Уравнения с производными дробного порядка: замены переменных и нелокальные симметрии Текст научной статьи по специальности «Математика»

2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 4. № 4 (2012). С. 54-68.

УДК 517.9

УРАВНЕНИЯ С ПРОИЗВОДНЫМИ ДРОБНОГО ПОРЯДКА: ЗАМЕНЫ ПЕРЕМЕННЫХ И НЕЛОКАЛЬНЫЕ СИММЕТРИИ

Р.К. ГАЗИЗОВ, А.А. КАСАТКИН, С.Ю. ЛУКАЩУК

Аннотация. В работе рассматриваются точечные замены переменных в интегралах и производных дробного порядка различных типов. В общем случае такие замены приводят к возникновению операторов дробного интегродифференцирования функции по другой функции. Решается задача расширения действия группы точечных преобразований на данный тип операторов, приводятся и доказываются соответствующие формулы продолжения инфинитезимального оператора группы. На простом примере обыкновенного дифференциального уравнения с производной дробного порядка иллюстрируется применение формул продолжения для нахождения некоторых его нелокальных симметрий и проверки их допускаемости уравнением.

Ключевые слова: дробные производные, формулы продолжения, нелокальные симметрии.

Введение

Исследование симметрийных свойств дифференциальных уравнений, содержащих производные дробного порядка, представляет в настоящее время актуальную задачу в связи со все более широким использованием таких уравнений в качестве математических моделей различных процессов с аномальной кинетикой [1, 2]. При этом, в отличие от классической производной целого порядка, существует множество не тождественных определений производных дробного порядка [3, 4, 5, 6, 7], что приводит к многообразию близких по форме, но существенно отличающихся по свойствам дифференциальных уравнений дробного порядка. Наиболее часто на практике используются понятия левосторонних производных дробного порядка типа Римана-Лиувилля [3]

1 Ап Г у(г)

(cD“y) (х) =

Г(п — a) dxn Jc (х — t)a-n+l

dt

и типа Капуто [4]

С т^а

с

у) (х)

y[n)(t)

Г(п — a) Jc (х — t)a-n+1

dt

(1)

(2)

(здесь п = [а] + 1, Г(ж) — гамма-функция).

В общем случае, решение дифференциального уравнения с производной (1) может содержать интегрируемую особенность порядка не выше 1 — а в точке х = с, в то время как из существования производной (2) следует ограниченность решения в этой точке. Известно (см., например, [4]), что если существует конечный предел Ишж^с+ у(х) = у (с), то

R.K. Gazizov, A.A. Kasatkin, S.Yu. Lukashchuk, Fractional differential equations: change

OF VARIABLES AND NONLOCAL SYMMETRIES.

© Газизов P.K., Касаткин А.А., Лукащук С.Ю. 2012.

Работа выполнена в ФГБОУ ВПО УГАТУ в рамках договора №11.G34.31.0042 по постановлению №220 Правительства РФ.

Поступила 9 ноября 2012 г.

X

І

производные (1) и (2) связаны соотношением

1 У(с)

(сВаху) (х) = (СсВЧу) (х) + ^ — а) (х — с)а. (3)

В работах [8, 9, 10, 11] методы построения точечных групп преобразований, допускаемых дифференциальными уравнениями, были развиты для уравнений, содержащих дробные производные вида, (1) и (2), Были построены формулы продолжения инфинитезимально-го оператора группы на интегралы и производные дробного порядка, разработаны алгоритмы нахождения допускаемой группы для уравнений, содержащих эти производные, решены некоторые задачи групповой классификации обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных дробного порядка. Оказалось, однако, что класс замен переменных, сохраняющих вид дробных производных, весьма ограничен. Для производных типа Римана-Лиувилля (1) общий вид такой точечной замены определяется выражением

СС\ + (х — с) _ , . . , . .

х=------■---------, у = Фо(х)+ уфг(x),

С1 + с2(х — с)

где С, С1, С2 — ПОСТОЯННые, 'фо(х), ф1(х) — некоторые функции, конкретный вид которых определяется изучаемым уравнением.

Тем не менее, производные вида, (1) и (2) являются лишь частными, хотя и наиболее часто используемыми видами производных дробного порядка. Более общим является случай дробной производной от функции по другой функции, который неизбежно возникает при общей замене переменных в любой производной дробного порядка конкретного типа. Дифференциальные уравнения с дробной производной от функции по функции возникают, в частности, при построении инвариантных решений уравнений в частных производных дробного порядка. Например, при построении инвариантных решений для уравнений аномального переноса относительно группы растяжений возникают обыкновенные дифференциальные уравнения с производными дробного порядка типа Эрдейи-Кобера [8, 12], Существующие методы их решения весьма сложны и подходят лишь для узких классов уравнений.

