CC BY
50
© В.В. Осипов, В.А. Осипова, В. А. Овинников, А. А. Чешель, О.В. Устинович, 2008
УДК 519.71:62.50
В.В. Осипов, В.А. Осипова, В.А. Овинников,
А.А. Чешель, О.В. Устинович
МЕТОД ТОЧЕЧНЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ И ЕГО ВОЗМОЖНОСТИ
Математическими моделями управляемых динамических систем служат неоднородные дифференциальные уравнения различного вида. Многие важнейшие свойства управляемых динамических систем рассматриваются на конечном промежутке времени, хотя соответствующие временные сигналы (процессы) теоретически имеют бесконечную длительность. Для описания (моделирования) таких процессов и их взаимодействий (в линейных стационарных системах) широко используется метод операторно-частотных представлений, основанный на применении преобразования Лапласа и Фурье. Однако, этот математический аппарат оказался в общем случае не конструктивным при переходе к временным оригиналам, неэффективным и малопригодным для решения задач современной теории управления динамическими системами, связанных по своему содержанию с конечным промежутком времени. Это задачи управления и наблюдаемости а, особенно, разнообразные задачи терминального управления и др. Этот аппарат совершенно не годится для описания (моделирования) нестационарных и нелинейных динамических систем. Другие математические методы, используемые в современной теории управления динамическими объектами (общая теория дифференциальных и интегральных уравнений, функциональный анализ и др.), играющие фундаментальную роль, в прикладном отношении также часто оказываются недостаточно конструктивными и мало приспособленными для компьютерной реализации.
Отметим также математический метод, основанный на замене непрерывных (аналоговых) сигналов их значениями в дискретные моменты времени (квантование) с последующей аппроксимацией дифференциальных уравнений соответствующими разностными уравнениями.
Используемые при этом дискретное преобразование и Ъ - преобразование создают аналитический аппарат моделирования непрерывных динамических систем, более конструктивный, чем традиционный подход.
Вместе с тем, этот аппарат в значительной степени сохраняет и те же недостатки, которые присущи традиционному подходу, основанному на преобразовании Лапласа.
Кроме того, будучи приближенным, метод дискретных представлений порождает свои проблемы: точность (адекватность представлений), численная устойчивость и др. Эти важные вопросы вычислительной математики практически не рассматрива-
ются в специальной литературе по теории дискретных (импульсных) систем, создавая иллюзию полного обоснования и универсальной эффективности метода.
Между тем, существующая теория дискретного моделирования непрерывных динамических систем далека от своего завершения. Ее математические основы нуждаются в более строгой проработке, совершенствовании и развитии.
В связи с этим, продолжает оставаться актуальным разработка эффективных приближенно - аналитических методов моделирования и решения на их основе разнообразных задач прикладной теории управляемых динамических систем, а также соответствующих компьютерных технологий.
Предлагается приближенно - аналитический метод моделирования линейных динамических систем различного вида, использующего точечное представление функций и операторов и названный методом точечных представлений
Этот метод, как метод моделирования, идеологически примыкает к методу изображающих векторов (МИВ), предложенного В.М. Осиповым. В основе же его аналитического аппарата лежит идея использования прямоугольных сплайновых элементов в качестве базиса N - мерного подпространства пространства М(0,Т) всех кусочно-непрерывных функций. Проектирование элементов из М(0,Т) на это N мерное подпространство порождает сплайновые, ступенчатые приближающие модели построенные на точечных изображениях этих элементов и обладающие огромной аналитической и алгебраической гибкостью. Так, подпространство сплайновых ступенчатых форм образует банахову алгебру относительно обычного умножения и Бир-нормы соответствующих точечных векторных изображений, изоморфную такой же алгебре этих точечных ^векторных изображений относительно операции покоординатного умножения, как второй бинарной операции. Вместе с тем, алгебра ступенчатых сплайновых моделей при любом N является гомоморфным образом банаховой алгебры АМ функций из М(0,Т) относительно обычного умножения и Бир-нормы этих функций, причем размерность N точечных моделей может служить показателем их адекватности. При N^1» алгебра точечных изображений становится изоморфной алгебре АМ.
Теперь более подробно.
