Строго положительно определённые функции, неравенства М. Г. Крейна и Е. А. Горина Текст научной статьи по специальности «Математика»

Строго положительно определённые функции, неравенства М.Г. Крейна и Е.А. Горина

Певный А.Б., Ситник С.М.

Сыктывкарский государственный университет Воронежский институт МВД России pevnyi&^yktsu. ru, pochtaname(cp,gmail. сот

Аннотация. При исследовании систем управления и автоматизированных систем разрабатываемые математические модели часто сводятся к конечномерным, для которых возникает необходимость обоснования их корректности, и, в частности, установлению однозначной разрешимости линейных систем с матрицами коэффициентов специального вида. В работе для решения этой задачи вводится класс вещественных положительно определённых функций. Рассматривается приложение техники положительно определённых функций к доказательству однозначной разрешимости конечномерных моделей, возникающих при разложении сигналов по целочисленным сдвигам Гауссианов.

Ключевые слова: положительно определённые функции, теорема Бохнера, неравенство М.Г. Крейна, Гауссиан, целочисленные сдвиги.

1 Вещественные положительно определённые функции

Теория положительно определённых функций (п.о.ф.) возникла в начале 20 века на стыке нескольких разделов математики: линейной алгебры, теории функций, преобразования и рядов Фурье, интегральных и дифференциальных уравнений, теории групп. Из литературы по п.о.ф. отметим монографию [Bhatia, 2007], обзор [Stewart, 1976], одну из первых оригинальных работ [Mathias, 1923], содержащую по существу современные определения.

В данной работе вводится понятие вещественной положительно определённой функции (в.п.о.ф.), определение для которых отличается от классического использованием только вещественных, а не комплексных последовательностей. Для этого класса функций доказываются варианты известных неравенств М.Г. Крейна и Е.А. Горина. В качестве приложения рассматривается доказательство однозначной разрешимости конечномерной линейной системы, возникающей в задаче о разложении сигнала по целочисленным сдвигам Гауссианов.

Отметим, что для авторов инициирующей послужила статья Е.А. Горина [Горин, 2012].

1.1 Два определения положительно определённых функций

Будем рассматривать действительные функции от действительного

аргумента на всей оси: /(х):Ж Ж. Дадим два определения вещественной положительно определённой функции (в.п.о.ф.) и классическое определение положительно определённой функции (п.о.ф.) и установим их эквивалентность.

Определение 1. Функция /: R R называется вещественной положительно определённой функцией (в.п.о.ф.), если выполнены два условия:

1) функция / чётная, f(—x) = /Ос), х Е Ж;

2) для любого N, для любых точек xlt Е Ж и любой вещественной последовательности alf... аш Е Ж выполнено неравенство

2fcj=i/(*fc - > 0- (1)

Определение 2 (классическое). Функция M R называется положительно определённой функцией (п.о.ф.), если для любого N, любых х1;Е Ж и любой последовательности комплексных чисел z1(..., % Е С выполнено неравенство

Zlj=ifixk - ^ 0- (2)

Покажем, что для вещественной функции / (х) определения 1 и 2 равносильны.

Покажем, что 1 2, Пусть zfe = ffc + irjk. Тогда сумма S. в (2) в силу чётности функции равна

N

5 = X ~ + VkVj) kj=i

и нужное неравенство S > 0 следует из (1).

Теперь покажем, что 2=? 1. Нужно проверить только чётность f (х). Для этого положим в (2) N = 2, х± = д, х2 = х > В, zk = ik + iijk. Тогда сумма S в (2) равна

5 = f(M\zi\2 + Ш2) + + /ООздГ

Отсюда получаем для произвольных чисел rjlf rj2

ImS = Ш2 - flIÏ2;)[f(-*) - /(*)] = 0, Отсюда /(x) = /(x).

Будем рассматривать вещественные строго п.о.ф., для которых неравенство (1) выполняется со знаком "строго больше", если последовательность а1( ненулевая и точки х1; ,..xN попарно различны.

1.2 Свойства в.п.о.ф.

Определение 1 накладывает на рост в.п.о.ф. существенные ограничения. Введём матрицу А с элементами Akj = f(xk — Xj), 1 < i,j < N.. Эта матрица будет симметричной и неотрицательно определённой. По критерию Сильвестра все её главные миноры неотрицательны. В частности,

Ai = №1 - *i) = /(О) > О,

А-> =

= f2(P)-f2(x1-x2)>Q.

/(0) /(*! - х2) f(x2-Xl) /(0) Отсюда получаем важное свойство

|/(х)| </(о),х е ж. (3)

График функции f(x) находится в полосе —/(0) < у < /(0); а если достигает верхней или нижней границы, то функция /(х) будет периодической (см. далее).