Использование дробных производных от функции по функции позволяет в общем случае расширить класс возможных замен переменных, рассматривая их как новый вид преобразований эквивалентности (краткое обсуждение этого вопроса можно найти в [13]), Такой подход открывает новые возможности при редукции числа переменных, и, в частности, при построении инвариантных решений,

В связи с этим представляется актуальным распространение методов группового анализа на класс уравнений дробного порядка, содержащих дробные производные от функции по функции. Первым шагом на этом пути является построение формул продолжения IIII-финитезимального оператора группы на интегралы и производные дробного порядка, от функции по функции, которому посвящен второй раздел данной работы.

Поскольку операторы производных дробного порядка представляют собой интегро-дифференциальные операторы, т.е. по определению являются нелокальными, представляется естественным, что уравнения с такими производными должны обладать нелокальными симметриями. Одним из способов построения таких симметрий является использование неточечных (содержащих дробные производные или интегралы) замен переменных. При этом определяется действие операторов в пространстве, расширенном на соответствующие нелокальные переменные.

Использование формулы продолжения для построения и проверки нелокальных симметрий показано на простом примере. Отметим, что при работе с дробными производными проверка допускаемости оператора зачастую является нетривиальной задачей, что и проиллюстрировано в третьем разделе данной работы.

1. Дробная производная от функции по функции и формула продолжения

В общем случае, произвольная замена переменных Сс = <р(х, у), у = ф(х, у) не сохраняет вила, оператора дробного дифференцирования, В частности, при такой замене дробная производная Римана-Лиувилля (1) порядка а Е (0,1) переходит в левостороннюю дробную производную от функции ф(х, у) то функции <р(х,у):

, а л г , 1 1 d [х фЩВ^Щ

М = вШТх ]„ ш — Р[ф«м' 1яе с: ф'у(х))1^ =с.

Здесь для сокращения записи введено обозначение /[ж] = /(х,у(х)). Определение и основные свойства производных от функции по функции см,, например, в [3].

Приведем ряд примеров таких замен переменных, переводящих оператор Римана-Лиувилля в другие известные виды операторов дробного дифференцирования,

1) Перенос по х

х = х + а, у = у

сохраняет тип оператора и изменит лишь нижнии предел интегрирования:

(с Оах\

(сВаху) (ж) = (-сПаху) (x), с = с + а.

-1

(сЩу)(х) = ^^-------г-^7^ I ,-Г&, Ь =1/а,с = са.

2) Замена переменных

х = ха, у = у

приводит к замене оператора Римана-Лиувилля на оператор типа Эрдейи-Кобера [3]:

1 1 d Г у(Щь

Г(1—а) Ць-1 Же ]-с (хь — ?)

Такая замена часто выполняется при поиске инвариантных решений для уравнений аномального переноса дробного порядка на группе растяжений [8].

3) Замена переменных

х = ех, у = у

приводит к замене оператора Римана-Лиувилля на оператор дробной производной типа Адамара [3]:

( V) М =_____-_____— /' т

,с *У>[Х> Г(1 —а) (1п I)“ Г

Наряду с понятием дробной производной от функции по функции, используется и понятие интеграла дробного порядка 3 > 0 от функции по функции [3]:

( 1Г> у) М = — Г_____________________л (4)

(с^У) № Г(3)1 ш — ()

При этом предполагается [3], что па интервале (с, д) функция д(х) > 0 и имеет непрерывную производную д'(х) постоянного знака (д'(х) > 0 или д'(х) < 0). Функция у(х) рассматривается интегрируемой по Лебегу па интервале (с^),т.е. у Е Ь1(с^).

В дальнейшем, для простоты изложения, будем рассматривать левостороннюю дробную производную порядка а Е (0,1) функции у(х) то функции д(х):

{сО%)У) (Х) = -^(-) — (С%Х)У) (Х) = ^ I (д(х) — д^))а (5)

Дробная производная (1) при а Е (0,1) является частным случаем (5) при д(х) = х.

Дробная производная (5) обладает двумя свойствами, которые будут использоваться в дальнейшем при выводе формулы продолжения.

Свойство 1. Справедливо соотношение

\х) (9(х)У(х)) = 9(х)с^д(х)У(^) + иС1д(х)

с®%) (д(х)у(х)) = д(х)сод^{х)у(х) + ас!д—У(х). (6)

Доказательство.

О" (аЫЫМ =Г =

с ^ = г(1 — а) д,{х) Лх1 ш _ тЛ

1 1 с1

Г(1 — а) д'(х) dx

д(х)у(г)д1 (г) ,

[д(х) — д(г)\

-И — \д(х) — дШ ау(1)д'(t)dt

1 Г уШ(V ^ + 1 д(х) Г у{ъ)д'(ь) ^—

Г(1 — а) }с \д(х) — д(г)]а Г(1 — а) д'(х) dx ]с \д(х) — д(г)]с

пх

Г(1 — а) / \д(х) )- 1())]а ^ = ас1д- у(х) + д(х')сП<д(-)У(х').