Для любой непрерывной функции Г(т), и принадлежащей гильбертову пространству 13 (0,1), ставится в соответствии N - мерный вектор:
составленный из отсчетов этой функции в узлах некоторой упорядоченной N - сетки:
Существует бесконечное множество ^сеток (2), на которых для всякой непрерывной функции Г(т) те [0,1] могут быть образованы точечные изображающие N векторы вида (1). Встает вопрос о выборе ^сетки наилучшей в некотором смысле.
Для решения этой задачи рассмотрим ^мерную аналитическую модель всякого элемента из ^2(0,1), которую естественно искать в виде линейной комбинации первых N элементов базиса:
т = СаЮпу (т(; >),../(тГ)),...^ «))],
(1)
(2)
N-1
f (т) = £ ak T k (T).
k=0
(3)
В нашем случае коэффициенты модели неизвестны; она представляется интерполяционными данными на некоторой сетке, т.е. точечным N-вектором (1).
Неизвестные коэффициенты {ak} модели (3) могут быть определены как решения классической задачи интерполирования, что приводит к системе из N линейных уравнений с N неизвестными:
N -1 ____
f (T<VN)) =Х 3k Tk (T<VN)) (v = 1, N)
k=0
или к эквивалентному векторно-матричному уравнению fj = Qn (J) • a ,
(4) _
где а = Colon[ао,а ...ак,...а^)], (5)
есть N-вектор неизвестных коэффициентов модели (3), а матрица системы Qn(T) =[To(J)iTi(J)iLiTk(T):•••:TN-i(j)] N x N , (6)
составлена из точечных векторных изображений N первых элементов базиса пространства L2 (0,1) как из столбцов:
T k (T) = Colon [T k (t(n )),. t k (tVn )),. T k (t(nn 0] (k = ON^T). (7)
В практических вычислениях при различных N-сетках часто возникает явление большой чувствительности результата вычислений вектора коэффициентов (5) к погрешностям в исходных данных задачи.
Дело в том, что свойства матрицы Qn (T) существенно зависят от выбранной N-сетки, в частности, она значительно влияет на такую числовую характеристику невырожденной матрицы, как число обусловленности v(QN). Последнее и определяет чувствительность результата вычислений (5) к погрешностям в интерполяционных данных (1), ассоциированных с выбранной N-сеткой. Такие погрешности неизбежны при любых вычислениях.
Число обусловленности v(Qn) определяется формулой:
v(Qn ) = \\Qn (TГ I • Qn J)|| ^ 1 . (8)
В работе доказано, что число обусловленности v(qn) интерполяционной матрицы Qn (T) задачи (4), равное единице - наименьшему возможному значению, достигается на ортогональной сетке
{)/ CosNпт<;) = 0} о tN) = 22_1 (v = 1N), (9)
образованной системой косинусов {1; \j2Cosk пт}, которая при замене переменного преобразуется (с точностью до знака) в систему смещенных полиномов Чебышева I рода {1^ л/2J* (п)}. Таким образом, N-сетка (9) по существу, есть чебышевская сетка.
И следовательно, чебышевская сетка (9) является наилучшей среди всевозможных К-сеток в смысле минимума меры (числа) обусловленности интерполяционной задачи (4).
Кроме этого, известно, что чебышевское интерполирование является наилучшим из всех возможных схем интерполирования и по целому ряду других важных показателей:
1. Чебышевское интерполирование для достаточно гладких функций обладает наивысшей точностью.
2. Квадратурная формула, полученная на основе чебышевского интерполирования, будучи формулой наивысшей точности, имеет минимальную среднеквадратичную ошибку, обусловленную погрешностями в исходных данных.
Задача восстановления функции Г(т) е Ь (0,1) по ее точечному изображающему N - вектору (1) есть задача построения тем или иным способом восстанавливающей (приближающей) интерполяционной модели этой функции.
Такую модель, естественно, искать в виде линейной формы N первых элементов косинусного базиса пространства Ь2(0,1), предполагая, что моделируемая функция Г(т), заданная на [0,1], доопределена до четной периодической функции с периодом в 2 единицы, без разрыва непрерывности в местах стыков.
