УРАВНЕНИЯ СЕН-ВЕНАНА И КАРМАНА ДЛЯ ОРТОТРОПНОЙ ПРЕДВАРИТЕЛЬНО РАСТЯНУТОЙ ПЛАСТИНЫ ПРИ ВОЗДЕЙСТВИИ ТЕМПЕРАТУРЫ Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3

Doi: 10.31772/2712-8970-2023-24-1-18-34

Для цитирования: Сабиров Р. А. Уравнения Сен-Венана и Кармана для ортотропной предварительно растянутой пластины при воздействии температуры. 2023. Т. 24, № 1. С. 18-34. Doi: 10.31772/2712-8970-2023-241-18-34.

For citation: Sabirov R. A. [Saint-Venant and Karman equations for orthotopic prestretched plate when exposed to temperature]. Siberian Aerospace Journal. 2023, Vol. 24, No. 1, P. 18-34. Doi: 10.31772/2712-8970-202324-1-18-34.

Уравнения Сен-Венана и Кармана для ортотропной предварительно растянутой пластины при воздействии температуры

Р. А. Сабиров

Сибирский государственный университет науки и технологий имени академика М. Ф. Решетнева Российская Федерация, 660037, г. Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский рабочий», 31

E-mail: rashidsab@mail.ru

В космической технике применяются тонкие пластины, которые предварительно растягиваются с помощью сил в ее плоскости и прикрепляются к жестким ребрам. В пожарной технике спасения разрабатываются конструкции пластин, представляющие натяжное полотно, поддерживаемое дронами, для гашения энергии падающего с высоты человека при его эвакуации как с высотного объекта, так и в других исключительных случаях. Пластины тонкие, обычно состоят из композиционного материала. В качестве нагрузок превалируют поперечные силы; для уменьшения прогиба полотно предварительно натягивается на жесткий контур.

В работе получены уравнения Б. Сен-Венана и Т. Кармана для ортотропной пластины с учетом приращения температуры. Первые представляют собой уравнения равновесия в перемещениях с начальными усилиями, а вторые - систему нелинейных уравнений неразрывности деформаций и нелинейных уравнений равновесия. Форма представления моделей дифференциальная.

Рассмотрены примеры расчета пластины на действие сосредоточенной силы и предварительного растяжения. Континуум пластины заменен дискретной областью; дифференциальные соотношения заменены конечно-разностными аналогами. Нелинейные уравнения решались итерациями.

Расчет тонкой пластинки на действие сосредоточенной силы показал, что получаемые продольные силы настолько велики, что напряжения на два-три порядка превышают напряжения, допускаемые для рассматриваемого ортотропного материала. Для уменьшения напряжений, пластину предварительно растягивают. Изгибаемая поверхность становится более монотонной, прогиб уменьшается, это влечет к понижению уровня напряжений.

Сравнение расчетов от действия сосредоточенной силы и изменения температуры показало, что в данной гибкой пластинке малой толщины эффект температурного воздействия незначителен.

Аппарат теории Кармана относительно сложен в численной реализации. Смешанная форма модели в напряжениях и перемещениях требует дополнительных исследований сходимости решений. Модель деформирования Сен-Венана как модель гибкой пластины небольшого прогиба позволяет решать задачи обеспечения жесткости и прочности сложного продольно-поперечного изгиба ортотропных пластин.

Ключевые слова: изгиб тонких гибких пластин, продольно-поперечное деформирование, орто-тропная пластина.

Saint-Venant and Karman equations for orthotropic prestretched plate

when exposed to temperature

R. A. Sabirov

Reshetnev Siberian State University of Science and Technology 31, Krasnoyarskii rabochii prospekt, Krasnoyarsk, 660037, Russian Federation E-mail:rashidsab@mail.ru

In space technology, thin plates are used, which are preliminarily stretched with the help of forces in its plane and attached to rigid ribs. In fire rescue technology, plate designs are being developed that represent a tension fabric supported by drones to extinguish the energy of a person falling from a height, during his evacuation both from a high-rise object and in other exceptional cases. The plates are thin and usually consist of a composite material. Shear forces predominate as loads; to reduce deflection, the fabric is pre-stretched onto a rigid contour.

In this work, the equations of B. Saint-Venant and T. Karman for an orthotropic plate are obtained, taking into account the temperature increment. The former are the equations of equilibrium in displacements with initial forces, and the latter are a system of non-linear equations of the continuity of deformations and non-linear equations of equilibrium. The form of representation of models is differential.

Examples of calculation of a plate for the action of a concentrated force and preliminary tension are considered. The plate continuum is replaced by a discrete region; differential relations are replaced by finite-difference analogs. Nonlinear equations were solved by iterations.

The calculation of a thin plate for the action of a concentrated force showed that the resulting longitudinal forces are so large that the stresses are two to three orders of magnitude higher than the stresses allowed for the considered orthotropic material. To reduce this effect, the plate is pre-stretched. The bending surface becomes more monotonous, the deflection decreases, which leads to a decrease in the stress level.

Comparison of calculations obtained from the action of a concentrated force and a change in temperature showed that in this flexible plate of small thickness, the effect of temperature exposure is insignificant.

The apparatus of the Karman theory is relatively difficult to implement numerically. The mixed form of the model in stresses and displacements requires additional studies of the convergence of solutions. The Saint-Venant deformation model, as a model of a flexible plate with a small deflection, makes it possible to solve the problems of ensuring the rigidity and strength of a complex longitudinal-transverse bending of an orthotropic plate.

Keywords: bending of thin flexible plates, longitudinal-transverse deformation, orthotropic plate.

Введение

В космической технике применяются тонкие пластины, которые крепятся к жестким ребрам и предварительно растягиваются с помощью сил в их плоскости [1; 2]. Аналогичными являются конструкции, представляющие натяжное спасательное полотно, поддерживаемое дронами, для гашения энергии падающего с высоты человека для его эвакуации как с высотного объекта, так в других исключительных случаях при отсутствии или невозможности применения других средств спасения [3].

