CC BY
20
УДК 681.51, 517.5, 62.50
Осипов В.М.
Профессор-консультант, доктор физико-математических наук, кафедра высшей математики-3, Сибирский федеральный университет
УСЕЧЕННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ПОЛИНОМЫ И УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Аннотация
Доказана теорема о взаимосвязи асимптотических свойств линейных динамических систем с устойчивыми усеченными характеристическими полиномами. На ее основе разработан модифицированный критерий устойчивости Гурвица, с более широкими возможностями практического применения, а также приближенного определения степени устойчивости и времени переходного процесса в линейных системах.
Ключевые слова: устойчивость, критерий Гурвица, усеченные характеристические полиномы
Key words: stability, the Hurwitz criterion, the truncated characteristic polynoms.
1. Теорема о взаимодействии устойчивых усеченных характеристических полиномов.
Пусть передаточная функция (ПФ) W(p) линейной динамической системы имеет вид правильной рациональной дроби, т.е. в виде отношения двух полиномов степени m и n, причем m < n:
m
B (p) е ър
W(P) = AT^ = ^-(m < n) (1.1)
An(P) е ap
i= 0
Будем предполагать, что все полюса ПФ(1.1), т.е. нули характеристического полинома (ХП)
n
An (P) = a0 + a1 P + a2 P2 + - + aiP' + - + anPn = X aiP' (12)
i= 0
располагаются в левой полуплоскости комплексной плоскости p, где Re p < 0, точнее, левее прямой Re p = - 1, что означает устойчивость динамической системы с такой ПФ. Этот термин, обозначающий важнейшие свойства динамических систем, может быть использован применительно к передаточным функциям и к соответствующим характеристическим полиномам (ХП). Очевидно, могут рассматриваться множества устойчивых ПФ вида (1.1) и соответствующее множество устойчивых ХП (1.2).
Характерным для устойчивых ПФ(1.1) является наличие круговой области \p\ J r с центром в начале координат комплексной плоскости p, в которой ПФ оказывается аналитической функцией и, следовательно представима в ней рядом Тейлора
( W()(0) , , W(p) = е W-(-)pv; |p| J r, (1.3)
v = 0 V !
где
Kv)/n\_ dVW(p)
W (v)(0) =
dpv
(v = 0,1,2,...). (1.4)
p = 0
ПФ Щ(р) динамической системы есть преобразование Лапласа ее импульсной переходной характеристики (ИПХ) g(t) и, если ПФ устойчива, то g(t) - абсолютно
интегрируема на [0,го), т.е. принадлежит пространству Ll(0,ro):
г г
Щ(р) = тg(ty^ 11^ = тlg(t)dt< г Ы g(t)О А(0,Г ). (1.5)
0 0
Более того, в этом случае, существуют все несобственные интегралы
г
т V = т tvg(t)dt (V = 0,1,2,...), (1.6)
0
образующие последовательность степенных моментов ИПХ g(t), непосредственно
связанную с последовательностью коэффициентов в разложении (1.3) т.к.
г
= (- 1У т = (- 1У т V (V = 0,1,2,...). (1.7)
р = 0 0
dVW(р)
Щ (0) ■
dpv
Введем иную моментную последовательность, полагая
МV =тЬГ = 1 т tVg(t)dt (V = 0,1,2,...). (1.8)
V г V' у. У . 0
Тогда, ряд (1.3) запишется в виде
т
Щ(р) = X (- 1)"^тр --! (- 1)VMvPV, (1.9)
v= 0 ^ v= 0
в котором (1.8) оказывается в роли коэффициентной последовательности.
Для устойчивых ПФ Щ(р) (аналитических в правой полуплоскости), справедлива теорема операционного исчисления об предельном значении оригиналов g(t), согласно которой
Нт рЩ(р) = Нт g(t) . (1.10)
Это означает, что асимптотическое поведение ИПХ g(t) устойчивых систем определяется поведением их изображений по Лапласу Щ(р) в окрестности точки р = 0, которое в конечном итоге будет определяться в основном свойствами некоторого числа ^+1) первых коэффициентов М^, (V = 0,1,..^) в разложениях (1.9).
Последнее можно видеть и непосредственно. Действительно, само существование коэффициентов (V = 0,1,..А), т.е. существование несобственных интегралов в (1.8), означает нулевую асимптотику их подынтегральных выражений для всех v :
tvg(t) % Г Г!Н 0 (V = 0,1,2,...), (1.11)
означающую как раз устойчивость систем с ИПХ g(t). Отсюда следует ограниченность интегральной последовательности в (1.8) некоторой конечной величиной
т tvg ^
J к, < г
М
что приводит к оценке для коэффициентов {М^,} , которая означает быстрое убывание
значений этих коэффициентов с ростом v и, следовательно, столь же быстрое убывание их влияния, в конечном итоге, на асимптотические свойства оригиналов g(t).
Из сказанного следует, что асимптотическое поведение g) и g) - ИПХ двух устойчивых динамических систем с ПФ Щ (1)( р)и Щ (2)( р) соответственно будет все более похожим, если все большее число первых коэффициентов в разложениях Тейлора этих ПФ при р=0 будут совпадать. Естественным становится следующее понятие:
Импульсные переходные характеристики g) и g(2)(t) двух устойчивых динамических систем и им соответствующее ПФ Щ (1)( р)и Щ (2)( р) назовем асимптотическими эквивалентными со степенью ^п, если в разложениях этих ПФ:
W(1)(p) = = е (- 1)vM<V; a)ь
An (p) v= 0 п
(2)(p) Г п (m < n) (1.12)
w(2)(p) = = е (- i)vmV2)pv. б)n
ВШ
аП2)(р) ю
(к+1) первых коэффициентов окажутся одинаковыми, т.е. если будут выполняться равенства:
1 Г 1 г
= - т ^ 0)С = - т ^ (2)т = Ы1Г> (V = 0,1,..!). (1.13)
^0 v!0
Лемма. Передаточные функции (1.12) окажутся асимптотически
эквивалентными со степенью к, если при равенстве В^р) = В2)(р) = Вт (р) будут равны и (к+1) первых коэффициентов их устойчивых характеристических полиномов:
" ь
A1 (p) = «01) + «1(1)Р + ••• + a™Pk + ••• + a^p" = е aii)p1 а)
•.01^^'... ' ^ p + ••• + a"
г= о П
э (114)
"
(p) = a02) + a12)p + ••• + a®pk + ••• + a"2)p" = е аг(2)p! б)п
i= 0
т.е. если будут выполняться равенства
аг(1) = а(2) (" = 0,1,...к) (к < и). (1.15)
(116)
Доказательство: Для всякой устойчивой ПФ W(p) (1.1) можем написать:
т п Г
Вт (р) = е ьу = Ап (рж(р)=е ар че (- =
v= 0 v= 0 v= 0
ж v ц
а0М0 - (- аМ0 + а^М )р + (аМ0 - ахМ, + аМг)р2 + ... + з е aMv-г (- 1)"' Ч(- 1)vpv + ...