Модель удобно записать в форме
N-1
(; т) = ^ ) + 2 X ^ Сазкш, (10)
к=1
1 N _______
где /Г) = ^X/ (т("])СазкпТ:) (к = 0, N -1), (11)
N У = 1
квадратурные коэффициенты Фурье.
В силу равномерной распределенности сетки (9) квадратурные суммы (10) сходятся к ряду Фурье функции Г(т) е Ь2(0,1), что эквивалентно их сходимости в среднеквадратичном к самой этой функции.
Имеет место и равномерная сходимость интерполяционных сумм (10) для непрерывных и достаточно гладких функций, имеющих, в частности, ограниченную производную за период. Возможно построение последовательностей восстанавливающих (приближающих) моделей, равномерно сходящихся ко всякой непрерывной (2 -периодической) функции. Речь идет о так называемых квадратурных ^-суммах.
В нашем случае, это суммы вида
N-1
Б ((V; т)= /^) + 2 Сазкжт, (12)
=1
отличающиеся от квадратурных сумм (10) наличием ^-множителей при квадратурных коэффициентах Фурье /^)(к=1,2,...,К-1), которые и обеспечивают (при определенных условиях) равномерную сходимость.
Среди квадратурных ^-моделей (12) существуют, в частности, простые и достаточно эффективные приближающие модели, возникающие в результате сглаживания (по методу наименьших квадратов) простейших 2-периодических сплайновых представлений четных функций Г(т), определенных на сетке (9). При рассмотрении сплайна нулевой степени можно получить ^-модель:
N-1 Q/n _kn_
Sn (N0)f;t)= f0(N 1+2Ц• fk(NCoskпт,
k=1 2 N
равномерно сходящуюся при N^1» ко всякой непрерывной 2-периодической функции Г(т).
Существует еще один способ построения четной периодической функции, совпадающей на [0,1] с заданной функцией Г(т) и порождающий модели также в виде ли-
нейной комбинации N первых членов системы косинусов < Cosm ■ но с нечетны-
ми номерами т= 1,3,.(2к-1),.(2К-1).
Этот способ конструирования из функции Г(т) те [0,1], как из импульса, четной периодической функции с периодом в 4 единицы (по оси т) и нулевым средним за период.
Это интерполяционная модель
построенная по чебышевским интерполяционным данным, обладает всеми теми же свойствами, которые присущи интерполяционной модели (10).
Ее коэффициенты имеют вид:
Обе интерполяционные модели (10) и (14) теоретически совершенно эквивалентны в роли наилучших приближающих интерполяционных конструкций для функции f(T) те [0,1], доопределенной до четной периодической двумя разными способами.
Далее рассматривается пространство М(0,1) всех кусочно - непрерывных функций определенных на [0,1], одновременно являющееся гильбертовым пространством L2(0,1). Если ввести бинарную операцию обычного умножение, то пространство М(0,1) образует коммутативную банахову алгебру с единицей AM(0,1) относительно Sup-нормы. Совокупность всех точечных изображений определенных на N-сетке (9), образует линейное N - мерное пространство RN , а совокупность приближающих моделей (в форме квадратурных N - сумм Фурье построенных по отсчетам в узлах N - сетки (9)) всякой функции f(T) из М(0,1), доопределенной до четной периодической тем или иным способом образует, N-мерное пространство Sn(0,1). Множества SN(0,1) и RN эквивалентны, т.к. между их элементами существует взаимно однозначное соответствие. Как пространства они изометрически изоморфны. Доказано, что пространство RN векторных изображений с введенной операцией покоординатного умножения образует относительно Sup - нормы при любом N коммутативную банахову алгебру с единицейARN . Однако, SN(0,1) - пространство N -мерных интерполяционных моделей функций из М(0,1) имеющих вид квадратурных сумм Фурье по системе косинусов, не является алгеброй относительно обычного умножения, как бинарной операции.
Если же рассматривать множество приближающих моделей функций из М(0,1) на основе сплайнов нулевой степени (являющееся N-мерным подпространством в
N ~ П
Sn (f; т) = 2^ % k-i Cos(2k -1) - т те [0,1],
к = 1 2
(14)
(15)
М(0,1)), то оно образует коммутативную банахову алгебру с единицей ASpN относительно операции обычного умножения, которая оказывается подалгеброй алгебры АМ.
