CC BY
12
УДК 539.3
К ЗАДАЧЕ О ПРОДОЛЬНО-ПОПЕРЕЧНОМ ДЕФОРМИРОВАНИИ БАЛОК
И ПЛАСТИН
Р. А. Сабиров
Сибирский государственный университет науки и технологий имени академика М. Ф. Решетнева Российская Федерация, 660037, г. Красноярск, просп. им. газеты «Красноярский рабочий», 31
E-mail: rashidsab@mail.ru
Работа направлена на изучение подходов к моделированию напряженно-деформированного состояния предварительно растянутой гибкой балки на действие поперечных сосредоточенных сил, с дальнейшей целью рассмотрения тонких пластин.
Ключевые слова: балка, продольно-поперечный изгиб, геометрическая нелинейность.
ON THE PROBLEM OF LONGITUDINAL-TRANSVERSE DEFORMATION
BEAMS AND PLATES
R. A. Sabirov
Reshetnev Siberian State University of Science and Technology 31, Krasnoyarskii rabochii prospekt, Krasnoyarsk, 660037, Russian Federation
E-mail: rashidsab@mail.ru
The work is aimed at studying approaches to modeling the stress-strain state of a pre-stretched flexible beam on the action of transverse concentrated forces, with the further purpose of considering thin plates.
Keywords: beam, longitudinal-transverse bend, geometric non-linearity.
В качестве первых работ по расчету и исследованию нелинейной деформации изотропной мембраны под поперечной нагрузкой можно назвать труды [1; 2].
Теория гибких пластин, в частности, теория Т. Кармана, описывается книгах по теории упругости, например, в работах В.В. Новожилова, П.А. Лукаша, П.Ф. Папковича. Академик Новожилов получает уравнения для сильно изогнутых пластин, и как частный случай -классические уравнения тонких пластин Кирхгофа - а уравнения Кармана относит к промежуточному случаю [3]. Профессор Лукаш П.А. в [4] рассматривает уравнения геометрически нелинейных пластин; получена система дифференциальных уравнений в функциях напряжений и перемещениях. В фундаментальных работах академика П.Ф. Папковича рассматриваются задачи, в которых имеются разрывы непрерывности исследуемых функций (в частности - от сосредоточенных сил). В балках для нахождения упругой линии стержня применяется метод Клебша [5], решения задач приведены в справочнике по строительной механике корабля [6].
Назовем работу [7], в которой уравнения продольно-поперечного изгиба пластин получают как частный случай уравнений теории оболочек на действие локальных сил. Отметим мнение профессора В.Л. Бидермана, что численные методы при решении такой важной инженерной задачи, как расчет тонкостенных конструкций на воздействия локальных нагрузок оказывается малоэффективным, в связи с чем аналитические методы продолжают играть здесь главную роль.
Применительно к ракетно-космической технике по расчету и конструированию пластин, отметим работы [8, 9]. Разработан и применен аналитический метод нелинейного анализа деформации тонкой гибкой композитной (ортотропной) мембраны, рассмотрены вопросы
Секция «Механика конструкций ракетно-космической техники»
проектирования эластичной композитной мембраны, предварительно натянутой на раме солнечной батареи космического корабля, от распределенного давления для широкого спектра
Цель данной работы - на сравнительно простой задаче оценить напряженное состояние от взаимовлияния локальной силы и растягивающих сил, понять возможность (целесообразность) применения вариационно-разностного метода в задаче продольно-поперечного изгиба балки, оценить сходимость прогибов, изгибающих моментов и поперечной силы в локальной зоне ее приложения, в зависимости от густоты конечно-разностной сетки.
Рассмотрим расчет однопролетной балки, растянутой с двух сторон и нормальной, к ее осевой линии, силы. Из справочника по строительной механике корабля [6], (Т.1, стр. 413) выпишем формулы для вычисления прогибов V = у(г), углов поворота 3 = 3(г) и изгибающих моментов М = М(г) в балке длиной I, подвергнутой совместному действию продольной силы Т и сосредоточенной силы Р.
Для удобства вычислений и построения графиков в эти формулы из [6], мы введем функцию Хевисайда Н (г) :
=ЕТр2иу& - Ш- 0'50) - к(2 - 0-5')]Я(2 - °4 (1)
Р13 г и Щи)
v(0,5l) =
3(2) =
Ы (2и ) Р12 [
и 2
¿(0) =
Ы (2и )2 Р12
2 - Ц)^(к (2 -°-51)) - 1)Н (2 -°-51)},
Ы (2и )2
1 2
2ск(и)
3(1) = -
Р12
Ш (2и)
1 2
2ек(и)
М (г)=^ ^+* 1к (г -0-51 )1Н (2 -0-51 >
М (0,51) = -
Здесь к =
Р1 Щи)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
к1
и = —; Е - модуль Юнга, J - осевой момент инерции сечения.
