ИЗГИБ ОРТОТРОПНЫХ ПЛАСТИН С УЧЕТОМ БИМОМЕНТОВ Текст научной статьи по специальности «Физика»

doi: 10.5862/MCE.53.8

Изгиб ортотропных пластин с учетом бимоментов

К.ф.-м.н., старший научный сотрудник М.К. Усаров,

Институт механики и сейсмостойкости сооружений Академии Наук Республики Узбекистан

Аннотация. Статья посвящена усовершенствованию теории пластин с целью учета сил, моментов и бимоментов, порождаемых за счет нелинейного закона распределения перемещений в поперечном сечении пластины. Приведены интегральные соотношения для определения сил, моментов и бимоментов.

Разработанная бимоментная теория пластины описывается двумя несвязанными двумерными системами по девять в каждой системе уравнений. На каждом краю пластины в зависимости от вида закрепления задаются по девять граничных условий. Методика построения бимоментной теории основана на законе Гука, трехмерных уравнениях теории упругости и методе разложения перемещений в ряд Маклорена.

В качестве примера приведено решение задачи изгиба толстой ортотропной пластины под действием поперечной синусоидальной нагрузки. Получены численные результаты перемещений, сил, моментов, бимоментов и напряжений, сопровождаемые анализом.

Ключевые слова: закон Гука; ортотропность; теория упругости; трехмерная задача; толстая пластина; двумерная задача; сила; момент; бимомент; бимоментная теория

Изученность вопроса

Теория толстых пластин широко освещена в работах многих российских и зарубежных авторов. Подробный обзор литературы по данному направлению приведен в работах [1-4]. На современном этапе развития теории пластин динамическими задачами пластин с анизотропными свойствами занимаются авторы работ [5-8]. Задачами колебаний пластин занимались M.R. Karamooz Ravari, M.R. Forouzan [9], ими получены частотные уравнения ортотропной круговой кольцевой пластины для общих граничных условий в плоскости вибрации. В работе [10] рассматриваются решения переходных колебаний прямоугольной вязкоупругой ортотропной пластины для конкретных деформационных моделей по теориям Флюгге и Тимошенко - Миндлина. Статья [11] посвящена аналитическому решению проблемы вынужденных установившихся колебаний ортотропной пластины. Методом суперпозиции задача сводится к квазирегулярной бесконечной системе линейных уравнений. В [12] разрабатывается пространственный подход для трехмерного анализа прямоугольных ортотропных упругих пластин, подвергнутых внешним нагрузкам на верхней и нижней гранях. В. Бирман [13] разработал теорию более высокого порядка для толстой многослойной ламинированной композитной плиты, подчеркивая роль нормальных и поперечных деформаций сдвига. В [14] рассмотрена задача изгиба ортотропной прямоугольной пластины, лежащей на двупараметрическом упругом основании. Статья [15] посвящена нелинейной теории пластин.

Теоретические исследования В.З. Власова [16] показали, что при нарушении гипотезы плоских сечений, кроме растягивающих и перерезывающих сил, изгибающих и крутящих моментов, появляются еще дополнительные силовые факторы, так называемые бимоменты. Автором статей [17-20] решены задачи изгиба и колебаний толстых пластин на основе теории пластин, построенной в рамках трехмерной теории упругости, с помощью метода разложения перемещения по одной из пространственных координат в бесконечный ряд Маклорена.

В данной работе приводится методика построения теории пластин с учетом бимоментов, порождаемых за счет распределения перемещений точек поперечного сечения по нелинейному закону. Предлагаемая теория пластин, кроме растягивающих и перерезывающих сил, изгибающих и крутящих моментов, включает еще и бимоменты. При построении бимоментной теории учитываются все компоненты тензора напряжения и деформации: ст., е (/',_/' = 1,3). Компоненты вектора перемещения являются функциями трех пространственных координат: и , х2, г), и2 , , г), и3 , , z) . В работе приводятся определяющие соотношения сил, моментов, бимоментов и уравнения равновесия относительно этих силовых факторов.