В качестве материала пластин применяются композиты [4], зачастую однонаправленные, физические свойства которых по двум главным направлениям порой отличаются в 15 раз, а прочностные характеристики различаются до 40 раз. На рис. 1 показано полотно композиционной пластины, ориентированное в глобальной системе координат (Oxy); приведены прочностные параметры с характеристиками жесткости в его собственных главных осях 012.

Распределенные нагрузки, как и локальные силы, образуют существенные изгибающие моменты и перерезывающие силы, создающие концентрации напряжений [5]. Одним из приемов

уменьшения напряжений является натяжение пластины мембранными силами, приложенными по контуру. Если мембранные силы сами являются функциями поперечной нагрузки, то принцип аддитивности не действует [6]. Неравномерные температурные нагружения изменяют напряжения и деформативность.

По теории изгиба изотропных пластин назовем труды [6-11]; обзор и анализ моделей деформирования приведен в работах [12-18].

Цель работы. Требуется выбрать модель расчета тонких пластин из ортогонально-анизотропного материала для обеспечения жесткости и прочности при единовременном приложении поперечных и продольных нагрузок с учетом приращения температуры.

О

x

Ny

of = 1400 МПа af = 34,5МПа

х12 = 74 МПа

Е1 = 71,4ГПа

Е2 = 9,52ГПа G12 = 5,49ГПа

Рис. 1. Полотно из ортотропного материала, натянутое на жесткий контур: а - силы натяжения Nx , N ; б - прочностные параметры af , af , x12

и характеристики жесткости E, E2, G12

Fig. 1. A web of orthotropic material stretched over a rigid contour: a - tension forces Nx , Ny ; b - strength parameters af , af , x12 and stiffness characteristics E1, E2, G12

1. Постановка задачи деформирования ортотропной модели растяжения и изгиба

В качестве определяющих уравнений воспользуемся законом Гука для тела, обладающего ортогонально-анизотропными свойствами, составленного в декартовой системе координат Охуг [19]

e

xx

e , =

УУ

e

xy

1/Ех "V12/ E1

"V21/ E2

1/E

0 0

1/G

12

ax ax T

< a У ■ + < «2 T

X 0

xy

(1)

Здесь Ex, E2, v

12 :

'21:

G12 - упругие характеристики жесткости (технические константы) ортотропного материала, определенные для главных направлений упругой симметрии 1-2;

- компоненты тензора деформаций; сх, с , тху - компоненты тензора напряжений;

xx'yy'xy

ах,а2 - коэффициенты линейного температурного расширения ортотропного материала по направлениям упругой симметрии 1-2; Т = Т(х,у,г) - приращение температуры. Методика учета изменения температуры известна как «метод устранения деформаций» [9; 10]. В этом ме-

l

У

l

x

б

а

тоде для изотермического нагружения объемные и поверхностные силы определяются через температурное поле Т (х, у, z) исходной температурной задачи. Уравнения (1) в обратной форме имеют вид

х Е1 /7 е12 0

с у • = Е е12 Е2 0

X ху 0 0 С\2

^ "а1Т еуу "а2Т

^ху

(2)

где коэффициенты жесткости обозначим следующими символами:

¿1 =

Е

1 "у12у21

¿2 =

Е,

1 "у12у21

¿¿12 =

У 21Е1

У12 Е2

1 21 1 21

(3)

Теорию деформаций, «соответствующую каким угодно, а не только малым смещениям», применим из [12]. Для вычисления относительного удлинения ву рассматриваемой точки в произвольном направлении V, определяемого направляющими косинусами I, ш, п (12 + ш2 + п2 = 1), компоненты тензора деформаций имеют вид

1

6- = I

ды, ды,

дх,

\ -

дх.

дык дык дх1 дх-

(4)

Здесь ы1 = ы,ы2 = V,ы3 = w - проекции (компоненты) вектора перемещения. По поводу приложения уравнений (4) к изгибу пластин, приведем замечание П. Папковича: «В задачах об изгибе тонких пластин прогибы срединной поверхности w = w0 (х, у) настолько

значительны, что квадраты углов поворота (дw0 / дх)2 и (дw0 / ду)2 являются величинами одного порядка с мембранными деформациями срединного слоя ды0 / дх и дv0 / ду » [6]. Отсюда для модели изгибаемой гибкой пластины уравнения (4) принимают такими:

ды 1 ( дw

6„. = -

дх 2\ дх

дv 1

(дw V

6,, = -

дw

ИТ.

6 уу =

6„ =-

ду 2 \ ду

ды ^дw дz дх '

ды дv дн> дн>

6 ху =

6 yz =

ду дх дх ду

дv + дм дz ду

Приложение гипотезы Кирхгофа

^ = ^ ^ = ^ 6yz = 0,

дает

w(х,у,z) = Wo(х,у,0) = w, ы(хy,z) = ы0 -

х, у)

z, v(х, у, z) = Vo -

дWo( х, у)

(5)

(6) (7)

дх " ду

Здесь -к /2< z < к /2; к - толщина пластины; ы0 = ы (х, у), v0 = v( х, у) - мембранные смещения срединного слоя пластины (при z = 0); w = w0( х, у) - функция прогиба. Подставив (7) в первые три уравнения (5), получим:

6 =^z +1 (8)

хх дх дх2 2 \ дх )

дv0 д2 w0 1 (

6 =-0---0 7 +--

6уу ду ду2 Z + 2Ч

ду

2

(9)

8 ху =

ди0 1 ду0 _ 2

д 2 w,

0 г+ дwo дwo

ду дх дхду дх ду Распределение температуры по толщине зададим линейным:

Т(х,у,г) = Тс + ТАг , _А/2<г<А/2.

Здесь функции

Тс = [Т (х, у, А/2) + Т (х, у, _А/2)]/2, ТА = [Т (х, у, А/2) _ Т(х, у, _А/2)] / А

(10)

(11)

(12)

зависят от приращений температуры, заданные на лицевых поверхностях пластины.

