CC BY
17Система приемов учебной работы при изучении стереометрии
Шастун Тамара Александровна
канд.пед.н., МФПУ «Синергия»
На современном этапе развития образовательных учреждений все большее значение приобретает поиск путей совершенствования содержания образования, а также методов, приемов и организации форм обучения в свете последних достижений педагогики и психологии.
Роль математики в различных областях человеческой деятельности велика. Расширяется круг специальностей, требующих непосредственного применения математики (экономика, бизнес, финансы, физика, химия, информатика, биология и др.). Таким образом, расширяется круг школьников, для которых математика становится значимым предметом. Ключевые слова: математика, стереометрия, Система приемов учебной работы, обучение, педагогика
о
п ^
N
(О
01
На современном этапе развития образовательных учреждений все большее значение приобретает поиск путей совершенствования содержания образования, а также методов, приемов и организации форм обучения в свете последних достижений педагогики и психологии.
Роль математики в различных областях человеческой деятельности велика. Расширяется круг специальностей, требующих непосредственного применения математики (экономика, бизнес, финансы, физика, химия, информатика, биология и др.). Таким образом, расширяется круг школьников, для которых математика становится значимым предметом.
Рассмотрим систему приемов учебной работы в курсе стереометрии. Ее можно разбить на 3 взаимосвязанные между собой группы: рассмотрение наглядного материала, создание пространственных образов и оперирования ими.
Охарактеризуем каждую из трех групп системы и проиллюстрируем на стереометрическом материале.
I группа
Приемы I группы направлены на развитие у учащихся интуиции и пространственных представлений. Здесь рассматриваются 4 приема, связанные с преобразованием наглядного материала.
11. Включение одного и того же элемента модели (рисунка) в различные геометрические фигуры
Перечень действий, составляющих прием:
Выделите на рисунке фигуру, о которой говорится в задаче.
Последовательно включите ее в различные фигуры рисунка.
Рис.
D
/ / / / / f /
А Рис. 2 в
1) на рисунке 1 изображена пирамида MABCD, высота её - МО. Укажите не менее 3-х фигур, которым принадлежит:
а) диагональ АС основания пирамиды;
б) ребро MD пирамиды;
в) высота МО пирамиды.
2) На рисунке 2 изображен куб. Назовите и изобразите не менее 5 фигур, которым принадлежат:
а) диагональ А1С куба;
б) ребро AD куба;
в) диагональ Вс1 грани куба.
(Например, [ВС1] е (ВС1), [ВС1] с А ВСС1,
[ВС] е А ВС^1, [ВС1] е прямоугольнику ВС^А, призме ВВ^АА^1 и др.)
12. Нахождение пересечения данных фигур.
1. Выделите на модели (рисунке) каждую из данных фигур.
2. Найдите их пересечение.
Например, 3) Найдите и назовите пересечение фигур (рис.1)
а) прямых СМ и DM, АС и МВ, BD и МО;
б) прямой АМ с плоскостями ADM, ADC,CMD;
в) плоскостей АМС и МСВ, АМВ и DMB, ADM и MCD.
4) Найдите и назовите пересечение фигур (рис.2)
а) отрезка DC1 с гранями параллелепипеда;
б) плоскостей АА^^ и СС^А ВВ1С1С и А1В^, АВ1С^ и А^СВ, АВС^1 и A1BCD1.
13. Нахождение фигур по их пересечению.
1. Выделите на модели (рисунке) данную фигуру.
2. Укажите фигуры, которым она принадлежит.
Например, 5) Найдите и назовите фигуры, пересечением которых являются:
а) высота МО пирамиды;
б) диагональ BD основания пирамиды;
в) ребро DM пирамиды;
г) AAMC, AOMB.
6) Найдите и назовите фигуры, пересечением которых являются (рис.2)
а) отрезок A1D, DB1, BC;
б) прямоугольник A1ADD1, D1DBB1;
в) призма ABDA1B1D1, ABCA1B1C1.
14. Разностороннее рассмотрение геометрической фигуры на модели (рисунке)
1. Выделите на модели (рисунке) рассматриваемую фигуру;
2. Последовательно группируя её с другими фигурами модели (рисунка), подведите данную фигуру под соответствующие понятия.