И "= 0 Ш
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях переменной р до к-ой степени включительно в полиномиальных представлениях слева и справа, получим следующую систему из (к+1) первых коэффициентов разложениях W(p) в ряд Тейлора:
Ь0 = а0М0 ь
- Ь1 = - а1М0 + а0М1 ь
Ь2 = а2М0 - а1М1 + а0М2 Ь (к < п) . (117) ................................................. ь
................................................. ь
(- 1)4 = (- 1)каМ0 + (- 1)к-1 ак_М1 + ... - аМк-1 + а<Мк Ю
Введем векторы размерности (k+1):
B( k )(b) = Colon
M(k\a) = Colon[M0, M1, M2,^,(- 1)KMk ], б)ю
B<k )(b) = Colon[b0, - b 1, ^2 ,•••, (— 1) kbk ]; а)П
(k) . 3 (118)
—(к ) I.
причем, если к>т (к<п), то (к - т) последних компонент вектора В (Ь), начиная с ь будут равны нулю. Введем также теплицеву матрицу (к + 1) I (к + 1):
1 •
Л(к V):
а
- а
а
- а
:(- 1)4
а
а
а
Л (- 04
а
-а
-а
(- 1)4
а
а
-а
-а
а
а
-а
щ
ъ ъ ъ ъ
ъ. ъ.
ъ ъ ъ ъ
а0 Ы
(119)
Система уравнений (1.17) может быть записана теперь в форме одного векторно-матричного уравнения:
(1.170
В(к )(Ь) = Л(к )(а ) ЧМ)(а )
определяющего вектор М (а) составленный из (к+1) первых коэффициентов ряда (1.9), как из компонент.
Для ПФ Щ (1)( р) и Щ(2)(р) (1.12) с устойчивыми характеристическими полиномами (1.14) получим уравнения:
В<к )(Ь(1)) = Л(к )(а(1)) ЧМ)(а(1)); а) П в( к )(Ь(2)) = Л(к )(а(2)) ЧМ(к )(а(2)). б) Ю
(120)
Если будут равны полиномы числителей в дробно-рациональных представлениях ПФ(1.12), то (к+1) - векторы В'к)(Ь(1))и В(к (Ь(2)) в левых частях уравнений (1.20) так же окажутся равными.
Если еще будут выполняться равенства (1.15), то равными окажутся и матрицы Л(к)(Ь(1))и Л(к)(Ь(2)), следовательно, сами эти уравнения будут просто совпадать. Естественно, окажутся одинаковыми и решения этих уравнений, т.е. (к+1) - векторы М ('к )(а(1))и М(к )(а(2)), что будет означать по определению, асимптотическую
эквивалентность со степенью к передаточных функций (1.12), т.е. доказывает лемму.
Устойчивость динамической системы с ПФ(1.1) как уже отмечалось, означает устойчивость ее характеристического полинома (ХП) Ап(р) (1.2), при этом вид полинома числителя Вт(р) (т<п) не оказывает какого-либо влияния на само свойство устойчивости, хотя характер асимптотического поведения (1.11) ИПХ g(t) устойчивой динамической системы и, следовательно, значения коэффициентов (1.8) разложения (1.9), конечно зависят от вида полинома Вт(р).
Иначе говоря устойчивость, как принципиально важное свойство динамической системы с ПФ вида (1.1), полностью определяется соответствующим свойством ее ХП(1.2) и не зависит от вида полинома Вт(р) (т<п), т.е. от значений его коэффициентов Ьу (V = 0,1,...т).
Это означает, что при рассмотрении вопросов устойчивости динамических систем с ПФ вида (1.1) возможна и целесообразна ее замена на более простую дробно-рациональную структуру, в которой ХП А(Р) остается прежним, а полином числителя Вт(р) заменяется постоянной величиной, т.е. полином нулевой степени (т=0), в частности можно положить Вт(р)= Ь0 = а0.
В результате, дело сведется к рассмотрению ПФ вида
Ж(п}(р) = а° -_а_- _а0
А(Р) \ ар1 ао + ^р + ... + акр + ... + а„р" (1.21)
г - о
Введем следующие понятие. Передаточные функции вида:
ж(к)(р)- Аат^= --Р-г (*- 1,2,...(п-1)) ооч
А*(Р) е арг ао + а1Р + а2р2 + ... + а^ (1.22)
г- 0
назовем усеченными для ПФ, а соответствующие характеристические полиномы (ХП)
к
А (Р) - е агР' - а0 + а1Р + а2Р2 + . .. + акРк (1.23)
г-0
этих ПФ - усеченными ХП для полинома
п
Ап(Р) - X агРг - ао + а!р + а2р2 + ... + акРк + ... + ап_1рп 1 + апРп , (1.24)
г- 0
если (к+1) первых коэффициентов ХП Ап (р) (1.24) являются одновременно и коэффициентами соответствующих усеченных полиномов (1.23).
Следующая теорема устанавливает принципиальное взаимодействие по свойству устойчивости между ХП Ап (р) (1.24) и его усеченными полиномами Ак (р) (1.23).
Теорема 1.1
Если все коэффициенты ХП Ап (р) (1.24) некоторой линейной динамической системы с ПФ (1.21) положительны, то для устойчивости этого полинома необходима устойчивость всех его усеченных полиномов (1.23).
Обратное также верно: если полином Ап (р) (1.24) устойчив, то с необходимостью будут устойчивыми и все его усеченные полиномы (1.23)
Доказательство: Непосредственно следует из утверждений леммы. Действительно, если усеченные Ж{к )(р) ПФ (1.22) при всех к - 1,2,...(п- 1) окажутся устойчивыми, то согласно лемме, а ее условия, в этом случае, выполняются очевидным образом, это будет означать их асимптотическую эквивалентность с соответствующей степенью.