Внутренние силовые факторы, представляющие собой мембранные усилия Ых = Ых (х, у), Му = Му (х, у) и Бу = Бу (х, у), изгибающие Мх = Мх (х, у), Ыу = Му (х, у) и крутящий момент Н^ = И ух (х, у), вычисляются интегрированием по толщине А уравнений (2):

М=А^£

^ +1М _ а1Тс дх 21 Зх I

+ £

12

^0 + 1 Зу 2

Г Зw ^

Зу

_ а2Тс

(13)

Му = а ^ £12

ди0 1 г зw ^

—- + 4 -i _а1Тс

зх 2i зх I

+ £

Зу0 1

Г Зw Л

Бху = Г12А

Зу 2 У Зу I

^Зи0 + Зи0 + дw дwЛ ду ду дх ду

_а 2Тс

М А3

Мх =--

х 12

££1

дх 2

Л

+ а1ТА

+ £

Гд2 w

12

ду

2 +а 2ТА

(14)

(15)

(16)

Му =--

у 12

12

дх 2

+ а1ТА

+ £

Гд 2 w

ду

2 +а 2ТА

Н = Н =_ — г

Нху = Нух = 6 Г12 дх ду •

Здесь Ых = Ых (х, у), Иу = Иу (х у), ..., Мх = Мх (х, у)... - функции координат.

(17)

(18)

2. Уравнение неразрывности срединной поверхности

Уравнения неразрывности срединной поверхности пластины формулируется как для плоской задачи теории упругости [16] из уравнений (8)-(10):

З 8 ху З28х З 8 у = З2w0 З2w0

дхду ду2 дх2 _ дх2 Зу2

Гд2Wo ^

дхду

(19)

устранением мембранных смещений и0 = и(х,у), У0 = у(х,у).

Воспользуемся "методой" из [6], в которой рассматривается вывод уравнения неразрывности для изотропной пластины. В левой части (19) деформации выразим через внутренние мембранные силовые факторы (13)-(15). Для этого соотношения (13) и (14) сложим, а затем вычтем друг из друга. Это даст

21

А£2 У12

(N. Му) =£-2(£ I _аТс,

(20)

(N-у21 М) = ^ -1

у 21 х дх 2

( дw ^

ду

-а2%с .

(21)

М^ 21

Продифференцируем уравнение (20) дважды по координате х, а (21) продифференцируем дважды по координате у, - затем сложим. Из полученного выражения вычтем уравнение (15), продифференцированное по координатам х, у . Получаем уравнение неразрывности срединной поверхности относительно трех неизвестных функций Мх (х, у), Ыу (х, у), Бху (х, у):

21

НЕ2^2 ду'

-(М -у12Му ) +

12

НЕ1у 21 дх'

-(N -V2Мх) -

1 д25

ху

( д2w У

И012 дх ду

дх ду

д 2 w д 2 ^

д 2Т

д 2Т

дх2 ду

2 -а1

ду

2 -а2

дх

2

(22)

Введем в (22) функцию Эри ф = ф( х, у) [18]:

2

д2Ф М = и д'ф

у

Л ду2 ' ' дх2

получим искомое уравнение неразрывности деформаций для гибкой ортотропной пластины с температурной добавкой, относительно неизвестной функции ф(х, у) :

2

=-Л-д2Ф ,

дхду

(23)

'21

д4 ф ( 1

21

12

Vl2Е2 ду4 ^ Оп Е2 Ех )дх2ду2 Ер21 дх

д 4ф

12

д 4 ф

( д2w ^

дх ду

д 2 w д 2 ^ дх2 ду2

-а

д 2ТС

1 ду2

-а

д % 2 дх2

(24)

Для изотропной пластины, приняв Е1 = Е2 = Е , v12 = v21 =v и G12 = Е / 2(1 + V), получаем:

^4

4,Л

д ф „ д ф д ф

+ 2—+

ду4

дх2ду2

дх4

дх ду

д 2 w д 2 w дх 2 ду 2

-а

д % 1 ду2

-а

д % 2 дх2

(25)

где в круглых скобках левой части содержится двойной лапласиан над функцией напряжений

V 2У 2 ф( х, у).

3. Уравнения равновесия для сочетание изгиба с растяжением или сжатием С. П. Тимошенко

Здесь различают два возможных случая распределения напряжений в пластинке [11]:

1) растягивающие напряжения малы (по сравнению с критическими напряжениями), и можно, пренебрегая их влиянием на изгиб пластинки, допустить, что общее напряжение получается с достаточной точностью, если накладывать напряжения, вызванные растяжением срединной плоскости, на изгибные напряжения, произведенные поперечной нагрузкой;

2) напряжения в срединной плоскости не малы и следует рассмотреть их влияние на изгиб пластинки.

Для составления уравнений равновесия элемента от мембранных сил (с целью согласования направлений и знаков), воспользуемся рис. 2. От мембранных сил, напряжения по толщине Н распределяется равномерно, уравнения равновесия записывается без учета искривления поверхности, как для плоского напряженного состояния:

дМх д^у

+ -Т1 + Ях (х, у) = 0,

дх ду

(26)

dSxy dNv

qy (x, y) = о.

дх ду

Здесь Ях (х, у) и яу (х, у) силы в базисной плоскости.

Функция Эри (23) удовлетворяет уравнениям (26), (27) при Ях = 0 и ду = 0 .

(27)

Nx + -dNxdx

dS

Sxy +-- dx

xy dx

dNy Nv dy y dy

dS.„ Syx + ^—dy yx dy

Рис. 2. Бесконечно малый элемент с приложенными мембранными усилиями Fig. 2. An infinitesimal element with applied membrane loads

Действующие на элемент пластинки изгибающие силовые факторы рассмотрим на рис. 3. Для понимания направлений действия сил и поворотов сечений изобразим возможный изогнутый вид на рис. 4. Составим уравнение равновесия внутренних сил бесконечно-малого элемента пластинки на ось z :

dxdy + -Q^dydx - Nxdy sin f—-1 + f Nx +—xLdx I dy sin dx dy ^ dx) ^ dx

f dw d2 w , Л

--1--— dx

dx dx2

- Nydx sin

f dw Л f

dy

dN

Л

N' + dy

dy

(

dx sin

dw d 2 w

dy + dy2

dy

- Syxdy sin

f dw Л f

dy

dS

Syx +—— dx

,yx dx у

/

Л f^... ^2... Л

dy sin

dw d w ,

--1--dx

dy dydx

+ qzdxdy = 0 .