Например, отрезок A1D в изображении куба можно рассмотреть и в качестве диагонали грани куба, и гипотенузы прямоугольного A A1DA, и проекции [B1D] на плоскости A1AD и др. Целесообразно рассмотрение фигур проводить в определённой последовательности. Например, [A1D] можно рассмотреть в следующем порядке:
а) установить связь отрезка с прямыми, определяемыми 2-мя точками, отмеченными на рисунке: [A1D] е (A1D), [A1D] n (DC)=D,
[A1D] n (A1C1)=A1 и др.,
[A1D] || (B1C), [A1D]_•_(BC) и др.
б) установить связь отрезка с плоскостями, определяемыми 3-мя точками, не лежащими на одной прямой (взаимное расположение прямой и плоскости):
[A1D] с (AA1D), [A1D] n (DD1C)=D, (A1D)-наклонная к плоскости ADC, [A^-проекция [A1C] на плоскость AA1D и др.
в) рассмотреть отрезок A1D как элемент других фигур, составляющих часть данного куба:
[A1D] - гипотенуза AAA1D, AA1DD1;
[A1D] - диагональ пр. AA1D1D;
[A1D] - катет AA1DB1, AA1DC;
[A1D] - ребро пирамиды A1ADB и др.
II группа.
Приемы II группы направлены на создание геометрических образов. В эту группу входят 2 приема: создание образов памяти и образов воображения.
II1. Прием создания образа памяти (на основе ранее виденного наглядного материала)
Действия, составляющие прием:
1. Рассмотрите модель (рисунок) пространственной фигуры в соответствии с изучаемым математическим предложением.
2. Воспроизведите эту фигуру по памяти (с выбором плоскости, на которой будет «помещена» представленная фигура).
3. Зарисуйте образ или опишите его словами.
Рассмотрение модели пространственной фигуры включает уточнение отдельных свойств, входящих в признак понятия и логической связи между ними. При воспроизведении фигуры по памяти необходимо представить ее пространственное расположение и выделить, мысленно или вслух, в образе признаки понятия в соответствии с изучаемым математическим приложением. Выбор учеником указанной плоскости помогает ему зафиксировать представленную картину. Зарисовывая воспроизведенную в сознании картину, школьник подтверждает правильность своих представлений.
Например, при работе над признаком скрещивания прямых, читаем теорему, рассматриваем рис. 3: a и b, aea, bna=A, Aga. Обращаем внимание на логические связи между этими свойствами. С этой целью рассмотрим следующие задачи - вопросы:
Верны ли высказывания:
а) если аса, проход через (•) A, Aga, то a^ b? Нет
б) если aca, bna=A, то a ^b? нет
в) если bna=A, Aga, то a ^b? нет
г) если aca, bna=A, Aga, то a ^b? да
Иллюстрации:
0
сч
со
01
Убрав рисунок, учащиеся должны по памяти своими словами описать (мысленно или вслух) пространственное расположение скрещивающихся прямых в соответствии с признаком. Следует рекомендовать школьнику делать выбор плоскости (плоскость стола или другая), на которую он мысленно должен «поместить» соответствующую модель. Потом делается рисунок.
112. Прием создания образов воображения (по условному изображению или словесному описанию)
1. Рассмотрите условное изображение фигуры в соответствии с заданием (или прочтите текст).
2. Представьте искомую пространственную фигуру.
3. Покажите ее на данном рисунке (или зарисуйте ее).
При рассмотрении данного рисунка учащиеся должны в своих выводах опираться, главным образом, на словесно-логические знания об объектах, а не на наглядность. Решая задачу по тексту, они должны сначала представить пространственную картину и лишь потом сделать рисунок. Каждое из действий приема направляет ученика на вычленение существенного для данного случая.
Например, при построении сечений учащимся следует рекомендовать (в доступных случаях) сначала представить вид сечения, а потом его строить.
Целесообразны следующие задания:
а) определить вид сечения плоскостью, параллельной его основанию, ребру, грани и т.п.
б) опишите пространственное расположение следующих фигур:
1) (AB) и (CB); 2) (AM) и (ABC); 3) (ABC) и (MBK), сделайте соответствующие рисунки.
в) Дано: если аса, Ьпа=М.
Каково взаимное расположение прямых a и
b?
г) Дано: a||b, а||а..
