doi: 10.5862/MCE.53.8
Изгиб ортотропных пластин с учетом бимоментов
К.ф.-м.н., старший научный сотрудник М.К. Усаров,
Институт механики и сейсмостойкости сооружений Академии Наук Республики Узбекистан
Аннотация. Статья посвящена усовершенствованию теории пластин с целью учета сил, моментов и бимоментов, порождаемых за счет нелинейного закона распределения перемещений в поперечном сечении пластины. Приведены интегральные соотношения для определения сил, моментов и бимоментов.
Разработанная бимоментная теория пластины описывается двумя несвязанными двумерными системами по девять в каждой системе уравнений. На каждом краю пластины в зависимости от вида закрепления задаются по девять граничных условий. Методика построения бимоментной теории основана на законе Гука, трехмерных уравнениях теории упругости и методе разложения перемещений в ряд Маклорена.
В качестве примера приведено решение задачи изгиба толстой ортотропной пластины под действием поперечной синусоидальной нагрузки. Получены численные результаты перемещений, сил, моментов, бимоментов и напряжений, сопровождаемые анализом.
Ключевые слова: закон Гука; ортотропность; теория упругости; трехмерная задача; толстая пластина; двумерная задача; сила; момент; бимомент; бимоментная теория
Изученность вопроса
Теория толстых пластин широко освещена в работах многих российских и зарубежных авторов. Подробный обзор литературы по данному направлению приведен в работах [1-4]. На современном этапе развития теории пластин динамическими задачами пластин с анизотропными свойствами занимаются авторы работ [5-8]. Задачами колебаний пластин занимались M.R. Karamooz Ravari, M.R. Forouzan [9], ими получены частотные уравнения ортотропной круговой кольцевой пластины для общих граничных условий в плоскости вибрации. В работе [10] рассматриваются решения переходных колебаний прямоугольной вязкоупругой ортотропной пластины для конкретных деформационных моделей по теориям Флюгге и Тимошенко - Миндлина. Статья [11] посвящена аналитическому решению проблемы вынужденных установившихся колебаний ортотропной пластины. Методом суперпозиции задача сводится к квазирегулярной бесконечной системе линейных уравнений. В [12] разрабатывается пространственный подход для трехмерного анализа прямоугольных ортотропных упругих пластин, подвергнутых внешним нагрузкам на верхней и нижней гранях. В. Бирман [13] разработал теорию более высокого порядка для толстой многослойной ламинированной композитной плиты, подчеркивая роль нормальных и поперечных деформаций сдвига. В [14] рассмотрена задача изгиба ортотропной прямоугольной пластины, лежащей на двупараметрическом упругом основании. Статья [15] посвящена нелинейной теории пластин.
Теоретические исследования В.З. Власова [16] показали, что при нарушении гипотезы плоских сечений, кроме растягивающих и перерезывающих сил, изгибающих и крутящих моментов, появляются еще дополнительные силовые факторы, так называемые бимоменты. Автором статей [17-20] решены задачи изгиба и колебаний толстых пластин на основе теории пластин, построенной в рамках трехмерной теории упругости, с помощью метода разложения перемещения по одной из пространственных координат в бесконечный ряд Маклорена.
В данной работе приводится методика построения теории пластин с учетом бимоментов, порождаемых за счет распределения перемещений точек поперечного сечения по нелинейному закону. Предлагаемая теория пластин, кроме растягивающих и перерезывающих сил, изгибающих и крутящих моментов, включает еще и бимоменты. При построении бимоментной теории учитываются все компоненты тензора напряжения и деформации: ст., е (/',_/' = 1,3). Компоненты вектора перемещения являются функциями трех пространственных координат: и , х2, г), и2 , , г), и3 , , z) . В работе приводятся определяющие соотношения сил, моментов, бимоментов и уравнения равновесия относительно этих силовых факторов.
