CC BY
16УДК 537.61: 537.226.4
УСИЛЕНИЕ МАГНИТОУПРУГОГО И МАГНИТОЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЙ В АНТИСЕГНЕТОАНТИФЕРРОМАГНЕТИКАХ С ОРТОРОМБИЧЕСКОЙ СИММЕТРИЕЙ
Кызыргулов И.Р. ([email protected]), Харрасов М.Х. Башкирский государственный университет
В последние годы значительно вырос интерес к исследованию сегнетомагнетиков -кристаллов со структурой перовскита, у которых возможно сосуществование магнитного и сегнетоэлектрического дальнего порядка [1-3]. Это вызвано прежде всего тем, что они являются весьма перспективными материалами для использования в современной электронике
[4].
В данной работе мы изучим возможность обменного усиления параметров магнито-упругой и магнитоэлектрической связи в антиферромагнитных структурах с орторомбиче-ской симметрией (пространственная группа Б^).
Систему будем описывать гамильтонианом Н = Нм + Ни + НР + Нми + Нмр + Нш, (1)
где учитывается энергии магнитной (М), упругой (и), сегнетоэлектрической (Б) частей системы и энергии их взаимодействия.
Будем считать, что магнитная подсистема состоит из двух зеркальных магнитных подрешеток, и при наличии внешнего постоянного однородного магнитного поля Н0 магнитную энергию выберем в виде
дм,а дмв
1 Д1Ч/Г а Д1Ч/Г в
Нм=2-1 хатм »м т+<п - 2Х(Й0,ма)},
2J 1/Чт -1 т чтп дх^ дхп где ], т, п=х, у, z; а,в =1, 2; а^ - тензор неоднородного обменного взаимодействия; тензор х^ = IОт +Р0т содержит тензор обменного и релятивистских Р™т взаимодействий. Упругую энергию рассмотрим в гармоническом приближении:
11 ^(р1Д 2 +л ijmn U ij U тп ),
Ни
и2
где uij - тензор деформации, Лijmn - тензор упругих постоянных.
Если антисегнетоантиферромагнетик имеет две зеркальные электрические подрешет-ки, то запишем его электрическую энергию в виде:
4я г„„вр? 1 „в др,адрт
Н =1 dx{ 4П[Тав ^^ +1 Сав _рт ] +1 хаврарв } Н =1 dX{ 2 + 2 т дх. дх„ ]+ 2ХijPiPj }
j
, а
где Р - отклонение вектора поляризации а - той подрешетки от его равновесного значения, X "в - тензор обратной диэлектрической восприимчивости, X - квадрат частоты продольных
оптических фононов при к ^ 0.
Для описания взаимодействия подсистем рассмотрим: энергию магнитоупругого взаимодействия
Нми =1 ах{м-^т + ЬО^мГмвumn },
где первое слагаемое описывает пьезомагнитный эффект, а второе - магнитострикцию;
энергию магнитоэлектрического взаимодействия
ИМР =|dx{ aiJPiYМ" + aаLPiYМ«Ыт },
где первый член описывает линейный магнитоэлектрический эффект, второй член описывает наводимую вектором Р магнитную анизотропию; энергию электроупругого взаимодействия г г ЭР« 1
Нри = ] ¥1]тР"и)т + ViJmn "дХ^тп } '
где wi]m - тензор пьезоэлектрических постоянных, vi]mn - тензор, отвечающий за связь неоднородности поляризации и деформации.
Гамильтониан (1) запишем в представлении приближенного вторичного квантования. С этой целью магнитные моменты подрешеток Ма выразим через операторы Гольштейна-Примакова a а, a а , вектор упругих смещений и - через операторы рождения и уничтожения
фононов Ь Ь ь (см., напр., [5]), а отклонение вектора поляризации от равновесного значения представим в виде
Р а=^ 5 ^ - е'кХ+d -е -кХ
где ек - единичный вектор поляризации сегнетонов, ек5а - энергия сегнетоэлектрических
возбуждений, 5 - индекс поляризаций поперечного колебания.