Постановка и метод решения задачи

Рассмотрим ортотропную толстую пластину постоянной толщины Н — 2И и размерами а, Ь в плане. Введем обозначения: Е1, Е2, Е3 - модули упругости; G12, G13,02Ъ - модули

сдвига; у12,у1з>у2з~ коэффициенты Пуассона материала пластины. Пластину рассмотрим как трехмерное тело, материал которого подчиняется обобщенному закону Гука:

<у11= Е11811+Е12£22+Ехъеъъ, (1 .а)

(1.6)

<Т22 =Е21£и + Е22£22 + Е2 3£33,

СГ33 = ЕЪ1£х J + ЕЪ2£22 + Еъъ£ъъ,

<т12 = G12£12, а13 = G13£13, а23 = G23£23.

(1.в) (1.г)

Здесь:

ЕП = Е\8п> Е22 =Е2§2Ъ Е33 = Е3833' Е\2 = Е2\ = E\S\2 =Е\2§2\> Е\2 = Е2\ = Е1§12 = Е\2&2\' Е\3 = Е3\ = Е\ё\3 = Е3§3\' Е23 = Е32 = Е2§23 = Е3ё32 ■

_l~V23V32 _ l~V13V31 _ _l~Vl2V21

öll 1 2 ' Ä22 1 2 ' «22

I- JU

1 - JU

I-JU

2

812 .§21

^21 +^23

l-jil2

l-//2

8i3 83i

Пз+^'зг

^31+^23

l-//2

l-//2

.§23 .§32

^23 + *'l3V12

1-У

-^ ■ = ^12^21 + V23^32 + ПЗ^З! + 2V12V23V31

1-//

Введем декартову систему координат л^, и г . Ось оъ направим вертикально вниз.

Пусть по нижней г - И и верхней г — -И лицевым поверхностям пластины приложены распределенные поверхностные, нормальные и касательные нагрузки. Нормальные нагрузки в направлении оси ог обозначим с/3+\ . Касательные нагрузки, приложенные в направлении

ox1з ох2, обозначим qk

(к = 1,2) . Перемещения точек верхних г— —И и нижних

г = И волокон пластины обозначим и\ \ г/;(+), (/ =1,3).

Воспользуемся трехмерными уравнениями равновесия теории упругости:

дст„ | дсг12 | дст13 =Q

дхх

дх2 дх3

дсг12 дет

22

да

23

дхх дх2 дет,, <Э(

Зх,

5xj дх2 дх3

= 0,

■ = о .

(2 а) (2.б)

(2в)

Граничные условия на нижней г = И и верхней г = -И поверхностях пластины и имеют вид:

а33 = д{+\ а31 = д[+\ <у32 = д<2) при г-к, (З.а)

(З.б)

а

33

: q\ , а31 - q[ , <х,2 — q2 при z = -h.

23

33

Методика построения бимоментной теории пластин основана на обобщенном законе Гука (1), трехмерных уравнениях теории упругости (2), граничных условиях на лицевых поверхностях (3) и разложении перемещений в ряд Маклорена в виде:

п

г \2 г

уку

+ В™

г \3 г

\ку

+ ...+в!к)

г \ г

\ку

+, i = 1,2",

и3- А0 + А1 — + А, к

i_\2 f z^3 + А3

к

к

+ ...+ А

к

к

(4.а) (4.б)

+

Здесь В\к), Д - неизвестные функции двух пространственных координат — B^\xi,x2), 4- = А, (х,, х2 ) :

В{к) =-h'

( я/. Л

д'ы

V Л=о

, С = 1,2",

А = -И

f \

д'и

V ,==0

Предлагаемая бимоментная теория пластин описывается двумя несвязанными задачами, каждая из которых формулируется на основе девяти двумерных уравнений с соответствующими краевыми условиями.

Первая задача состоит из двух уравнений относительно продольных и тангенциальных усилий и четырех дополнительно построенных уравнений бимоментов относительно девяти неизвестных кинематических функций:

7/(+) - 7/М

W = 3 3

2

г =

2 h 1 ^

—- \u^zdz. у =—- \H-,z\h,

2h2 \ 3 Г 2h4 \ 3

-п -п

uk =

2

- 1

1

^ukdz, ßk = — Jukz2dz, (к = 1,2).