(28)

Линеаризуем это уравнение, заменив синусы углов их углами; приведем подобные и отбросим бесконечно малые слагаемые более высокого порядка малости. Тогда для любого внутреннего элемента dхdу:

dQx , dQ

лг д2w dNx dw лг д2w dNy dw „„ д2w dSxy dw dS dw n Nx —- + —-— + Ny —- + —-— + 2S„,-+--— + —---+ qz = 0 .(29)

дх ду х дх2 дх дх у ду2 ду ду ху дхду ду дх дх ду Добавим сумму моментов всех сил, действующих вокруг оси у и вокруг оси х:

дМ дН дМу дН

& =М+-ух, & . (30)

дх ду ду дх

Учтем закон парности касательных напряжений, дающий: Нху = Нух и £ = £ . Подставив

(30) в (29), получаем:

d 2MX dx 2

d^Hy d 2My

1 xy ' y '-Nx

dxdy dy

2

d 2 w dx2

N

+2S

Уд. 2 xy

dy 2

d 2w dxdy

+qz = о.

(31)

Mx i-x dx

дx

Qx

Hyx Q

Xy

_ Л f

4z(x, y)

дН

Hx i—yLdy

дН

Hxy i--dx

xy дx

Qx i—dx дx

дMv My i-y dy

y дy '

yx дy

дy

Q ^Qy , Qy +-гу dy

Рис. 3. Бесконечно-малый элемент базисной поверхности пластинки Fig. 3. An infinitesimal element of the basal surface of the plate

Dw д w

Dx Dx

дv dvdx

— i-dy

Dx DyDx

dw d w

— i-dy

Dx DxDy

Рис. 4. Изогнутая поверхность пластинки: приведены углы поворота и приращения углов поворота по направлению осей x и y

Fig. 4. The curved surface of the record: the angles of rotation are given and increments of rotation angles in the direction of the axes x and y

Отметим, что уравнения (26), (27), (31) получены без учета физических уравнений (в частности, закона Гука). В [7] отмечается, что уравнение (31) было получено Сен-Венаном (1883 г.).

Подставив физические соотношения (16)-(18) в (31), - получаем уравнение Б. Сен-Венана для пластины из ортотропного материала:

D2Th

h3 Г д 4 w д 4 w д 4 w

TZ7,-ri E1 —Г i E2 Т-Г i [E1V21 i E2V12 i 4G12 (1 - V12V21)] 2 W 2 i E1 («1 i '«2V21 >V2" i

12(1 -v12v21) I dx4 Dy Dx2Dy2 Dx2

iE2(a1V12 ia2)

д 2Th dy 2

d2 w d2 w d2 w

= -q - N H? - Nv I? - 2S" •

(32)

с температурным воздействием.

4. Классификация тонких пластин П. Ф. Папковичем в связи с методикой их расчета [6]

Подставив в (32) функцию напряжений (23), получаем

d w ^ d w

d 4 w

d2Th

12(1 -v12v21) I dx dy

w W v; W г и L/ W 1 г.

E1~TT i E2 —- i [E1V21 i E2V12 i 4G12(1 - V12V 21)] 2 i E1(«1 i a2V21^"Tf +

d 2T

iE2(a1V12 ia2)^rT

dy

dx dy

д2ф d2w д2ф d2w д2ф d2w '-2-

dx2

dy2 dx2 dx2 dy2 dxdy dxdy

Уравнения равновесия (26) и (27) учитывать нет необходимости.

Уравнение (33) и уравнение неразрывности (24) представляют систему дифференциальных уравнений в частных производных, полученную Т. Карманом. Классической (элементарной) теорией жестких пластин называется модель расчета, сводящаяся к интегрированию лишь одного уравнения равновесия (32).

Теория, предложенная Сен-Венаном предполагает, что пластины тонкие и поперечная нагрузка настолько мала, что и прогибы малы. Тогда в правой части (24) производные функции прогибов малы и ими можно пренебречь:

0!ф

E ôy4

f

l

V G12

- 2 —21

Л

ô 4Ф

J2 У

ôx2ôy 2

1 ô 4Ф

--T =

E2 ôx4 1

ô T

ôy

2 -a2

ô2Tl

ôx2

(34)

Функция напряжений может быть определена из этого уравнения и граничных условий независимо от функции прогиба. Затем предполагается решение краевой задачи для (33) с известными ф = ф( х, у).

В случае, предварительного растяжения пластины функция ф на контуре может быть вычислена применением «рамной аналогии» [16]. Пусть на отделенный от полотна контур пластины, действуют нормальные суН и касательные хуН составляющие сил натяжения (рис. 5), создающие в контуре изгибающий момент М = ф (рис. 5, а) и продольную силу N = ёф/ ^^ (рис. 5, б). Например, если на раму (рис. 1), действуют растягивающие силы: Nх = охН, при х = 0и х = Ьх и Ny = стуН, при у = 0 и у = Ьу , тогда функция ф и ее производная могут быть определены построением эпюр внутренних сил в раме (рис. 5, б и 5, в).

M =ф

a б

Рис. 5. Контур прямоугольной пластины: а - элемент контура s с внешней нормалью v , в котором возникает изгибающий момент M ; б - элемент конура S и продольная сила N ; в - функция ф на контуре; г - производная функции ф по нормали v

Fig. 5. The contour of a rectangular plate: a - a contour element with an external normal v , in which a bending moment occurs M ; b - kennel element s and longitudinal force N ; c) a function ф on a contour; d - the derivative ф of the function with respect to the normal v

5. Конечно-разностная постановка

Континуум пластины заменим дискретной областью. Дифференциальные соотношения заменим конечно-разностными аналогами.