Далее для диагонализации гамильтониана магнитной и сегнетоэлектрической подсистем воспользуемся каноническими преобразованиями Боголюбова
# = С . * С + # = V"!/2 ^ я eikr
aка = икауСку к ^ауС-ку , aа = * кае ,
к
# # * # +
к5а = Ик5ау^к&у к ^5ау^-к&у •
Тогда гамильтониан (1) можем записать в виде
Н = 5екуСкуСку к 5екв'Ъкз^3кя к 5 Ек5а^к5а^к5а к
ку кя к5а
к {уШмиС [Ь -Ь +]+У^МрС [ -£>+ ] +
^ ткуя ^ку^-кя £.1 тк5ауНу[ -к5а -ь'к5а]^
кяу к5ау
гРИ
5Шк5ая-'# к5а[Ь -кя кя ]к э. с} ,
+
к5ая
где еМ (У = 1, 2), еи (я = 1, t1, , Ек5а (5 = 1, 2; а = 1, 2) - энергия соответствующих ветвей спиновых, упругих и сегнетоэлектрических волн. Параметры магнитоупругого и магнитоэлектрического взаимодействий определяются выражениями
Ш МИ куя
[М 2ре
к 2Mob:;mne а, 0 вкТ ekmkn• (2)
И I imn 0 ^^П 3] ik П'
кя
0= ев и + еР\
здесь ек - единичный вектор поляризации фононов, е^ - коэффициенты преобразований операторов М™ к собственному представлению
Ма
е" = —
3i М0
„а 1 („а . • а \
^ е 1i =72 (eliк ie2i )
ёа±я (Ма,Н0), е2а=[е3а,е1а],
ш мб
к 8ау
ГХцм
8 пе
к 8а
+ 2 м 0 a Хт e
Xj )ekiQ тк (ик8уа ^к8уа ) •
Параметр электроупругой связи имеет простой вид:
I 1
ш ри
к8ок
8пре
f еи
к8а ks
((угг^ kiekjkm + ivijmne kiekmkjkn )(ик8уа ^к8уа) .
(3)
(4)
Для нахождения собственных частот связанных сегнетомагнитоупругих волн, используем уравнения движения для вторичноквантованных операторов. С точностью до членов, квадратичных по коэффициентам связи, получим следующее дисперсионное уравнение:
П(ш2-ем2)(ю2-еГ)(ш2 -Ек8а2)-4! е£еUs П (ш^Е**2)
s8аY
X
| X
(ш2 -емг2)(ш2 -еи,2)-4! |ш,
у8а
мб
к8ау
е мЕ
ку к8а
s'ф s, у'фу
(ш2 -е£^)(Ш-екГ) X
X
П
у'фу,(8',а') ф( 8 ,а)
(ш 2 - Ек^) - 4! |ш^|2 е и Ек8а П (Ш2-е^ 2)(ш 2-еи/)(ш2 - ЕЕ = 0.
s'ф s,( 8',а') ф (8 ,а)
8as
Исследуем взаимодействие спиновых и упругих волн для кристаллов орторомбиче-ской симметрии во внешнем магнитном поле. Для простоты не будем учитывать пьезомаг-нитный эффект. В зависимости от направления волнового вектора к согласно (2) в частных случаях находим (здесь и далее мы опускаем нулевые в нашем приближении коэффициенты свя!зи)!: 1) к||2
ШкЦ1 =Лl(ukll - Vk11 )sin2e(bXXzz -ЬXXzz -bZZzz -b1JL)kz,
ш ми =п (u
k2t1 к
>) (Ь XZxzCos2e+bX2zxz)k
z Э
ш
к2Ц
где п = 4
Н0
ц (Uk22 + Vk22)COSе (ЬУZyz + byZzyz) к
/
ре и
cos е=—, sin е = Н8
' yzyz / z ' г2 \1/2
Н Н
0
2
8 У
Н2
cos2e = 2^ -1, Н 8 = 28м0.