Этим ПФ асимптотически эквивалентной окажется ПФ Ж(п)(р) (1.21), но лишь тогда, когда она устойчива. Таким образом, для устойчивости ПФ Ж(п)(р) (1.21), т.е. ее ХП Ап (р) (1.24) с положительными коэффициентами, необходима устойчивость все усеченных ПФ Ж(к)(р)(1.22), т.е. их ХП (1.23) при всех к - 1,2,...(п- 1).
Если же Ж(п)(р) (1.21) устойчива, то она согласно лемме, будет асимптотически эквивалентна своим усеченным ПФ Ж(к )(р) (1.22), которые также окажутся устойчивыми.
Этот факт, очевидным образом, распространяется и на характеристические полиномы (ХП) указанных придаточных функций.
Теорема доказана.
Для рассматриваемых усеченных ПФ Ж(к )(р) (1.22) с устойчивыми ХП Ак (р)
(1.23) отметим связь между коэффициентами {аг} этих полиномов и первыми
коэффициентами{Мп} разложений ПФ (1.22) в ряды Тейлора (1.9). В развернутой форме эта связь, как частный случай системы (1.17), получает вид:
а0 = аМ\
0 = - а\М0 + а0М\
0 = а2М0 - а\М\ + а0М2
0 = - а3 М0 + а2М\ - а\М2 + аМ3
0 = ( - \Г акМ0 + (- \)к-\ ак-М + ...а2Мк_2 - а\Мк_\ + а^,
Отсюда для нескольких первых коэффициентов получаем представления:
а
М0 = \; М\ = М
а
\ 2
а
а0
а2
- —; м з а0
/ \3
а,
а0
2а\а2 + ^3
а
а3 а0
И обратные представления для положительных коэффициентов а (/ = \, 2,3) :
(м\2 - М2 )а0; а3 = (м\3 - 2М\М2 + М3 )а0;
а\ = М\а0; а2
(\.26)
(\.27)
2. Условия устойчивости характеристических полиномов.
Характеристическому полиному п-ой степени некоторой динамической системы
вида:
Ап ( Р) = а0 + а\Р + а2 Р2 + ••• + акРк + ••• + ап- 2 р"~ 2 + ап-\РП~ \ + ОпР
(2\)
Поставим в соответствие определитель Гурвица:
ап- \ ап- 3 ап- 5 ■ а4 а2 а0 0 ■ 0 0 0 0
ап ап- 2 ап- 4 ■ а5 а3 а\ 0 ■0 0 0 0
0 ап- \ ап- 3 ■ • аб а4 а2 а0 ■0 0 0 0
0 0
а,
а.
а,
0
0 а„
аааа
(2.2)
*п- \ "б
Этот определитель отличается от обычно рассматриваемых в литературе определителей Гурвица характеристических полиномов (ХП) п-ой степени, обратным порядком следования своих элементов как по строкам, так и по столбцам, что связанно с обратным порядком следования коэффициентов у рассматриваемых ХП по сравнению с таким порядком у нашего полинома Ап (р) (2.\). Естественно, будут отличаться и правила образования определителей. В нашем случае, это правило может быть сформулировано следующим образом.
В первую строку выписываются в порядке убывания через два индекса коэффициенты ХП (2.\). Если п - нечетное число, то в первой строке окажутся коэффициенты с индексом на единицу больше. При нечетных п это - коэффициенты только с нечетными индексами. Вместо отсутствующих коэффициентов полинома, ставятся нули.
Последующие строки (всего их п) формируются таким же образом причем при нечетных п элементные составы первой и последней строки будут совпадать, как последовательности одинаковых четных коэффициентов.
Согласно критерию Гурвица, для устойчивости ХП п-ой степени А(р) (2.\) с положительными коэффициентами необходимо и достаточно, чтобы все определители Гурвица меньших порядков были положительными. В «классическом случае» это -угловые миноры, возникающие в верхнем левом углу при перемещении «угла» сверху вниз.
п
А
п
ап ап- 2
В нашем случае, порядок образования определителей Гурвица меньших порядков меняется на обратный. Теперь, это будет угловые миноры, возникающие в правом нижнем углу определителя (2.2) при движении «угла» снизу в верх. Отметим несколько первых таких миноров:
А 2 -
а
а
а
А 3 -
аа
а
а
аа
0 0 а0
А 4 -
а
а
а
а
а1 0 0 а4 а2 а0 0 0
1 а2 а0 0 ; а 5 - а5 а3 а1 0 0
0 аб а4 а2 а0 0
а3 а0 а7 а5 а3 а1 0
а4 а2 а0
а8 аб а4 а2 а0
(2.3)
Все эти миноры являются определителями Гурвица для введенных ранее усеченных характеристических полиномов (ХП)
Ак (Р) - а0 + а1Р + а2Р2 + а3Р3 + ... + акРк (к < п) (2.4)
степени к<п (при равенстве нулю элементов с индексами больше к). Их положительность вместе с положительностью А п (2.2), согласно критерию Гурвица означает устойчивость как ХП Ап(р) (2.1), так и всех его усеченных полиномов Ак(р) (2.4), в полном соответствии с утверждением теоремы 1.1.
Раскрытие всех определителей Гурвица из возникающей последовательности при значительных п, с ростом порядка определителей, приводит ко все более громоздким формульным условиям положительности, как условиям устойчивости соответствующих усеченных ХП, все менее пригодных для практического использования.
Однако, если преобразовать определители Гурвица к так называемым а - формам, то формульные представления условий устойчивости усеченных ХП существенно упрощаются и они, без особых затруднений, могут быть использованы в практических расчетах даже при сравнительно больших п. Ограничимся, однако, значением п=7, т.е. будем рассматривать условия устойчивости ХП, степени которых не превышают семи.
Возможно, конечно, применение рассматриваемого подхода и при больших п, причем без неприемлемого усложнения формульных условий устойчивости, но большие степени ХП реальных одномерных линейных динамических систем крайне редко встречаются на практике.
В таких случаях (а также и при меньших п), вопрос устойчивости решают обычно на основе иных подходов, используя иные критерии, в частности, частотные.
Итак, рассмотрим алгебраические условия устойчивости ХП Ак(р) (2.4) различной степени к<п, как усеченных полиномов для Ап(р) (2.1) с положительными коэффициентами и степени п=7. Ему соответствует определитель Гурвица порядка:
а
а
а
а
аааа
а
а
а
0 0 а
аааа
0 0 0
а
а
а
0 0 0 0 а
аааа
0 а.