Постановка и метод решения задачи
Рассмотрим ортотропную толстую пластину постоянной толщины Н — 2И и размерами а, Ь в плане. Введем обозначения: Е1, Е2, Е3 - модули упругости; G12, G13,02Ъ - модули
сдвига; у12,у1з>у2з~ коэффициенты Пуассона материала пластины. Пластину рассмотрим как трехмерное тело, материал которого подчиняется обобщенному закону Гука:
<у11= Е11811+Е12£22+Ехъеъъ, (1 .а)
(1.6)
<Т22 =Е21£и + Е22£22 + Е2 3£33,
СГ33 = ЕЪ1£х J + ЕЪ2£22 + Еъъ£ъъ,
<т12 = G12£12, а13 = G13£13, а23 = G23£23.
(1.в) (1.г)
Здесь:
ЕП = Е\8п> Е22 =Е2§2Ъ Е33 = Е3833' Е\2 = Е2\ = E\S\2 =Е\2§2\> Е\2 = Е2\ = Е1§12 = Е\2&2\' Е\3 = Е3\ = Е\ё\3 = Е3§3\' Е23 = Е32 = Е2§23 = Е3ё32 ■
_l~V23V32 _ l~V13V31 _ _l~Vl2V21
öll 1 2 ' Ä22 1 2 ' «22
I- JU
1 - JU
I-JU
2
812 .§21
^21 +^23
l-jil2
l-//2
8i3 83i
Пз+^'зг
^31+^23
l-//2
l-//2
.§23 .§32
^23 + *'l3V12
1-У
-^ ■ = ^12^21 + V23^32 + ПЗ^З! + 2V12V23V31
1-//
Введем декартову систему координат л^, и г . Ось оъ направим вертикально вниз.
Пусть по нижней г - И и верхней г — -И лицевым поверхностям пластины приложены распределенные поверхностные, нормальные и касательные нагрузки. Нормальные нагрузки в направлении оси ог обозначим с/3+\ . Касательные нагрузки, приложенные в направлении
ox1з ох2, обозначим qk
(к = 1,2) . Перемещения точек верхних г— —И и нижних
г = И волокон пластины обозначим и\ \ г/;(+), (/ =1,3).
Воспользуемся трехмерными уравнениями равновесия теории упругости:
дст„ | дсг12 | дст13 =Q
дхх
дх2 дх3
дсг12 дет
22
да
23
дхх дх2 дет,, <Э(
Зх,
5xj дх2 дх3
= 0,
■ = о .
(2 а) (2.б)
(2в)
Граничные условия на нижней г = И и верхней г = -И поверхностях пластины и имеют вид:
а33 = д{+\ а31 = д[+\ <у32 = д<2) при г-к, (З.а)
(З.б)
а
33
: q\ , а31 - q[ , <х,2 — q2 при z = -h.
23
33
Методика построения бимоментной теории пластин основана на обобщенном законе Гука (1), трехмерных уравнениях теории упругости (2), граничных условиях на лицевых поверхностях (3) и разложении перемещений в ряд Маклорена в виде:
п
г \2 г
уку
+ В™
г \3 г
\ку
+ ...+в!к)
г \ г
\ку
+, i = 1,2",
и3- А0 + А1 — + А, к
i_\2 f z^3 + А3
к
к
+ ...+ А
к
к
(4.а) (4.б)
+
Здесь В\к), Д - неизвестные функции двух пространственных координат — B^\xi,x2), 4- = А, (х,, х2 ) :
В{к) =-h'
( я/. Л
д'ы
V Л=о
, С = 1,2",
А = -И
f \
д'и
V ,==0
Предлагаемая бимоментная теория пластин описывается двумя несвязанными задачами, каждая из которых формулируется на основе девяти двумерных уравнений с соответствующими краевыми условиями.
Первая задача состоит из двух уравнений относительно продольных и тангенциальных усилий и четырех дополнительно построенных уравнений бимоментов относительно девяти неизвестных кинематических функций:
7/(+) - 7/М
W = 3 3
2
г =
2 h 1 ^
—- \u^zdz. у =—- \H-,z\h,
2h2 \ 3 Г 2h4 \ 3
-п -п
uk =
2
- 1
1
^ukdz, ßk = — Jukz2dz, (к = 1,2).