□

Свойство 2. Если Пт у(Ь) (д(Ь) — д(с)) = 0, то справедливо равенство

<щХ) шш - 9т = *■ т

Доказательство. Доказательство проводится интегрированием по частям и последующим дифференцированием получаемого интеграла с переменным верхним пределом:

С

ва

1 1 & Г у(г)(д(1) — д(с)) ,

Г(1 — а) д’(х) dx

— уШ» — — т'-°

X

+

С

1 — а

[х г / ч/ / ч / \м(9(х) — 9^))1-а 1

+ ЩуШд® — у(с))]-;-&

Л 1 — а-

1 Гх d

ОАуШд^) — д(с))] —(д(х) — д(г)) adt

(1 — а)Г(1 — а) д’(х) ]с dx

_ 1 [х [уШд^) — д(с))] ^

Г(1 — а) ]с [д(х) — дШа

□

Утверждение 1. Рассмотрим однопараметрическую группу точечных преобразований в инфинитезимальной форме:

х = х + [ж] + о(а), у(х) = У(х) + щ\х) + о(а).

Пусть функция у(х) Е Ь1(с^) и имеет непрерывную при х Е (с, d) производиую у1 (х), функции £ [ж] = £ (х,у(х)) и г][х] = гц(х, у(х)) достаточно гладкие в каждой точке (с, в), д(х) — монотонная положительная дважды дифференцируемая, функция.

Тогда, инфинитезимальное преобразование дробного интеграла, (4) при 3 = 1 —а может быть представлено в виде

(с11— у) (ж) = У) (ж) + а(а-1[х] + o(a),

где (а-1 определяется, формулой продолжения

Са-1М = с!1^('Ч — Су')(х) + £[х]д'(х) (сЯф)У) (х). (8)

Доказательство. Запишем оператор дробного интегрирования в новых переменных х,у:

( , 1-ад) (с) = ___1___ Г * У(Т)9' Щт = _________1___ Г ___________Т/Ш (т)йт________ +

V дИ V) ( > = Г(1 — 0)1, [9(г) — д(т)]« Г(1 — 0)1 [д(х + — д(тИ» + ( >'

(9)

X

1

( )

тегрирования т. Наиболее естественный вид замены т = т + а£[т] позволяет легко перейти от у(т) к у(т) (у(т) = у(т) + аг1 [г] + о(а)). Однако, такая замена приводит к появлению параметра а в нижнем пределе интегрирования, что существенно усложняет дальнейшие преобразования и требует наложения дополнительных ограничений на вид функции £[ж]

Здесь £ — новая переменная интегрирования. Такая замена сохраняет форму пределов интегрирования, поскольку £ = с переходит вг = с, а £ = ж в т = х + а£[ж]. Осуществляя данную замену в (9), получим

Рассмотрим подробно преобразование каждого из подынтегральных сомножителей. Чтобы выразить у(т) через £, необходимо в у(т) + а^[т] + о(а) подставить аргумент

т, преобразующийся при замене точно в т. Известно, что обратная инфинитезимальная замена имеет вид т = т — [т] + о(а), Выражая т через определенный ранее £, получим

Более оптимальной является замена переменных

т = і + ак(х, і),

где

(10)

т = і + ак(х, і) — а£[і] + о(а).

В результате имеем

У(т ^=і+а!г(х,і) = (У(т) + а'П[Т] + о{а))Іт=і+аН(х^-ат+о(а) =

= у(і + ак(х, і) — а£[і]) + ац[і] + о(а) = у(і) + ау'(і)(Ь(х, і) — £[і]) + ац[і] + о(а) ^

т=і+аН(х,і)-а£>[і]+о(а)

у' (і) + о(а). (12)

Далее,

(д(х + <[ж]) — д(т))|

т=і+аН(х,і)

д(х) + а^[х]д' (х) — д(і) — ак(х,і)д' (і) + о(а)

9(х) — д(і) + Л ^[ж

откуда

[д(х + <[ж]) — д(т)] “

т=і+аН(х,і)

(д(х) — д(і)) “ ^ 1

^ + о(а). (13)

Наконец,

(•'<0 %)

(д'(I) + ад''(1)к(х, £))(! + ак^х, I)) + о(а)

т=Ь+аН(х$)

к* (*'“ +’'"' ш^т—т)+•>•>=

-- « О «Ж)+«

Подставляя (12),(13),(14) в (11), получим

('с11{т) у) (х) = Г(11—а)£ (у(т) [9(х + [ж]) — 9(г)] а 9'(с)^

+ о(а)

т=Ь+аН(х£)

Г(1 — а)]с\ д(х) — 9(с) 9' СО

х ^х) — 1 — ^д'М (1 + * + “М

_ 1 Г у(^9г ^ )<й + а Г д' (г)<И х

Г(1 — а) Л (9(х) — д^))а Г(1 — а ) Л (д(х) — д(г))с

х (чИ — М + [g<t)g_<^^<C) V'т ^ — a)•!/<г)]) + 0{а> =

с^дЫ у) М + ас1'д-} Ь1 — Ы) М +

+ а£[х]д'(х) Г ((д(г) — д(с))у'(г) + (1 — а)у(г)д'(г) +

+ Г(1 — а)(д(х) — д(с))]с (д(Х) — д®)° + ( )’

Воспользуемся свойствами 1 и 2 для преобразования последнего интеграла:

