О положительной определенности и положительности функций и некоторых приложениях Текст научной статьи по специальности «Математика»

© В.М. Осипов, В.В. Осипов, 2008

УДК 519.71:62.50

В.М. Осипов, В.В. Осипов

О ПОЛОЖИТЕЛЬНОЙ ОПРЕДЕЛЁННОСТИ И ПОЛОЖИТЕЛЬНОСТИ ФУНКЦИЙ И НЕКОТОРЫХ ПРИЛОЖЕНИЯХ

Рассмотрены различные взаимодействия таких свойств как положительная определённость и положительность, которые, в силу теоремы Бохнера, имеют место для спектрально-инверсных пар четных функций различных классов, возникающих при косинус-преобразовании Фурье. Рассмотрены некоторые приложения этих понятий, в частности, в теории линейных динамических систем. Установлена непосредственная связь свойства положительной определённости системных функций линейных динамических устройств со свойством их асимптотической устойчивости.

я #ри рассмотрении комплексное преобразование Фурье функций-оригиналов

.И из Ь1(— да , да ), которое для четных функций переходит в косинус-преобразование выяснено условия существования пары взаимно -обратных косинус-преобразований, в частности, для случая, широко используемых в различных технических приложениях, односторонних функций-оригиналов, доопределённых до чётных. Такие пары названы спектрально- инверсными. Показано, что операция свертки одноимённых функций спектрально-инверсных пар порождает соответствующие спектрально-инверсные пары с теми же свойствами.

Вводится определение понятия положительной определённости функций из Ь1(— да, да), на основе которого устанавливается начале следующих характерных свойств таких функций: их четность и существование глобального положительного максимума в начале координат; положительность (неотрицательность) их косинус-преобразований Фурье как четных функций из Ь1 (— да, да). Последнее утверждение, иным путем, но впервые, было получено Бохнером и известно под названием теорема Бохнера.

Если функционал в определении положительно-определённой функции-оригинала / (|/|) из Ь1(— да, да) задать на множестве чётных ограниченных функций из Ц (— да, да), входящих также в Ь2(- да, да), то он может быть представлен в виде скалярного произведения функции / (|/|) є Ьі с Ь2 и чётной положительноопределенной сверточной функции из Ь2(- да, да), а также, в силу равенства План-шереля, в виде скалярного произведения соответствующих спектральных двойников этих функций. В результате, свойства положительной определённости и положительности возникающих спектрально-инверсных пар оказываются также инверсными: если одна из функций такой пары положительно определена, то другая, в соответствии с теоремой Бохнера, окажется положительной (неотрицательной). Установлен целый ряд других свойств положительно -определённых функций из Ь1(— да, да) с Ь2(— да, да), имеющих место при различных операциях над ними. Рассмот-

рены классы известных элементарных функций, обладающих свойством положительной определённости.

Вводится в рассмотрение одностороннее преобразование Лапласа

да да

(р) = | * (КР‘М = ^ (а + /ю) = |[,(:)е~а: ] е^а 0 0

как комплексное преобразование Фурье функции е~а:* (:) из Ц (0, да). Отмечается аналитичность функций Р, (р) в полуплоскости Ре Р >а> 0 комплексной

плоскости Р = а + / ю .

Устанавливаются свойства этой функции, как преобразования Лапласа, когда односторонняя функция е^а,(:) из Ц (0, да) , доопределённая до чётной путем замены : ^ |:|, т.е. функция Ф(а;:) = е (|:|) из Ц (-да, да) окажется положительноопределённой по определёнию. Фактически, это означает, что понятие положительной определённости может быть распространено непосредственно на односторонние функции-оригиналы из Ц (0, да). Вводится соответствующее определение, использующее функционал, заданный теперь на множестве функций из Ц (0, да). Может быть введена и спектрально-инверсная пара, составленная из функции-оригинала из Ц (0, да) и её косинус-преобразования (спектрального двойника) -вещественной спектральной функции, по-прежнему, принадлежащей Ц (-да, да).

Функции такой пары, в силу симметрии косинус-преобразования, по-прежнему, будут обладать инверсной симметрией в отношении свойств положительной определенности и положительности (неотрицательности).