а
а
0 0 0 0 0 0 а
а
а
а
а
а
аааа
а
а
а
0 0
а0
аааа
0 0
а
а
а
0 0 0 0
а0
аааа
(2.5)
•*б 4 2
Из нечетных строк последнего определителя вынесем в качестве общего множителя коэффициент а0, а из строк с четными номерами - коэффициент аь и введем положительные величины, пологая
а.
а
а
и
а
а
а
(V - 0,1,2,3), причем
а
а
1
(2.6)
Теперь, А 7 запишется в виде:
0
А
7
А 7 = а0 4а3
О О
0 О
1 О 1 О
О О
а
= аО4 Ча3 4А 7
(2.7)
7 и, 5 и, з
Возникший определитель шестого порядка есть преобразованный определитель Гурвица, соответствующей ХП седьмой степени, поэтому он обозначен символом А 7. Его элементы - а-величины (2.6), поэтому будем его называть а-формой, в отличии от коэффициентной формы соответствующего определителя в (2.5), или, просто, а-определителем Гурвица, соответствующего ХП А7(р). Положительный множитель аО Ча3 у А 7 очевидно, не влияет на свойства определителя А 7, которые полностью определяются свойствами А 7. Таким образом, будем «работать» с а-определителем Гурвица:
А 7
а6 а4 а 2 1 О О А а 67 А а 45 Аа 23 О О О
а7 а5 а 3 1 О О а7 а5 а3 1 О О
О а6 а 4 а2 1 О О А а 67 А а 45 Аа 23 О О
О а7 а 5 а3 1 О О а7 а5 а3 1 О
О О а 6 а4 а2 1 О О А а 67 А а 45 Аа 23 О
О О а 7 а5 а3 1 О О а7 а5 а3 1
(2.8)
Введены разности альфа величин, как новые элементы:
А а 67 = а 6 -а 7; А а 45 = а 4 -а 5; А а 23 = а 2 -а 3. (2.9)
Положительность указанных в (2.8) угловых миноров, включая и положительность самого а-определителя, является условиями устойчивости ХП А7(р) и всех его усеченных полиномов Ак(р) (2.4) (к<п), если все соответствующие им миноры окажутся а-определителями Гурвица, что будет иметь место, если а-величины в минорах с индексами, превышающими степень соответствующего усеченного полинома, будут равны нулю. Начнем рассмотрение условий устойчивости усеченных ХП Ак(р) (2.4) со степени к=3, поскольку полиномы меньшей степени, т.е. полиномы А2(р) = аО + а1 р + а2р2 и А1 (р) = аО + а1 р в силу положительности их коэффициентов автоматически оказываются устойчивыми.
к=3. Достаточным условием устойчивости ХП 3-ей степени.
А3( р) = аО + а1 р + а2 р2 + а3 р3 (2.1О)
с положительными коэффициентами будет положительность углового минора 2-го порядка, который, как условились, обозначим символом А 3, и который есть а-определитель Гурвица для полинома (2.1О). Это даст неравенство.
А 3
А а 23 О
а
1
Аа
23
(а 2-а3)> О
(2.11)
являющееся искомым условием устойчивости ХП (2.1О). Имея в виду (2.6), выразим это условие через коэффициент полинома (2.1О).
ж а2 а3 Ц а2 Ча, - а3 Ча( а,
А а 23 = (а 2-а 3) = 3 —- — Ч = ^—> ОЮ (а2а1 - а3аО) > О
-о а1 ш
Получаем хорошо известное неравенство, как условие устойчивости ХП 3-ей степени по критерию Гурвица.
аО а1
(2.12)
а
а
а
6
4
2
а
а
а
7
5
3
а
а
а
6
4
2
а
а
а
7
5
3
а
а
6
4
2
3
к=4. Угловой минор А 4 в (2.8), т.е. определитель
а3 1 0
А 4 = А а 45 А а 23 0 = а 3 ЧА а 23 - А а 45 = (а 3 ЧА 3 - а 4) + а 5 (2.13)
а5 а3 1
при а5 = 0 (а5 = 0) становится а-определителем Гурвица для ХП 4-ой степени
А4(р) = а0 + а1 р + а2 р2 + а3 р3 + а4 р4 (2.14)
и его положительность, т.е. неравенство
а 3А 3 -а 4 = а 3 ЧА а 23 -а 4 > 0 = > а 3(а 2 -а 3) -а 4 > 0 (2.15)
является условием устойчивости полинома (2.14). Это неравенство может выполняться лишь при условии А 3 = А а 23 > 0(2.11), т.е. когда усеченный полином 3-й степени (2.10) окажется устойчивым - в полном соответствии с утверждением теоремы 1.1. Заметим, что при выполнение (2.15) минор А 4 (2.13) очевидным образом, окажется положительным (а5 > 0).
Условие устойчивости (2.15) для ХП (2.14) выраженное через коэффициенты этого полинома, представится в виде более сложного неравенства
а3 ж а2 а3 Ц а4
а 3А а 23 - а 4 = а 3(а 2 - а 3) -а,
а1 и а0
а,
1 ш
а,
> 0 Ю а3(а2а1 - а3а0)- а1а4 > 0. (2.16)
к=5. Угловой минор А 5 из (2.8) разложим по элементам первой строки. В результате получим:
А а 45 Аа 23 0 0
а5 а3 1 0
Аа 67 А а 45 Аа 23 0
а7 а5 а3 1
А а 45 ЧА 4 - А а 23(а 5А а 23 - А а 67)
(2.17)
При аб = 0 и а7 = 0 (Ааб7=0) этот минор окажется а-определителем Гурвица для полинома 5-ой степени
А5 (р) = а0 + а1 р + а2р2 + а3р3 + а4р4 + а5р5 (2.18)
Его положительность, т.е. неравенство
А а 45 ЧА 4 - а 5(Аа 23)2 > 0 Ю А а 45 Ч(а 3Аа 23 - А а 45)- а 5(Аа 23)2 > 0 (2.19)
и будет условием устойчивости полинома А (р). Оно возможно лишь при выполнение условий:
Аа 45 ЧА 4 > 0 Ю Н
МА 4 = (а 3А а 23 - А а 45) > 0;
Аа
(а4-а5)> 0,
(2.20)
в частности, условия положительности минора А 4, как было установлено, означает устойчивость усеченных полиномов А4(р)(2.14) и А3(р) (2.10). Неравенство (2.19) преобразуем к виду:
А а 45(а 3А а 23 - А а 45) -а 5(А а 23) = А а 23(а 3А а 45 - а 5А а 23) - (А а 45) > 0 Ю Ю (а 2 -а 3)(а 3а 4 -а 2а 5) - (а 4 -а 5)2 > 0, откуда, поскольку А а 23 > 0 с необходимостью следует неравенство
а 3А а 45 - а 5А а 23 > 0 ^ а 3А а 45 > а 5А а 23 > 0, т.е. положительность разности А а 45 одного из условий (2.20), обязательных для выполнения условий устойчивости (2.19) полинома А5( р) (2.18).