(5 а) (5.б)
-h
-h
Уравнения равновесия относительно продольных и тангенциальных усилий, действующих в плоскости пластины, получаются интегрированием двух первых уравнений теории упругости (2) по координате г:
dNu dN„ л
—1J- + —^ + 2ql = 0,
дх1 дх2
dN„ cW,, л -^ +-^ + 2q, = 0 ,
дхх дх2
(6.а) (6.б)
где N 1з N2, N22 - усилия, определяемые из соотношений
Nu= ¡audz = EuH^ + EnH^ + 2EuW ,
•> rix Hy
ду/2
-h h
N22 = \(T22dz = E12H-^ + E22H
dxi
ôxl ' dx2 ^ , i?
(IX-,
ri
Nl2 = N2l = $cr12dz = Gv
V
dxl dxl
y
(7.а) (7.б)
(7.в)
qk,{k —1,2), q3 - грузовые члены уравнения, которые определяются по формулам:
2
(7.г)
h
h
Как видим, в двух уравнениях (6) содержатся три неизвестные функции IV. Чтобы
дополнить систему, построим уравнения бимоментов. Сначала введем продольные и тангенциальные бимоменты ТТ22, Тп:
1 h
Ти=тт \truz2dz = H
5Д dß, „ 2W E11 ~ E12
1
Т22 = j^zVz = Н
dxx
dx-,
■ + Е,
H
J
E12 - ^ E22 ^ ^ E23
V
dx.
dxn
H
(8.а) (8.б)
1
712 = T21 = \(J12z2dz = H(},2
5x1 Qx^ j
(8.в)
Введем интенсивности поперечных бимоментов р13, р^3 и г13, г,,3 от касательных напряжений сг13, <х,3:
А-з =
1
2/г
п
\ak3zdz = Gk3
г дг 2{ик-у/к)л
-к
\dxk
H
, (Ar = 1,2) ,
rÄ-3 —
2/г4
п
jcrk3z3dz = Gk3
Гду , 2(йк-ЗРк)Л
\$xk
H
, (Ä: = 1,2) .
(9 а) (9.б)
Введем интенсивности нормальных бимоментов />33 и г33 от нормального напряжения ег3 в виде соотношений:
/>33 =
1 "Г , .. dh + E
дх, д2 дхп
2 h
п
|<т33dz=E31-
+ Е.
33
-h
2W_ H
hi
Г 2. г F ^Ёк F
G33Z az - £L3 J — h £L32 — h £L33 ■ J /iv riv
2h
3 J
-h
OX
дх,,
2Ж-4г ~H
(10.а) (10.б)
Уравнения относительно продольных бимоментов, действующих в плоскости пластины,
9
получаются из двух первых уравнений теории упругости (2). Умножив их на г , а после проинтегрировав их по координате г , получим:
дТи , дТХ2
дхх дх2
-Apl3 + 2qx = 0,
дТ,о 3ZU __ Л
-^ + -^-4p23 + 2q2=0 .
дхх дх2
(11а) (11.б)
Умножим третье уравнение теории упругости на г и проинтегрируем по координате г ,
3
затем умножим его на г и проинтегрируем по координате г , получим пятое и шестое уравнения в интенсивности поперечных бимоментов:
?13 , Ф2з 2Рз 3 , 2Ъ
5xj дх2
+ ^¿ = 0,
H H
дт13 дт23 6т33 2q3
дхх дх2
+ = 0.
H H
(12.а) (12.б)
к
1
к
h
1
Используя граничные условия (3), ряды Маклорона (4) и соотношения (5), построим еще три уравнения, которые имеют вид:
^ 20 дхк 20 Gk3
W — H
2 ^30
Еъ J Еъ 2
уЕг, £,3 дх.
+
33 1УЛ2 у
Hq1
ЗОЕ
(13.а) (13.б)
33
Уравнения равновесия (6), (11), (12) и (13) составляют совместную систему дифференциальных уравнений, состоящую из девяти уравнений относительно девяти
неизвестных функций: \j7x, цг2, Д, Д, щ, й2, г, у, W .
Если на границе пластины перемещения равны нулю, то граничные условия для уравнений
(6), (11), (12) и (13) на краях х1 = const ш,= const имеют вид:
у/х =0, ц/2 = 0, Д =0, Д2 = 0, г = 0, у = 0, щ =0, й2 = О, W = 0 .