Сохраняются, в основном, и другие свойства положительно определённых односторонних оригиналов из Ц (0, да), полученных ранее для их «двухсторонних двойников» из Ц (-да, да), также как и свойства их преобразований Лапласа и Фурье. Исключение составляет операция свертки для односторонних функций. Рассматриваются линейные комбинации конечного числа положительно-определённые экспоненциально затухающих односторонних функций из Ц1(0, да) с положительными коэффициентами, как временные оригиналы преобразований Лапласа дробнорационального вида.

Исследуются свойства таких функций.

В связи с этим, устанавливаются условия положительной определённости решений задачи Коши для однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Рассматриваются основы элементарной теории обобщенных функций, необходимых для понимания всех особенностей проявления свойства положительной определённости в этом классе функций. Вводится известное понятие обобщенной функции медленного роста. Приводятся примеры регулярных сингулярных обобщённых функций как элементов пространства обобщённых функции Б+ . Это -полное пространство в смысле слабой сходимости, поэтому всякий его элемент есть предел некоторой последовательности обобщённых функций, сходящейся в указанном смысле. Возникает важное понятие 5 - последовательности, как по-

следовательность обычных функций, сходящихся 5 - функции - сингулярной обобщённой функции, в смысле слабой сходимости.

Для обобщённых функций медленного роста определены операции дифференцирования и свертки. Показано, что всякая такая функция имеет бесконечное число производных - также обобщённых функций свойство положительной определённости, характерное для обычных, но четных функций из Ц, остается таковым и для четных обобщённых функций, поэтому подробно рассмотрена операция свертки именно чётных обобщённых функций с четными же функциями из Б - пространства основных функций. В результате возникают тоже четные обобщённые функции медленного роста регулярные или сингулярные.

Далее рассматривается преобразование Фурье - линейная операция, действующая в Б+ пространстве обобщённых функций медленного роста и в 5 - пространстве основных функций. Это преобразование, действуя в Б,, и Бг+ - подпространствах четных функций пространстве Б и Б+ соответственно, переходит в косинус-преобразования Фурье, которое оказывается замкнутым в этих подпространствах, порождая в них спектрально-инверсные пары. Во множество таких пар входят и спектрально-инверсные пары, введённые ранее для обычных функций из Ц с Ц2. Рассмотрены различные операции над четными функциями из обобщённых спектрально-инверсных пар, которые порождают новые пары того же класса.

Приведены конкретные примеры. Далее, понятие положительной определённости, ранее введённое для четных функций из Ц (-да, да), распростра-няется на

четные обобщённые функции медленного роста (функции из Б,+). Соответствующим образом, распространяется на обобщённые спектрально-инверсные пары и утверждение теоремы Бонхера: если одна из функций обобщённой спектрально- инверсной пары окажется положительно- определённой, то другая окажется положительной (неотрицательной). Приведены иллюстрирующие примеры, имеющие и самостоятельное значение.

Рассматривается множество всевозможных бесконечно дифференцируемых функций с носителями из Н в роли иного пространства основных функций, чем пространство Б. Это пространство О = О (Н). В него входят и финитные функции, имеющие конечные носители. Очевидно О с Б. На О , как и на Б, может быть определена обобщенная функция как линейный непрерывный функционал. Множество таких функционалов, с введенной в нём слабой сходимостью элементов, образует пространство О+ обобщённых функций, содержащие как регулярные, так и сингулярные обобщённые функции, которые одновременно могут рассматриваться как элементы Б+ -пространства обобщённых функций медленного роста.

В пространствах О и О+ , как и раньше в пространствах Б и Б+, рассматриваются подпространства четных функций. Их косинус- преобразование порождает спектрально- инверсные пары обобщённых функций в йг + и, следовательно, в Б/ -подпространстве четных функций медленного роста, т.к.

Б,+ с йг + с О+ .Последнее означает, в частности, что определение положительной

определённости, данное для обобщенных функций медленного роста (т.е. функций из Б,.+), может быть распространенно и на обобщенные функции из О+ . Сохраняются также и отмеченные ранее свойства спектрально- инверсных пар (т. Бонхера). Рассмотрены свойства спектрально-инверсных пар при различных финитных временных оригиналах, образующих 5 - последовательности.