(2.21) (2.22)
А
5
Таким образом, в полном соответствии с утверждениями теоремы 1.1, получаем следующую ситуацию. Неравенство (2.19) или в развернутой форме (2.21):
А а 45 ЧА 4 - а 5 Ч(А 3)2 > 0 Ю (а 2 - а 3)(а 3а 4 - а 2а 5)- (а 4 - а 5)2 > 0 (2.23)
является достаточным условием устойчивости характеристического полинома (ХП) 5-ой степени А5(р) (2.18). Для его выполнения необходимо выполнение условий устойчивости усеченных полиномов А4(р)(2.14) и А3(р)(2.10), т.е. выполнение неравенств (2.15) и (2.11), которые непосредственно следуют из (2.23) при а 5 = 0, а затем и при а 4 = 0 .
Переходя к коэффициентному представлению, получим вместо (2.23), эквивалентное ему неравенство
(а1а2 - а0а3)(а3а4 - а2а5)- (а1а4 - а0а5)2 > 0, (2.24)
как условие устойчивости полинома А5(р) (2.18), которое будет выполняться лишь при выполнении неравенств (2.16) и (2.12) - условий устойчивости усеченных полиномов (2.14) и (2.10), представленных так же в коэффициентной форме.
к=6. Угловой минор А 6 в (2.8) преобразуем следующим образом. Элементы его второй строки [ А а 67 А а 45 А а 23 0 0] поделим на дельта А а 23 > 0 и вычтем из соответствующих элементов первой строки. Возникший определитель разложим по двум элементам его первой строки.
Применяя снова процедуру разложения к возникающим минорам, получим
следующее представление для А 6:
* 1 ж А а 67 ц... 1 ж А а 45 ц„. . . . . .. ,2 А 6 = з а 5 - —^ч ЧА 5> - 3 а 3 - чцА а 67(а 3А а 23 - А а 45)- а 7(Аа 23)2
и Аа 23 ш и Аа 23 ш
2
А 5 4 ,и . ,жА 4 Ц , а (Аа )2 А 4
(2.25)
А 1 Ж А 1 Ц
= (а 5А а 23 -Аа 67 ) ТТ -А 67 ЧАа 23 ТТ ч +а 7(Аа 23) А 1 А 3 и А 3 ш А 3
Здесь учтено, что, согласно (2.11) и (2.13)
А1 Аа жа А а 45 Ц =А 4
А 3 = Аа 23 и з а 3 - А— Ч - АТ .
И А а 23 Ш А 3
При а 7 = 0; А 67 = а 6 > 0 минор А 6 (2.25) становится а-определителем Гурвица для ХП 6-ой степени
А6(р) = а0 + а1 р + а2 р2 + а3 р3 + а4р4 + а5 р5 + а6р6 (2.26)
В этом случае, А 6 получает вид, следующий из (2.25)
2
А 1 А 1 ж А 1 Ц А 1 й А 1 А 1 Щ
А 6 = (а 5А а 23 -Аа 6) "А11 Ч"А11 -а 6Аа 23 3 "А11 Ч = "Г К (а 5А а 23 -а 6 )"А11 -а 6Аа 23 "А11Ъ (2.27)
А 4 А 3 И А 3 Ш А 3 Л А 4 А 3 Ы
Его положительность, т.е. выполнение неравенство
А 14 й А 15 А 14 щ
к(а 5А а 23 -а 6)А11 -а 6Аа 23 Т"4ъ > 0, (2.28)
А 3 л А 4 А 3 Ы
являются достаточным условием устойчивости полинома А6(р) (2.26). Для этого необходимо выполнение следующих двух неравенств:
А1 Ь
—4 > 0 Ю А 4 = (а 5Аа 23 - Аа 45) > 0 и А 3 = Аа 23 > 0; а)
А 13
(а 5А а 23 -а 6 )^А11-а 6 ЧАа 23 А^Г > 0 Ю (а 5А а 23 -а 6 )А 5 -а 6 1А 4) 2 > б)
п
э (2.29)
А 1 6 23 А
43
(2.32)
Положительность миноров А 14 и А 13 означает выполнение условий устойчивости усеченных полиномов А4(р) (2.14) и А3 (р) (2.10).
Таким образом, условие устойчивости полинома Аб( р) сводится к выполнению лишь неравенства (2.29 б) которое представим в виде
(а 5А а 23 - а б)А1 - а б(а4)2 > 0 ^ а 5А а 23А1 - а б[А1 + (а4)2] > 0. (2.30)
Отсюда, учитывая представление (2.17) для минора А 5 (при а 7 = 0), с необходимостью будет следовать неравенство:
А 5 > 0 Ю А а 45 ЧА 4 -Аа 23(а 5А а 23 -а б) > 0, (2.31)
которое, как уже отмечалось, при а б = 0 и А 14 >0 будет означать устойчивость усеченных полиномов А5(р) (2.18) и А4(р )(2.14).
Подставим в (2.30) представление (2.17) для А 5, при а 7 = 0 :
А 5 = А а 45 ЧА 4 - А а 23(а 5А а 23 - а б) > 0 (2.31')
В результате после алгебраических преобразований получим неравенство
(а 5 А а 23 -а б)А 5 -а б (А 4)2 > 0 Ю (а 5 А а 45 - а 3а б) - (а 5Аа 23 -а б)2 > 0 Ю
Ю (а 3А а 23 - а 45)(а 5А а 45 - а 3а б)- (а 5А а 23 - а б)2 > 0, которое и будет условием устойчивости ХП б-ой степени Аб(р) (2.2б) в а-форме.
Используя представления (2.б), перейдем в (2.32) к коэффициентной форме, которая формульной окажется значительно более сложной по сравнению с а-формой (2.32). это неравенство вида:
[а3(а1а2 - а0а3) - а1(а1а4 - а0а5)][а5(а1а4 - а0а5) - а1а3аб] -
2 2 (2.33)
- [а5 (а1а2 - а0а3) - а1 аб ] > 0.