(14)
Если край оперт, то на краю х1 = const :
Nu=0, Ти= 0, у/2=0, ß2=0,äu=0, й2 = 0, г = 0, y = 0,W=0.
(15)
На краю х2 - const
N22 = О, Т22 = 0, \J7X = О, Д = 0, сг22 =0, щ = 0, г = 0, у — О, W - О,
(16)
где crn, <х„, С7П определяются по формулам:
^11 =
^22 =
F
V 33 у
1 +
<Эх
F
F
^12 Г, 32
V 33 у
ÊlÂ^f £1 -3 _
—L + —L±q3t, 3Х2 ^33
/
Е,
F
^21 ^ ^31
F
N <Эг/, ^ 1 +
зз y
<Эх
F
^22 32
V 33 y
—- H—— <73,
^г ^зз
ö-12 =G12
W 2
(17.а) (17.б)
(17.в)
VÔX2 ÔXj J
Вторая задача состоит из уравнений относительно изгибающих моментов, крутящего момента, перерезывающих сил и бимоментов относительно девяти неизвестных кинематических функций:
_ и\ ) + и\ ) 2
г =
1 \ — \iiMz, у =—- \it,z2dz,
J 3 2/гЧ
2 h
Щ =
"Г ""Г*
2
1 'г 1 л.
' ¥k = 2Ïê y'kzdz' ßk = \u> z'dz> (к =]'2) ■
(18 а) (18.б)
-к
2/г
к
Выражения (18.а) включают два уравнения относительно изгибающих и крутящих моментов и одно уравнение относительно перерезывающих сил. Умножим первое и второе уравнения теории упругости на координату г и проинтегрируем по г , получим уравнения равновесия пластины в моментах и силах:
u
k
8MU dMl2
ÔXj
SM.
дх-,
-Ql3 + 2qx = 0,
21-Q23 + 2q2=0.
(19.а) (19.б)
дхх дх2
Интегрируя по координате г третье уравнение теории упругости (2), получим уравнение равновесия в силах:
+ ^^ + 2q3=0.
дх1 дх0
(20)
Здесь qk,(k = 1,2), q3- грузовые члены уравнения, определяемые соотношениями:
Як =
2 " 2 Здесь изгибающие и крутящие моменты запишутся в виде:
h 7-7-2 i
Hl 2
Ми = Jfj, ! zclz
-h
h
M22 = \cr22zdz
V
dx,
c)xn
H2/
h\\H + h\2H - Аз-—-
2(r- W)
ду/,
E, Л--h E^H--— E,
dy/2
dx,
м12 =M21 = ja, 2zdz = g,
-h
Hl 2
x
дц/х + di//2
H
(21)
(22.а) (22.б)
(22.в)
Выражения для определения перерезывающих сил имеют вид:
к к
Г __¿7/* г ^ О/*
013 = I = <^1з(2м1 + Н Т"), 023 = I = <^2з(2м2 + Н ) ■
-л
-Л
(23)
Уравнения равновесия пластины относительно бимоментов получаются умножением двух
первых уравнений теории упругости (2) на z и интегрированием их по координате z :
дРи , дР12
+ -11-3^3+^=0,
сЦ 0Х2
Ö/>21 , д!\
+ ^^-3Hp23+Hq2 =0.
(24.а) (24.б)
ÔXj йх
Уравнение равновесия пластины относительно интенсивности поперечных бимоментов
2
получится умножением третьего уравнения теории упругости (2) на z и интегрированием его по координате z :
Ф13 , иФ
Н-^ + Н
dx j
23
Sx,
4/?зз + 2д3 = 0.
В уравнениях (24) бимоменты P1 P22 P12 определяются по следующим выражениям:
1 г
Рп =ТТ \(ruz3dz =
h -h
1
Р22 = ТТ \<?22z3dz =
2 H
- F
F13
2/ эд , г ад 2(3г - Ж) 2 f
V
F11 ^ ^ F12 -oxJ ox2
H
h1
-h
2
F
5Д , £ ЗД2 p 2(3?-Ж)
12
dx.
