CC BY
8
Уравнения колебаний с учетом нелинейности до седьмой степени при расположении притягивающих масс на линии равновесия весов
В. М. Шахпаронов
Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, физический факультет, кафедра физики колебаний. Россия, 119991, Москва, Ленинские горы, д. 1, стр. 2.
E-mail: shahp@phys.msu.ru
Статья поступила 29.01.2014, подписана в печать 31.03.2014.
Проанализирована точность расчета гравитационной постоянной G по методике, разработанной на основе численного интегрирования уравнений колебаний, а также методике, основанной на теории нелинейных колебаний. Учет более высокой седьмой степени при амплитуде 80 мрад в 47 раз уменьшил погрешность расчета момента сил притяжения. Это привело к снижению погрешности при расчете G c 15 до 0.3 ppm.
Ключевые слова: нелинейные колебания, уравнение колебаний, асимптотические методы, гравитационная постоянная, крутильные весы, динамический метод, дестабилизирующие факторы.
УДК: 534.1. PACS: 06.20.Jr, 04.80.Cc, 07.10.Pz, 02.60.Lj.
Введение
Асимптотические методы решения нелинейных уравнений колебаний занимают одно из видных мест как в радиофизике, так и в теории колебаний, которая является одной из ее основных составляющих. Модель нелинейной консервативной системы часто используется в теории колебаний. Она оправданна, когда рассматриваются системы с высокой добротностью. В статье речь идет о чувствительной крутильной системе, в которой момент притяжения рабочего тела пробными телами не пропорционален углу отклонения от положения равновесия. При учете членов высокого порядка асимптотические методы обеспечивают более высокую точность расчета по сравнению с численным интегрированием уравнений колебаний в случае взаимодействующих тел шаровой формы.
В последние годы появились работы, в которых авторы претендуют на существенное снижение погрешности при определении гравитационной постоянной [1-5]. Многие из них базируются на использовании крутильных весов, работающих в режиме свободных колебаний. Отсутствие протоколов измерений и сложная форма взаимодействующих тел затрудняют анализ таких работ. Заявленная авторами погрешность уже достигла уровня 15 ррт, когда существенную роль начинает играть точность вычислений. Поэтому повышение точности расчетов при вычислении гравитационной постоянной и определение имеющейся погрешности представляют актуальную задачу.
В [1, 2] наглядно видно, что авторы учитывают проблему сложности расчетов гравитационной постоянной при наличии нелинейной зависимости момента притяжения от угла отклонения весов. Используются шаровые притягивающие массы. Амплитуда колебаний ограничена величиной порядка 2 мрад, что позволяет игнорировать наличие нелинейности. Весы при добротности 1400 имеют период колебаний порядка 535 с. Низкая чувствительность весов при неудачной форме рабочего тела привела к резкому снижению изменения периода колебаний весов при наличии притягивающих масс. Влияние дестабилизирующего фактора в виде
неравновесных потоков разреженного газа практически полностью погубило данный эксперимент. Неопределенность в толщине металлического покрытия на гранях кварцевого блока привела к дополнительным проблемам. Авторы оценивают погрешность в 26.33 ррт.
В [3] авторы не упоминают о методиках расчета и проблемах, которые неизбежно возникнут при вычислениях. Применены статический и компенсационный методы измерения. Взаимодействующие тела, изготовленные из меди с добавлением 0.7% теллура, имеют цилиндрическую форму. Подвес крутильной системы, выполненный из бериллиевой бронзы с содержанием 1.8% бериллия, толщиной 30 мкм, шириной 2.5 мм и длиной 160 мм обеспечил добротность порядка 105. К сожалению, не приведены данные, которые позволили бы рассчитать величину моментов притяжения. Погрешность, заявленная авторами, составила 27 ррт.
В [4] проблема несколько снижается за счет использования сферических притягивающих масс. Однако она остается достаточно сложной. Причина в том, что рабочее тело изготовлено в виде позолоченной прямоугольной пластинки из пирекса.