Далее рассматривается преобразование Лапласа обобщенных функций из О++ , определённых, как линейные функционалы, на О+ = О (Я+) -пространстве основных функций, элементами которого являются бесконечно дифференцируемые и абсолютно интегрируемые функции, заданные на Я+ -положительной полуоси.

Найдены преобразования Лапласа для 5-функции и её производных.

Рассматривается положительная определённость и связанное с ней свойство положительности чётных периодических функций. Вводиться опреде-ление положительной определённости для таких функций аналогично тому, как это делалось для функций из Ц (-да, да) и обобщенных функций. Вводиться также спектрально-инверсная пара функций в силу косинус-преобразования Фурье, обладающая теми же ранее указанными свойствами, в том же числе и в отношении операции свертки. Свойство (четных) 2-периодических функций полностью определяется совокупными свойствами их коэффициентов Фурье, т. е. свойствами их рядов Фурье по косинусам. Так, для положительной определённости такой функции ф (0) достаточно положительности (неотрицательности) ее коэффициентов Фурье, как дискретных отчётов и неотрицательного спектрального двойника, следующих через частотный промежуток Дга = п , т.е. неотрицатльности её дискретного спектра Єк = Єф (кп) > 0 (к = 0,1...).

Теоретически решена и задача по определению коэффициентных условий положительности самой периодической функции.

Требование положительной определённости спектральной функции и, следовательно, дискретного спектра периодической функции, приводит к требованию положительной определённости квадратичной формы, симметричная матрица которой, как из элементов, состоит из коэффициентов Фурье этой функции. Критерий Сильвестра о положительности всех угловых миноров матрица квадратичной формы и является, в конечном итоге, теоретическим критерием положительности периодической функции. Однако он не конструктивен и мало пригоден практически. Получены простые и достаточные коэффициентные признаки положительности четной периодической функции, ряд Фурье которой имеет положительные коэффициенты Фурье. Так первый достаточный признак сводится к требованию неотрицательности разности:

да

Оф (0) - 2^ Оф (кп) > 0 , что является серьезным ограничением на коэффициенты,

к=1

предполагающим их быстрое убывание. Приведены примеры рядов Фурье, положительных функций, иллюстрирующих этот факт. Второй достаточный признак, вытекающий из представления чётной периодической функции в виде разложения по классическим ядрам Фейера, сводится к требованию неотрицательности вторых разностей положительных коэффициентов Фурье:

AGk = Gk _1 - 2Gk + Gk+1 (k = 1,2,...), что означает выпуклость вниз спектральной

функции G9 (га), как огибающей дискретного спектра. Этот признак также определяет сравнительно узкое множество чётных положительных периодических функций с положительными коэффициентами Фурье.

Рассматриваются свойства положительной определенности и положительности особого класса периодических функций - класса чётных тригонометрических полиномов вида

Pn (0) = G0 + 2^ Gk coskn0 (1)

k=1

Для них обосновывается и, при некоторых допущениях, вводится в рассмотрение пара взаимно-обратных косинус-преобразований Фурье - интегральных спектрально-инверсных преобразований:

1

G (nnx) = J Pn (0)cosnnx0d0; x e[_1;1 ]

0

1

Pn (0) = 2n J G (nnx) cosnnx0dx; 0 e [_1;1 ]

0

(2)

определённых на конечных отрезках по обеим переменным. Далее вводятся смежные чебышевские сетки J и Jl рода и подробно рассматриваются их основные свойства: равномерную распределённость и ортогональность, которые обеспечивают максимально возможную эффективность этих сеток - наивысшую точность представления различными интерполяционными (точечными) конструкциями, ассоциированными с этими сетками, что связано с реализацией метода наименьших квадратов.