1 Г _ 1 Г ЩуШдф — 9(с))] — ау(^д'(г) ^ =

Г(1 — а) Jc Г(1 — а) Л (9(х) — дО)а

- сОад{х)[у(х)(д(х) — д(с))] — а,,1х-у(х) = сОад{х)(д(х)у(х)) — д(с)сВад{х)У(х) — аЛ1-у(х) =

(6)

9(Х)с^д(х)У(Х) + ас1д{х) У(Х) — д(С)с^д(х)У(Х'

= (9(х) — д(с)) {сОад[х)У) (х)

д(х)сОд;{х)У(х) + у(х) — д(с)сВад{х)у(х) — а^д-* у(х)

В результате окончательно находим

(с11д-т) у) (х) = (с1]-х) у) (х) + а (с^ (^ — &) (х) + £[х]д'(х) (с0^х)у) (х)) + o(a),

что и доказывает утверждение, □

Утверждение 2. В условиях утверждения 1, инфинитезимальное преобразование дробной производной (5) порядка а Е (0,1) имеет вид

(сВад{х)У) = (сВад{х)У) N + 0(о) ,

где

С«И = сВадф — £у')(х) + £[х]д'(х) (сО^у) (х). (15)

Доказательство. По определению,

(‘^)0 (-с> = 77^ I ^ с) ^

Используя инфинитезимальные разложения

4== (Р) 4~ = (1 -а°х£ [ж]+о(а))

ах \ах / ах ах

1 1 Л г т 9"(х) , Л

~ТГ\ = ~ГТ^ 1 - а£[х]^^ + о(а) \ , д'(х) д'(х)\ д' (х) к>)

(с^д-) У) (х) = (с1^У) (х) + аСа-1[х) + 0(а),

получаем

1 ( о'' \ $

№&=) (х) = и - а^ + о(а)) (1 - аПх^ + о(а)) ^д-аУ + а(«-1 + о(а)) =

= ~ ^ — а (°х(с^ а'У) + а°х^"-1) + о(а) =

= 1 Ох(с1д-ау) + а (ох(а-1 - Ох(с1д-дй) + о(а) =

д' д д' \ д' д )

= сЩу + а (Ох. иу (п - О/)) + Ох ад' сЩу) - ВхЦд' )сОду) + =

9

= сЩУ + а Ох(сI]-д (гП - &)) + £°х(с°ду^ + 0(а) =

= с°ду +а (с°д(^- &) + £д'с°д+1 у ) + о(а). Здесь для сокращения записи аргумент х у всех функций опущен, □

Замечание 1. При д(х) = х (15) переходит в полученную ранее [9] формулу продолжения для производной типа Римана-Лиувилля, а при целых а совпадает с известными классическими формулами продолжения на производные целых порядков [14].

Замечание 2. В отличие от производных целого порядка, раскрывать скобки в правой части (15) в общем случае нельзя, поскольку дробная производная от отдельных слагаемых ^ и £у' может не существовать. Примером оператора с такими коэффициентами является Х1 из раздела 3,

Замечание 3. Можно показать, что формулы (8) и (15) справедливы для дробных интегралов и производных произвольного порядка, соответственно,

2. Нелокальные симметрии

Нелокальные симметрии для дифференциальных уравнений с производными целого порядка известны достаточно давно [15] и позволяют, в ряде случаев, строить дополнительные инвариантные решения и законы сохранения. При этом следует отметить, что не существует конструктивного алгоритма их построения. Известно несколько эвристических подходов, позволяющих строить отдельные виды нелокальных симметрий. Одним из них является введение нелокальных переменных и расширения действия преобразований на эти переменные. Данный подход может быть успешно применен и для уравнений с производными дробного порядка, В этом случае построенные в предыдущем разделе формулы продолжения (8), (15) могут быть использованы как для построения нелокальных симметрий, так и для проверки их допускаемости уравнением.

Проиллюстрируем это на простом примере.

Рассмотрим уравнение

оОхд+1у = 0, а е (0,1), (16)

где

которое имеет известное общее решение у = ха-1(с1х + с2) (с:1, с2 — произвольные постоянные), По определению дробной производной, уравнение (16) может быть записано в

виде

ох (о11х-ау) = 0,

(о'1-'ду) дх- = гд1-7- [ (Зд*

— левосторонний интеграл дробного порядка 1 - а.

После нелокальной замены г = 01^-ау уравнение (16) запишется в виде

г'' = 0, (17)

которое допускает известную восьмипараметрическую группу [9], определяемую инфини-тезимальными операторами

X = 9 X = 9 X = т9 X = г9

Л1 = 77“, л2 = тг-, лз = ^^—, = ^—,

ох ог ох Ох

V ® V ® V 2 ® ® V ® 2 ®

^5 = х—, Хб = г—, Х7 = х— + хг—, Х% = хг— + х—.

Ог Ог Ох Ох Ох Ог

В силу тождества 0О^-а01^-ау = у, можно произвести обращение нелокальной замены:

У = о О1—г.