Н2 8
Связь второй спиновой ветви с первой поперечной фононной ветвью обменно усиливается в л/5 раз.
2) к||У
шки1 ^Кп - Vkll )sin2e (Ьххуу - ЬХ2ХУУ - Ь^^У - bl2Уy)ky,
Шкми = ЧКп + Vk„ )sin е (ь хуху - ь х2ху) ку, шкми = t1 (Uk22 + Vk22)cos е (ь ^ + ь ^)ку.
Здесь обменно усиленным является коэффициент связи первой спиновой ветви со второй поперечной фононной ветвью.
3) к||х
шки1 ^Кп - VkП )^2е (Ь хххх - ЬХ2ХХХ - ЬЦХХ - Ь Z2zxx)kx,
шкмии = (Ukll + vш )sin е (ьухух - by2xyx)kx,
Шк2и = ^ (Uk22 - Vk22)(bZXzx cos2e+bZXzx)kx.
При этом обменно усиленными являются связи первой и второй спиновых ветвей с поперечными фононными ветвями t1 и ^ соответственно.
Рассмотрим магнитоэлектрическое взаимодействие (3). В зависимости от направления вектора к относительно намагниченностей и поляризаций подрешеток для различных маг-
ми
нитных и сегнетоэлектрических волн это взаимодействие будет различно. Для простоты не будем учитывать линейный магнитоэлектрический эффект. 1) к||2
шМР =Ф1 (С -aХХy )япе(%„ кVkП)[Ик111 -VkШ], Шк2р1 = Ф2(aУХy - a1yХy)sinе (UkП к VkП )[Ик2„ - Vk2П ^
ШкМр2 =Фl[(aХZy кaХ2zy)(Uk22 кVk22)cosекi(aХХzСos2ек^(ц^ -Vk22)][ИkШ -VkШЬ ШУ2 = Ф2[(С кя^)^ кVk22)cosекЯ^)^ -Vk22ЖИk2П -Vk2ПI
ф5
V
2пе к51
Связь спиновых ветвей с первой и второй сегнетоэлектрическими ветвями обменно усиливается в л/5 раз.
2) к||У
ШМР = Ф1 (a1zХy - a1zХy)sinеНц к vkП)[Икш - ] ^ ШМ2р1 = Ф2 (aХХy -aХХy)sinеНи к vkП)[Ик211 -Ч211 Ь ШМ2 =Ф1[(^!!у кя^Х^^ кVk22)cosекая2ек0(4^ -Vk22)][ИkШ -\и],
ШМ^ =Ф2[(яХ^ к Оч^ к Vk22)cos ек ^«^к 0(4^ - vk22)][Иk2n - \к2П ].
Связь спиновых ветвей с первой и второй сегнетоэлектрическими ветвями обменно усиливается в л/5 раз.
3) к||х
ШМР = Ф (ЯУХУ - е(UkП к VkП )[ИкШ - \кШ ],
ШМ211 =Ф2 (Я^ХУ - aZХy)sinе(UkП к VkП)[Ик2П - \k211 ],
ШММр2 = Ф1[(С кСХ^ кVk22)cosе+^У^екaУ2z)(Uk22 -^Цщ -\кШ],
Г/Мр л Г/-„11 , „12 \___п , ; /„11___оа , „12
Шк212 =Ф2[(aZZy кaZZy)(Uk22 кVk22)СOSе + i(aZХzСOS2е + aZХz)(Uk22 -Vk22)][Иk211 -\k211 ]. Связь спиновых ветвей с первой и второй сегнетоэлектрическими ветвями обменно усиливается в л/5 раз.
Таким образом, исследование магнитоэлектрического взаимодействия в антисегнето-антиферромагнетиках с орторомбической симметрией показывает, что взаимодействия отдельных ветвей спиновых и сегнетоэлектрических волн в антисегнетоантиферромагнетиках могут быть усилены параметром обменного взаимодействия, что приводит к увеличению соответствующего коэффициента связи в л/5 раз.