(5 а) (5.б)

-h

-h

Уравнения равновесия относительно продольных и тангенциальных усилий, действующих в плоскости пластины, получаются интегрированием двух первых уравнений теории упругости (2) по координате г:

dNu dN„ л

—1J- + —^ + 2ql = 0,

дх1 дх2

dN„ cW,, л -^ +-^ + 2q, = 0 ,

дхх дх2

(6.а) (6.б)

где N 1з N2, N22 - усилия, определяемые из соотношений

Nu= ¡audz = EuH^ + EnH^ + 2EuW ,

•> rix Hy

ду/2

-h h

N22 = \(T22dz = E12H-^ + E22H

dxi

ôxl ' dx2 ^ , i?

(IX-,

ri

Nl2 = N2l = $cr12dz = Gv

V

dxl dxl

y

(7.а) (7.б)

(7.в)

qk,{k —1,2), q3 - грузовые члены уравнения, которые определяются по формулам:

2

(7.г)

h

h

Как видим, в двух уравнениях (6) содержатся три неизвестные функции IV. Чтобы

дополнить систему, построим уравнения бимоментов. Сначала введем продольные и тангенциальные бимоменты ТТ22, Тп:

1 h

Ти=тт \truz2dz = H

5Д dß, „ 2W E11 ~ E12

1

Т22 = j^zVz = Н

dxx

dx-,

■ + Е,

H

J

E12 - ^ E22 ^ ^ E23

V

dx.

dxn

H

(8.а) (8.б)

1

712 = T21 = \(J12z2dz = H(},2

5x1 Qx^ j

(8.в)

Введем интенсивности поперечных бимоментов р13, р^3 и г13, г,,3 от касательных напряжений сг13, <х,3:

А-з =

1

2/г

п

\ak3zdz = Gk3

г дг 2{ик-у/к)л

-к

\dxk

H

, (Ar = 1,2) ,

rÄ-3 —

2/г4

п

jcrk3z3dz = Gk3

Гду , 2(йк-ЗРк)Л

\$xk

H

, (Ä: = 1,2) .

(9 а) (9.б)

Введем интенсивности нормальных бимоментов />33 и г33 от нормального напряжения ег3 в виде соотношений:

/>33 =

1 "Г , .. dh + E

дх, д2 дхп

2 h

п

|<т33dz=E31-

+ Е.

33

-h

2W_ H

hi

Г 2. г F ^Ёк F

G33Z az - £L3 J — h £L32 — h £L33 ■ J /iv riv

2h

3 J

-h

OX

дх,,

2Ж-4г ~H

(10.а) (10.б)

Уравнения относительно продольных бимоментов, действующих в плоскости пластины,

9

получаются из двух первых уравнений теории упругости (2). Умножив их на г , а после проинтегрировав их по координате г , получим:

дТи , дТХ2

дхх дх2

-Apl3 + 2qx = 0,

дТ,о 3ZU __ Л

-^ + -^-4p23 + 2q2=0 .

дхх дх2

(11а) (11.б)

Умножим третье уравнение теории упругости на г и проинтегрируем по координате г ,

3

затем умножим его на г и проинтегрируем по координате г , получим пятое и шестое уравнения в интенсивности поперечных бимоментов:

?13 , Ф2з 2Рз 3 , 2Ъ

5xj дх2

+ ^¿ = 0,

H H

дт13 дт23 6т33 2q3

дхх дх2

+ = 0.

H H

(12.а) (12.б)

к

1

к

h

1

Используя граничные условия (3), ряды Маклорона (4) и соотношения (5), построим еще три уравнения, которые имеют вид:

^ 20 дхк 20 Gk3

W — H

2 ^30

Еъ J Еъ 2

уЕг, £,3 дх.

+

33 1УЛ2 у

Hq1

ЗОЕ

(13.а) (13.б)

33

Уравнения равновесия (6), (11), (12) и (13) составляют совместную систему дифференциальных уравнений, состоящую из девяти уравнений относительно девяти

неизвестных функций: \j7x, цг2, Д, Д, щ, й2, г, у, W .

Если на границе пластины перемещения равны нулю, то граничные условия для уравнений

(6), (11), (12) и (13) на краях х1 = const ш,= const имеют вид:

у/х =0, ц/2 = 0, Д =0, Д2 = 0, г = 0, у = 0, щ =0, й2 = О, W = 0 .