Используя формулу продолжения (15) с д(х) = х, можно построить продолжение группы уравнения г" = 0 на дробную производную 0Бх-аг:

О-а = о°х а(гЦ - )+ £ оаг. (18)

0х

цирования и интегрирования.

Известное соотношение между производными Римана-Лиувилля и Капут (3) в данном случае может быть записано как

О} = В11-и} = 11-0г +f1-T|3- ■ $ е (0,1). (19)

После его дифференцирования имеем

= О Г + 1 Г—, (20)

что позволяет при /3 = 1 -а записать

та ! тл1-а г(0)ха-1 ^-а I тл2-а г(0)ха-2

Гг = Б1 аг------—, Б1 аг = Б2 аг -^---------------т. (21)

!(а) !(а - 1)

Заметим, что поскольку г(0) существует, то существует и дробная производная 0О^~аг'.

При построении продолжения также оказывается полезной формула Лейбница для дробного дифференцирования произведения двух функций (см, [3]):

о (19) = / Бкд. (22)

к—0 \ /

к—о

Здссь т — биномиальные коэффициенты, Б1 к/ = 1к 1 $ при к > 0. В частности,

О1 (х/) = хБ1 (23)

О(х2!) = Л?(!) + 2|ЗтD1-^(^) + р(13 - 1)О1-2(/). (24)

Дробная производная степенной функции имеет вид [3]

Бах1 = ^Г^+^х1-а, 1> -1, а е М. (25)

Г(^ -а + 1) ’ ' у ;

Продолжение оператора Х1: Здесь £ = 1,1] = 0 и

0-а = -О1-а{,) + О2-аг =

!(а - 1)

Продолжение операторов Х2:

<1-а = О1-а(1){2=)х~1

Т(а)

Продолжение операторов Х5:

(1-а = О1-а(х) ^ .

!(а + 1)

Продолжение операторов Х6:

(1-а = Б1-а(г).

Продолжение оператора, Х3:

с1-а = -Б1-а(хг ')+хО2-а(г).

Из предположения существования конечного значения г(0) следует, что (хг)|х—0 = 0, Тогда в силу (19) имеем О1-а(хг)' = О2-а(хг) и, представляя хг' как (-хг)' - г.; получим

<1-а = -Б2-а{хг) + Б1-аг + хО2-а(г) =} (а - 1)Б1-аг.

Продолжение оператора, Х4:

(1-а = -О1-а (гг') + гБ2-а (г).

Используя уравнение (17), правило Лейбница (22), а также представления (21), можно избавиться от нелинейности под оператором дробного дифференцирования:

<1-а (= - ^ (1 - Лип(г) Б1-а-пг'+гБ2-а(г) =} -гБ1-аг'-(1-а)г'Гг'+гБ2-а(г) =}

п—0 ' П '

= (Б1-а:- 2+ 7-~-^У-^-2 = (а_ 1-JD^-аz_~^g0TTg—. +

(1 а)г \О - Г(а) ,1+^ - 1) ^ 2 Г(а - 1) + Г(а -

Данная форма коэффициента продолженного оператора не является единственно возможной, В частности, можно исключить переменную г', используя представление дробной производной Б1-аг на уравнении (17):

п—о

О1-аг (=) ^ ^ - ^ Оп^) О1-а-п^Ш^) ?ха 1 + (1 - а)г'ха

Г(а) Г(а + 1)

откуда в силу Г(а + 1) = аГ(а) имеем

у

(1 - а)г' = Г(а + 1)х-аБ1-аг - а—.

х

В результате находим

6-а = - (Г(а + 1)х-аВ1-аг - ( В1-аг - 1 +

*\ (пі-а 4°)ха ^ + гг(Р)ха 2

х/ \ Г(а) ) Г(а — 1)

—Г(„ + ;(0)г(а+ и„(0)х‘-2

ха х хГ(а) \Г(а — 1) Г(а) /

(И1-аг)2 а(г + г(0))И1-аг гг(0)ха-2

-г(а + 1)------------а-+

х Г(а)

Продолжение оператора Х7:

(1-а = Б1-а(хг — х2х!) + х2В2-ах.

Поступая аналогично процедуре продолжения оператора Х3, находим

(1-а = в1-а(хг) — 01-а0(х2г) + Б1-а(2хг) + х2 В2-аг

(3 — 3а)Гг

— (2 — а)(1 — о)1а х = (2а — 1)хБ1-аг + (1 — а2)Оаг

3Б1-а(хг) — В2-а{х2£) + х2В2-аг{Щ=Щ 3хВ1-аг + (3 — 3а)1ах — (4 — 2а)хП1-аг—

Продолжение оператора, Х8:

(1-а = О1-а(г2 - ххт!) + ххО2-ах. (26)

Используя правило Лейбница (22), в силу уравнения (17) находим

О1-а(г2) (= ^ Л - а\ Опг О1-а-пх (= хО1-ах + (1 - а)х'1ах. (27)

п—0 П '

Аналогично, применяя правило Лейбница для хг ■ Ун учитывая, что в силу уравнения (17) Б3(хг) = 0, имеем