При этом авторы претендуют на значительное уменьшение погрешности определения гравитационной постоянной G. Ротационный метод дополнительно усложняет расчеты. Авторы остановились на погрешности 13.7 ррт.
В [5] измерения проводили компенсационным методом. Рабочее тело было изготовлено в виде горизонтального медного цилиндра массой 500 г и подвешено на вольфрамовой нити сечением 17 х 300 мкм длиной в 1 м. Притягивающие тела из нержавеющей стали или меди массой 27 кг были выполнены в виде вертикальных цилиндров. Они стояли на вращающемся столе с центром на оси нити и располагались на противоположных от нее сторонах. Поворотный стол останавливался в четырех позициях, в которых достигался максимум гравитационных сил. Значение G рассчитывалось по напряжению, которое должно быть приложено для сбалансирования гравитационного момента. Вычисления моментов притяжения осложнены цилиндрической формой взаимодействующих тел. Их
значения в работе не приводятся. На протяжении всего эксперимента изменение температуры не превысило 0.2 градуса. Обозначена погрешность 40 ррт.
В [6] авторы подготовились к проведению сложных расчетов путем многократных дискретных измерений угла отклонения весов ф, что позволило вычислить как первую, так и вторую производную ф по времени. При обработке результатов все же возникли серьезные проблемы. Оригинальная методика авторов могла бы принести успех, но ограниченные возможности вычислительной техники не позволили провести качественный анализ. Пришлось вместо имевшихся четырех позиций использовать в расчетах только две — ближнюю и дальнюю. Вычисления моментов притяжения проводились лишь при одном фиксированном значении ф. Предполагалось, что нелинейностью моментов притяжения при амплитудах 18 мрад можно пренебречь. Выполнить вычисления при большом количестве углов отклонения не представлялось в то время возможным. Да и в настоящее время, несмотря на огромное увеличение скорости быстродействия современных компьютеров, табулирование моментов притяжения в настоящей работе представляет серьезную задачу. А без проведения такой предварительной работы никаких операций по вычислению гравитационной постоянной даже при использовании наших методик осуществить невозможно.
При подготовке наших измерений сложность предстоящих расчетов учитывалась заранее. Отклонение от шаровой формы принципиально не допускалось. Это позволило приступить к созданию аналитического метода расчета гравитационной постоянной. Совершенствовалась теория нелинейных колебаний. Сначала она была доведена до учета пятой степени угла отклонения весов, что нас вполне устраивало. Со временем она была развита до седьмой, но в программе для расчета не использовалась. Считалось, что пятой степени вполне достаточно. При этом следует учитывать, что имевшиеся ранее средства вычислений могли проводить расчеты только по предельно простым формулам. Существенный прогресс в области компьютерной техники наложил свой отпечаток на методики расчетов. Появилась дополнительная методика, которая позволила проводить вычисления непосредственно по двум дифференциальным уравнениям колебаний. Несмотря на то что она появилась значительно позднее, ее следует назвать первой. Только она применима при анализе тех работ, где допущено отклонение формы взаимодействующих тел от шаровой. Она работает при больших углах отклонения весов, но требует в случае отклонения от шаровой формы проведения предварительного табулирования моментов притяжения. Даже при их наличии расчеты проводятся примерно на два порядка дольше, чем по другой методике, которую мы назвали второй. Совпадение результатов по нашим двум методикам гарантировало отсутствие ошибок при их разработке и свидетельствовало о достаточно высокой точности расчетов. Однако точно определить их погрешность было трудно. Цель настоящей работы заключается в полном использовании всех резервов теории [7] путем разложения моментов притяжения в ряд по степеням угла отклонения ф до седьмой степени, что гарантирует
повышение точности расчетов. Следовало также оценить величину погрешности методики 2 как в прежнем, так и в новом варианте.