(14)

Если край оперт, то на краю х1 = const :

Nu=0, Ти= 0, у/2=0, ß2=0,äu=0, й2 = 0, г = 0, y = 0,W=0.

(15)

На краю х2 - const

N22 = О, Т22 = 0, \J7X = О, Д = 0, сг22 =0, щ = 0, г = 0, у — О, W - О,

(16)

где crn, <х„, С7П определяются по формулам:

^11 =

^22 =

F

V 33 у

1 +

<Эх

F

F

^12 Г, 32

V 33 у

ÊlÂ^f £1 -3 _

—L + —L±q3t, 3Х2 ^33

/

Е,

F

^21 ^ ^31

F

N <Эг/, ^ 1 +

зз y

<Эх

F

^22 32

V 33 y

—- H—— <73,

^г ^зз

ö-12 =G12

W 2

(17.а) (17.б)

(17.в)

VÔX2 ÔXj J

Вторая задача состоит из уравнений относительно изгибающих моментов, крутящего момента, перерезывающих сил и бимоментов относительно девяти неизвестных кинематических функций:

_ и\ ) + и\ ) 2

г =

1 \ — \iiMz, у =—- \it,z2dz,

J 3 2/гЧ

2 h

Щ =

"Г ""Г*

2

1 'г 1 л.

' ¥k = 2Ïê y'kzdz' ßk = \u> z'dz> (к =]'2) ■

(18 а) (18.б)

-к

2/г

к

Выражения (18.а) включают два уравнения относительно изгибающих и крутящих моментов и одно уравнение относительно перерезывающих сил. Умножим первое и второе уравнения теории упругости на координату г и проинтегрируем по г , получим уравнения равновесия пластины в моментах и силах:

u

k

8MU dMl2

ÔXj

SM.

дх-,

-Ql3 + 2qx = 0,

21-Q23 + 2q2=0.

(19.а) (19.б)

дхх дх2

Интегрируя по координате г третье уравнение теории упругости (2), получим уравнение равновесия в силах:

+ ^^ + 2q3=0.

дх1 дх0

(20)

Здесь qk,(k = 1,2), q3- грузовые члены уравнения, определяемые соотношениями:

Як =

2 " 2 Здесь изгибающие и крутящие моменты запишутся в виде:

h 7-7-2 i

Hl 2

Ми = Jfj, ! zclz

-h

h

M22 = \cr22zdz

V

dx,

c)xn

H2/

h\\H + h\2H - Аз-—-

2(r- W)

ду/,

E, Л--h E^H--— E,

dy/2

dx,

м12 =M21 = ja, 2zdz = g,

-h

Hl 2

x

дц/х + di//2

H

(21)

(22.а) (22.б)

(22.в)

Выражения для определения перерезывающих сил имеют вид:

к к

Г __¿7/* г ^ О/*

013 = I = <^1з(2м1 + Н Т"), 023 = I = <^2з(2м2 + Н ) ■

-л

-Л

(23)

Уравнения равновесия пластины относительно бимоментов получаются умножением двух

первых уравнений теории упругости (2) на z и интегрированием их по координате z :

дРи , дР12

+ -11-3^3+^=0,

сЦ 0Х2

Ö/>21 , д!\

+ ^^-3Hp23+Hq2 =0.

(24.а) (24.б)

ÔXj йх

Уравнение равновесия пластины относительно интенсивности поперечных бимоментов

2

получится умножением третьего уравнения теории упругости (2) на z и интегрированием его по координате z :

Ф13 , иФ

Н-^ + Н

dx j

23

Sx,

4/?зз + 2д3 = 0.

В уравнениях (24) бимоменты P1 P22 P12 определяются по следующим выражениям:

1 г

Рп =ТТ \(ruz3dz =

h -h

1

Р22 = ТТ \<?22z3dz =

2 H

- F

F13

2/ эд , г ад 2(3г - Ж) 2 f

V

F11 ^ ^ F12 -oxJ ox2

H

h1

-h

2

F

5Д , £ ЗД2 p 2(3?-Ж)

12

dx.