— Б1-а(хгг'){2І)=17) —хг01-а(г') — (1 — а)(г + хг')1 V — (1 — а)(—а)г'1а+1г' =}

а 2

(= —хгБ2-аг+ххг}^)ґ . — (1—а)(г+хг') !(а — 1)

В1~а,- г(0)х

а 1

Па)

+а (1—(х)г

I аг-

г(0)ха Г(а + 1)

Г(а — 1)

+ а,(1 — Ы)

ъ1-а гг(0)ха 1 ' 1-а г'г (0)ха

гГ>1 г — 7----------їм--ГГ + х^ в1 аг — Т--------Тут?-------ГГ

(а — 1)!(а — 1) (а — 1)!(а — 1)

х'х(0)ха

+

х'1ах -

а(а — 1)Г(а — 1)

—хгВ2-аг — (1 — а)гВ1-аг — (1 — а)хг'В1-аг + а(1 — а)г'Гг. (28)

Подставляя (27) и (28) в (26), получим

(1-а = агИ1 аг + (1 — а2)г'Гг — (1 — а)хг'И1 аг.

В результате продолженные операторы принимают вид

д г(0)ха-2 д

*1 = — +

дх Г(а - 1) дг(1-а) ’

д ха-1 д

Хо =--------1----------------

дг Г(а) дг(1-а),

д д Хз = х— + (а - 1)г(1-а)-

Ъ = ~д + ((„. 1Ь'Л-а) г'г(0)ха 1 . ™(0)ха 2) д

Х4 = *тЧ(а- 1)г:: - Г(а-1) +717-1:),)щт-

дх дг(1-а)''

а-1 а-2

-а)

Г(а - 1) ' Г(а - 1) /) дг(1-а)

~ д ха д

5 Х дг + Г(а + 1)5г(1-а),

Х6 = г— + г(1-а)__________-____

6 гдг + * дг(1-а),

~ $ $

Х7 = х2— + хг— + \(2а - 1)хг(1-а') + (1 - а2)г(-а^ -.—т, дх дг ^ ^ \ дг(1-а)

~ $ $ Х8 = хг——+ г2-—+ [агг(1-а) - (1 - а)хг'г(1-а) + (1 - а2)г'г(-а^]

' дх дг 1 ] дг(1-а)7

где г(1-а) = 0О\-аг. Отсюда, после обратной замены переменных г = 01х-ау, находим симметрии уравнения (16):

д у(а-1) (0)ха-2 д

1 дх + Г(а - 1) ду,

V _ ха-1 ^

Л2 = х -7^,

ду

^ ® д

Хз = хТх +(а ~1)у^

= (а-1) А + (га - 1) (а) - У(а¥а-1)(0)ха-1 + у(а-1)у(а-1)(0)ха-2 \ _д_

дх \ Г(а - 1) Г(а - 1) ) ду’

X = ха —

^5 х г\ ,

ду

V 8 Х6=

д д х7 = х -^х + \(2а - 1)хУ +(1 - а2)1у) ,

д д Х8 = ху(а-1')-—+ \ауу(а-1') - (1 - а)хуу(а') + (1 - а2)у(а') 1у] —.

(29)

дх ду

Здесь у(а-1) = о1^-ау, 1у = о1хУ-

Симметрии Х2, Х3, Х5, Х6 являются локальными, остальные симметрии являются нелокальными, Отметим, что входятпее в операторы Х1 и Х4 начальное значение у(а-1\0) является естественным начальным условием при постановке задачи Коши для дробнодифференциальных уравнений.

Покажем, что коэффициенты операторов Х1... Х8 удовлетворяют определяющему уравнению

Са+11Па+1у—0 0

которое для уравнения (16) принимает вил

0+1 ('Ц - Су')|^+1у—о = °.

Операторы Х2,Х5,Хе. Проверка тривиальна. Для Х6 имеем

B“+1(y)|D.+,s=0 = ч.

Для Х2 имеем 'q — £у' = жа, В силу (25) получаем

Da+1xa = 0,

поскольку гамма-функция имеет в точках х = 0, х = —п,п Е К полюсы 1 порядка. Аналогично для Х$: Иа+1ха-1 = 0.

Оператор Х-^:

= / у{д-1)(0)хд-2 Д

^+1 V Г(а — 1) У)'

Г(а — 1)

Отметим, что Da+1у' и Da+1xa-2 те существуют, так что применять оператор Da+1 к отдельным слагаемым в данном случае нельзя.

Соотношение (19) позволяет записать при f = 11-ау следующее представление у:

(т 1-«7/)(0) . та-1 <?,(а-1) (0)та-1

у = D1-a 11-ау = IaDI 1-ау + (-----------------= 1авау + ^-------------------------Ц-, (30)

1(a) Г(а)

откуда

1.(а-1) (0)та-2

у' = 01-а0а у + 11 {и,Х (31)

!(а — 1)

в силу (а — 1)Г(а — 1) = Г(а), Тогда

<а+1 = —оа+чо'-оау).