В методике 1 период ангармонических колебаний при двух позициях притягивающих шаровых масс определяется методом Рунге-Кутты при двух близких по величине значениях гравитационной постоянной G. Методом линейной интерполяции определялось значение G, позволявшее совместить разность обратных квадратов расчетных и экспериментальных значений периодов колебаний весов.
Методика 2 базировалась на теории ангармонических колебаний. Момент сил притяжения разлагался в ряд по нечетным степеням угла отклонения весов ф. Период определялся по теории нелинейных колебаний [7], что также позволяло рассчитать гравитационную постоянную при наличии двух уравнений колебаний, когда притягивающие массы располагались на разных позициях. Формулы, полученные в [7, 8], при учете членов высокой степени различались. При детальном анализе выяснилось, что кажущееся различие обусловлено тем, что в [7] использовалась амплитуда первой гармоники, а в [8] — полная амплитуда всех гармоник. После учета этого различия формулы в данных работах на примере математического маятника строго совпали. Это послужило обоснованием достоверности обеих работ. Чем более высокие степени ф использовались при определении периода, тем более высокую точность обеспечивала методика. Теория уже была разработана до седьмой степени, но методика 2 ограничивалась только пятой. В настоящей работе показано, что использование всех имеющихся в настоящее время ресурсов теории позволяет существенно снизить погрешность расчетов гравитационной постоянной.
1. Момент притяжения с учетом седьмой степени
Момент сил притяжения между шаровыми грузами массой m1, укрепленными на концах коромысла, и двумя притягивающими массами
Kii = 2GMmiLi (biai + biW)sin ф, (1)
где biai = L5/(L¡ + L2 - 2LsL¿ cos ф + h2)3/2, Ьш = = -L5/(L5 +L2+2L5L¿ cos ф+Я2)3/2, L5, L¿ — расстояния от оси вращения до центра масс шарового груза и притягивающего шара; индекс i указывает позицию шара; M — разность масс притягивающего шара и вытесненного им воздуха; h — расстояние от центра притягивающей массы до горизонтальной плоскости, в которой расположена ось коромысла; ф — угол отклонения коромысла от положения равновесия.
Момент силы притяжения коромысла двумя массами M
K2¿ = GMm2L¿(b2a¿ + b2b¿) sin ф, (2)
где b2ai = (L2+LeL¿ cos ф+h2)/{L6(Ll + L2 + 2L6L¿ cos ф+ + h2)1/2(L2 sin2 ф + h2)}, b2bi = (L2 - LbL¿ cos ф + + h2)/{-Le(L2 + L2 - 2LbL¿ cos ф + h2)1/2(L2 sin2 ф + h2)}, m2 — масса коромысла, L6 — длина плеча коромысла. Момент K2i получен интегрированием (1) по длине коромысла. При этом предполагалось, что диаметр коромысла пренебрежимо мал. Коромысло рассматривается как совокупность материальных точек — матери-
альный отрезок. Отметим, что формула (2) завышает истинное значение K2i, что может привести к занижению расчетных значений G. Однако возникающая погрешность имеет незначительную величину, поскольку K2i с KH, а диаметр коромысла мал по сравнению с расстояниями между взаимодействующими массами. По своей структуре момент K2i существенно отличается от момента притяжения грузов коромысла K1i. Он состоит из членов K2ai и K2bi, отличающихся знаком перед L6. Первый из них содержит множитель b2ai, а второй — b2bi. Их сумма дает момент притяжения всего коромысла, однако каждый в отдельности не отражает момент притяжения его плеч. Основной недостаток (2) заключается прежде всего в наличии в знаменателе при h = 0 множителя sin ф, что значительно затрудняет вычисления и даже может привести к их срыву при неудачно составленной программе. При стремлении к нулю ф момент K2i также приближается к нулю, но это можно наглядно показать только после представления K2i в виде ряда, содержащего нечетные степени угла отклонения коромысла.