22
x
F
23
H
12 '21 i 2 112 /7 h
h1 J
H2
P„=P„= — \o„z dz =-G
2
зд ад2
vax2 <5xi
(26.а) (26.б)
(26.в)
Интенсивности поперечных и нормальных бимоментов ~3, р2Ъ и р33 определяются выражениями
1 h
Раз = —г =G,
r2uk -4у/к + ду N
V
H
dx
k
Рзз
2/г _J/;
, Z7 ^L
■E
2(r - Ж)
(27.а) (27.б)
33 '
H
Используя граничные условия (3), ряд Маклорона (4) и соотношения (5), построим еще два уравнения:
11 к = ~ 2
1 d, о > 1 1 Ж . 1
-|1Д,-7(//, - —Я —+ —С = 1,2 ,
НРз
4 20
30 <Эх, 30G,3
(28.а) (28.б)
20Я
Системы дифференциальных уравнений равновесия (19), (20), (24), (25) и (28) составляют совместную систему из девяти уравнений относительно девяти неизвестных функций
г/л, г?!, ы2, Д, Д, г, ж.
Если на границе пластины перемещения равны нулю, то граничные условия для уравнений
(19), (20), (24), (25) и (28) на краях х1 - const и х2 - const имеют вид:
=0, if/2 =0, Д = О, Д2 = 0, 7 = 0, у = 0, щ = 0; и2 = О, W = 0.
(29.а)
Если края пластины оперты, то на краях хх = const и х0 = const
мп = О, Pu = 0, i//2=0, Д2=0, <тп = 0, и2 =0, г = 0, 7=0, Ж = 0,
М22 = О, Р22 = 0, ^=0, Д =0, <т22 = 0, й;=0, Г = 0, 7 = 0, ж = о,
где величины определяются по следующим формулам:
/ ^ \ f ^ \ OIL
J7
т^ 31
V зз У
<Эх
F
F
F12 г, f32
V зз у
о-22 =
Е2,
V зз У
Л <Эг/, ^ 1 +
<Эх,
<712 =G12
F
F 23 77
^22 т^ 32
V ^33 У
^ 5р 5р, ^
о//-, Л",, _
-^зз
о ~
-~ I--~ Cf, ,
£33
+
v3x2 3xj
(29.б) (29.в)
(30.а) (30.б)
(30.в)
h
Итак, сформулирована задача изгиба пластины на основе бимоментной теории толстых пластин. Преимущество бимоментной теории перед существующими теориями заключается в высокой точности и в хорошей применимости ее в решении практических задач определения напряжений и перемещений ортотропных пластин.
Пример расчета
В качестве примера рассмотрим изгиб пластины, нагруженной только по верхней лицевой поверхности z--h нормальной нагрузкой:
/л . 7ТХ-, . ТРС'у
q\ = —q() sin —L sin —-, a b
где q0 - параметр нагрузки.
Решение системы уравнений (6), (11), (12) и (13) при граничных условиях (15) и (16) имеет
вид:
_ ^ , 7DC-, . . , JuCry . __. , 7DC-, » , JuC^. __. . ТОСл « . , juC -у »
^/1=C1cos(—L)sin(—-), = С,, sin(—L)cos(—-), r=C3sin(—L)sin(—-) ; (32.a)
a b ' ' a b a b
 = C4 cos(^)sin(^), Д = Q sin(^)cos(^), f = C6 sin(^)sin(^) ; (326)
a b ci b a b
_ 7ÏX J ЮС^ _ . ,Яц TjF n ■ /®п ■ (32в)
их = С7 cos(—L)sin(—-), и2 = Cs sin(—L)cos(—-), W = Cg sin(—L)sin(—-).
a b a b a b
Подставляя решения (32) в системы уравнений (6), (11), (12) и (13), получим систему линейных алгебраических уравнений относительно девяти постоянных неизвестных Q,C2,..., C9. Решение системы уравнений (19), (20), (24), (25) и (28), удовлетворяющее граничным условиям (29.б) и (29.в), имеет вид:
у/х = Д cos(—)sin(^-), ij/n = A sin(— )cos(—), г = Д sin(— )sin(^-); (33.a)
a b " " a b a b
Д = Д cos(^)sin(^), Д = Д sin(^)cos(^), f = D6 sin(^)sin(^) ; (33 6)
a b ci b ci b
тл • ~ r, • jjr г, .,лхг лх^ (33.в)
ux = Д cos(—L) sin( —-), u2 = Д sin( —L) cos(—-), W = Dg sin( —L ) sin( —-).
ci b ci b ci b
Подставляя решения (33) в системы уравнений (19), (20), (24), (25) и (28), получим систему линейных алгебраических уравнений относительно девяти постоянных неизвестных
А, А,..., Д .