Применим центральные разности [20]. Выберем на области пластинки прямоугольную равномерную сетку =|(xi = ¡Хх, = ]Ху), , = 0,1,...,т, } = 0,1,...,п| на отрезках [0,1Х] и [0,1у].

Здесь х = хI и у = у у - узлы сетки; X х = 1х / т и X = 1у / п - шаг сетки, а 1х и 1у - размеры пластинки по направлениям осей координат х и у .

Конечно-разностный аналог уравнения (33) получается таким:

+ Ь( WJ,+1 + М'}г_1) + Л(М>} + 11 + WJ _И ) + е( WJ+11+1 + WJ _1|_1) + ё(М>] + 1|_1 + WУ_1i+1) +

+с(Ф},+ 2 + Ф},_2) + /(Ф} + 2, + Ф}_2,) = + кТ}1 _ 1 (Т}1+1 + Т}1_1) _ т(Т}+1, + Т}_1,) , (35) в котором коэффициенты вычисляются по следующим формулам:

Г, ,3,,™ ч 6 ВЕ2 6 ВЕХ 4 2 Их 2 Му

X X XX X X

у х ху х у

Ь = 4ВКХ 2РГп + Л = 42РГц + Му е = , 2Б*у

Xх X2X2 ^ XУ x2x2 XУ ^у 4XхXу

е = РГ* _^ / = с = (36)

е -2,2 ,, , , / ,4 , с ,4 . (36)

^Лу 4X хX у Xy Ч

к = —-^(а1 + У21а2) + 2 (а2 + У12а1) , 1 =—21(а1 +У2^2^ т +У12а1).

Xx X у Xx X у

Конечно-разностный аналог уравнения (24) имеет вид:

а Фу, + Ь(Ф},+1 + Ф},_1) + Л(фу+1г- + фу_ц) + с(Фл+2 + Ф},_2) + /(Ф} + 2, + Ф}_2,) + +е(Ф} + 1,+1 + Ф} _1,_1 + Ф} + 1,_1 + Ф} _1,+1) =

= , Л. 2 Г}+1 + } _1 + W.2_1,'_1 + +1 + 2(_WJ + 1,+^}+1,_1 + WJ+1,+ _1,_1 _

^^ у

_WJ + 1,+1WJ_1,+1 _ WJ+1,_1WJ_1,_1 + WJ+1,_1WJ_1,+1 _ WJ_1,_1 WJ_1,+ 1)] + (37)

■—[2WJ,(_ WJ,+l _ WJ+l, _ WJ_1, _ WJ,_1) + 4м>2}1 + WJ,+1WJ+1, + ^,+1^._1, + WJ,_1WJ+1, + WJ+1,WJ_1,1 +

XxXy

+ТР

2а1 2а

Л

X2 X2

У у х

а 2 (Т}+1, + Т}_1,) . 2 (Т},+1 + Т},_1),

x у x х

в котором коэффициенты вычисляются по следующим формулам:

а =

6 а! 6 а2 8 а3 4 а2 4 а3 4 аЛ 4 а3 а аЛ 2 а3

_1 +--2 +--^ Ь =--±___£_ л =--;___£_ с =_^ / =_е =_— •

14 л 2л 2 ' ,4 л 2л 2 ' л 4 ' ^ 14' 1^2'

X у ^ X хX у Xx XxX у ^ X хX у '^х X у X хX у

а1 = 1/£1, а2 = 1/£2, 2а3 = 1/^2 _ 2у21/£2 = 1/^ _ 2УЦ /£1. (38)

6. Расчеты

Размеры пластинки 1х = 1 м, I = 0,8 м; толщина к = 2 •10"3 м. Модули упругости: Е1 = 9,52 ГПа ; Е2 = 71,4 ГПа ; модуль сдвига G12 = 5,49ГПа . Коэффициенты Пуассона: у12 = 0,02 ; V21 = 0,15 ( у21 = у12Е2 / Е1). Модуль упругости Е1 ориентирован по длинной стороне пластины, а модуль упругости Е2 ориентирован по короткой стороне пластины. При такой

ориентации волокон ортотропная пластина наиболее жесткая [21].

Коэффициенты линейного температурного растяжения данного ортотропного материала ах = 14 • 10 51 / К (Кельвин), а2 = 0 .

Для расчетов применялась система аналитических вычислений [22].

6.1. Решение по уравнению Сен-Венана

Полагаем, что силы предварительного натяжения известны и их можно считать постоянными в области пластинки и на контуре. Уравнения (26), (27) удовлетворяются. В уравнении Сен-Венана (32) усилия Ых, , 5 перенесем в левую часть:

12(1

Е!

а4 w

д 4 w

ах

4 ' Е2^-4

д 4 w

_ 4 + + E2V12 + 4°12 (1 " ^^ОК 2 ^ 2

ду дх ду

+N

дх2

-К

д 2 ^ у ду2

■25.

ху

д 2 ^ дхду

12(1 "V12V 21)

д2Т д 2Т

Е1(а1 + а2V21) Г + Е2(а^12 + а2) к

дх

дУ

2

Теперь продольные силы являются известными параметрами при вторых производных функции прогиба и входят в левую часть системы уравнений. Поперечная нагрузка и температурные слагаемые представляют правую часть системы уравнений. Таким образом, имеем линейную задачу относительно прогиба.

6.1.1. Действие сосредоточенной силы

Пусть Шх = 0, Ыу = 0 , 5 = 0, Тк = 0 . В центре пластины приложим сосредоточенную силы Р = 1000 Н . Заменим д2 = Р / (хёу). На рис. 6 приведем эпюру прогибов и эпюры внутренних силовых факторов. Моменты вычислены по формулам (16)-(18). Максимальный прогиб в центре под силой (рис. 6, а) равен 0,44785 м. Максимальный изгибающий момент Мх = 200 Н • м/м (рис. 6, б). Максимальный изгибающий момент М = 700 Н • м/м (рис. 6, б).