Покажем теперь, что из обеих форм условия, устойчивости характеристического
полинома (ХП) б-ой степени Аб( р) (2.2б) следует устойчивость усеченных полиномов
всех меньших степеней - в полном соответствии с утверждением теоремы 1.1.
Действительно, пологая в (2.32) а б = 0и сокращая на а 5 > 0 получим неравенство
(2.19):
А а 45 ЧА 4 - а 5(Аа 23)2 > 0 Ю А а 45 Ч(а 3Аа 23 - А а 45)- а 5(Аа 23)2 > 0, которое является условием устойчивости усеченного полинома 5-ой степени А5( р) (2.18). Эквивалентное условие возникает и из коэффициентной формы (2.33) при аб = 0. После преобразований оно получает вид неравенства (2.24).
Если теперь в этих неравенствах положить а 5 = 0 (и соответственно а5 = 0), то получим условие устойчивости усеченного полинома 4-ой степени А4(р) (2.14). Это будут раннее полученные неравенства (2.15) и (2.1б):
а 3 ЧА а 23 - а 4 > 0 = > а3 (а2а1 - а3а0) - а12а4 > 0 .
Наконец, при а 4 = 0 (а4 = 0) получим условие устойчивости усеченного полинома 3-й степени А3( р)(2.10)
А а 23 = (а 2-а 3) > 0 Ю (а2а1 - а3а0) > 0 . Следует признать нецелесообразным использование в практических расчетах условия устойчивости ХП б-ой степени Аб(р) в коэффициентной форме в виду его
громоздкости. А вот а-форма (2.32) этого условия не вызывает каких-либо вычислительных затруднений, особенно, если при проверке выполнения неравенства (2.23)
А 4(а 5А а 45 - а 3а 6)- (а 5А а 23 - а 6)2 > 0
предварительно вычислить простеишие положительные величины:
А1 = (а 3А а 23 - А а 45); А а 23 = (а 2 - а 3) и А а 45 = (а 4 - а 5) (2.34)
Если же условие положительности окажется нарушенным хотя бы для одноИ из этих величин, то это будет означать нарушение условий устойчивости усеченных полиномов меньшей степени и, следовательно, согласно теореме 1.1, невыполнение неравенства (2.32) - условия устойчивости полинома А6(р) (2.26).
k = п = 7. В этом случае А 7 (2.8) сразу оказывается а-определителем Гурвица для характеристического полинома 7-ой степени с положительными коэффициентами вида
А7(р) = а0 + а1 р + а2р2 + ... + ajp1 + ... + а6р6 + а7р7 = £ а]р}
(2.35)
1 = 0
и, следовательно, его положительность, т.е. неравенство А7>0, является необходимым и достаточным условием устойчивости полинома (2.35).
Найдем явное представление для а-определителя А 7 выражаемое через его элементы и угловые минора разложение А 7 (2.8) по двум элементам его первого столбца, дает:
А 7 = Аа 67 ЧА 6 - а 7
А а 45 Аа 23 0 0 0
Аа 67 А а 45 Аа 23 0 0
а 7 а5 а3 1 0
0 Аа 67 А а 45 Аа 23 0
0 а7 а5 а3 1
Аа 67 ЧА 6 - а 7 Д6
(2.36)
Далее используя последовательно процедуру разложения возникающих определителей, найдем:
Д6 = Аа45 ЧА5-
А а 23 Ч
Аа 67 Аа 23 0 0
а7 а3 1 0
0 Аа 67 Аа 23 0
0 а5 а3 1
= А а 45 ЧА 5 - А а 23 ЧЙ А а 67 ЧА 4 -а 7 Ч( А а 23)2 Щ.
Таким образом (2.36) получает вид:
А 7 = А а 67 ЧА 6 - а 7 ЧА а 45 ЧА 5 + а 7А а 23 ЧА а 67 ЧА 4 - а 72А а 23(А а 23)2
Для минора А 6 имеем представление (2.25):
2
А 1 ж А 1 Ц А 1
А 6 = (а 5А а 23 -Аа 67)ТТ - А 67 ЧАа 23 Н^-Г ч + а 7(Аа 23)^Т"Т =
и А 3 ш
(2.37)
ж А а
за 5- —
и А а
67 ЦЧА 5 -
23 ш
А
Аа
А
(2.38)
Аа
(А 4)2 + а 7 ЧА а 23 ЧА 4
23
а для миноров А 4 и А 5 - представления (2.13) и (2.17)
А 4 = (а 3А а 23 -Аа 45); Аа 23 = А 7 > 0, (2.39)
А 5 = А а 45А 4 - А а 23(а 5А а 23 - А а 67). (2.40)
Подставляем в (2.37) выражение (2.38) для А 16 , получим, после алгебраических преобразований,
3
1 1 2 А 5Г4 „ ,........ч /4 „ „ ¡к 4 _ 4 „ А 4 ц
А 7 = -5-[А а 2з(а 5а б - а 4а 7)- (А а 67)2]- А а 23 за7А а23- А а67 ттч (2.41)
А з и А з ш
Положительность этого выражения, как уже указывалось, означает устойчивость полинома А7(р) (2.35) и приводит к неравенству:
\ 2
> 0 ^
А7 > 0 ^ Ат5[А а 23(а 5а б - а 4а 7)- (А а б7)2]- (А а 23)2
А - А
а 7 а а 23 а а 67 1 А 3
V )
(2.42)
Ат5[А а 23(а 5а б - а 4а 7)- (А а б7)2]- [а 7(А а 23)2 - А а б7(а 3А а 23 - А а 45)]2 > 0 Оно явно содержит только минор А 5.
Если же представить в (2.42) еще и представления для минора А 5 (с заменой
минора А 4 его выражением (2.39), то получим неравенство, полностью выражаемое через
положительные а-величины и их неотрицательные разности. Однако, оно формульно оказывается весьма сложным и поэтому неудобным для практического применения. Целесообразно, поэтому, условие устойчивости полинома А7(р) оставить и использовать в форме (2.42) подставляя в него положительные значения минора А 5, предварительно определенные по формуле (2.40).
Отметим так же нецелесообразность перехода к коэффициентной форме в условии (2.42), т.к. в это случае происходит еще более значительное усложнение этого условия.