Таким образом, гомоморфное отображение ТК пространства М(0,1) на свое подпространство 13^ векторных изображений, а также гомоморфное отображения пространства М(0,1) на свое подпространство АБр10 сплайновых моделей переходят в гомоморфизмы соответствующих алгебр причем АБр1 при любом N изометрически изоморфна алгебре А13° :
АМ
Т
N
А8 р N
А Я
N
(16)
Доказано, что всякий линейный и ограниченный оператор Ат, действующий из пространства М(0,1) на какое-либо его подпространство Му (0,1) ё М (0,1) при гомоморфном отображении в ^мерное подпространство (0,1) ё М(0,1) сплайно-
вых моделей получает точечное представление в виде нижнетреугольной матрицы:
А?) =
а.
а..
а.
а..
а.
а
N х N).
(17)
^ 1 N V NN
Практическое определение компонент точечного матричного представления линейного ограниченного оператора Ат связано с проектированием (оператором
функции А^-Пь! (т-т(^) XV = 1, N) на подпространство сплайновых моделей и их фактическим разложением по базисным элементам:
1
т є I т^) -
т&)+_!_ 2^ * 2N
0 тг|т<;) - —,тVN) + —
1 V 2N V 2N
(18)
т. е. разложение вида:
N _______
ПN ■Aт■ПN (T-TVN )) = Еа*vПN (т-тГ )) (', = 1, ).
Из коэффициентов этих разложений, как из строк, формируется матрица которая, после транспонирования, и окажется матрицей точечного представления А-^1 оператора Ат.
Так линейному оператору Zт точечного сдвига (осуществляет сдвиг по оси « т » функции X (т) є М(0,1) на фиксированный шаг, равный расстоянию между узлами N -сетки (15) т. е. на величину 1/Ы), действующему из М(0,1) в М(0,1) в пространстве ^ точечных изображений соответствует матричное представление:
Z =
0 1
(20)
Эта матрица названа канонической матрицей правого сдвига. Каноническая матрица левого сдвига 2+ определяется путем транспонирования канонической матрицы правого сдвига 2.
Натуральные степени канонической матрицы сдвига Е = 1°, 7?Л 72,...7к,...2Ы-1 (21)
образуют линейно независимую систему матриц, поскольку их линейная комбинация, т.е. матричный полином степени N-1 с вещественными коэффициентами
' Ао 0 0 0 0 '
N-1 А1 Ао 0 0 0
Р„-^) =£ А^к = а2 А Ао 0 0 2 )
к=0 А _ N-1 А 0 А0 _
как треугольная матрица ^х^, может тождественно равняться нулю лишь при равенстве нулю всех элементов, т.е. коэффициентов линейных комбинаций.
Такая матрица (22) названа матрицей полиномиального сдвига или (Р - матрицей).
Отметим, прежде всего, что матричный полином (22) есть гомоморфный образ в ^ операторного полинома с операторам сдвига 2Т в качестве аргумента, осуществляющего суммирование всех последовательных сдвигов финитной функции х(т) из М(0,1) с соответствующими весовыми множителями {Ак}.
Матрицы полиномиального сдвига вида (22) формально возникают в результате замены комплексного аргумента z у целой рациональной функции (полинома) Р^ 1(г) степени N-1 на матричный аргумент 2 ^х№):
Ры_і(7) =£ Ак2к
N-1
+ Х А^ = PN-1^)
(Ы х N1.
(23)
к=0 к=0
Имеем, очевидно, взаимно однозначное соответствие между указанными полиномами и матрицами (23). Полином Р^ ^) комплексной переменной z назван порождающим полиномом матрицы Р^ (2) ^х^.
В работе доказаны следующие утверждения:
Утверждение 1. Множество всевозможных функций комплексного переменного z, определенных и непрерывных в единичном круге И<1 и аналитических внутри этого круга, образует банахову алгебру с единицей ЛБ относительно нормы ||ф(и)|| = М<х |Ф(2) ф(и) є АР , (24)
совпадающей с Ь - нормой соответствующих степенных рядов функций из ЛБ:
Еф к
= Мах
И <1
Ефк
= Е|ф к|.