Так, квадратуры интегралов в спектрально-инверсных преобразований (2), ассоциированных с чебышевской (n+1) - сеткой II рода:

0(vn) = — (— = 0, П)и xk) = k(k = 0, n) , порождают эквивалентную пару спектральноинверсных тригонометрических полиномов вида

Р„ (0) + 2Pn (0(n)) cos—nx + Pn (1)cosnnx ;

n-1 —=1 ] [ (3)

Pn (0) = G (0) + 2^1 G (kn)coskn0 + G (nn)cosnn0,

k=1

причем G(nn) = 0, т.к. (-nn, nn) интервал финитности спектральной функции G(ra) = G(nnx) x e [-1,1 ] . Эта пара чётных 2-периодических функций сохраняет инверсную

симметрию по свойствам положительной определённости и положительности (неотрицательности) (т. Бохнера).

Такая ситуация сохранится и для пары их точечных изображающих векторов, ассоциированных с той же чебышевской сеткой JJ рода:

1

G(nnx)□ — V ’ 2 n

в (плх) {хк"} > в5 = ООІОП[О (0),в (л),...,в (кл),...,в (пл)];

(4)

Таким образом, в каждой паре возникшего взаимно однозначного отображения

будет иметь место отмеченная уже инверсная симметрия: если один из объектов какой-либо пары в (5) будет положительно определён, то другой объект той же пары окажется положительным (неотрицательным).

Показано, что точечные изображающие векторы (4) связаны линейными преобразованиями, реализуемыми одной и той же матрицей проектирования:

Это - квадратурные векторно-матричные формы взаимно обратных и симметричных интегральных спектрально-инверсных преобразований (2), ассоциированные с чебышевскими сетками Д рода по обеим переменным. Естественным образом возникают тригонометрические интерполяционные элементы (ТИЭ) \ и Д рода по обоим переменным, как спектрально-инверсные двойники системы косинусов при квадратурах интегральных преобразований (2) на обеих чебышевских сетках.

Изучены свойства этих элементов и соответствующих интерполяционных представлений тригонометрических полиномов (3).

Введены спектрально-инверсные пары тригонометрических полиномов, ассоциированные со смежными чебышевскими сетками. Они сохраняют свойства, характерные для всяких спектрально-инверсных пар.

Для положительной определённости всякого чётного тригонометрического полинома требуется лишь положительность всех его коэффициентов, а для положительности самого полинома, как периодической функции, требуются существенно более сложные ограничения на его коэффициенты, которые, в конечном итоге, теоретически оформляются в виде известного критерия Сильвестра - критерия положительной определенности тёплицевой матрицы, составленной из коэффициентов полинома.

В виду малой практической значимости этого критерия, подробно рассмотрены более простые и достаточные коэффициентные признаки положительности чётных тригонометрических полиномов, в частности, полинома Рп (0) (1).

Так, первый достаточный признак, в конечном итоге, сводится к ограничению 11 - нормы коэффициентного вектора полинома Рп (0):

(5)

(6)

Этот признак определяет симметричную тёплицеву матрицу со строгим диагональным преобладанием, которая всегда положительно определена.

При положительных коэффициентах полинома он совпадает с первым достаточным признаком, полученным для рядов Фурье чётных периодических функций. Рассмотрены примеры применения признака. Представление тригонометрического полинома Рп (0) в виде разложения по ядрам Фейера, порождает второй достаточный

признак его положительности. Он состоит в требовании неотрицательности вторых коэффициентных разностей:

Эти условия могут выполняться лишь в случае положительных и монотонно убывающих коэффициентов, образующих дискретный спектр, огибающая которого дополнительно обладает свойством выпуклости вниз.

убывающим спектром может быть сформулирован и третий достаточный признак

При этом отсчеты полинома в узлах чебышевской сетки II рода также монотонно убывают:

Рассмотрен возможный вариант физико-технического приложения понятия положительной определенности функций. Речь идёт о влиянии, которое оказывает свойство положительной определённости системных функций времени линейных динамических устройств различной физической природы, на их характерные и принципиально важные свойства.

Так, показано, что положительная определённость импульсной переходной проводимости пассивной двухполюсной электрической цепи означает, во-первых, возможность физической реализации такого двухполюсника, а во-вторых, что связано, -положительность входной активной проводимости, как вещественной частотной характеристики двухполюсника. Установлено, что преобразование Лапласа только положительно определённых импульсных переходных проводимостей, а это - входные операторные проводимости двухполюсников, обладают теми свойствами, которые позволяют осуществить синтез структур реальных двухполюсных цепей.