С помощью решений алгебраических систем уравнений получены численные значения перемещений и напряжений для прямоугольной изотропной пластины с относительной толщиной
H 1 H
— = — при различных значениях отношения —. Значения коэффициентов Пуассона
b 4 a
принимались vx =v2 = v3 =0.3.
В таблицах 1-3 приведены численные значения, полученные при решении первой задачи. В таблице 1 представлены численные результаты расчета обобщенных перемещений
Еху/х Еху/2 Exßx Exß2 Exr Exy
. Расчеты показывают, что с увеличением размера
Hq0 Hq0 Hq0 Hq0 Hq0 Hq0
пластины уменьшаются значения перемещений у/2, ß2, а перемещения ïj7x, ßxB другом направлении, наоборот, увеличиваются. С увеличением этого размера пластины значения нормальных перемещений г, у практически не меняются.
Усаров М.К. Изгиб ортотропных пластин с учетом бимоментов 87
Таблица 1. Значения кинематических функций первой задачи
Н / Ь Е1ц/11 Яд0 Е^2/ Ядо ЕД/ Идо Е&/ Н?о Ехг /Н^о ЕхГ/ НЧо
1/4 -0.1239 -0.1239 -0.0376 -0.0376 -0.0763 -0.0456
1/6 -0.1717 -0.1145 -0.0535 -0.0356 -0.0761 -0.0456
1/10 -0.2139 -0.0856 -0.0675 -0.0270 -0.0761 -0.0456
В таблице 2 приведены численные результаты расчета безразмерных продольных сил
ип =——, ппп -——, п1П ——— и бимоментов =—=—=—. Как видим,
н н н н н н
при увеличении размера пластины Ь значения силы и бимомента пластины Ж22, ^22 увеличиваются, а значения сил N1, N2 и бимоментов Т 1з Т12 уменьшаются. Таблица 2. Значения продольных сил и бимоментов первой задачи
Н / Ь пи/ до П22 / д0 П12/ д о ?„/ до ^22 / до ^12 / до
1/4 -0.0748 -0.0748 -0.0748 -0.0998 -0.0998 -0.0227
1/6 -0.0461 -0.1034 -0.0692 -0.0896 -0.1075 -0.0215
1/10 -0.0207 -0.1292 -0.0517 -0.0808 -0.1150 -0.0163
В таблице 3 приведены безразмерные численные результаты расчета кинематических функций щ, й2, Ж и безразмерных обобщенных напряжений а22, аи. С увеличением размера пластины Ь значения перемещения й1 и напряжений уменьшаются, а значения
перемещения й1 и напряжения увеличиваются. Отметим, что увеличение этого параметра практически не влияет на значение нормального перемещения Ж .