Мембранные силы вычисляются по формулам (13)—(15), однако без учета продольных смещений:

\ 2

N=к IЕ

1 {—Т -а1Тв 21 дх ) 1 с

+ Е

12

Г дw ^

ду

"а 2Тс

Ку = к IЕХ2

1 Гд^

21"дх

"а1Тс

+ Е0

Г дw V

ду

"а 2Тс

5ху =

Гдw дw^ дх ду

Эти формулы дают, что максимальное значение продольная сила Кх приобретает в области пластины возле сосредоточенной силы Р в направлении модуля Ех (рис. 6 г) Кх = 12 МН/м, а продольная сила Nу приобретает максимума на контуре у длинных сторон - Ыу = 160 МН/м (рис. 6, д). Эпюра сдвигающих сил приведена на рис. 6 е. Силы получились значительными,

зависят от нелинейных добавок:

: Ек1 ^ Т, Е к1

1 2 ^ дх ) 2 2

ду

Сгущение конечно-разностной сетки в (35), (37) не изменяет порядок мембранных сил.

6.1.2. учет температуры (рис. 7)

Зададим закон распределения температуры по области пластины в виде Гь (х, у) = -140 0С + (х / Хх)380 0С . Расчеты выполним, задавая температуру в Кельвинах Гь (х,у) = 30К + (х / Ьх)ъ350К . График распределения температуры покажем на рис. 7, а. На рис. 7, б—е представлены эпюра прогибов и эпюры внутренних силовых факторов. Сравнивая эти эпюры с эпюрами, полученными от действия сосредоточенной силы, видим, что в данной гибкой пластинке при малой ее толщине эффект температурного воздействия незначителен.

6.1.3. Действие от сосредоточенной силы, температуры и предварительного растяжения

Расчет тонкой пластинки на действие сосредоточенной силы показал, что получаемые продольные силы настолько велики, что напряжения на два-три порядка превышают напряжения, допускаемые для рассматриваемого ортотропного материала. Как отмечалось в п. 6.1.1, влияют квадраты углов поворота срединного слоя пластинки, то есть квадраты первых производных функции прогиба. Чтобы уменьшить этот эффект можно предварительно растянуть пластину. Тем самым, прогиб должен уменьшиться, изгибаемая поверхность будет более монотонной, что должно повлечь уменьшение напряжений.

г д е

Рис. 6. Эпюры в пластине от сосредоточенной силы P = 1000 Н: а - прогиб (максимальный прогиб 0,44785 м.); б - изгибающий момент Мх; в - изгибающий момент Му; г - продольная сила Nx; д - продольная сила Nx; е - сдвигающая сила S

Fig. 6. Diagrams in the plate from the concentrated force P = 1000 N: a - deflection (maximum deflection 0,44785 m.); b - bending moment Мх; c - bending moment My; d - longitudinal force Nx; e - longitudinal force Nx; e - shear force S

Добавим предварительное натяжение силой Ыу(х,у) = 1000 Н/м (рис. 8). Получили уменьшение прогиба от значения 0,44785 м - без учета преднапряжения, до 0,257944 м. - с учетом предварительного растяжения. Результаты занесем в таблицу (строки 2 и 3). Изгибающие моменты и продольные силы уменьшились (рис. 8, б - 8, е).

Если одновременно задать растяжения силами Ых(х,у) = 1000 Н/м и Ыу(х,у) = 1000 Н/м,

тогда: - максимальный прогиб составит 0,1864 м; - изгибающий момент Мх = 150 Н • м/м , -изгибающий момент Му = 550 Н• м/м. (Теоретически можно одновременно растягивать пластину по двум направлениям, однако, практически это трудно реализуется).

Еще раз следует отметить, что, при преднапряжении равном 1 кН/м, в окрестности сосредоточенной силы (Р = 1000 Н), продольные внутренние силы достигают значений порядка 4000 кН/м. Объяснить это можно наличием большой кривизны базисной поверхности, учиты-

1 (дт V \( дт

ваемой нелинейными деформациями —I — I , — — . Сгущение конечно-разностной сетки

2 ^ дх ) 2 ^ ду )

этот эффект не уменьшило. Видимо, к уравнению Сен-Венана следует добавить еще два уравнение равновесия (26) и (27), с целью вычисления мембранных смещений и0(х,у),

/ ч гх, , , ду0 1 (дт

у0(х,у). Тогда деформации будут вычисляться по следующим формулам:--ь — —

ду 2 ^ ду

ди0 ь 11 дт 4 2 дх 2 ^ дх

Одновременное действие сил Р = 1000 Н, Ых = 1000 Н/м дает прогиб 0,27 м (строка 4, таблицы), - однако, не уменьшает прогиб. Увеличение на порядок продольной составляющей Ыу = 10000 Н/м, уменьшает прогиб в три раза (строка 5 таблицы), однако напряжения не удовлетворяют прочности. Кроме этого, какова бы ни была поперечная нагрузка, при достаточно больших значениях величины продольной растягивающей силы, расчет сводится к расчету мембраны.

1 Изменение прогиба и внутренних силовых факторов тах Мх Му Ых ыу ^у

м Н • м/м Н • м/м Н/м Н/м Н/м

2 Р = 1000 Н, Ых = 0, Ыу = 0 0,448 200 700 12-106 160-106 6-106

3 Р = 1000 Н, Ыу = 1000 Н/м 0,25 180 600 6-106 40-106 2-106

4 Р = 1000 Н, Ых = 1000 Н/м 0,27 160 600 4-106 50-106 2-106

5 Р = 1000 Н, Ыу = 10000 Н/м 0,0803 140 400 3-106 0,4 -106 1-106

6.2. Расчет с помощью уравнений Кармана

Выпишем уравнения (24) и (33); применим итерационный метод решения системы уравнений.

Вариант 1. На первой итерации в уравнении (24) примем х, у) = 0 (возможно любое приближение). Решаем плоскую задачу теории упругости. Найденные функции напряжений подставляем в уравнение (33) и решаем задачу об изгибе пластинки. Полученные прогибы х, у) вновь подставляем в правую часть уравнения (24). Итерационную процедуру повторяем.