Момент K\i состоит из суммы двух моментов, учитывающих взаимодействие притягивающих масс как с ближним, так и с дальним грузом коромысла:
Ku = Ka + K
1b¡ >
где K\a¡ = 2GMmlL¡bla¡ sin ф, Кш = 2GMmlL¡blb¡ sin ф. Преобразуем знаменатель члена b1a¡:
(L5 + L2 - 2L5L¡ cos ф + h2)-3/2 =
= [(L5 + L2 - 2L5L¡ + h2)(1 + bsaiyi)]-3/2,
где b3a¡ = -2L5L/(L5 + L2 - 2L5L¡ + h2), y¡ = -ф2/2 + + ф4/24 - ф6/720.
Вычислим член (1 + b3a¡y¡)-3/2. Поскольку b3a¡y¡ с 1, воспользуемся биномом Ньютона, использовав члены до z3 включительно в следующей формуле:
(1 + z)n = 1 + nz + n(n - 1)z2/2 + n(n - 1)(n - 2)z3/6.
В нашем случае z = b3a¡y¡, n = -1.5, n(n - 1)/2 = = 1.875, n(n - 1 )(n - 2)/6 = -2.1875. Введем обозначения: b4a¡ = 2Mm1L5L¡(L5 + Lf - 2L5L¡ + h2)-3/2, b5a¡ = -1.5b3a¡, b6a¡ = 1.875bfa¡, b7ai = -2.1875b|a¡ , b4b¡ = -2Mm1L5L¡ (L25 + Lf + 2L5L¡ + h2)-3/2, b5b¡ = = -1.5b3b¡, b3b¡ = 2L5L¡/(L2 + Lf + 2LL + h2), b6b¡ = 1.875bfb¡, b7b¡ = -2.1875bfb¡.
При проведении дальнейших расчетов учтем, что с учетом членов седьмой степени угла отклонения весов ф
sin ф = ф - ф3/6 + ф5/120 - ф7/5040, y2 = ф4/4 - ф6/24, y¡ sin ф = -ф3/2 + ф5/8 - ф7/80. Преобразуем следующие члены: (1+b5a¡y¡) sin ф = ф - ф3 ( 1/6+b5a¡/2) + ф5( 1/120+b5a¡/8)-- ф7( 1/5040 + b5a¡/80), y2 sin ф = ф5/4 - ф7/12,
y? = -ф6/8,
y3 sin ф = -ф7/8.
Используя приведенные выражения, представим момент в виде ряда:
K1a¡ = Gb,
4a¡
ф - ф3/6 + ф5/120 - ф7/5040 +
+b5a¡ (-ф3/2+ф5/8-ф7/80) + b6a¡ (ф5/4-ф7/12) -b7a¡ф7/8 После преобразований найдем, что
K1a¡ = Gb,
4a¡
ф - ф3(1/6 + b5a¡/2) + ф5( 1/120 +
+ Ь5а1 /8 + Ьба«/4) - ( 1/5040 + Ь5а1 /80 + Ьба1/12 + Ь7а1 /8
В члене изменяется знак перед ¿5. При использовании двух равных по величине притягивающих масс
^Н = (Ь4а1 + Ъ4Ы^ф -
b4a¡ (b5a¡/2 + 1/6) + b4b¡ (b5b¡/2 + 1/6)
Gф3 +
+ b4a¡( 1/120 + b5a¡/8 + b6a¡ /4) +
+ b4b¡ (1/120 + b5b¡/8 + b6b¡ /4
Gф5 +
+ b4a¡ ( 1/5040 - b5a¡/80 - b6a¡/12 - b7a¡/8) +
+ b4b¡ (1/5040 - b5a¡/80 - b6a¡/12 - b7a¡/8
Gф7.