Таблица 3. Значения перемещений и напряжений первой задачи
Н / Ь Ехих /Нц{) Е1и 2 / НЧо ЕЖ1/ Ндо аи/ д о °"22 / до °"12/ до
1/4 -0.0956 -0.0956 -0.2270 -0.1070 -0.1070 -0.0577
1/6 -0.1430 -0.0953 -0.2273 -0.0744 -0.1224 -0.0576
1/10 -0.1850 -0.0740 -0.2273 -0.0470 -0.1408 -0.0447
В таблицах 4-6 приведены численные результаты, полученные при решении второй задачи. В таблице 4 приводятся безразмерные результаты расчета кинематических функций
£>1 ЕЛ ЕЛ Е1Г ЕхУ
. Отметим, что с увеличением размера пластины Ь
Нск Нд0 Нд0 Нд0 Нд0 Нс/(]
увеличиваются значения перемещений Д, а в другом направлении пластины размером а перемещения нормального направления пластины г, у также увеличиваются. Перемещения
ц~/2, Д2 в направлении размера Ъ сначала увеличиваются, а потом уменьшаются. Таблица 4. Значения кинематических функций второй задачи
Н / Ь Е1^1/ Ндо Е1^2/ Ндо ЕхД / Ндо Е1/~2 / Н^о Е1~ / Н^о Е1~/ Н^о
1/4 -0.8897 -0.8897 -0.5420 -0.5420 9.2752 3.0633
1/6 -1.7319 -1.1546 -1.0505 -0.7002 16.6581 5.5081
1/10 -2.7063 -1.0825 -1.6378 -0.6552 24.9393 8.2541
В таблице 5 приведены безразмерные численные результаты расчета изгибающих
2Мл 1 2М22
моментов сил т\\=-~->т22 =-~> продольных изгибающих бимоментов
#z Я'
2Р\\ „ 2 Р22
Ри=-, Рг2~- и перерезывающих сил <913/Яд0, При увеличении
Я2 Я2
размера пластины Ь значения момента, силы и бимомента щг, Ц3, Д увеличиваются, а значения момента, силы и бимомента т22,Ц23, Р22 увеличиваются, а потом уменьшаются.
Таблица 5. Значения моментов, бимоментов и перерезывающих сил второй задачи
H / b ти/ q0 т22 /q0 Pii/ q о P 22 / qo Öi3/ Hqo Q23/ Hqo
1/4 1.0836 1.0836 0.6570 0.6570 0.6366 0.6366
1/6 1.7796 1.1983 1.0764 0.7238 0.8815 0.5876
1/10 2.5335 1.1600 1.5304 0.6992 1.0976 0.4390
По таблицам 6-8 можно сделать аналогичные выводы по анализу результатов расчетов. В таблице 6 приведены безразмерные численные результаты расчета кинематических функций
м1з г^, Ж и обобщенных напряжений ¿гп, сг22, сг12.
Таблица 6. Значения перемещений и напряжений для второй задачи
H / b Exux /Hq{) Ei~2 / Hqo EW~ / Hq0 ~ii/ q о ~22 / q0 <~i2/ qo
1/4 -2.8147 -2.8147 9.0498 3.3724 3.3724 -1.7005
1/6 -5.3957 -3.5971 16.3112 5.4921 3.6811 -2.1732
1/10 -8.3667 -3.3467 24.4851 7.7820 3.5360 -2.0219
Максимальные значения перемещений и напряжений пластины достигаются на лицевых поверхностях пластины и определяются решениями первой и второй задачи. Ниже приводим формулы для определения перемещений и напряжений на лицевых поверхностях пластины
г = —И и г = И\
г/ ] =й-ип и\+) = г/. (/ = 1,2), //<->= Ж-Ж, г/<+) =Ж+Ж
< ' <У,Г •<*//- (/ = 1,2; 7 = 1,2).
В таблицах 7 и 8 приведены безразмерные численные результаты расчета перемещений
Ем, Е,ип Ем, „ , _ _. _
——, 1 -, —и напряжении стп, ¿т99, (т19 на верхнем (таблица 7) и нижнем (таблица 8)
Що Н% Н%
слоях пластины.
Таблица 7. Значения перемещений и напряжений на верхнем слое пластины
H / b } / Яд0 Eu( } /
1/4 2.7192 2.7192 9.2764 -3.4794 -3.4794 1.6428
1/6 5.2527 3.5018 16.5384 -5.5665 -3.8035 2.1156
1/10 8.1818 3.2727 24.7125 -7.8290 -3.6768 1.9772
Таблица 8. Значения перемещений и напряжений на нижнем слое пластины
Я / b EX+) / Я<70 £>2+) / £из+) / Я<?0 Of?/ Я, cr22)/ ^О ^(2+)/
1/4 -2.9103 -2.9103 8.8227 3.2654 3.2654 -1.7583
1/6 -5.5388 -3.6924 16.0839 5.4177 3.5587 -2.2308
1/10 -8.5517 -3.4207 24.2588 7.7350 3.3951 -2.0666
Заключение
В ходе исследования были получены следующие результаты:
• сформулирована задача изгиба толстых ортотропных пластин с учетом бимоментов;
• построено аналитическое решение задачи изгиба толстой ортотропной пластины;
• получены численные результаты, представляющие кинематические функции обобщенных перемещений, сил, моментов, бимоментов и напряжений.