22

x

F

23

H

12 '21 i 2 112 /7 h

h1 J

H2

P„=P„= — \o„z dz =-G

2

зд ад2

vax2 <5xi

(26.а) (26.б)

(26.в)

Интенсивности поперечных и нормальных бимоментов ~3, р2Ъ и р33 определяются выражениями

1 h

Раз = —г =G,

r2uk -4у/к + ду N

V

H

dx

k

Рзз

2/г _J/;

, Z7 ^L

■E

2(r - Ж)

(27.а) (27.б)

33 '

H

Используя граничные условия (3), ряд Маклорона (4) и соотношения (5), построим еще два уравнения:

11 к = ~ 2

1 d, о > 1 1 Ж . 1

-|1Д,-7(//, - —Я —+ —С = 1,2 ,

НРз

4 20

30 <Эх, 30G,3

(28.а) (28.б)

20Я

Системы дифференциальных уравнений равновесия (19), (20), (24), (25) и (28) составляют совместную систему из девяти уравнений относительно девяти неизвестных функций

г/л, г?!, ы2, Д, Д, г, ж.

Если на границе пластины перемещения равны нулю, то граничные условия для уравнений

(19), (20), (24), (25) и (28) на краях х1 - const и х2 - const имеют вид:

=0, if/2 =0, Д = О, Д2 = 0, 7 = 0, у = 0, щ = 0; и2 = О, W = 0.

(29.а)

Если края пластины оперты, то на краях хх = const и х0 = const

мп = О, Pu = 0, i//2=0, Д2=0, <тп = 0, и2 =0, г = 0, 7=0, Ж = 0,

М22 = О, Р22 = 0, ^=0, Д =0, <т22 = 0, й;=0, Г = 0, 7 = 0, ж = о,

где величины определяются по следующим формулам:

/ ^ \ f ^ \ OIL

J7

т^ 31

V зз У

<Эх

F

F

F12 г, f32

V зз у

о-22 =

Е2,

V зз У

Л <Эг/, ^ 1 +

<Эх,

<712 =G12

F

F 23 77

^22 т^ 32

V ^33 У

^ 5р 5р, ^

о//-, Л",, _

-^зз

о ~

-~ I--~ Cf, ,

£33

+

v3x2 3xj

(29.б) (29.в)

(30.а) (30.б)

(30.в)

h

Итак, сформулирована задача изгиба пластины на основе бимоментной теории толстых пластин. Преимущество бимоментной теории перед существующими теориями заключается в высокой точности и в хорошей применимости ее в решении практических задач определения напряжений и перемещений ортотропных пластин.

Пример расчета

В качестве примера рассмотрим изгиб пластины, нагруженной только по верхней лицевой поверхности z--h нормальной нагрузкой:

/л . 7ТХ-, . ТРС'у

q\ = —q() sin —L sin —-, a b

где q0 - параметр нагрузки.

Решение системы уравнений (6), (11), (12) и (13) при граничных условиях (15) и (16) имеет

вид:

_ ^ , 7DC-, . . , JuCry . __. , 7DC-, » , JuC^. __. . ТОСл « . , juC -у »

^/1=C1cos(—L)sin(—-), = С,, sin(—L)cos(—-), r=C3sin(—L)sin(—-) ; (32.a)

a b ' ' a b a b

 = C4 cos(^)sin(^), Д = Q sin(^)cos(^), f = C6 sin(^)sin(^) ; (326)

a b ci b a b

_ 7ÏX J ЮС^ _ . ,Яц TjF n ■ /®п ■ (32в)

их = С7 cos(—L)sin(—-), и2 = Cs sin(—L)cos(—-), W = Cg sin(—L)sin(—-).

a b a b a b

Подставляя решения (32) в системы уравнений (6), (11), (12) и (13), получим систему линейных алгебраических уравнений относительно девяти постоянных неизвестных Q,C2,..., C9. Решение системы уравнений (19), (20), (24), (25) и (28), удовлетворяющее граничным условиям (29.б) и (29.в), имеет вид:

у/х = Д cos(—)sin(^-), ij/n = A sin(— )cos(—), г = Д sin(— )sin(^-); (33.a)

a b " " a b a b

Д = Д cos(^)sin(^), Д = Д sin(^)cos(^), f = D6 sin(^)sin(^) ; (33 6)

a b ci b ci b

тл • ~ r, • jjr г, .,лхг лх^ (33.в)

ux = Д cos(—L) sin( —-), u2 = Д sin( —L) cos(—-), W = Dg sin( —L ) sin( —-).

ci b ci b ci b

Подставляя решения (33) в системы уравнений (19), (20), (24), (25) и (28), получим систему линейных алгебраических уравнений относительно девяти постоянных неизвестных

А, А,..., Д .