1.3 Классическое неравенство для в.п.о.ф.

Следующее неравенство, которое мы перепишем для случая в.п.о.ф., в работах Е.А. Горина [Горин, 2012; Gorin&Norvidas, 2013] названо неравенством М.Г. Крейна:

[/(*) - /Су}]2 < 2/(0)1/(0) - fix - у)]; х, у Ё R. (4)

Доказательство приведено в книге Бхатия [Bhatia, 2007, р. 142].

Следствие 1. Если /(Г) = /(0) при некотором Т > О, то функция /(х) периодическая с периодом Т.

Следующее утверждение, по-видимому, является новым.

Теорема 1. Для в.п.о.ф. /(х) справедливо неравенство

[№) + /(у)]2 < 2/(0)[/(0) + /(х-у)]; х,у е М. (5)

Доказательство. Можно считать, что /(0) = 1. Выберем в определении 1 значение N= 3 и три точки 0, х,у, Тогда матрица

/ 1 fix) /(у) /(х) 1 fix- у)

V/(y) ft* ~ У) 1

неотрицательно определена, то есть (Ли, и) > 0 для и Е Ж3, Возьмём и = (а, —1f — 1)т, Тогда получаем

а2 + 2 - 2 afix) - 2 af(y) + 2fix - у) > О,

2 + 2f(x - у) > —а2 + 2а[/(х) +/(у)]. Отсюда при а = /(х) + /(у) получим (5).

Продолжая следовать традиции Е.А. Горина в названиях, теперь логично назвать неравенство (4) первым неравенством М.Г. Крейна, а неравенство (5) - вторым неравенством М.Г. Крейна.

Отметим, что в статье М.Г. Крейна [Крейн, 1943] рассматривается проблема продолжения функции, положительно определенной на интервале (-R/R), на всю ось; при этом попутно устанавливается неравенство (4).

Следствие 2. Если /(х) является в.п.о.ф. и дополнительно выполнено соотношение /(Г) = —/(0) для некоторого Т > 0, то справедливы соотношения

fix + Т) = fix), /(х+2Г) = /(х), х £ Ж.

Действительно, при у = х + Г в (5) получаем [fix) + f(x + Г)]2 < 2/(0)1/(0} + /(Г)] = 0,

1.4 Неравенство £.А. Горина и его модификация

Е.А. Горин доказал в [Горин, 2012, теорема 1] неравенство, которое для непрерывной в.п.о.ф. /(х) принимает вид:

/Я \ /п \ п

\f\Txk)-f(Yyky< 271/(0) [f (0) - /(xfc - yfe)]

для любых xlf..., xn, ylf... ук. Неравенство М.Г. Крейна получается отсюда как частный случай при n= 1,

Приведённое неравенство Е.А. Горина допускает модификацию, которая является обобщением второго неравенства М.Г. Крейна (5).

Теорема 2. Пусть п - нечётное число. Тогда для любых xlr i.^Xn, yt, ,..уп е R для непрерывной в.п.о.ф. /(х) справедливо неравенство

1У (XL А) + /(SLi>'.t)]2 ^ 271/(0) £™=1[/(,0} + f{xk - yj\. (6) Замечание. При чётном ж неравенство (6) может не выполняться. Для примера выберем /(х) = cosxix1 = х2 = 2ж/у1 = у2 = л. Тогда неравенство (6) принимает вид 4 < 0, что неверно.

Доказательство теоремы 2 в основном повторяет доказательство Е.А. Горина из [Горин, 2012]. Не умаляя общности, можно считать, что /(0) = 1. По теореме Бохнера [Горин, 2012]

/(*)= j

со

itx

ebtx m(dt)J

—ее

где т - вероятностная мера на Ж. Введём обозначения

ак = Ък = е^Ук , ск = — =

ак

Тогда левая часть I неравенства (6) равна

00 / п п

[г

_ш \&=1 fe=l / QO -.2

J ai '•' ^iiCl + ci cn")m(dt)

—Ш

По неравенству Коши-Буняковского

QO

L < j |1 + cx — cn |2 7n(dt).

—Ш

Воспользуемся тождеством

1+С1 — Сп=1+С1~ С|(1 + С2) + С|С2(1 + с3)-----+ % — + €ш).

Знаки чередуются, но перед последним слагаемым знак + в силу нечётности п.