Литература
1. Амбарцумян А.С. Теория анизотропных пластин: Прочность, устойчивость и колебания. М.: Наука, 1987. 360 с.
2. Вольмир А.С. Нелинейная динамика оболочек и пластин. М.: Наука, 1972. 432 с.
3. Бутенко Ю.И. Вариационно-асимптотические методы построения неклассических моделей расчета однослойных и многослойных стержней и пластин: дис.. д-ра физ.-мат наук. Казань, 2003. 402 с.
4. Карпов В.В. Геометрически нелинейные задачи для пластин и оболочек и методы их решения. М.: АСВ, 1999. 154 с.
5. Абдикаримов Р.А., Жгутов В.М. Математические модели задач нелинейной динамики вязкоупругих ортотропных пластин и оболочек переменной толщины // Инженерно-строительный журнал. 2010. №6. С. 38-47.
6. Жгутов В.М. Математические модели и алгоритмы исследования устойчивости пологих ребристых оболочек при учете различных свойств материала // Известия Орловского гос. техн. ун-та. Серия «Строительство, транспорт». 2007. №4. С. 20-23.
7. Жгутов В.М. Математическая модель деформирования ортотропных и изотропных ребристых оболочек при учете ползучести материала // Инженерно-строительный журнал. 2009. №7. С.46-54.
8. Агаловян Л.А., Геворкян Р.С, Хачатрян Г.Г. Асимптотическое решение смешанных краевых задач двухслойных анизотропных пластин переменной толщины // Изв. нац. АН Армении. Сер. мех. 1998. Т.51. №2. С. 27-36.
9. Karamooz Ravari M.R., Forouzan M.R. Frequency equations for the in-plane vibration of orthotopic circular annular plate // Archive of Applied Mechanics. 2011. Vol. 81. No.9. Pp. 1307-1322.
10. Soukup J., Vales F., Volek J., Skocilas J. Transient vibration of thin viscoelastic orthotopic plates // Acta Mechanica Sinica. 2011. Vol. 27. No.1. Pp. 98-107.
11. Papkov S.O. Steady-state forced vibrations of a rectangular orthotropic plate // Journal of Mathematical Sciences. 2013. Vol. 192. No.6. Pp. 691-702.
12. Hsi-Hung Chang, Jiann-Quo Tarn. Three-Dimensional Elasticity Solutions for Rectangular Orthotropic Plates // Journal of Elasticity. 2012. Vol. 108. No.1. Pp. 49-66.
13. Birman V. Mechanics of Composite Plates // Solid Mechanics and Its Applications. 2011. Vol. 178. Pp. 173-223.
14. Zenkour A.M., Allam M.N.M., Shaker M.O., Radwan A.F. On the simple and mixed first-order theories for plates resting on elastic foundations // Acta Mechanica. 2011. Vol. 220. No.1-4. Pp. 33-46.
15. Lacarbonara W. Nonlinear Structural Mechanics: Theory, Dynamical Phenomena and Modeling. 2013. 879 p.
16. Власов В.З. Тонкостенные пространственные системы. М.: Гостстройиздат, 1958. 503 с.
17. Усаров М.К. Задача изгиба для толстой ортотропной пластины в трехмерной постановке // Инженерно-строительный журнал. 2011. №4. С.40-47.
18. Усаров М.К. Изгиб толстых пластин // Вестник ТашИИТ. 2008. №2. С.30-35.
19. Усаров М.К. Изгиб анизотропной пластины // Проблемы механики. 2009. №2-3. С.34-37
20. Усаров М.К. Вынужденные колебания толстых пластин // Проблемы механики. 2010. №3. С.15-18.
Махаматали Корабоевич Усаров, г. Ташкент, Узбекистан Тел. раб.: +7(871)2627132; эл. почта: umakhamatali@mail.ru
© Усаров М.К., 2015