С помощью решений алгебраических систем уравнений получены численные значения перемещений и напряжений для прямоугольной изотропной пластины с относительной толщиной

H 1 H

— = — при различных значениях отношения —. Значения коэффициентов Пуассона

b 4 a

принимались vx =v2 = v3 =0.3.

В таблицах 1-3 приведены численные значения, полученные при решении первой задачи. В таблице 1 представлены численные результаты расчета обобщенных перемещений

Еху/х Еху/2 Exßx Exß2 Exr Exy

. Расчеты показывают, что с увеличением размера

Hq0 Hq0 Hq0 Hq0 Hq0 Hq0

пластины уменьшаются значения перемещений у/2, ß2, а перемещения ïj7x, ßxB другом направлении, наоборот, увеличиваются. С увеличением этого размера пластины значения нормальных перемещений г, у практически не меняются.

Усаров М.К. Изгиб ортотропных пластин с учетом бимоментов 87

Таблица 1. Значения кинематических функций первой задачи

Н / Ь Е1ц/11 Яд0 Е^2/ Ядо ЕД/ Идо Е&/ Н?о Ехг /Н^о ЕхГ/ НЧо

1/4 -0.1239 -0.1239 -0.0376 -0.0376 -0.0763 -0.0456

1/6 -0.1717 -0.1145 -0.0535 -0.0356 -0.0761 -0.0456

1/10 -0.2139 -0.0856 -0.0675 -0.0270 -0.0761 -0.0456

В таблице 2 приведены численные результаты расчета безразмерных продольных сил

ип =——, ппп -——, п1П ——— и бимоментов =—=—=—. Как видим,

н н н н н н

при увеличении размера пластины Ь значения силы и бимомента пластины Ж22, ^22 увеличиваются, а значения сил N1, N2 и бимоментов Т 1з Т12 уменьшаются. Таблица 2. Значения продольных сил и бимоментов первой задачи

Н / Ь пи/ до П22 / д0 П12/ д о ?„/ до ^22 / до ^12 / до

1/4 -0.0748 -0.0748 -0.0748 -0.0998 -0.0998 -0.0227

1/6 -0.0461 -0.1034 -0.0692 -0.0896 -0.1075 -0.0215

1/10 -0.0207 -0.1292 -0.0517 -0.0808 -0.1150 -0.0163

В таблице 3 приведены безразмерные численные результаты расчета кинематических функций щ, й2, Ж и безразмерных обобщенных напряжений а22, аи. С увеличением размера пластины Ь значения перемещения й1 и напряжений уменьшаются, а значения

перемещения й1 и напряжения увеличиваются. Отметим, что увеличение этого параметра практически не влияет на значение нормального перемещения Ж .

Таблица 3. Значения перемещений и напряжений первой задачи

Н / Ь Ехих /Нц{) Е1и 2 / НЧо ЕЖ1/ Ндо аи/ д о °"22 / до °"12/ до

1/4 -0.0956 -0.0956 -0.2270 -0.1070 -0.1070 -0.0577

1/6 -0.1430 -0.0953 -0.2273 -0.0744 -0.1224 -0.0576

1/10 -0.1850 -0.0740 -0.2273 -0.0470 -0.1408 -0.0447

В таблицах 4-6 приведены численные результаты, полученные при решении второй задачи. В таблице 4 приводятся безразмерные результаты расчета кинематических функций

£>1 ЕЛ ЕЛ Е1Г ЕхУ

. Отметим, что с увеличением размера пластины Ь

Нск Нд0 Нд0 Нд0 Нд0 Нс/(]