(25)
Множество таких степенных рядов также образуют банахову алгебру с единицей ЛОБ, изометрически изоморфную алгебре ЛБ, а также сверточной алгебре ЛБІї бесконечномерных векторов, составленных из коэффициентов соответствующих степенных рядов, как из компонент, и имеющих 11-нормы.
Утверждение 2. Существует проектор П(^, гомоморфно отображающий нормированные алгебры ЛБ и ЛОБ на 11-нормированную N-алгебру ЛGF(N) частичных сумм ^го порядка степенных рядов, как элементов алгебры ЛОБ.
Алгебра ЛОБ|^) изометрически изоморфна сверточной ^алгебре ЛБ11 11-нормированных ^мерных векторов и является гомоморфным отображением сверточной алгебры ЛБ11, осуществляемым тем же проектором П(^.
Утверждение 3. Заменой переменного z на каноническую матрицу сдвига Ъ (Ых^ осуществляется гомоморфизм алгебры ЛБ функций, аналитических в круге и<1, на алгебру ЛGF(N)(Ъ) матриц (NхN) полиномиального сдвига (Р-матриц) и изометрический изоморфизм N-алгебры ЛGF(N) порождающих полиномов на матричную алгебру ЛОБ'^Ъ). Последняя оказывается изометрически изоморфной также сверточной ^алгебре ЛБ11^) .
Все три утверждения можно проиллюстрировать следующей диаграммой:
ЛОБ -
-^)
z^■Ъ
z^■Ъ
'ЛОБот(Ъ)
ЛБ11
П<№
Asll(N)
Далее, используя описанный выше метод получения точечно-матричного представления операторов, получено представление для вольтеровского оператора интегрирования 1т, которое имеет вид:
'1
Т • ит =^0 ^ ^) =^0 |+| = ^0
Е + 2 Е Zk
= ^п
2 1 2 2 1
2 1
(27)
2 N
А также получены некоторые необходимые для дальнейшего представления в виде Р-матриц, связанные со степенями матрицы интегрирования (27).
Кроме этого, рассматривается точечное преобразование операторного уравнения с вольтерровским оператором полиномиального интегрирования в векторноматричное уравнение для изображающего К-вектора неизвестной функции у^):
х (т) = (гиху • у (т)^ Хт =(ит ) • Ут ^ х (т) = Рп (гих) у (т) = £а* (т^)* у (т)
Хт = Р (ит )-Ут = у Вк (ит ) - Ут
к=0
вп (У)
(29)
(30)
Ут = Нп (У )-1 • Вп (У) • Хт = • Хт = М (У) • Хт .
Нп (7 )
Системная матрица уравнения оказывается матрицей полиномиального сдвига (Р-матрицей), представляемой в виде матричного полинома от канонической матрицы сдвига Ъ (К*К):
№ (2)-
В (±) N-1
-+№/' (У) = в^У) = у ы/кУк = Нп (У) к=0 к
W0
0
(31)
где
Нп (У) = у акХк (Е - У)п-к (Е + У)к = у ії;]Уч;
д=0
а)
б)
(32)
в„ (У) = (Е - У)п = Я-1(-1)414 = !р(;I■
я=о V Я У я=о
Задача Коши для линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами произвольного порядка:
У^)(0) = у0ї) (V = 0, п -1),
(33)
v=0 ^
решаемая на конечном отрезке [0,Т] методом точечных представлений, преобразуется в задачу решения (и анализа) векторно-матричного уравнения с системной Р-матрицей (Ы*К), невырожденной при неотрицательных коэффициентах дифференциального уравнения:
Нп (У) • Ут = хп • Вп (- у ) • Хт + (Е - У )-1 У Нп (І) • У
(І ) 0
(34)
где
Нп (І) = Осісп [ Л0п),...лдп ),...лпп ),0,...0],
&
а -^-у(т)/ т=о = У(/)(0) = у00) (Г = 0, п -1).
о т
Его решение относительно К-вектора Ут-точечного изображающего вектора функции у( т), как решенная задача Коши, сводится к обращению системной матри-
к=0
І=0
цы Ип(2) (ЫхК) и последующему умножению на векторно-матричное выражение в правой части, т.е. к стандартным процедурам линейной алгебры.