Гравитационная постоянная в этом случае выражается
соотношением
Gi¡ = 4п2](Г-2 - Гг2)/(Ыи + Ы21 - Ыц - Ы2)),
где
Ыц = Ы4ai + Ы4Ыi + 3eli ф0i/4 + ф0i(3Ge2i 2/128 + 5e2i /8) + + Ф0(35Й3/64 + 5в1в2^0'-2/64 - 57е3^°4/4096)^0г' = = 4п2/702 + GЫ4ai /I, ей = -Ы4а,-(Ыза,-/2 + 1/6) - Ы4Ы,"(Ы5Ь1 /2 + 1/6), в2,- = Ь4а,( 1/120 + ЬЪаг/8 + Ь6а1 /4) + + Ь4ы (1/120 + Ьбы/8 + Ь6Ы/4), еэ,- = -Ь4а,-(1/5040 + ЬЪа1 /80 + Ь6а/12 + Ь7а/8) -
- Ь4Ы (1/5040 + Ь5ai/80 + Ь6а/12 + Ь7а/8), а член Ь^ учитывает вклад всех участков коромысла, каждое плечо которого условно разделено на п равных отрезков массой т2/2п. Отрезки коромысла рассматриваются как точечные массы. Они расположены на расстояниях ¿6(& - 0.5)/п от оси вращения, £ изменяется в пределах от 1 до п. Методика 2 не использует формулу (2), а предпочитает ценой увеличения времени вычислений рассматривать коромысло как цепочку точечных масс. Длина отрезков коромысла примерно равна его диаметру. При расчетах по методике 1 предпочтение все же отдается формуле (2), что позволяет сократить время вычислений примерно в 50 раз. В члены с индексом ¡ вместо Ь, подставляется L¡.
2. Анализ результатов
Проверку полученных результатов осуществим на примере данных массива 010216. Имя файла содержит год, месяц и дату начала измерений.Массив 010216.dat был завершен 18 января 2002 г. Накопилось 8508 строк протокола. Он имел параметры Т0 = 1721.990 с, М = 14083.566 г, т1 = 9.7192 г, т2 = 2.9673 г,
¿5 = 11.8016 см, Ц = 11.1636 см, ¿1 = 21.1160 см, ¿2 = 23.9131 см, ¿3 = 33.7117 см (расстояния от центров притягивающих масс до оси вращения весов на трех позициях соответственно). Притягивающие стальные массы диаметром 152.4 мм фиксировались в трех позициях. Усредненные периоды колебаний весов составляли соответственно величины 1606.646, 1660.246 и 1707.673 с. Разность периодов колебаний составила 53.600 и 47.427 с, а время измерения на каждой позиции — 0.893, 0.922 и 0.949 ч. В протоколе массива выбираем те строки, которые удобны для проведения анализа в широком диапазоне ф01-. Номера строк сохраняем. Строки выбраны таким образом, что амплитуда колебаний постепенно возрастает. В основном представлены прямые циклы, когда измерения начинаются с ближней к весам позиции 1. В порядке исключения в строках 441-446 и 3562-3567 кроме прямых приведены и обратные циклы. Это позволяет увидеть рост амплитуды колебаний по ходу процесса измерений в автоматическом режиме. Данный эффект не отражается на точности расчетов, поскольку каждая строка протокола содержит две амплитуды колебаний. Он обусловлен тем, что перемещение притягивающих масс ведет к параметрической накачке энергии в крутильную систему. Чем выше добротность системы, больше момент притяжения и амплитуда колебаний, тем сильнее проявляется такой эффект. При введении задержки в начало перемещения притягивающих масс на очередную позицию можно исключить эффект изменения амплитуды колебаний весов.
В данном эксперименте использовалась нить подвеса диаметром 15 мкм из сплава молибдена и рения МР-50. Он обладает повышенной прочностью на раз-
рыв, что позволило увеличить период колебаний весов, однако имеет большие гистерезисные потери по сравнению с вольфрамовыми нитями. После осуществления термомеханической обработки нити подвеса в вакууме под нагрузкой добротность достигла величины порядка 5000, на вольфрамовых нитях после аналогичной операции она возрастала до 20000.
