УРОК ОДНОЙ ЗАДАЧИ КАК СПОСОБ ПОВТОРЕНИЯ МЕТОДОВ НАХОЖДЕНИЯ УГЛА МЕЖДУ ПЛОСКОСТЯМИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 373.55

УРОК ОДНОЙ ЗАДАЧИ КАК СПОСОБ ПОВТОРЕНИЯ МЕТОДОВ НАХОЖДЕНИЯ УГЛА МЕЖДУ ПЛОСКОСТЯМИ

Н.А. Малинникова, Ю.В. Мальченко

ФГБОУ ВО «Брянский государственный университет имени академика И.Г. Петровского»

В статье рассмотрена организации повторения методов нахождения угла между плоскостями на примере одной задачи в процессе подготовки учащихся к Единому государственному экзамену по данной теме.

Ключевые слова: стереометрическая задача, угол между плоскостями, методы нахождения углов между плоскостями.

Единый государственный экзамен как форма объективной оценки, направленная на проверку качества освоения учащимися образовательных программ за период обучения в школе, уже стала привычным образовательным процессом. Процесс обучения старшеклассников направлен на ЕГЭ, поэтому достаточную часть времени в нем занимает повторение изученного материала. Цель такого повторения заключается в систематизации и обобщении знаний и умений учащихся в той или иной теме, выносимой в ЕГЭ. Процесс повторения организуется учителем как на уроке, так и на элективных курсах, консультациях, в формате домашних работ и т.д. Но, не смотря на такое разнообразие форм, проблема нехватки времени для специализированной подготовки к ЕГЭ в целом, и повторения, изученного ранее материала, в частности, остается актуальной.

Одним из заданий ЕГЭ профильного уровня является стереометрическая задача (задание 14) на нахождение угла между плоскостями. Данные задания вызывают затруднения у учащихся, так как они требуют пространственного воображения; знаний не только ближайших формул стереометрии, но и курса планиметрии 7-9 классов; сформированных умений строить пространственные фигуры и необходимые по условию задачи элементы в них (например, угол между плоскостями) и т.д.

Таким образом, перед учителем встает проблема, как помочь учащимся 11 классов вспомнить методы нахождения угла между плоскостями и по возможности познакомить их с новыми, ранее не изучаемыми.

Предложим один из путей решения данной проблемы в рамках процесса повторения к ЕГЭ: урок одной задачи.

Для определения содержания данного урока, приемов и методов, нами были проанализированы: открытый банк заданий на сайтах подготовки к ЕГЭ, а также современные школьные учебники по теме «Угол между плоскостями». Остановимся на следующих моментах анализа:

1. Анализ заданий открытого банка на сайтах подготовки к ЕГЭ. Задачи на нахождение угла между плоскостями составляют 18% процентов от общего числа всех заданий №14. Геометрические конструкции в данных задачах различны. Решение всех задач не является эффективным, поэтому целесообразно организовать повторение известных методов нахождения угла между плоскостями, сформулировать признаки распознавания того или иного метода в зависимости от геометрической конструкции.

2. Анализ темы «Угол между плоскостями» в современных школьных учебниках проводился с целью выделения математических основ темы и методов нахождения искомого угла. Были проанализированы учебники геометрии 10-11 классов под редакцией Л. С. Ата-насяна (базовый и профильный уровни) и Е. В. Потоскуева, Л. И. Звавич (углубленный и профильный уровни).

Анализ содержания темы в данных учебниках позволил классифицировать известные учащимся методы нахождения угла между плоскостями на две группы:

• методы, требующие построения искомого угла (поэтапно-вычислительный метод);

• методы не требующие построения искомого угла (метод ортогональной проекции, координатно-векторный метод).

Для повторения выделенных методов нахождения угла между плоскостями в рамках подготовки к ЕГЭ было определено содержание урока одной задачи - стереометрическая задача №14 открытого банка заданий ЕГЭ.

Содержание темы «Угол между плоскостями» для обобщения и систематизации представлено в таблице 1.

Таблица 1

Методы нахождения углов между плоскостями_

Математические основы использования метода Этапы решения задачи данным методом Ориентировочные основы выбора метода

Метод, требующий построения угла

• Понятие двугранного угла: (Двугранным углом называется фигура, образованная прямой а и двумя полуплоскостями с общей границей а, не принадлежащими одной плоскости.) • Понятие градусной меры двугранного угла между плоскостями (градусной мерой двугранного угла называется мера его линейного угла); • Схемы построения линейного угла между плоскостями [4, с. 343-344] 1. Построить линейный угол двугранного угла с помощью двух перпендикуляров, проведённых к прямой пересечения указанных плоскостей; 2. Найти величину полученного угла, поместив его в некоторый треугольник (если треугольник прямоугольный, то используем соотношения сторон и углов; если произвольный - теоремы косинусов, синусов и т.д.) 1. Конструкция задачи позволяет выделить линию пересечения плоскостей; 2. Построение линейного угла легко обосновывается.