Далее рассматривается связь, существующая между свойством положительной определённости системных функций времени линейных динамических систем и их устойчивостью. Выделяется класс положительно определённых динамических сис-

д2с*-і = -і - 2Ск + = (Ск-і - ) - (Ск - +і) = АСк-і - АСк ^ 0

(8)

Для тригонометрического полинома

положительным и монотонно

положительности полинома Р (0) , менее жесткий по сравнению со вторым признаком. Он сводится к выполнению условия:

к=0

(9)

(10)

тем (ПО-систем), импульсные переходные характеристики которых обладают свойством положительной определённости. При этом все другие системные функции также наделяются дополнительными свойствами. Так, вещественные частотные характеристики таких систем - чётные положительные функции из Ll(— да, да), а передаточные функции, как дробно-рациональные функции комплексного переменного оказываются минимально-фазового типа с простым нулем в бесконечно удаленной точке, т.е. ПО-системы оказываются устойчивыми.

Из множества систем с обратной связью также может быть выделен класс устойчивых ПО-систем, у которых, однако, в роли системной функции рассматривается динамическая ошибка. Именно она, как обобщенная функция времени и оказывается положительно-определенной. Доказаны соответствующие теоремы.

Устанавливается связь между выделенным понятием устойчивости односторонней (нижнетреугольной) тёплицевой матрицей (n*n) и её свойством положительной определённости.

Устойчивость определяется как требование ограниченности ll - нормы элементного N-вектора обратной матрицы при N ^ да, т.е. как условие сходимости соответствующего числового ряда, что будет гарантировано, если все корни инверсного характеристического уравнения тёплицевой матрицы будут располагаться внутри единичного круга.

Доказана эквивалентность введенного понятия свойства устойчивости тёплице-вой матрицы и свойства её положительной определённости. Оба эти свойства гарантируются положительностью вещественной части значения характеристического полинома матрицы на единичной окружности |Z| = 1 , т.е. выполнением условия

положительности тригонометрического полинома:

.-1

Pn (0) = a0 + 2^ak coskп0 > 0 (ll)

k =1

Таким образом, задача об условиях устойчивости односторонней тёплицевой матрицы сводится к определению таких ограничений, которые следует наложить на коэффициенты полинома (ll), являющиеся одновременно, элементами матрицы, чтобы выполнялось условие (ll). Полученные достаточные признаки положительности тригонометрических полиномов вида (ll) являются, следовательно, и достаточными признаками устойчивости соответствующих тёплицевых матриц.

Далее подробно реализована процедура получения точечной модели линейной стационарной динамической системы, описываемой дифференциальным уравнением n-го порядка. Точечная модель представляется в виде векторно-матричного равенства, связывающего точечные изображающие векторы входа и выхода динамической системы, причем в роли передаточной матрицы выступает односторонняя тёп-лицева матрицы.

Обстоятельно показана её аналитическая связь с обычной передаточной функцией динамической системы, возникающей как гомоморфное отображение соответствующих алгебраических структур, переходящее в изоморфизм при N ^ да.

Показано, что устойчивость системной тёплицевой матрицы точечной модели, в смысле введенного определения, означает устойчивость моделируемой динамической системы в обычном смысле.

Таким образом, устойчивость линейной динамической системы может быть определена по её точечной модели и, как установлено, сводится к требованию положительной определённости системной тёплицевой матрицы, т.е. положительности тригонометрического полинома вида (11).

Установлена аналитическая связь между коэффициентами этого полинома и коэффициентами характеристического уравнения моделируемой линейной динамической системы, на основании которой показано, что положительность полинома (11) означает выполнение критерия Гурвица устойчивости моделируемой динамической системы, ггш

— Коротко об авторах ------------------------------------------------------------------

Осипов В.М. - доктор физико-математических наук, профессор кафедры «Высшей математики №3»,

Осипов В.В. - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры «Высшей математики №3»,

Сибирский федеральный университет.

Статья представлена Сибирским федеральным университетом.

Рецензент доктор физико-математических наук В.А. Романов.