирование. Киев: Наукова думка, 1973.
4. Salomaa A. and Soitolla M. Automata-Theoretic Aspects of Formal Power Series. N.Y.: Springer Verlag, 1978.
5. Семёнов А. Л. Алгоритмические проблемы для степенных рядов и контекстно-свободных грамматик // Докл. АН СССР. 1973. №212. С. 50-52.
УДК 510.52 DOI 10.17223/2226308X/12/56
О ГЕНЕРИЧЕСКОЙ СЛОЖНОСТИ ПРОБЛЕМЫ ДЕКОДИРОВАНИЯ
ЛИНЕЙНЫХ КОДОВ1
А. Н. Рыбалов
Изучается генерическая сложность проблемы декодирования линейных кодов. Эта проблема лежит в основе известной криптосистемы Мак-Эллиса. Доказывается, что её естественная подпроблема генерически трудноразрешима (то есть трудна для почти всех входов) при условии, что проблема декодирования линейных кодов трудноразрешима в классическом смысле.
Ключевые слова: генерическая сложность, линейные коды, криптосистема Мак-Эллиса.
Введение
Криптосистема Мак-Эллиса [1] является одной из первых криптосистем с открытым ключом. В отличие от популярных криптосистем с открытым ключом, использующих теоретико-числовые и алгебраические конструкции [2], система Мак-Эллиса основана на теории кодов, исправляющих ошибки. В этой области были найдены эффективные семейства методов преобразования и восстановления информационных блоков —
1 Работа поддержана грантом РФФИ, проект №18-41-550001.