Погрешность расчета моментов притяжения тела весов в позиции 1, когда расстояние от оси вращения весов до центра каждого из притягивающих шаров диаметром 152.4 мм составляет 21.1160 см, приведена в табл. 1. Во всем диапазоне углов отклонения весов ф учет седьмой степени ведет к существенному снижению погрешности. На амплитуде 80 мрад при учете пятой степени погрешность вычисления момента притяжения тела весов составляет —1.48 • 10~5. При учете седьмой степени погрешность составляет всего 3.15 • 10~7. На второй позиции шаровые массы удаляются от весов, что ведет к уменьшению значения момента притяжения и снижению погрешности вычислений (табл. 2). На третьей позиции расстояние до притягивающих масс возрастает значительно, что существенно снижает моменты притяжения (табл. 3). Погрешности вычисления моментов в трех позициях в диапазоне от 50 до 100 мрад показаны на рис. 1. Они определяют в конечном итоге погрешность вычислений 0,1. В табл. 4 приведены периоды и амплитуды колебаний в каждой позиции, значения гравитационной постоянной при расчетах по методике 1 (столбец 8) и методике 2 (столбцы 9 и 10) с учетом пятой и седьмой степеней. Погрешность методики 1 в табл. 4 обозначена <, а методики 2 с учетом пятой степени — <2. Погрешность методики 2 в столбце 10 можно оценить приближенно по по-
Таблица 1
Точные (К) и приближенные значения моментов притяжения тела весов с учетом пятой (К5) и седьмой (К7) степеней ф в позиции 1 массива 010216 при М = 14083.566 г, т1 = 9.7192 г, Ь = 21.1160 см, Ь5 = 11.8016 см
и погрешности их определения и а2к
2 3 4 6 7
ф, мрад 10ПК, Нм 10ПК5, Нм 1011 К7, Нм <71* = (К5 - К)/К <2* = (К - К7)/К <1*/<2*
20.00 1.155971959330 1.155971963482 1.155971959322 3.59 • 10~9 6.76 • 10~12 531.746
30.00 1.730085698282 1.730085769147 1.730085698063 4.10 • 10~8 1.27 • 10~10 323.346
40.00 2.299584276962 2.299584806660 2.299584274135 2.303 • 10~7 1.23 • 10~9 187.340
50.00 2.862981373499 2.862983891872 2.862981352595 8.80 • 10~7 7.30 • 10~9 120.471
52.22 2.987081996500 2.987085407369 2.987081965629 1.14 • 10~6 1.03 • 10~8 110.487
60.00 3.418834339504 3.418843330833 3.418834232145 2.63 • 10~6 3.14 • 10~8 83.750
70.00 3.965753952895 3.965780292346 3.965753524937 6.64 • 10~6 1.08 • 10~7 61.547
71.98 4.072868049376 4.072900038716 4.072867499810 7.85 • 10~6 1.35 • 10~7 58.208
78.02 4.397030468740 4.397086532648 4.397029337172 1.28 • 10~5 2.57 • 10~7 49.545
80.00 4.502413433750 4.502480180511 4.502412017312 1.48 • 10~5 3.15 • 10~7 47.123
89.82 5.018212819539 5.018362121586 5.018208825379 2.98 • 10~5 7.96 • 10~7 37.380
90.00 5.027556614017 5.027708007283 5.027552547656 3.01 • 10~5 8.09 • 10~7 37.231
100.0 5.540005170583 5.540319765014 5.539994737554 5.68 • 10~5 1.88 • 10~6 30.154
120.0 6.522530644243 6.523642180082 6.522477547927 1.70 • 10~4 8.14 • 10~6 20.934
140.0 7.442330133936 7.445547129473 7.442120901126 4.32 • 10~4 2.81 • 10~5 15.375