В силу соотношения (19) для и уравнения (16) имеем

В1-аОау = ОГОау (= 1аВа+1у + (D (= (D У)(^ХпЛ (32)

У У У Г(1 — Р) Г(1 — р) v ;

(существование (0ау)(0) следует из постановки задачи Коши для исходного уравнения или из существования z' (0)),

Дробная производная порядка а + 1 от выражения (32) равна нулю в силу (25), откуда

Co+lJDai+i у=0 °‘

Оператор группы растяжений Х3:

(а+1 = Da+l((a — 1)у — ху').

Используя представление ху' = (ху)' — у и соотношение Ва+1(ху)' = Оа+2(ху) (верное в силу (ху)1 х=о = 0), получим

Са+1 = Оа+1(ау — (ху)') = aDa+ly — Оа+2(ху) (= —хОа+2(у) — 2Ва+1(у),

и

Са+1|_Оа+1 у=0 0*

Оператор Х^:

= П°а + 1 ((а — 1)уу(а) — + У'^р^-2 — v(*-V) .

Используя правило Лейбница (22), легко заметить, что дробные производные от первого и второго слагаемого в силу уравнения (16) равны нулю:

Щ+1Ыа))^ + 1Г0 =’ (а + 1)оа+1-"у ■ Da+ny

п=о\ п '

Da+1y=0

0»+1(х°-1уЫ)| 0 <=> £ (а + Л Ва+1-п^-1

п=0^ П /

Оа+1у=0

Для упрощения оставшейся части выражения воспользуемся представлением у' (31):

^ 2 - у(а-1)^ = -а;+1 (/ 1-ау. о1-аОау)

^(а + ЛВа+1-п(В1-аВау) ■ Бп(11-ау).

п=0 ' ^ '

В силу уравнения и его дифференциальных следствий £>а+п = 0 все слагаемые с п > 1 обращаются в нуль. Первые два слагаемых также равны нулю в силу выполненного на уравнении соотношения (32):

—Па+1(П1-аПау) ■ 11-ау — (а + 1)0а(01-а0ау) ■ Оау =} 0.

Замечание, Из доказательства видно, что допускается оператор более простого вида., чем Х4:

^ = (а-1)_д_ + у(а-1)у(а-1)(0)ха-2 _5_

4 У дх Г(а — 1) ду

Оператор Х7:

Са+1 = Оа+1((2а — 1)ху + (1 — а2)1у — х2у').

Справедливы равенства

Оа+11у = В211-а1у = В21 (I1-а у) = П11-ау = Ва у,

Оа(ху') = Оа(ху)' — Бау = Оа+1(ху) — Бау = хОа+1у + аБау,

Оа+1 (ху') = ВВа(ху') = (а + 1)Ба+1у + хОа+2у.

Таким образом,

Ва+11у = оау, Ва(Ху' )\в,+1у_0 = аОау, Оа+1 (хуТ)]^^ = 0. (33)

Тогда

Са+1 = (2а — 1)Оа+1(ху) + (1 — а2)Ва+11у — Ба+1(х ■ ху') =

= (2а — 1)хОа+1(у) + (2а — 1)(а + 1)Бау + (1 — а2)Оау — хБа+1(ху') — (а + 1)Оа(ху'). После подстановки уравнения (16) и использования соотношений (33) получим Са+1 \^а+1у=0 = (2а2 + а — 1 + 1 — а2)Иау — 0 — а(а + 1)Иау = °.

Оператор Х8:

Са+1 = Оа+1[ауу(а-1) — (1 — а)хуу(а) + (1 — а2)у(а)1у — ху(а-1)у'}.

Воспользуемся правилом Лейбница (22) для представления каждого из слагаемых, учитывая, что в силу уравнения (16) Оа+пу = 0 при п > 0,

Оа+1[ау11-ау] (= а ^ (а + Л Ба+1-пу Пп+а-1у (= а(а + 1)(Оау)2,

п=0 ^ п /

Ба+1[(а — 1)хуОау] (= (а — 1) ^ (а + Л Ба+1-п(ху) Вп+ау (= (а — 1)Ва+1(ху) (=

п=0 V ^ /

(а — 1)хИа+1(у) + (а — 1)(а + 1)(Ва!,)2 (а2 — 1)(Оау)2,

Da+l[(1 _ a2)DayIy\ (— (1 _ а2) + ^ Da+l—n(Iy) Dn+ay {—

n—0 \ п /

(— (1 _ а2)Da+l(Iy) Day (— (1 _ a2)(Day)2,

Da+l[_xy'Il—ay\ (— _ (a + Л Da+l—n(xy') Dn+a—ly (16)

n—0 V n )

ч п

п=0 4

(= —Ва+1(ху')11-ау — (а + 1)Оа(ху')Оау (= —а(а + 1)(Оау)2.

Легко видеть, что в сумме правые части всех равенств дают 0, что и требовалось доказать. Отметим, что также допускаются и более простые операторы:

^ д д — д

Хн = ху(а-1) — + ауу(а-1) — , Х8 = ((а — 1)хуу(а) + (1 — а2)у[а)1у) — .