Имеем, следовательно,
Ут = Х0” • Н„ (7)-1 • Бп (-7)• Хт + Нп (7)-1 • (Е - 7)-1 Но (I) • у0>, (35)
I=0
где Ип(2)-1 - обратная матрица матрицы Ип(2).
Показана высокая эффективность возникающего вычислительного алгоритма решения, подтверждаемая компьютерными расчетами ряда примеров по разработанной программе, включая и расчет примера жесткой задачи Коши. В последнем случае не обнаружено явления численной неустойчивости, характерного для многих численных методов.
Метод оказывается эффективным для описания (моделирования) и последующего приближенного решения начальных задач для линейных дифференциальноразностных уравнений п-го порядка с запаздывающим аргументом на конечном отрезке [0,Т], кратном величине запаздывания:
+ £ Эо + £ь, <ТУ» - >. > = х«; 1 г 0. (36)
а0 £о 0-у а' £о 0-” а* ’
Такие задачи преобразуются в эквивалентные задачи Коши с добавочными финитными функциями в правой части уравнений, определяемыми параметрами запаздывания и начальными функциями исходных задач:
±ап-V Ум(/) + XЬо-V У(”)(/ -(3) = х(()- Е((3;( -(3)°Г6о-„Ф(У-(3). (37)
у=0 v=0 v=0
Если перейти к интегральному уравнению и сделать замену переменного 1=Тт, а также пологая, что у(т - т3) ———> 7тУт, то получим в пространстве точечных изображений уравнение вида:
Но (7) • Ут + ^ЬкХк0 • (Е - 7)0-к (Е + 7)к • 7у = К • (Е + 7)0 • Хт, (38)
к=1
его решение определится формулой:
Ут =_______о Ц •(Е + 7)0 • Хт_______________________________________________________. (39)
Но (7) + ХЬкХк • (Е - 7)0-к (Е + 7)к • 7т
к = 1
Также в работе рассматривается моделирование и решение методом точечных представлений задачи Коши для линейных дифференциальных уравнений 2-го порядка с переменными коэффициентами:
^[а,(0у(0] + ^[а,(/)У(0] + а2(()у(() = х(0; у(0) = Уо; у'(0) = у0; ( е[0,т]. (40)
Для преобразованных уравнений такого типа с новыми коэффициентными функциями под знаком производных устанавливаются условия существования и единственности решения задачи Коши на отрезке [0,Т]. Доказано, если выполняется условие:
при а0(і) > 0
то на этом отрезке существует единственное решение задачи Коши (40), которое может быть найдено методом точечных представлений.
Далее, рассматривается свертка, как бинарная операция в пространстве ограниченных и абсолютно интегрируемых функций и как интегральный оператор с некоторым фиксированным разностным ядром, обобщающий обычный (вольтеровский) оператор интегрирования. Область его определения - пространство функций, ограниченных на любом конечном промежутке; область значений - подпространство непрерывных функций.
Свертка, как бинарная операция в пространстве ограниченных функций, превращает его в алгебру относительно Ь1-нормы. Однако, эта сверточная алгебра не имеет единицы и является подалгеброй сверточной алгебры обобщенных функций. Последняя имеет единицу, роль которой выполняет 8-функция Дирака. Возникает необходимость рассматривать сверточные операторы с 8-ядрами, т.е. расширить область определения сверточного оператора до пространства обобщенных функций.
На основе общего метода получения точечно-матричного представления различных операторов и используя геометрический смысл сверточной операции при таком подходе, решается задача о точечном изображении свертки, как интегрального оператора с разностным ядром и как коммутативной бинарной операции. Точечное изображение свертки двух функций представляется в виде свертки их изображающих векторов:
причем, если в векторной свертке один из векторов - точечный изображающий N вектор одной из сворачиваемых функций
[х() ———>Хт или д(/) ———> дт], то другой К-вектор 1/Уд (или^х), играющий роль изображающего вектора другой функции, связан с соответствующим точечным К-вектором линейным преобразованием:
Сверточная операция в пространстве векторных изображений замкнута относительно 11 - нормы и превращает это К-мерное пространство в сверточную алгебру, являющуюся гомоморфным образом функциональной сверточной алгебры. Обе алгебры - коммутативные, поскольку коммутативны соответствующие сверточные операции. Обе имеют единицы, причем в векторной сверточной алгебре роль единицы (как гомоморфного образа единицы функциональной сверточной алгебры) играют изображающие К-векторы, 8-функции 8(1). Это векторы и 8Т, связанные соотношением
которое рассматривается как определяющее равенство для понятия точечного изображающего К-вектора 8Т 8-функции 8(1).