Точные (К) и приближенные значения моментов притяжения тела весов с учетом пятой (К5) и седьмой (К7) степеней ф в позиции 2 массива 010216 при М = 14083.566 г, т1 = 9.7192 г, Ь = 23.9131 см, Ь5 = 11.8016 см
и погрешности их определения а^ и
2 3 4 6 7
ф, мрад 1012К, Нм 1012К5, Нм 1012К7, Нм аи = (К5 — К)/К а2к = (К — К)/К а1к/а2к
20.00 5.902375180495 5.902375187254 5.902375180488 1.15 • 10~9 1.03 • 10~12 1112.00
30.00 8.839824869502 8.839824984864 8.839824869269 1.31 • 10~8 2.64 • 10"11 494.286
40.00 11.76086492408 11.76086578697 11.76086492098 7.34 • 10~8 2.64 • 10~10 278.027
50.00 14.66015108831 14.66015519458 14.66015106523 2.80 • 10~7 1.57 • 10~9 177.930
52.22 15.30031323510 15.30031879771 15.30031320079 3.64 • 10~7 2.24 • 10~9 162.122
60.00 17.53244521663 17.53245989372 1.753244509752 8.37 • 10~7 6.79 • 10~9 123.225
70.00 20.37263987370 20.37268292777 2.037263939887 2.11 • 10~6 2.33 • 10~8 90.673
71.98 20.93075799428 20.93081029889 20.93075738443 2.50 • 10~6 2.91 • 10~8 85.766
78.02 22.62393205764 22.62402381185 2.262393080113 4.06 • 10~6 5.55 • 10~8 73.023
80.00 23.17578169436 23.17589096746 23.17578012113 4.71 • 10~6 6.79 • 10~8 69.458
89.82 25.88778644352 25.88803128941 2.588778200061 9.46 • 10~6 1.72 • 10~7 55.109
90.00 25.93709329940 25.93734158298 25.93708877604 9.57 • 10~6 1.74 • 10~7 54.889
100.0 28.65199358512 28.65251051511 28.65198195860 1.80 • 10~5 4.06 • 10~7 44.461
120.0 33.92532628169 33.92716077339 3.392526685986 5.41 • 10~5 1.75 • 10~6 30.872
140.0 38.96371101277 38.96904739120 3.896347569185 1.37 • 10~4 6.04 • 10~6 22.677
(К5-К)/К, 10"6
Рис. 1. Погрешность расчета момента притяжения тела весов (К5 — К)/К при учете пятой степени угла
отклонения весов ф в позициях 1, 2, 3 (нижняя кривая)
грешности вычисления момента притяжения, который значительно ниже погрешности при учете только пятой степени. Столбец 10 можно использовать для оценки погрешности расчетов в столбцах 8 и 9, поскольку имеющаяся в ней погрешность сравнительно мала. В диапазоне ф0 до 100 мрад а2 < а\ при дальнейшем росте ф0 погрешность о\ < а2. Погрешность 012 превышает погрешность 0[3. Из трех имеющихся комбинаций самую низкую погрешность имеет комбинация 023. Отметим, что погрешности вычисления моментов притяжения превышают погрешности вычислений гравитационной постоянной. Например, в позиции 1 погреш-
ность вычисления момента притяжения при ф = 71.98 и 89.82 мрад составляет соответственно 7.85 • 10~6 и 2.98 • 10~5, в позиции 2 - 2.50 • 10~6 и 9.46 • 10^6, в позиции 3 — 2.55 • 10~7 и 9.65 • 10~7. При тех же амплитудах колебаний погрешность 012 составляет 7.63• 10~6 и 2.91 • 10~5, погрешность 013 — 5.09-10~6 и 1.95 • 10~5, погрешность 023 — 1.99 • 10~6 и 7.63 • 10^6. Следовательно, из данных табл. 1 и 2 можно сделать вывод, что погрешность расчета 012 при ф0 = 80 мрад не превысит 0.3 ррт, погрешность 013 будет еще ниже, а погрешность 023 не превысит 0.06 ррт. Из табл. 3 следует, что при наличии дополнительной четвертой