Замечание. Ранее, в работе [9], из принципа инвариантности для уравнения (16) было получено пять локальных симметрий, включая оператор проектирования

^2 9 д

Х9 = х — + аху—. ох оу

Данный оператор не может быть получен из Х1,...,Х8, но наиболее близким к нему является Х7, полученный из оператора проектирования для уравнения г" = 0, Нетрудно проверить, что нелокальный оператор

Xio = Xj _ Xq = [(а _ 1)ху I (1 _ о> )1у\~

:м (16), При етея в нуль, т,е, Х7 совпадает с Х9

ду

допускается уравнением (16), При этом в предельном случае а — 1 оператор Xl0 обраща-

Заключение

Полученные в работе формулы продолжения дают возможность исследования симмет-рийных свойств нового класса дифференциальных уравнений, содержащих производные дробного порядка от функции по другой функции. При этом следующей важной задачей, требующей решения, является разработка методики разрешения получающего в результате определяющего уравнения. Основную сложность при этом представляет вопрос о правилах расщепления определяющего уравнения.

Другим направлением дальнейших исследований является систематизация результатов по нелокальным симметриям дифференциальных уравнений дробного порядка и разработка новых алгоритмов их построения. Также весьма важным представляется вопрос о выработке правил классификации нелокальных симметрий таких уравнений.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. R. Metzler, J. Klafter The random walk’s guide to anomalous diffusion: A fractional dynamic approach // Phvs. Rep., 2000, V. 339, P. 1-77.

2. Учайкин В.В. Метод дробных производных. — Ульяновск: Изд-во «Артишок», 2008. 512 с.

3. Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. ^ Минск: Наука и техника, 1987. 688 с.

4. A.A. Kilbas, Н.М. Srivastava, J.J. Trujillo Theory and applications of fractional differential equations. ^Elsevier, Amsterdam, 2006.

5. Нахушев A.M. Дробное исчисление и его применение. ^ М.: Физматилит. 2003. 272 с.

6. G. Jumarie Modified Riemann-Liouville derivative and fractional Taylor series of nondifferentiable functions further results // Computers and Mathematics with Applications. Vol. 51, 2006. P. 1367-1376.

7. K.M. Kolwankar, A.D. Gangal Holder exponents of irregular signals and local fractional derivatives jj Pramana J. Phvs. V. 48, No. 1 (1997). P. 49-68.

8. E Buckwar, Yu. Luchko Invariance of a partial differential equation of fractional order under the Lie group of scaling transformations // J. Math. Anal. Appl., 1998, V. 227, P. 81-97.

9. Газизов P.K., Касаткин А.А., Лукащук С.Ю. Непрерывные группы преобразований дифференциальных уравнений дробного порядка j j Вестник УГАТУ. 2007. Т. 9, N8 3 (21). С. 125-135.

10. R.K. Gazizov, A.A. Kasatkin, S.Yu. Lukashchuk Symmetry properties of fractional diffusion equations // Phvsica Scripta. 2009. T 136, 014016.

11. R.K. Gazizov, A.A. Kasatkin, S.Yu. Lukashchuk Group-Invariant Solutions of Fractional Differential Equations. ^Nonlinear Science and Complexity, Springer. 2011. P. 51-59.

12. R. Sahadevan, T. Bakkvaraj Invariantanalysis of timefractional generalized Burgers and Korteweg de Vries equations // Journal of Mathematical Analysis and Applications, V. 393, Issue 2. P. 341-347.

13. Газизов P.K., Касаткин А.А., Лукащук С.Ю. Симметрийные свойства дифференциальных уравнений переноса, дробного порядка, // Труды Института механики им. P.P. Мавлютова УНЦ РАН. Вып. 9. / Материалы V Российской конференции с международным участием «Многофазные системы: теория и приложения» (Уфа, 2-5 июля 2012 г.). Часть 1. — Уфа: Нефтегазовое дело, 2012. С. 59-64

14. N.H. Ibragimov (ed.) CRC Handbook of Lie Group Analysis of Differential Equations. — CRC Press, Boca Raton. V. 1. 1994. 430 p.

15. Ахатов И.Ш., Газизов P.K., Ибрагимов H.X. Нелокальные симметрии. Эвристический подход. — Соврем, проблемы математики. Новейшие достижения. Итоги науки и техники. М.: ВИНИТИ, 1989. Т. 34. С. 3-83.

Рафаил Кавыевич Газизов,

Уфимский государственный авиационный технический университет,

Лаборатория „Групповой анализ математических моделей естествознания, техники и технологий “, ул. Карла Маркса, 12,

450000, г. Уфа, Россия E-mail: gazizov@mail .rb.ru

Алексей Александрович Касаткин,

Уфимский государственный авиационный технический университет,

Лаборатория „Групповой анализ математических моделей я“ ул. Карла Маркса, 12,

450000, г. Уфа, Россия

E-mail: alexei_kasatkin@mail.ru

Станислав Юрьевич Лукащук.

Уфимский государственный авиационный технический университет,

Лаборатория „Групповой анализ математических моделей я“ ул. Карла Маркса, 12,

450000, г. Уфа, Россия E-mail: lsu@mail.rb.ru