Применим неравенство Коши-Буняковского для конечной суммы

п

L < ?1 j ^ |1 + cft|2m

-ю Й=1

Аналогично преобразуется правая часть R неравенства (6):

<» 71

R < 2n J ^ Де (1 + cfe) m(di). -ш к=1

Поскольку ск = егр, где р = t(yk — то нетрудно проверить, что

I1 + ^l2 = С1 + ск),

Поэтому получаем L < R, что и требовалось доказать.

2 Приложение теории в.п.о.ф. к разрешимости конечномерных приближений для интерполяционной задачи

2.1 Строгая положительная определённость функций и интерполяционные задачи

Вещественные строго п.о.ф. могут быть использованы для доказательства однозначной разрешимости конечномерных линейных систем уравнений. Такие задачи возникают при решении различных интерполяционных задач. Рассмотрим приложение к одной из таких задач - разложению произвольного сигнала по целочисленным сдвигам Гауссианов.

Пусть даны попарно различные узлы и набор

измеренных значений цифрового сигнала yls е R в этих узлах. Пусть выбрана вещественная строго п.о.ф. / (х). Будем интерполировать данные линейными комбинациями вида

N

Six) = ^

к=1

Требуется найти вектор коэффициентов вида а = (а1;, *%) так, чтобы обрабатываемый сигнал без ошибок восстанавливался на заданной системе узлов:

= ELi akf(Xm - xid =ушл<т< Ж (7)

Систему (7) можно записать в виде А а = у, где А- матрица с элементами Атк = / (хш — х^,). В силу того, что /(х) является вещественной строго п.о.ф., эта матрица положительно определена, то есть

N

(Аа, а) = ^ f(xm - хк)атак > О, а е Жж

ЙГ,

к;т=±

У положительно определённой матрицы определитель det[Ä) строго положителен. Поэтому система (7) однозначно разрешима.

2.2 Приложение к интерполяционной задаче о разложении сигнала по целочисленным сдвигам Гауссианов

Восстановление непрерывного цифрового сигнала по системе дискретных отсчётов сводится к классической математической задаче об интерполяции функции по некоторому набору её значений. Для решения этой задачи разработано множество подходов: приближение полиномами, ортогональными системами, всплесками, сплайнами, фреймами, разложениями по синк-функциям и т.д., см., например, [Чуй, 2001; Малозёмов & Машарский, 2012; Игнатов & Певный, 1991].

Рассмотрим задачу об интерполяции сигналов при помощи системы целочисленных сдвигов функции Гаусса

fOO = ea^la>0. (8)

Несмотря на то, что данная система сдвигов не является ни фреймом, ни полной системой в существует плодотворная теория для

разложений этого класса, которые также находят важные практические приложения [Maz'ya & Schmidt, 2007; Журавлёв и др., 2010; Киселёв и др., 2014].

Для нас важно, что квадратичная экспонента или функция Гаусса (8) -это один из классических примеров функции из класса в.п.о.ф. В перечисленных работах рассматривается интерполяционная задача по бесконечной системе целочисленных сдвигов функции (8), в связи с чем строится узловая функция со свойством

d(x) = ) = е Ж, (9)

где S0m -символ Кронекера.

График узловой функции напоминает график sine - функции. Поэтому возникает такая

Гипотеза. Узловая функция (9) принадлежит классу вещественных строго п.о.ф.

Явная формула для коэффициентов dk получена в [Maz'ya & Schmidt, 2007], они выражаются через тета-функции Якоби. Однако подобные формулы неприменимы при практических вычислениях, потому, что как показано в [Минин и др., 2009], они связаны с делением на чрезвычайно малые знаменатели, что приводит к неприемлемым ошибкам.

В связи с перечисленными трудностями в работе [Ситник & Тимашов ,2013] был предложен другой подход к нахождению узловой функции, при котором решение бесконечной системы уравнений сводится к конечной. В результате получается усечённая система

= -п<ш<п, (ю)

где обозначено ч = е~а < 1. Систему (10) можно записать в виде

Ас = Б, где с = 5 = {йто}т=-пУ

А - матрица с элементами Атк = ц , — п < т, к < п. Например, при п = 2 матрица А коэффициентов системы имеет вид

/ 1 Ч Ч 1 ц ц4 цч А= ч4 ц 1 ч

1 ц9 д4 1

\Ч16 ц9 ч 1

Теорема 3. Матрица А положительно определена при любом

Ч е [од).

Доказательство. При с{ = 0 матрица сводится к единичной, требуемое очевидно, поэтому пусть с[ Е (ОД). Напомним, что ц = е~а,а > 0. Тогда элементы рассматриваемой матрицы выражаются через функцию Гаусса

Лшк = /(т - к},/(х) = е~ах2.