Методы, не требующие построения угла

Координатно-векторный метод

• Понятие угла между плоскостями на языке координат (угол между плоскостями равен углу между векторами, перпендикулярными данным плоскостям); • Понятие скалярного произведения двух векторов ( а-Ь = |а|-|Ь|-coscp) и типовые задачи, которые можно решать с помощью определения скалярного произведения (например, нахождение угла cos<p ab ч между векторами cos<p = • Понятие скалярного произведения двух векторов в координатах ( а • b = x1 • х2 + y1 • у2 + z1 • z2 , где ci{x1.y1.z1} , bix2.y2.Z2}); • Понятие длины вектора (lal = jx2 + у2 + z2. где aix.y.Z]}); 1. Выбрать систему координат; 2. Найти координаты векторов, перпендикулярных данным плоскостям; 3. Вычислить угол между плоскостями, как угол между векторами. 1. Конструкция задачи позволяет ввести систему координат (уже есть или обоснованно задаются три взаимно перпендикулярные прямые). 2. В выбранной системе определяются координаты всех нужных точек для нахождения координат векторов, перпендикулярных данным плоскостям, двумя способами.

• Способы нахождения координат вектора, перпендикулярного к плоскости (коэффициенты перед неизвестными в уравнении плоскости; направляющий вектор прямой, перпендикулярной к данной плоскости)

Метод ортогональной проекции

Понятие ортогонального проецирования: (ортогональное проецирование - частный случай параллельного проецирования, при котором проецирующие лучи перпендикулярны к плоскости проекций); Утверждение о площади ортогональной проекции: (площадь ортогональной проекции многоугольника на плоскость равна площади проектируемого многоугольника, умноженной на косинус угла между плоскостями многоугольника и его проекции: 5пр = S • cos ф). 1. Определить, является одна из рассматриваемых плоскостей ортогональной проекцией другой; 2. Выделить в рассматриваемых плоскостях проецируемые многоугольники. 3. Найти площадь проектируемого многоугольника; 4. Найти площадь фигуры, являющейся ортогональной проекцией. 5. Найти угол, воспользовавшись формулой: cos ф = -j. 1. Рассматриваемые плоскости можно ортогонально спроецировать одну на другую. 2. Данных задачи достаточно, чтобы найти площади выделенных фигур.

Задача: В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны рёбра AB=1 СС1 =^6. Найдите угол между плоскостями ABC и A1DB.

Анализ условия задания

1. Какая геометрическая фигура рассматривается в задаче? (Прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1.)

2. Как выполняем построение прямоугольного параллелепипеда? (1. Построить параллелограмм; 2. Провести перпендикулярно отрезки равной длины к каждой вершине; 3. Соединить концы полученных отрезков.)

3. Что известно о прямоугольном параллелепипеде? (Известны рёбра AB=1, AD=

V3,

СС1=^6.)

4. Что требуется найти? (Найти угол между плоскостями ABC и A1DB.)

Вид доски

Дано: ABCDA1B1C1D1 - прямоугольный

параллелепипед

АВ = 1, AD = V3,СС1 = V6.

Найти: ¿.((ABC), (A1DB))

Поиск способа _решения задания

1. Итак, что требуется найти в задаче? (угол между плоскостями ABC и A1DB);

2. Есть ли этот угол на чертеже? (нет);

3. Как построить угол между плоскостями ABC и A1DB? (выделить линию пересечения данных плоскостей, построить линейный угол между плоскостями, т.к. нет плоскости, перпендикулярной линии пересечения) (В помощь учащимся можно предложить схемы построения линейного угла между плоскостями [5, с. 343-344]);

4. Итак, какой угол теперь требуется найти в задаче? (zAHA^)

5. Из какой фигуры можно найти zAHAt? (Из h.AHAt.)

6. Что нам известно о треугольнике AAHAX? (kAHA^- прямоугольный, A1A = V6)

7. Достаточно ли данных о AAHA!, чтобы найти угол? (Нет.)