После первой итерации проверка решения показала выполнение уравнений неразрывности деформаций У2У2 ф = 0 во всех узлах конечно-разностной сетки. Прогиб (рис. 9), естественно, равнялся линейному значению 0,257955 м (см. строку 3 таблицы и рис. 9, а). Тогда как на последующих итерациях невязки увеличивались. Решения нельзя считать верными.

Рис. 7. Эпюры в пластине от воздействия температуры:

а - эпюра приращения температуры (в Кельвинах) ATh = Th (x / Lx)3 ; б - прогиб (максимальный

прогиб 0,000029 м); в - изгибающий момент Мх; г - изгибающий момент Му; д - продольная сила Nx; е - продольная сила Ny

Fig. 7. Diagrams in the plate from the effect of temperature:

a - diagram of the temperature increment (in Kelvin) ATh = Th (x / Lx)3 ; b - deflection (maximum

deflection 0,000029 m); c - bending moment Мх; d- bending moment My; e - longitudinal force Nx;

e - longitudinal force Ny

Вариант 2. Если начать расчет с уравнения равновесия (33), приняв в его правой части ф( х, у) = 0, тогда мембранные силы равны нулю. Имеем модель жесткого изгиба пластины; прогиб равен 0,44784 м. (строка 2 таблицы для Р = 1000 Н, Ых = 0, Ыу = 0). Найденная функция прогиба подставляется в уравнение (24) - получаем решение ф(х, у). Эпюру вычисленных мембранных сил Ыу = 1000 Н/м по функциям напряжений приведем на рис. 9, б.

Следующая итерация в этом варианте расчета, по существу есть переход к варианту 1.

Отсутствие сходимости решений, вероятно, можно объяснить, что в уравнении равновесия (33) матрица жесткости имеет порядок 106 , а уравнение неразрывности (24) содержит коэффициенты порядка 10~6 - система уравнений становится плохообусловленной. Задача нелинейная, поэтому для обеспечения сходимости следует применять приращение по нагрузке. Тогда невязка / уравнений неразрывности / = У2У2ф уменьшаются.

«Аппарат теории Кармана относительно весьма сложен. Сложностью и громоздкостью числовых выкладок, связанных с решением уравнений (24), (33), объясняется относительно небольшое число доведенных до числового конца решений в области теории этих пластин» [6].

В. В. Новожилов относит формулы Кармана к промежуточному случаю между классической теорией слабоизогнутых пластин и сильным изгибом пластин [8].

column column column

г д е

Рис. 8. Эпюры в пластине от действия сосредоточенной силы, температуры и предварительно растягивающей силы Ny = 1000:

а - эпюра приращения температуры (в Кельвинах) ATh = Th (x / Lx)3 ; б - прогиб (максимальный прогиб 0.000029 м); в - изгибающий момент Мх; г - изгибающий момент Му; д - продольная сила Nx;

е - продольная сила Ny

Fig. 8. Diagrams in the plate from the action of concentrated force, temperature and pre-tensile force Ny = 1000: a - temperature increment diagram (in Kelvin) ATh = Th(x / Lx)3 ; b - deflection (maximum deflection 0,000029 m); c - bending moment Мх; d - bending moment My; e - longitudinal force Nx; f- longitudinal force Ny

column

а б

Рис. 9. Эпюры, полученные решением уравнений Кармана: а - эпюра прогиба; б - эпюра мембранной силы Ny

Fig. 9. Diagrams obtained by solving Karman's equations: a - deflection diagram; b - membrane force diagram Ny

Заключение

Расчет тонкой пластинки на действие сосредоточенной силы показал, что получаемые продольные силы, зависящие от квадратов первых производных функции прогиба настолько велики, что напряжения на два-три порядка превышают напряжения, допускаемые для рассматриваемого ортотропного материала.

При одновременном действии поперечной силы и растягивающей поверхность нагрузки прогиб уменьшился на 80%. Изгибаемая поверхность становится более монотонной, это повлекло к уменьшению максимальных изгибающих моментов на 11 и 14 %, соответственно, поперек и вдоль армирующих волокон композита, а продольные силы уменьшились в 2 и 4 раза.

Сравнение расчетов, полученными от действия сосредоточенной силы и изменения температуры показало, что в данной гибкой пластинке малой толщины, эффект температурного воздействия незначителен.

Аппарат теории Кармана относительно весьма сложен в численной реализации. Простой итерационный процесс решения системы уравнений в смешанной форме не привел к сходимости прогибов и функции напряжений. Смешанная модель в напряжениях и перемещениях требует дополнительных исследований сходимости, например, применения методов релаксаций.

Модель деформирования Сен-Венана, как модель гибкой пластины регламентированного прогиба, позволяет решать задачи обеспечения жесткости и прочности продольно-поперечного изгиба ортотропных пластин используемых в технике.

Библиографические ссылки

1. Morozov E. V., Lopatin A. V. Analysis and design of the flexible composite membrane stretched on the spacecraft solar array frame // Composite Structures 94 (2012), 3106-3114.

2. Лопатин А. В., Шумкова Л. В., Гантовник В. Б. Нелинейная деформация ортотропной мембраны, растянутой на жесткой раме солнечного элемента. В: Протокол 49-й конференции AIAA / ASME / ASCE / AHS / ASC, структурной динамики и материалов, 16-й конференции AIAA / ASME / AHS по адаптивным структурам. 10t, Schaumburg, IL: AIAA-2008-2302; 7-10 апреля 2008 г.

3. URL: https://fireman.club/statyi-polzovateley/drony-kvadrokoptery-primenenie.

4. Композиционные материалы : справочник / В. В. Васильев, В. Д. Протасов, В. В. Болотин и др. М. : Машиностроение, 1990. 512 с.

5. Лукасевич С. Локальные нагрузки в пластинах и оболочках. М. : Мир, 1982. 544 с.

6. Папкович П. Ф. Строительная механика корабля. Часть II. Сложный изгиб, устойчивость стержней и устойчивость пластин. Л. : Судпромгиз, 1941. 960 с.