№ 8 = е у (і) = д * х = | д (і -п)х (п)^ п———» Ут = №д * Хт = №х * дт, (42)
0
№д = Х0(Е + Т) • дт или №х = Х0(Е + Т)• Хт .
(43)
(44)
Через свертку детально изучен вопрос о связи между изображением функций по Лапласу и их векторными изображениями, представляющими эти функции на конечных промежутках. Доказана теорема о точечном изображении сверточного оператора с ядром §(1), имеющим преобразование Лапласа в(р), согласно которой t ___________________________________________
д * х = |д(-г|)х(г|)^г|———— 1Ад*(I)*Хт = Кд *Хт, (45)
0
причем Р-матрицаКд* (I) (Ы х Ы) непосредственно определяется инверсным преобразованием Лапласа О ^ = О * (X) ядра §(1):
к; (I) = о *^о = £ ^к_11к-1, (46)
где коэффициенты 1/Ук-1 (к = 1,Ы) определяются формулами
К-1 = (кГГЙ • & ^*=0 = ^ [°' ]_ (47)
_ (к = 1,Ы)
и являются компонентами изображающего К-вектора 1/У д этого ядра, а также элементным К-вектором Р-матрицы W (2) которая, как элемент нормированной алгебры ЛОР(К)(2), оказывается гомоморфным образом элемента W (г) из нормированной алгебры ЛБ функций, аналитических в круге |* < 1 [1].
Теорема позволяет осуществить (приближенное) обращение преобразования Лапласа произвольной функции в форме ее изображающего К- вектора, ассоциированного с чебышевской К-сеткой из конечного промежутка [0,Т].
Из теоремы следует:
д$) = | 8(* -п);(пУп — > дт = К (I)8т = кя *8т, (48)
0
Что эквивалентно следующей системе равенств для отсчетов оригинала §(1) в узлах К-сетки:
;(Гт—)) = (-1ГХ-1 (у = Щ. (49)
Х к=1
Приведен пример обращения изображения по Лапласу трансцендентного вида, оригинал которого - функция Бесселя нулевого порядка сложного аргумента. Расчеты показывают высокую точность предлагаемого метода.
Особо выделен и подробно рассмотрен случай дробно-рациональных лапласовых изображений. В этом случае задача обращения сводится к решению системы алгебраических уравнений рекуррентного вида относительно отсчетов оригинала в узлах К сетки. Последнюю можно трактовать как решение методом точечных представлений соответствующего линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами при нулевых начальных условиях, рассмотренное в гл.3. Подробно рассмотрено в общем виде (т.е. формально) обращение элементарных правильных операторных дробей с простым полюсом, полюсом кратности два и комплексно -сопряженной парой полюсов.
Проведенные численные расчеты по полученным точечным моделям для рассматриваемых операторных изображений убедительно показывают его высокую эффективность.
Кроме этого, рассматривалась связь “вход-выход” для линейной стационарной динамической системы в пространстве точечных изображений. Эта связь, в соответствие с теоремой о точечном изображении функциональной свертки принимает форму векторно-матричного равенства для точечных изображений сигналов входа и выхода или форму свертки соответствующих изображающих векторов:
уЦ) = д * х = | дЦ - п)х(п)с^ ———Щ; * Хт = Ут = Щ (I) • Хт. (50)
0
Матрица 1Щ* (I) (КхК), называется точечной передаточной матрицей (ТПМ)
системы, а ее элементный К-вектор назван весовым изображающим К-вектором. Матрица W (2) оказывается гомоморфным образом инверсной ПФ динамической системы, как элемента алгебры ЛБ всевозможных функций, аналитических в круге *| < 1 .