ч11
Па;
Рассмотрим пример расчета прогибов и напряжений в балке длиной I = 1 м; Е = 2-10 прямоугольного поперечного сечения Ь = 3-10(-2) м; к = 2-10(-2) м (рис.1).
Приведем эпюры прогибов на рис.1 а и изгибающих моментов на рис. 1 б.
Если приложим силу Р = 1 кН без силы натяжения Т, тогда, в этом случае, напряжение от изгиба равно 125 МПа.
Далее, добавляем силу натяжения Т и меняем её величину. Вычисляем напряжения сложением напряжений от изгиба и растяжения:
- Т = 1 Н (малое растяжение - (помним, что Т не равно нулю); напряжение от растяжения равно 1,7 МПа; суммарное напряжение равно 125 МПа;.
- Т= 10 кН; напряжение от растяжения равно 16,7 МПа; суммарное напряжение равно 141,7 МПа.
- Т = 100 кН; напряжение от растяжения равно 166,7 МПа; суммарное напряжение равно 292,7 МПа приближается к опасному напряжению - напряжению текучести стали.
- Т = 1000 кН; напряжение от растяжения стало равным 1666,7 МПа (увеличилось в 10 раз); здесь суммарное напряжение равно 1792,7 МПа и существенно превышает напряжение текучести стали, и такой нагрузки не может быть.
а б
Эпюры прогибов и изгибающих моментов в балке от совместного действия сил:
а - прогибы; б - изгибающие моменты. Сплошная линия - состояние от действий сил P = 1 кН; T = 1 Н; штриховая линия -решения от сил P = 1 кН; T = 10 кН; штрих-пунктирная линия соответствует P = 1 кН; T = 100 кН; линия точечная - линия от сил P = 1 кН; T = 1000 кН.
Выводы. Из эпюр прогибов и изгибающих моментов, видим, что при увеличении растягивающей продольной силы Т, стрелки прогиба уменьшаются и моменты уменьшаются. Характер линий, а именно до достижения напряжениями опасной величины - линейный. Поэтому, можно предположить, что и в пластинах, приближенных к классификации жестких пластин, не потребуется локального (т.е. существенного в области приложения силы) сгущения сетки МКЭ или МКР. При достаточно большом растяжении функция прогиба стремится к упругой линии абсолютно гибкой нити [10].
Библиографические ссылки
1. Föppl A, Föppl L. Drang und zwang, Eine höhere festigkeitslehre fur ingenieure, Vol. 1, Verlag von R. Oldenbourg, München und Berlin; 1924.
1. Föppl A, Föppl L. Drang und Zwang, Побуждение и принуждение, Теория высокой прочности для инженеров, Том 1, издатель Р. Олденбурга, Мюнхена и Берлина; 1924 th
2. Прескотт Дж. Прикладная упругость. 1-е изд. Лондон: Лонгманс, Грин и Компания; 1924.
3. Новожилов В.В. Основы нелинейной теории упругости. ОГИЗ.Гостехиздат. Л.-М. 1948. 212 с.
4. Лукаш П.А. Основы нелинейной строительной механики. М., Стройиздат, 1978. 204 с.
5. Папкович П.Ф. Строительная механика корабля. Часть II. Сложный изгиб, устойчивость стержней и устойчивость пластин. СУДПРОМГИЗ. Ленинград, 1941. 960 с.
6. Справочник по строительной механике корабля. СУДПРОМГИЗ, том 1. Л. 1958. 628 с.
7. Лукасевич С. Локальные нагрузки в пластинах и оболочках. - М. Мир, 1982. 544 с.
8. Лопатин A.B., Шумкова Л.В., Гантовник В.Б. Нелинейная деформация ортотропной мембраны, растянутой на жесткой раме солнечного элемента. В: Протокол 49-й конференции AIAA / ASME / ASCE / AHS / ASC, структурной динамики и материалов, 16-й конференции AIAA / ASME / AHS по адаптивным структурам. 10t, Schaumburg, IL: AIAA-2008-2302; 7-10 апреля 2008 г.
9. Analysis and design of the flexible composite membrane stretched on the spacecraft solar array frame/ Morozov E.V., Lopatin A.V. // Composite Structures 94 (2012), 3106-3114.
10. Тимошенко С.П., Юнг Д., Инженерная механика. М.: Машгиз, 1960. 508 с.
О Сабиров Р. А., 2020