Исследуем электроупругое взаимодействие (4).
1) к||2
ШкИ 1 = Фlt! Vxzxz[Иk111 - \k111 ]к2 , ШкШ2 = -ф2t2Vyzyz[Иk211 - \k211 ^
Фб
V
X
8прек51еИя '
2) к||У
Шк1П 1 = ф1t!V zyzy [ Ик 111 \k111 ]ку Шк2П2 = -ф2t2Vxyxy[Иk211 - \i211 ]ку ,
3) к||х
ШкШ 1 = -ф1t 1 Vyzyz[Иk111 - \k111 ]кХ^
Шк2П2 = -фУt2Vzxzx[ИkУ11 - \k211 ]кх .
Общая картина спектра связанных сегнетомагнитоупругих волн в отсутствии внешнего магнитного поля при распространении волны по оси У представлено на рис. Для простоты считается, что упругая подсистема характеризуется продольной еИ и двумя совпадающими поперечными модами еИ,еИ. Штриховыми линиями изображены зависимости частот невзаимодействующих магнитных и сегнетоэлектрических волн, сплошными линиями связанных сегнетомагнитоупругих волн от волнового вектора. Из рис. отчетливо видно, что связанная сегнетомагнитоупругая волна в разных областях соответствует собственным колебаниям различных подсистем, так что двигаясь вдоль нее можно переходить от спиновых к звуковым, затем к сегнетоэлектрическим и т. д.
Оценим величину коэффициента Ш^^ например, в случае к||У. Подставляя характерные значения параметров р- 10 г / см3, М0 - 103 Гс, Ь^ - 10, 5-102 ■ 104 получим ШкМИ / еМ - 10-2. Это отношение характеризует изменение спектра спиновой волны за счет магнитупругого взаимодействия.
Оценим величину коэффициента Ш ^ Для простоты не будем учитывать линейный магнитоэлектрический эффект. Тогда подставляя характерные значения параметров, а^ - 3 х 10-5 Гс-1, X-1027 сек-2, вблизи резонанса при еММ -е^21 - 1012 ■ 1013 сек-1,
получим / еМ - 10-1. Это отношение характеризует изменение спектра спиновой вол-
ны за счет магнитоэлектрического взаимодействия.
Таким образом, щель в спектре спиновых волн, возникающая из-за магнитоэлектрического взаимодействия, вследствие значительной диэлектрической проницаемости на порядок больше, чем щель, обусловленная магнитоупругой энергией.
Другой важный вывод состоит в том, что обменно усиленной может быть только связь низколежащей, акустической ветви спиновых колебаний с сегнетоэлектрическими и упругими модами.
Разумеется, обменное усиление магнитоэлектрического взаимодействия есть только в том случае, когда симметрия кристалла допускает существование хотя бы некоторых из компонент магнитоэлектрического тензора, не противоречивших работе [6]. Зная, какие из этих компонент отличны от нуля для данного кристалла и направляя должным образом внешнее магнитное поле, можно экспериментально наблюдать эффект обменного усиления магнитоэлектрической связи по эффективности нерезонансного линейного возбуждения спиновых волн переменным электрическим полем на частоте спиновой волны.
Литература
1. Ландау Л. Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. М., 1982.
2. Боков В.А., Мыльникова И.Е., Смоленский Г.А. // ЖЭТФ. 1962. 41, № 2. С.643.
3. Рогинская Ю.Е., Веневцев Ю.Н., Жданов Г.С. // ЖЭТФ. 1963. 44, № 4. С.1418.
4. Ильичев В.И., Садовников М.А., Стефанович А.В. Высокотемпературная сверхпроводимость керамических систем. М., 1 992.
5. Боголюбов Н.Н. (мл.), Садовников Б.И. Некоторые вопросы статистической механики. М., 1975.
6. Туров Е.А. // УФН. 1994. 164, № 3. С.325.