Каким может быть взаимное расположение прямой b к плоскости а?
д) Каким может быть взаимное расположение плоскостей а и р, если известно, что: 1) некоторая прямая a, лежащая в плоскости а, не лежит в плоскости р; 2) ни одна из прямых,
лежащих в плоскости а, не лежит в плоскости р?
III группа.
Приемы третьей группы направлены на поиск решения задач.
MIi. Прием мысленного изменения положения представленной пространственной фигуры
Перечень действий:
1. Представьте пространственную фигуру в соответствии с заданием (выделяя существенные признаки понятия).
2. Разносторонне рассмотрите рисунок, соответствующий условию задачи (прием Ц).
3. На этом рисунке выделите фигуру по ее признакам (или проверьте выполнимость этих признаков для указанной фигуры).
4. Сделайте соответствующий вывод.
В соответствии с приемом IIIi исходный образ памяти, созданный на основе условия задачи в процессе ее решения, мысленно видоизменяется. Преобразование исходного образа касаются, в основном, изменения его пространственного положения. Прием целесообразно использовать в задачах на распознавание отношений или объектов, решаемых с помощью проверки у них тех или иных признаков.
Задача 1. Докажите, что прямые AD и BC -скрещиваются (рис.5)
Укажите другие пары скрещивающихся прямых.
Задача 2. Дан куб ABCDA1B1C1D1. Являются ли величина угла ВВ1С углом между прямыми СС1 и С1В? Углом между векторами С1В и СС1?
Задача 3. Сторона ВС прямоугольника ABCD служит стороной А FBC (рис.6), причем вершина F проектируется на сторону DC. Назовите линейный угол двугранного угла ВС.
При решении задачи 1 следуют действия ученика по приему ¡¡¡1.
1. учащийся представляет пространственное расположение в соответствии с признаком;
2. главное внимание сосредотачивает на характеристическое свойство скрещивающихся прямых. Выделяет свойства:
(AD)e(ABD), ^)е^С), ^)пАВС=А, (ВС)с(АВС), (ВС)с^С), (BC)n(ABD)=B, (BC)n(ACD)=C.
После чего ученику нетрудно сделать выбор плоскости, которой принадлежит одна из этих прямых и которую другая пересекает.
3. на рисунке выделяются фигуры по признакам, например, (AD)c(ABD) и (BC)n(ABD)=B, Вё^).
4. Вывод: : (ВС).
Ш2. Прием создания нового образа (на основе ранее созданных образов)
Составляющие действия.
1. Выберите исходный (опорный) образ в соответствии с условием задачи, сделайте соответствующий рисунок (если он не дан).
2. Представьте фигуру, в которую преобразуется исходный образ.
3. Преобразуйте опорный образ до искомого, разносторонне рассматривая заданные фигуры.
4. Зарисуйте новый образ.
Данный прием направлен на преобразование исходного образа, в результате которого изменяется его пространственное положение и сам образ. Выбор опорного образа осуществляется за счет деятельности воображения в соответствии с условием задачи. В результате преобразования создается новый образ.
Прием облегчает деятельность учащихся при решении задач на установление взаимного расположения прямых и плоскостей в пространстве, требующих выполнения исследований, связанных с изменением геометрических форм и положения фигур.
Последующие задачи целесообразно решать устно. Соответствующие рисунки учащиеся должны делать только после мысленно решения задачи. При этом каждый сделанный рисунок является опорой для последующих рассуждений.
Задача 4. Известно, что Аеа, Вер, апр=т (рис.7). Возможны ли другие случаи взаимного расположения прямых АВ и т?
Задача 5. Дано: аса, Ьпа=А. Каково взаимное расположение прямых а и Ь?
Задача 6. Даны прямая с и две принадлежащие ей точки А и В. Через А и В соответственно проведены прямые а и Ь, перпендикулярные прямой с. Каким может быть взаимное расположение прямых а и Ь?
Задача 7. Даны 2 скрещенные прямые а и Ь. Известно, что прямая с пересекает прямую а. Как может располагаться прямая с по отношению к прямой Ь?
Литература
1. Смирнова Ж.В., Мухина М.В. Инновационные технологии педагогического образования на современном этапе. // Инновации и инвестиции. 2015. №10. с.22-23
0
сч
со
01