8. Какой элемент легче найти и почему? (Катет АН, так как он является высотой прямоугольного треугольника AABD, у которого известны катеты)

9. Можем ли теперь найти искомый угол? Как? (Воспользуемся определением тангенса угла прямоугольного треугольника)

10. Итак, каков план решения задачи? (1. Построить линейный угол между плоскостями; 2. Найти АН из AABD; 3. Найти угол между плоскостями из h.AHA^).

Оформление решения

Вид доски

1) Построим угол между плоскостями ABC и A1DB

• A1A - перпендикуляр к плоскости ABC, опущенный из точки A1 плоскости A1DB;

• проведём перпендикуляр AH в плоскости ABC к линии пересечения данных плоскостей D B (AH 1 DB);

• построим A1 H.

Получим, что AH - проекция наклонной A1H на плоскость ABC. По теореме о трех перпендикулярах имеем, что A1H 1 DB.

Значит zAHA1 - линейный угол двугранного угла, образованного плоскостями ABC и A-^DB. ZAHАг- искомый угол.

2) Рассмотрим AABD fzBAD = 90°, АВ = 1, AD = л/3 по условию/'

• BD = VAD2 +AB2 = V3 + 1 = 2 (по теореме Пифагора);

• Так как SAABD = -AB • AD и SAABD = -AH • BD,™^ V3 • 1 =2 • АН

3) Рассмотрим AAHA1 (zA1AH=90°, A1A = V6 по условию): tg(zAHA1) = AA, tg(zAHA1) =Vf = 2V2, zAHA1 = are

AH

tg2V2

Значит, z((ABC), (A1DB)) = aretg2V2

Ответ: are tg2*V2

При подведении итогов работы над заданием необходимо повторить геометрическую конструкцию данного задания, оговорить трудности в построении угла между плоскостями (если таковые были), повторить ориентировочные основы выбора метода и этапы решения задачи данным методом.

При переходе к следующему методу можно задать следующий вопрос: «Можно ли решить задачу, не строя искомого угла?»

На наш взгляд, следующий метод - это координатно-векторный, ориентировочной основой которого является наличие в геометрической конструкции трех взаимно перпендикулярных прямых. Данный метод уже знаком учащимся, поэтому возможно повторить с ними математические основы метода, его этапы, и предложить им самостоятельно решить задачу. При этом рекомендуется оформить решение на доске, чтобы ученики могли себя проверить.

Оформление решения координатно-векторным методом

Вид доски

1. Введем систему координат: В- начало отсчёта, ось Ох совпадает с прямой ВС, ось Оу -ВА, Oz - ВВ1.

2. Найдём координаты нужных точек и векторов:

• B(0;0;0),A(0;1;0),D{^3;1;0),A1(0;1; ^6);

• вектор ЛйЦО; 0; V6} ± (ABC);

• найдем вектор n[a,b,c}± (A1DB): пусть плоскость (A1DB) задана уравнением ах + by + cz + d = 0; так как точки А1, D, В принадлежат данной плоскости, то они удовлетворяют ее уравнению., т.е.

d = 0 (a = — — b

+ b = 0 ^ { 3 ^

— b,b,--b\ ^ n\--,1,--

3 6 ) l 3 6

n

3. Найдём угол между плоскостями: ф = ¿((ABC), (A1DB)) = ¿(PíA^n) — |АЛ1 711

'H-2^0^^ _ ^ ¿((ABC)> (AiDB)) = arccosi

Mi|-|n|

cos ф =

^12+36+6-^6

1

= - ^

3

Ответ: arccos-

3

Следующий метод учащимися согласно учебникам менее отработан (метод ортогональной проекции), поэтому учитель предлагает учащимся познакомиться с ним с помощью карточки-консультанта.

Карточка содержит математические основы метода, задание, его решение с указанием последовательности действий и результатов выполнения этих действий.

Так как конструкция задачи и некоторые данные (помимо условия) учащимся уже известны, то их внимание будет в большей степени направлено на понимание метода и усвоения его этапов.