Для точечных изображений импульсной переходной характеристики §(1) и переходной характеристики Ь(1), заданных на отрезке [0,Т], получены представления:
;(/) ——> дт = щ; 05т = Щ; * 8т =1{Е + I)-1 • Щ;;
Х0
Щ ) —— — Ьт = Щ; * 1т = Щ* (I) • 1т = (Е - I) • Щ; . (51)
По передаточным функциям типовых динамических звеньев (включая звено чистого запаздывания) определены в явной форме точечные представления их динамических характеристик. Рассмотрен вопрос об определении ТПМ сложных динамических систем, образуемых при различных способах соединения типовых звеньев. Показано, что в силу гомоморфного отображения множества передаточных функций, образующее коммутативное алгебраическое кольцо с единицей, на такое же кольцо соответствующих ТПМ, все правила структурных преобразований с передаточными функциями, без всяких изменений, переносятся на преобразования соответствующих ТПМ.
Все точечные представления связаны с конечным временным промежутком [0,Т], т.е. с параметром Т, который может устанавливаться произвольно. Однако, желательно, чтобы этот промежуток соответствовал длительности переходного процесса. Предлагается метод оценки параметра Т для устойчивых динамических систем через оценку степени устойчивости, определяемой модулем вещественной части корня, ближайшего к мнимой оси. Метод, названый методом усеченных передаточных функций, оказался достаточно эффективным, о чем, в частности, свидетельствуют приведенные примеры.
Подробно рассмотрены все аспекты расчета переходных характеристик сложных линейных динамических систем методом точечных представлений непосредственно по ПФ с характеристическим полиномом любой степени. В конечном итоге, задача сводится к обращению системной Р-матрицы Нп(а;2) (КхК) степени п в векторноматричном уравнении, определяющим точечный К-вектор §Т ИПХ §(1) [0,Т] ди-
намической системы. Коэффициенты {Л")(а)| Р-представлений системной матри-
цы Нп(а;2) (КхК) связаны с коэффициентами характеристического полинома неособым линейным преобразованием. Переход к блочному представлению системной Р-матрицы при К=ш0(п+1) (т0=2,3,...), позволил разработать эффективный рекуррентного типа алгоритм ее обращения при любом п. Разработана программа компьютерной реализации алгоритма обращения.
Найдено эффективное решение задачи расчета переходных характеристик линейной динамической системы по ее ВЧХ Р(ю). Получены высокоточные К - мерные модели для ИПХ §(1) и ПХ Ь(1) [0,Т], которые обладают наименьшей чувстви-
тельностью к погрешностям в исходных данных, обусловленных конечностью параметра “Т”, если эти данные брать в виде отсчетов ВЧХ Р(ю) в узлах чебышевской частотной К - сетки:
(2 к - 1)п _ (2 к - 1Кр
(к _ 1,Ы), (52)
к 2Т 2 N
причем, в соответствии с теоремой Котельникова, гасрТ=Ктс (юср - частота среза ВЧХ Р(ю)). По этим моделям определяется точечные изображения §Т и ЬТ указанных характеристик, ассоциированные с временной чебышевской К-сеткой. Вводится спектральный изображающий К-вектор Р^), ассоциированный с чебышевской частотной К-сеткой и связанный с точечными изображающими К-векторами §Т и ЬТ ортогональными преобразованиями.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Осипов В.М., Осипов В.В. Моделирование линейных динамических систем методом то-
чечных представлений. М.: МАКС Пресс, 2005. -296 с. КВЫ 5-317-01390-9. ШИЗ
— Коротко об авторах --------------------------------------------------------------------
Осипов В.В. - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры «Высшей математики №3» Сибирского федерального университета,
Осипова В.А. - кандидат технических наук, доцент, зав. кафедрой «Автоматизации производственных процессов» Института цветных металлов и металловедения Сибирского федерального университета,
Овинников В.А. - кандидат технических наук, профессор Сибирского федерального университета г. Красноярск,
Чешель А.А. - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры «Высшей математики №1» Сибирского федерального университета,
Устинович О.В. - старший преподаватель кафедры «Бухгалтерского учета и аудита» Сибирского государственного аэрокосмического университета им. ак. М.Ф. Решетнева
Статья представлена Сибирским федеральным университетом.
Рецензент доктор физико-математических наук В.А. Романов.