Выполненные неравенства (2.42) - условия устойчивости характеристического полинома 7-ой степени (2.35), означает в соответствии с утверждением основной теоремы 1.1, и выполнение условий устойчивости всех усеченных характеристических полиномов меньшей степени, что можно видеть непосредственно.
Так пологая в (2.42) а 7 = 0, получаем неравенство:
А 5 Ча б(а 5 А а 23 -а б) -а б2(А 4)2 > 0 Ю А 5 Ч(а 5А а 23 -а б) -а б(А 4)2 > 0, (2.43) т.е. неравенство б) в (2.29), а это - условие устойчивости усеченного характеристического полинома Аб(р) (2.2б).
Если теперь, в (2.43) положить а б = 0, то будем иметь неравенство для А 5 (2.19):
а 5 ЧА а 23 ЧА 5 > 0 Ю А 5 > 0 Ю А 5 = А а 45 ЧА 4 - а 5(А 3)2 > 0, (2.44)
являющееся условием устойчивости усеченного характеристического полинома 5-ой степени (2.18).
Полагая в (2.44) а 5 0, получим условия устойчивости усеченных характеристических полиномов 4-ой и 3-й степени.
А 4 > 0 Ю А 4 = а 3 ЧА а 23 - а 4 > 0 Ю А 3 = Аа 23 = (а 2 - а 3) > 0.
Итак, неравенство (2.42) является необходимым и достаточным условием устойчивости характеристического полинома 7-ой степени А7(р) (2.35) причем а-величины а к(к = 2,3,...) связанны с положительными коэффициентами полинома А7(р) соотношениями:
а 2 = —;а 3 = -±;а 4 = -^;а 5 = -^;а б = -2-; а 7 = (2.45)
2345б7
а а
Должны быть положительными и возникшие а-разности:
А а 23 = (а 2 - а 3) > 0;А а 45 = (а 4 - а 5) > 0;А а б7 = (а б - а 7) > 0 . (2.4б)
Однако, при рассмотрении условий устойчивости усеченных характеристических полиномов, как частных случаев условия (2.42), возникающих, когда последовательно полагают а 7 = 0, затем а б = 0; а 5 = 0и а 4 = 0, а-разности могут принимать и нулевые значения.
Рассмотрим иллюстративный пример, заимствованный из [1]. Выяснить устойчивость характеристического полинома 7-ой степени
А7( р) = 1 + 6 р + 17 р2 + 28 р3 + 25 р4 + 15 р5 + 5,5 р6 + 0,8 р7 (2.47)
Производим вычисления в следующем порядке:
1) Используя (2.45), находим а-величины:
17 28 25
а 2 = —; а 3 = —= 4,67 ; а 4 = —; а 5 = 2,5;а 6 = 5,5;а 7 = 0,133 1 6 1
и а-разности
А а 23 = (а 2 - а 3) = 12,33; А а 45 = (а 4 - а 5) = 22,5; А а 67 = (а 6 - а 7) = 5,36.
2) По представлению (2.40) находим численные значения минора А 5:
А 5 = А а 45 (а 3А а 23 - А а 45) - А а 23(а 5А а 23 - А а 67) = 475,425
3) По имеющимся данным вычисляем минор А 1
7
А 7 = А 5[А а 23(а 5а 6 - а 4а 7)- (А а 67)2]- [а 7(А а 23)2 - А а 67(а 3А а 23 - А а 45)]2 = 19172,5
Положительность минора А:7, означает выполнение условия устойчивости (2.42) для рассматриваемого полинома (2.47).
Покажем, что все усеченные характеристические полиномы, полученные из полинома А7(р) (2.47), так же окажутся устойчивыми, в соответствии с утверждением основной теоремы.
а) Усеченный полином А3(р) = 1 + 6р + 17р2 + 28р3 - устойчив, т.к. А 3 = А а 23 = (а 2 -а 3) = 12,33 > 0.
б) Полином 4-ой степени А4 (р) = А2 (р) + 25р4, так же окажется устойчивым, поскольку
А 4 = а 3А а 23 -а 4 = 4,67 Ч12,33 - 25 = 57,581 - 25 = 32,581 > 0.
в) Усеченный полином 5-ой степени А5(р) = А4(р) + 15р5 устойчив, т.к. при А а 67 = 0 минор А 7 (2.40) принимает положительное значение.
А 5 = А а 45 ЧА 4 -а 5(А 5)2 = 22,5 Ч32.585 - 2,5 Ч(12,33)2 = 733,162 - 380,07 = 353 .
г) Для устойчивости усеченного характеристического полинома 6-ой степени А6( р) = А5(р) + 5,5р , когда а 7 = 0 необходимо и достаточно выполнение условия
(а 5 А а 23 -а 6)А 5 -а 6(А 4)2 > 0. Миноры А 4 и А ^ , в этом случае имеют представление (2.13) и (2.31') соответственно. Вычисления дают:
А 4 = (а 3 ЧА а 23 - А а 45) = 4,67Ч12,33- 22,5 = 35,081;
А 5 = А а 45 ЧА 4 - А а 23(а 5А а 22 -а 6) = 789,322 - 312,257 = 477,06; (а 5 А а 23 -а 6)А 5 -а 6(А 4)2 = 12081,54 - 6768,68 = 5312,86 > 0. Таким образом, условие устойчивости для усеченного характеристического полинома А6(р)так же выполняется.
Выполненные расчеты устойчивости ХП (2.47) 7-ой степени по предлагаемому способу с использованием предварительно найденных а-величин и некоторых их разностей, показывают не большую трудоемкость по сравнению с расчетами этого примера по критерию Рауса, приведенные в [1].
Предлагается, по существу, аналитическая модификация критерия устойчивости Гурвица с реализацией факта взаимодействия усеченных характеристических полиномов, что заметно расширяет возможности этого критерия при его практическом применении.
3. Усеченные характеристические полиномы и оценки степени устойчивости и времени переходного процесса.
Степень устойчивости г является одним из важнейших показателей качества систем автоматического регулирования (САР) и имеет смысл расстояния отнимаемой оси (граница устойчивости) до ближайшей пары комплексно-сопряженных корней характеристического уравнения САР с отрицательной вещественной частью [1].
Степень устойчивости г связанна со временем Т переходного процесса в устойчивых системах выражением:
T _- -ЫT , (3.1)
г
где 8т - заданное значение относительного уменьшения ординаты импульсной переходной характеристики (ИПХ) g(t) САР, асимптотическое поведение которой и определяется величиной г. Существуют способы оценивания степени устойчивости которые, однако, мало используются на практике, в связи с их неэффективностью.