Карточка-консультант

Метод ортогональной проекции

Теорема. Площадь ортогональной проекции многоугольника на плоскость равна площади проектируемого многоугольника, умноженной на косинус угла между плоскостями многоугольника и его проекции: Snp = S • cos ф

Задача: В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны рёбра AB=1 AD=V3, СС1 =V6. Найдите угол между плоскостями ABC и A1DB

Дано: ABCDA1B1C1D1 - прямоугольный параллелепипед AB = 1, AD = V3,CC1 = V6. Найти: z((ABC), (A1DB))

№

Последовательность действий

Результат выполнения действий

Определим вид фигуры,

• которую ортогонально проектируем;

• которая является ортогональной проекцией

• AA1DB - проектируемая фигура,

• AABD - ортогональная проекция

Найдём площади выделенных фигур

• площадь проектируемой фигуры (Б)

• площадь проекции (5пр)_

• SA AlBD = (по формуле Герона)

л/3

• Smbd= — (см. выше);

Найдем угол между плоскостями

e 0sz((ABC),(A1DB)) = Sf = f.3-f = 1 z((ABC),(A1DB)) = areeos-

Записать ответ

Ответ: are e os_3

1

2

3

4

Результатом работы учащихся с данной карточкой являются:

1. Подробное оформление решения задачи в тетради согласно выделенным этапам решения;

2. Алгоритм нахождения угла между плоскостями методом ортогональной проекции;

3. Формулирование вопросов «самому себе» при поиске путей решения задач данной темы.

Далее можно организовать работу над заданиями ЕГЭ по готовым чертежам [2, с. 3847], где учащиеся сами должны определить более рациональный метод решения задачи.

В качестве домашней работы, будет полезно предложить список задач из открытого банка заданий ЕГЭ (см. Таблица 2). На уроке в процессе обсуждения определить, каким методом рациональнее решается каждая задача, исходя из условия и представленного рисунка.

Работа в таком формате, в рамках урока, позволяет учащимся достичь нескольких целей: повторить методы нахождения угла между плоскостями; запомнить ориентировочные основы выбора метода и алгоритм каждого метода; научиться правильно и быстро выбирать рациональный метод для решения задачи на нахождение угла между плоскостями.

Таблица 2

Задания для домашней работы

Задача ЕГЭ

Рисунок

Рациональный метод реше-

ния

1. Дана прямая призма KLMKlLlMl. Найдите угол между плоскостями KLMl и KlLlM, если известно, что Ш=1, LM=2, ЫИ1=3.

Координатно-векторн ый метод, т. к. в конструкции есть три взаимно перпендикулярные прямые ML, MK, MMl

2. Дан ABCDA1B1C1D1.

угол между грани AA1B1B и плоскостью BC1D.

куб Найдите плоскостью

Метод ортогональной проекции, т.к. треугольник ABBl является ортогональной проекцией плоскости (BDCl) на грань AAlBlB. Координатно-векторн ый метод, т.к. в конструкции есть три взаимно перпендикулярные прямые АВ, ВС, ВВ1

3. В правильной треугольной призме KLMKlLlMl сторона основания а боковое ребро MMl=5. Найдите угол между плоскостями ШК1 и

Метод, требующий построение угла, т.к.:

1. ML - линия пересечения плоскостей LMKl и LLlM.

2. ЛKlLM - равнобедренный, значит основанием высота, проведённая из вершины К1, является середина Ж.

4. Основание четырёхугольной пирамиды SABCD является прямоугольник ABCD, причём AB=2^3, Основанием высоты пирамиды является центр прямоугольника. Найдите угол между гранями SBA и SBC, если SD=6.

Координатно-векторн ый метод, т.к. в конструкции есть три взаимно перпендикулярные прямые БЫ, АО, ВС.

5. Высота цилиндра равна 3. Равнобедренный треугольник ABC с боковой стороной 10 и ZA=120° расположен так, что его вершина A лежит на окружности нижнего основания цилиндра, а вершины B и C - на окружности верхнего основания. Найдите угол между плоскостью ABC и плоскостью основания цилиндра._

В

Метод, требующий построение угла, т.к.:

1. BC - линия пересечения плоскости ABC и плоскости верхнего основания.

2. В выделенных плоскостях легко строятся перпендикуляры к линии пересечения ВС.

Список литературы

1. Атанасян Л.С. и др. Геометрия. 10-11 класс: учебник для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни. - М.: Просвещение, 2007. - 256 с.

2. Балаян Э.Н. Геометрия: задачи на готовых чертежах для подготовки к ЕГЭ: 10-11 классы. - Ростов н/Д: Феникс, 2013. - 217 с.

3. Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Многогранники: типы задач и методы их решения // МАТЕМАТИКА. ЕГЭ 2013 [Электронный ресурс]. - Режим доступа: www.abiturient.ru (Дата обращения 08.04.2019).

4. Малинникова Н.А. Проблемы работы со стереометрическими задачами на комбинацию тел базового уровня (по материалам ЕГЭ) // Подготовка учащихся к ЕГЭ по математике: математические затруднения учащихся и методические пути их преодоления: Пособие для учителей математики учреждений среднего и профессионального образования Брянской области / Под редакцией И.Е.Маловой. - Выпуск 1. - Брянск: БГУ, 2010. - 108 с.