увеличиваются значения перемещений Д, а в другом направлении пластины размером а перемещения нормального направления пластины г, у также увеличиваются. Перемещения

ц~/2, Д2 в направлении размера Ъ сначала увеличиваются, а потом уменьшаются. Таблица 4. Значения кинематических функций второй задачи

Н / Ь Е1^1/ Ндо Е1^2/ Ндо ЕхД / Ндо Е1/~2 / Н^о Е1~ / Н^о Е1~/ Н^о

1/4 -0.8897 -0.8897 -0.5420 -0.5420 9.2752 3.0633

1/6 -1.7319 -1.1546 -1.0505 -0.7002 16.6581 5.5081

1/10 -2.7063 -1.0825 -1.6378 -0.6552 24.9393 8.2541

В таблице 5 приведены безразмерные численные результаты расчета изгибающих

2Мл 1 2М22

моментов сил т\\=-~->т22 =-~> продольных изгибающих бимоментов

#z Я'

2Р\\ „ 2 Р22

Ри=-, Рг2~- и перерезывающих сил <913/Яд0, При увеличении

Я2 Я2

размера пластины Ь значения момента, силы и бимомента щг, Ц3, Д увеличиваются, а значения момента, силы и бимомента т22,Ц23, Р22 увеличиваются, а потом уменьшаются.

Таблица 5. Значения моментов, бимоментов и перерезывающих сил второй задачи

H / b ти/ q0 т22 /q0 Pii/ q о P 22 / qo Öi3/ Hqo Q23/ Hqo

1/4 1.0836 1.0836 0.6570 0.6570 0.6366 0.6366

1/6 1.7796 1.1983 1.0764 0.7238 0.8815 0.5876

1/10 2.5335 1.1600 1.5304 0.6992 1.0976 0.4390

По таблицам 6-8 можно сделать аналогичные выводы по анализу результатов расчетов. В таблице 6 приведены безразмерные численные результаты расчета кинематических функций

м1з г^, Ж и обобщенных напряжений ¿гп, сг22, сг12.

Таблица 6. Значения перемещений и напряжений для второй задачи

H / b Exux /Hq{) Ei~2 / Hqo EW~ / Hq0 ~ii/ q о ~22 / q0 <~i2/ qo

1/4 -2.8147 -2.8147 9.0498 3.3724 3.3724 -1.7005

1/6 -5.3957 -3.5971 16.3112 5.4921 3.6811 -2.1732

1/10 -8.3667 -3.3467 24.4851 7.7820 3.5360 -2.0219

Максимальные значения перемещений и напряжений пластины достигаются на лицевых поверхностях пластины и определяются решениями первой и второй задачи. Ниже приводим формулы для определения перемещений и напряжений на лицевых поверхностях пластины

г = —И и г = И\

г/ ] =й-ип и\+) = г/. (/ = 1,2), //<->= Ж-Ж, г/<+) =Ж+Ж

< ' <У,Г •<*//- (/ = 1,2; 7 = 1,2).

В таблицах 7 и 8 приведены безразмерные численные результаты расчета перемещений

Ем, Е,ип Ем, „ , _ _. _

——, 1 -, —и напряжении стп, ¿т99, (т19 на верхнем (таблица 7) и нижнем (таблица 8)

Що Н% Н%

слоях пластины.

Таблица 7. Значения перемещений и напряжений на верхнем слое пластины

H / b } / Яд0 Eu( } /

1/4 2.7192 2.7192 9.2764 -3.4794 -3.4794 1.6428

1/6 5.2527 3.5018 16.5384 -5.5665 -3.8035 2.1156

1/10 8.1818 3.2727 24.7125 -7.8290 -3.6768 1.9772

Таблица 8. Значения перемещений и напряжений на нижнем слое пластины

Я / b EX+) / Я<70 £>2+) / £из+) / Я<?0 Of?/ Я, cr22)/ ^О ^(2+)/

1/4 -2.9103 -2.9103 8.8227 3.2654 3.2654 -1.7583

1/6 -5.5388 -3.6924 16.0839 5.4177 3.5587 -2.2308

1/10 -8.5517 -3.4207 24.2588 7.7350 3.3951 -2.0666

Заключение

В ходе исследования были получены следующие результаты:

• сформулирована задача изгиба толстых ортотропных пластин с учетом бимоментов;

• построено аналитическое решение задачи изгиба толстой ортотропной пластины;

• получены численные результаты, представляющие кинематические функции обобщенных перемещений, сил, моментов, бимоментов и напряжений.