7. Папкович П. Ф. Строительная механика корабля. Часть 1. Том 1. М. : Морской транспорт, 1945.618 с.

8. Новожилов В. В. Основы нелинейной теории упругости. Л.-М. : Гостехиздат, 1948. 212 с.

9. Тимошенко С. П. Теория упругости. Л.-М. : ОНТИ, 1937. 451 с.

10. Тимошенко С. П., Гудьер Дж. Теория упругости. М. : Наука, 1975. 576 с.

11. Тимошенко С. П. Устойчивость упругих систем. М.-Л. : Гостехиздат, 1946. С. 532.

12. Ляв А. Математическая теория упругости. М. : ОНТИ, 1935.

13. Вольмир А. С. Гибкие пластинки и оболочки. М. : Гостехиздат, 1956. 419 с.

14. Ильюшин А. А., Ленский В. С. Сопротивление материалов. М. : Физматгиз, 1959. 372 с.

15. Каудерер Г. Нелинейная механика. М. : Изд-во иностранной литературы. 1961. 778 с.

16. Лейбензон Л. С. Курс теории упругости. М.-Л. : ОГИЗ, 1947. 465 с.

17. Лукаш П. А. Основы нелинейной строительной механики. М. : Стройиздат, 1978. 204 с.

18. Мусхелишвили Н. И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. Издательство академии наук СССР, М., 1954. 648 с.

19. Лехницкий С. Г. Теория упругости анизотропного тела. М. : Наука, 1977. 416 с.

20. Самарский А. А. Теория разностных схем. М. : Наука, 1977. 656 с.

21. Сабиров Р. А. Сложный изгиб ортотропной пластины // Сибирский журнал науки и технологий. 2020. Т. 21, № 4. С. 499-513. Doi: 10.31772/2587-6066-2020-21-4-499-513.

22. Говорухин В., Цыбулин В. Компьютер в математическом исследовании : учебный курс. СПб. : Питер, 2001. 624 с.

References

1. Morozov E. V., Lopatin A. V. Analysis and design of the flexible composite membrane stretched on the spacecraft solar array frame // Composite Structures 94 (2012), 3106-3114.

2. Lopatin A. V., Shumkova L. V., Gantovnik V. B. Nelinejnaya deformaciya ortotropnoj membrany, rastyanutoj na zhestkoj rame solnechnogo elementa. V: Protokol 49-j konferencii AIAA / ASME / ASCE / AHS / ASC, strukturnoj dinamiki i materialov, 16-j konferencii AIAA / ASME / AHS po adaptivnym strukturam. 10t, Schaumburg, IL: AIAA-2008-2302; 7-10 aprelya 2008 p.

3. URL: https://fireman.club/statyi-polzovateley/drony-kvadrokoptery-primenenie.

4. Kompozicionnye materialy : Spravochnik / V. V. Vasil'ev, V. D. Protasov, V. V. Bolotin i dr. ; M. : Mashinostroenie, 1990. 512 p.

5. Lukasevich S. Lokal'nye nagruzki v plastinah i obolochkah. Moskva : Mir, 1982. 544 p.

6. Papkovich P. F. Stroitel'naya mekhanika korablya. Chast' II. Slozhnyj izgib, ustojchivost' sterzhnej i ustojchivost' plastin. Leningrad, Sudpromgiz 1941. 960 p.

7. Papkovich P. F. Stroitel'naya mekhanika korablya. Chast' 1. Tom 1. Moskva, Izd. Morskoj transport. 1945. 618 p.

8. Novozhilov V. V. Osnovy nelinejnoj teorii uprugosti. L.-M. :. Gostekhizdat, 1948. 212 p.

9. Timoshenko S. P. Ustojchivost' uprugih sistem. Moskva-Leningrad: Gostekhizdat, 1946, 532 p.

10. Timoshenko S. P., Yung D., Inzhenernaya mekhanika. Moskva : Mashgiz, 1960. 508 p.

11. Timoshenko S. P. Ustojchivost' uprugix sistem. M.-L. : Gostexizdat, 1946, p. 532.

12. Lyav A. Matematicheskaya teoriya uprugosti. Moskva, ONTI. 1935.

13. Vol'mir A. S. Gibkie plastinki i obolochki. Moskva : Gostekhizdat, 1956. 419 p.

14. Il'yushin A. A., Lenskij V.S. Soprotivlenie materialov. Moskva: Fizmatgiz, 1959. 372 p.

15. Kauderer G. Nelinejnaya mekhanika. Moskva : Izd-vo inostrannoj literatury. 1961. 778 p.

16. Lejbenzon L. S. Kurs teorii uprugosti. Moskva - Leningrad, OGIZ. 1947. 465 p.

17. Lukash P. A. Osnovy nelinejnoj stroitel'noj mekhaniki. Moskva, Strojizdat, 1978. 204 p.

18. Muskhelishvili N. I. Some main problems of the mathematical theory of elasticity. Publishing House of the USSR Academy of Sciences, M.: 1954. 648 p.

19. Lekhnickij S. G. Teoriya uprugosti anizotropnogo tela. Moskva : Nauka, 1977. 416 p.

20. Samarskij A. A. Teoriya raznostnyh skhem. - Moskva: Nauka, 1977. 656 p.

21. Sabirov R. A. Compound bending of an orthotopic plate. Siberian Journal of Science and Technology. 2020, Vol. 21, No. 4, P. 499-513. Doi: 10.31772/2587-6066-2020-21-4-499-513.

22. Govoruhin V., Cybulin V. Komp'yuter v matematicheskom issledovanii. Uchebnyj kurs. SPb. : Piter, 2001. 624 p.

(g) Сабиров P. A., 2023

Сабиров Рашид Альтавович - кандидат технических наук, доцент кафедры технический механики; Сибирский государственный университет науки и технологий имени академика М. Ф. Решетнева. E-mail: rashidsab@mail.ru.

Sabirov Rashid Altavovich - Cand. Sc., Associate Professor; Reshetnev Siberian State University of Science and Technology. E-mail: rashidsab@mail.ru.