5. Малова И.Е., Горохова С.К., Малинникова Н.А., Яцковская Г.А. Теория и методика обучения математике в средней школе: Учебное пособие для студентов вузов. - М.: Гуманитар. изд. центр ВЛАДОС, 2009. - 445с.

6. Потоскуев Е.В., Звавич Л.И. Геометрия. 10 кл.: учеб. для общеобразоват. учреждений с углубленным и профильным изучением математики. - М.: Дрофа, 2007. - 223 с.

7. Яковлев И. В. Стереометрия на ЕГЭ по математике // Материалы по математике [Электронный ресурс]. - Режим доступа: MathUs.ru (Дата обращения 08.04.2019).

8. Материалы для подготовки к сдаче ЕГЭ [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://alexlarin.net/ (Дата обращения 08.04.2019).

9. Материалы для подготовки к сдаче ЕГЭ [Электронный ресурс]. - Режим доступа: https://ege.sdamgia.ru/ (Дата обращения 08.04.2019).

Об авторах

Малинникова Наталья Алексеевна - кандидат педагогических наук, доцент, ФГБОУ ВО «Брянский государственный университет имени академика И.Г. Петровского», e-mail: nasom 68@mail. ru.

Мальченко Юлия Владимировна - - магистрант кафедры математического анализа, алгебры и геометрии, ФГБОУ ВО «Брянский государственный университет имени академика И.Г. Петровского», e-mail: yuliya.malchenko@inbox.ru.

LESSON OF ONE PROBLEM AS A WAY OF REPETITION OF METHODS FOR ANGLE FINDING BETWEEN PLANES

N.A. Malinnikova, Yu.V. Malchenko

Bryansk State University named after Academician I. G. Petrovsky

The article considers the organization of repetition of methods of finding the angle between the planes on the example of one problem in the process of preparation of students for the Unified State Examination on this topic.

Key words: stereometric problem, angle between planes, methods of finding angles between planes.

References

1. Atanasyan L.S. et al. Geometry. Class 10-11: textbook for general education. Institutions: basic and profile levels. - Moscow: Enlightenment, 2007. - 256 c.

2. Balayan E.N. Geometry: Problems in the ready-made drawings for the preparation for the USE: 10-11 classes. - Rostov n/D: Phoenix, 2013. - 217 c.

3. Koryanov A.G., Prokofiev A.A. Polyhedrons: types of problems and methods of their solution. // MATHEMATICS. EGE 2013 [Electronic resource]. - URL: www.abiturient.ru (online; accessed: 08.04.2019).

4. Malinnikova N.A. Problems of work with stereometric problems on the combi-station of bodies at the basic level (based on the materials of the Uniform State Examination) // Preparation of students for the Uniform State Examination in mathematics: mathematical difficulties of students and methodological ways of their overcoming: Manual for teachers of mathematics in secondary and vocational education institutions of the Bryansk region / Editorial office of I.E. Malova. - Issue 1. - Bryansk: BSU, 2010. - 108 c.

5. Malova I.E., Gorokhova S.K., Malinnikova N.A., Yatskovskaya G.A. Theory and Methodology of Teaching Mathematics in Secondary School: Textbook for University Students. -M.: Humanitar. ed. center VLADOS, 2009. - 445c.

6. Potoskuev E.V., Zvavich L.I. Geometry. Class 10: educational institutions with advanced and specialized study of mathematics. - Moscow: Drofa, 2007. - 223 c.

7. Yakovlev I. V. Stereometry at the Uniform State Examination in Mathematics // Materials on [Electronic resource]. - URL: MathUs.ru (online; accessed: 08.04.2019).

8. Materials for preparing for the unified state exam [Electronic resource]. - URL: http://alexlarin.net/ (online; accessed: 08.04.2019).

9. Materials for preparing for the unified state [Electronic resource]. - URL: https://ege.sdamgia.ru/ (online; accessed: 08.04.2019).

About author

Malinnikova N.A. - PhD in Pedagogical Sciences, Associate Professor, Department of Mathematical Analysis, Algebra and Geometry, Bryansk State University named after Academician I. G. Petrovsky, e-mail: nasom68@mail.ru.

Malchenko Yu.V. - graduate student, Department of Mathematical Analysis, Algebra and Geometry, Bryansk State University named after Academician I. G. Petrovsky, e-mail: yuliya.malchenko@inbox.ru.