Литература

1. Амбарцумян А.С. Теория анизотропных пластин: Прочность, устойчивость и колебания. М.: Наука, 1987. 360 с.

2. Вольмир А.С. Нелинейная динамика оболочек и пластин. М.: Наука, 1972. 432 с.

3. Бутенко Ю.И. Вариационно-асимптотические методы построения неклассических моделей расчета однослойных и многослойных стержней и пластин: дис.. д-ра физ.-мат наук. Казань, 2003. 402 с.

4. Карпов В.В. Геометрически нелинейные задачи для пластин и оболочек и методы их решения. М.: АСВ, 1999. 154 с.

5. Абдикаримов Р.А., Жгутов В.М. Математические модели задач нелинейной динамики вязкоупругих ортотропных пластин и оболочек переменной толщины // Инженерно-строительный журнал. 2010. №6. С. 38-47.

6. Жгутов В.М. Математические модели и алгоритмы исследования устойчивости пологих ребристых оболочек при учете различных свойств материала // Известия Орловского гос. техн. ун-та. Серия «Строительство, транспорт». 2007. №4. С. 20-23.

7. Жгутов В.М. Математическая модель деформирования ортотропных и изотропных ребристых оболочек при учете ползучести материала // Инженерно-строительный журнал. 2009. №7. С.46-54.

8. Агаловян Л.А., Геворкян Р.С, Хачатрян Г.Г. Асимптотическое решение смешанных краевых задач двухслойных анизотропных пластин переменной толщины // Изв. нац. АН Армении. Сер. мех. 1998. Т.51. №2. С. 27-36.

9. Karamooz Ravari M.R., Forouzan M.R. Frequency equations for the in-plane vibration of orthotopic circular annular plate // Archive of Applied Mechanics. 2011. Vol. 81. No.9. Pp. 1307-1322.

10. Soukup J., Vales F., Volek J., Skocilas J. Transient vibration of thin viscoelastic orthotopic plates // Acta Mechanica Sinica. 2011. Vol. 27. No.1. Pp. 98-107.

11. Papkov S.O. Steady-state forced vibrations of a rectangular orthotropic plate // Journal of Mathematical Sciences. 2013. Vol. 192. No.6. Pp. 691-702.

12. Hsi-Hung Chang, Jiann-Quo Tarn. Three-Dimensional Elasticity Solutions for Rectangular Orthotropic Plates // Journal of Elasticity. 2012. Vol. 108. No.1. Pp. 49-66.

13. Birman V. Mechanics of Composite Plates // Solid Mechanics and Its Applications. 2011. Vol. 178. Pp. 173-223.

14. Zenkour A.M., Allam M.N.M., Shaker M.O., Radwan A.F. On the simple and mixed first-order theories for plates resting on elastic foundations // Acta Mechanica. 2011. Vol. 220. No.1-4. Pp. 33-46.

15. Lacarbonara W. Nonlinear Structural Mechanics: Theory, Dynamical Phenomena and Modeling. 2013. 879 p.

16. Власов В.З. Тонкостенные пространственные системы. М.: Гостстройиздат, 1958. 503 с.

17. Усаров М.К. Задача изгиба для толстой ортотропной пластины в трехмерной постановке // Инженерно-строительный журнал. 2011. №4. С.40-47.

18. Усаров М.К. Изгиб толстых пластин // Вестник ТашИИТ. 2008. №2. С.30-35.

19. Усаров М.К. Изгиб анизотропной пластины // Проблемы механики. 2009. №2-3. С.34-37

20. Усаров М.К. Вынужденные колебания толстых пластин // Проблемы механики. 2010. №3. С.15-18.

Махаматали Корабоевич Усаров, г. Ташкент, Узбекистан Тел. раб.: +7(871)2627132; эл. почта: umakhamatali@mail.ru

© Усаров М.К., 2015