В силу принадлежности функции Гаусса классу строго п.о.ф. матрица А положительна определена.

Следствие 1. Система (10) однозначно разрешима.

Действительно, в силу положительной определённости > 0.

Отметим, что система (10) имеет вид свёртки, поэтому её можно решать при помощи ДПФ, аналогично методу, применённому в [Минин и ДР., 2009].

Следствие 2. Решение системы (10) симметрично, то есть С-к = ск при фиксированном п.

Действительно, рассмотрим произвольное решение с. Нетрудно видеть, что если распространить по симметрии значения компонент с положительными индексами на компоненты с отрицательными индексами, то получится другое решение той же системы. Тогда, если исходное решение было бы несимметричным, то мы получили бы два различных решения, что невозможно в силу доказанной единственности. Следовательно, все решения симметричны.

На основании следствия 2 можно оставить в системе только половину уравнений, сократив размеры матрицы коэффициентов задачи вдвое, это даст существенное упрощение при вычислениях.

Заметим, что похожая матрица В с элементами

Вшк = (— —Ш < щД < Tt,

при 0 < q < 1 также положительно определена. Для доказательства достаточно заметить, что

В-тк = д(т ~ Ю.дОд = е_дх2 cos (юг), a = -hi (<?), и показать, что функция д(х) принадлежит классу строго п.о.ф.

Список литературы

[Горин, 2012] Горин Е.А. Положительно определённые функции как инструмент математического анализа // Фундамент, и прикл. матем.- 2012, Т. 17, вып. 7.- С. 67-95. [Журавлёв и др., 2010] Журавлёв М.В., Киселёв Е.А., Минин JI.A., Ситник С.М. Тета-функции Якоби и системы целочисленных сдвигов функций Гаусса // Современная математика и её приложения. Т. 67. Уравнения в частных производных.- 2010. - С. 107-116.

[Киселёв и др., 2014] Киселев Е.А., Минин JI.A., Новиков И. Я., Ситник С. М. О константах Рисса для некоторых систем целочисленных сдвигов // Математические заметки.- 2014.- Т. 96, вып. 2,- С. 239-250.

[Крейн, 1943] Крейн М.Г. О представлении функций интегралами Фурье-Стилтьеса // Учёные записки Куйбышевского государственного педагогического и учительского института им. В.В. Куйбышева,- 1943.- Вып. 7. (Цитируется по изданию: Крейн М.Г. Избранные труды. Киев, 1993. Том 1, С. 16-48.)

[Игнатов и др., 1991] Игнатов М.И., Певный А.Б. Натуральные сплайны многих переменных. Л.: Наука, 1991.

[Малозёмов и др., 2012] Малозёмов В.Н., Машарский С.М. Основы дискретного гармонического анализа. СПб.: Лань, 2012.

[Минин и др., 2009] Минин Л.А., Ситник С.М., Журавлев М.В. О вычислительных особенностях интерполяции с помощью целочисленных сдвигов гауссовых функций // Научные ведомости Белгородского государственного университета,- 2009,- № 13 (68), Выпуск 17/2. -С. 89-99.

[Ситник и др., 2013] Ситник С.М., Тимашов A.C. Расчёт конечномерной

математической модели в задаче квадратичной экспоненциальной интерполяции //

Научные ведомости Белгородского государственного университета. Серия: Математика,

Физика,- 2013,- №19 (162), Вып. 32,- С. 184-186.

[Чуй, 2001] Чуй К. Введение в вэйвлеты. М.: Мир, 2001.

[Bhatia, 2007] Bhatia R. Positive Definite Matrices. Princeton University Press, 2007.

[Gorin et al, 2013] Gorin E. A., Norvidas S. Universal Symbols on Locally Compact

Abelian Groups // Functional Analysis and Its Applications. - 2013, Vol. 47, № 1.- pp. 1-13.

[Mathias, 1923] Mathias M. Über positive Fourier-Integrale // Math. Zeit.- 1923, Vol. 16.-

pp. 103-125.

[Maz'ya et al, 2007] Maz'ya V., Schmidt G Approximate approximations. University of Linköping, 2007.

[Stewart, 1976] Stewart J. Positive Definite Functions And Generalizations, An Historical Survey // Rocky Mountain Journal Of Mathematics.- 1976, Vol. 6, № 3.- pp. 409-434. [Zhuravlev et al, 2011] Zhuravlev M.V., Kiselev E. A., Minin L. A., S. M. Sitnik. Jacobi theta-functions and systems of integral shifts of Gaussian functions // Journal of Mathematical Sciences, Springer.- 2011, Vol. 173, № 2. - pp. 231-241.