Предлагается иной подход к решению этой задачи, основанной на асимптотической эквивалентности с некоторой степенью двух расчетных устойчивых передаточных функций ПФ с усеченными полиномами в знаменателях, т.е. с усеченными устойчивыми характеристическими полиномами [2,3].
Речь идет о ранее введенных расчетных устойчивых ПФ вида
а
W(k)(p) _ -^-Т (к _ 1,2,..) (3.2)
а0 + а1 р + а2 р + ... + акр Расчетная ПФ, первого порядка из ряда (3.2)
w(1)(р) Г g4) (3.3)
а0 + а1 р
_ По
имеет единственный полюс на вещественной оси р1 _ - ~, т е. единственный корень
своего характеристического уравнения а0 + а1 р _ 0 и, следовательно, ее временной оригинал g)(т.е. ИПХ соответствующей расчетной динамической системы) есть обычная экспонента.
а -
W(1)(р) Г g(1)(t) _ ^е , (3.4)
а1
а степень устойчивости такой расчетной системы будет равна модулю этого единственного корня
г _ 1 р:|_ — (3.5)
а1
Характеристическое уравнение а0 + а1 р + а2р2 _ 0 расчетной ПФ 2-го порядка
W(2)(р)_ -а-2 , (3.6)
а0 + а1 р + а2 р
асимптотически эквивалентной с первой степенью ПФ W (1)(р) (3.2) имеет два корня
- а, + Л/а,2 - 4а0а2
р1,2 _ 1 V-— *
2а2
Степень устойчивости, в это случае, определяется в зависимости от знака дискриминанта квадратного уравнения:
п п
г = н п п
|ри|
■ а1 +
4а0а2
2а2
если
(а2 - 4а0а1) i 0; п
|Re р1,21=
а1 2а0
(3.8)
если
(а1 - 4а0а1) < 0.п
О
Асимптотическое поведение временного оригинала
g(2)«) Г W(2)(р) (3.9)
будет определяться поведение экспоненты, соответствующей ближайшему к мнимой оси корню в (3.7), т.е. степени устойчивости г (3.8).
Но передаточные функции W (1)( р)(3.3) и W (2)(р)(3.6) и их соответствующие временные оригиналы g ), g (2)(^) асимптотически эквиваленты с первой степенью, что означает их асимптотическую близость, как временных функций, и, следовательно, близость степеней устойчивости г, определяемых по (3.5) и (3.8) как модулей корней соответствующих характеристических уравнений, ближайших к мнимой оси. Подобные рассуждения можно провести и для расчетной усеченной ПФ 3-го порядка из ряда (3.2) рассматривая характеристическое уравнение 3-й степени. Однако, его решение определение корня ближайшего к мнимой оси, будет лишь несколько уточненное значение такого корня, но найденного ранее, при решение несравненно более простого квадратного уравнения.
По этой причине нецелесообразно рассмотрение и ПФ последующих порядков из ряда (3.2).
Приведем примеры, показывающие высокую эффективность предлагаемого метода определения степени устойчивости линейных динамических систем и времени переходных процессов.
1. Характеристическое уравнение некоторой устойчивой динамической
системы имеет вид
А3(р) = 231 + 157р + 8,2 р2 + р3.
(3.10)
Требуется найти приближенное значение г - степени устойчивости по описанному методу и оценить время переходного процесса при 5 т = 0,01. Из усеченного уравнения 1-ой степени 231 + 157р = 0 найдем
М |=
231 157
1,47
Из усеченного уравнения 2-ой степени 231 + 157р + 8,2 р2 = 0 получим, в силу условия (3.8),
- 157 + 130,5
1,61
16,4
Из этих двух значений г примем меньшее, т.к. кореньрь уравнения 1-ой степени ближе к мнимой оси, чем вещественный корень рь квадратного уравнения. Итак, получаем г = 1,47 (истинное значение г = 1,58). Для времени переходного процесса получим:
21п10
Т » - 1п 5 т
3,13 сек.
2.
г 1,47 Для характеристического уравнения А4( р) = 1081500 + 149250р + 3065р2 + 103 р3 + р4 = 0 (3.11)
найти г и Т.
Для усеченного уравнения 1-ой степени 1081500 + 149250р = 0 окажется
г
8,85
. . 1081500 „„^
r = | p |= -= 7,246
149250
Усеченное квадратное уравнение 1081500 + 149250p + 3065p2 = 0 имеет положительный дискриминант, поэтому, согласно (3.8) получим:
| - 48,7 + 311
r = J-1
2
Берем правое значение r = 7,25, как меньшее из двух найденных. Истинное
значение r = 8,3. По найденному приближенному значению степени устойчивости r = 7,25
определим время переходного процесса:
т In d т 2ln10 4,6 4,6 0 63
T »--- = -= -= -= 0,63 сек
r 7, 25 7, 25 7, 25
3. Определим так же величины для динамической системы с характеристическим уравнением:
A6(p) = 292,1 + 771,2p + 1146,5 p2 + 364,2p3 + 107,4 p4 + 16,4 p5 + p6 = 0 (3.12)
Из уравнения первой степени 292,1 + 771,2p = 0 найдем r = 0,378. Из квадратного уравнения 292,1 + 771,2p + 1146,5p2 = 0 , в силу отрицательно дискриминанта, согласно (3.8) получим r = 0,336. Принимаем меньшее значение r =0,336. Истинное значение равно r = 0.377. Для Т получаем:
T » = 13,7 сек 0,336
Все эти примеры рассмотрены так же [2,3].
Литература
1. А.А. Воронов Основы теории автоматического управления. Часть 1. М.: «Энергия» 1965. - 396 с.
2. В.М. Осипов, В.В. Осипов Моделирование линейных динамических систем метода точечных представлений M.: МАКС Пресс, 2005. - 296 с. ISBN 5-317-01390-9
3. В.В. Осипов. Один подход к определению степени устойчивости линейных стационарных САР. / Информатика и системы управления: Межвузовский аспирантский и докторантский сборник научных трудов /Отв. ред. А.И.Рубан, Б.П. Соустин; - Красноярск КГТУ. 1996.С.162 - 167.
4. Осипов В.М., Осипов В. В. Положительная определённость и положительность функций. Элементы теории и некоторые приложения /В.М. Осипов, В.В. Осипов. - Красноярск: Сибирский федеральный университет, 2008.-415с. ISBN 978-5-7638-0972-5.