Точные (К) и приближенные значения моментов притяжения тела весов с учетом пятой (К5) и седьмой (К7) степеней ф в позиции 3 массива 010216 при М = 14083.566 г, т1 = 9.7192 г, Ь = 33.7117 см, Ь5 = 11.8016 см
и погрешности их определения ст^ и
2 3 4 6 7
ф, мрад 1012К, Нм 1012К5, Нм 1012К7, Нм аи = (К5 - К)/К а2к = (К - К7)/К а1к/а2к
20.00 1.318533207206 1.318533207361 1.318533207206 1.17 • 10~10 4.79 • 10~14 2443.78
30.00 1.976248249024 1.976248251662 1.976248249022 1.33 • 10~9 1.22 • 10~12 1092.91
40.00 2.632105263849 2.632105283597 2.632105263817 7.50 • 10~9 1.22 • 10"11 614.993
50.00 3.285491303107 3.285491397188 3.285491302868 2.86 • 10~8 7.28 • 10"11 393.599
52.22 3.430146679462 3.430146806950 3.430146679108 3.72 • 10~8 1.03 • 10~10 360.843
60.00 3.935798862421 3.935799199156 3.935798861189 8.56 • 10~8 3.13 • 10~10 273.327
70.00 4.582427197754 4.582428186979 4.582427192715 2.16 • 10~7 1.10 • 10~9 196.307
71.98 4.709971587710 4.709972789900 4.709971581257 2.55 • 10~7 1.37 • 10~9 186.296
78.02 5.097964189956 5.097966301239 5.097964176738 4.14 • 10~7 2.59 • 10~9 159.727
80.00 5.224783612098 5.224786127460 5.224783595568 4.81 • 10~7 3.16 • 10~9 152.168
89.82 5.850855960631 5.850861608202 5.850855914083 9.65 • 10~7 7.96 • 10~9 121.328
90.00 5.862284707292 5.862290434381 5.862284659902 9.77 • 10~7 8.08 • 10~9 120.850
100.0 6.494357595791 6.494369546986 6.494357473986 1.84 • 10~6 1.88 • 10~8 98.117
120.0 7.739986707149 7.740029342237 7.739986082493 5.51 • 10~6 8.07 • 10~8 68.254
140.0 8.957341127132 8.957465905639 8.957338639909 1.39 • 10~5 2.78 • 10~7 50.168
Погрешность С^, 10 6
50 40 30 20 10 0
50 60 70 80 90 мрад
Рис. 2. Погрешность вычисления значения гравитационной постоянной 012 по методикам 1 и 2 (нижняя кривая) при учете четвертой степени амплитуды колебаний весов
позиции, в которой притягивающие массы отсутствуют, погрешность расчета 034 окажется не более 0.003 ррт. Погрешность определения 012 в диапазоне ф0 от 50 до 100 мрад иллюстрирует рис. 2.
Учет нелинейности представляет одну из основных проблем при расчете гравитационной постоянной. В позиции 1 при ф = 20 мрад отклонение от линейного закона в моменте притяжения достигает 1786 ррт, что почти совпадает с подобным отклонением в той же позиции 1 в [6], где ф достигает 18 мрад. С ростом ф нелинейность быстро нарастает. Так, при ф = 50 мрад отклонение достигает 11205 ррт, а при ф = 100 мрад —
уже 45 096 ррт. В позиции 2 при тех же значениях ф отклонение составляет соответственно 1218, 7638 и 30687'ррт, что примерно соответствует позиции 3 в [6]. В позиции 3 при тех же ф отклонение составит 563, 3526 и 14135 ррт.
Заключение
Учет членов до седьмой степени ф привел к радикальному снижению погрешности при вычислении как моментов сил притяжения, так и значений гравитационной постоянной во всех комбинациях позиций притягивающих шаровых масс [9]. При этом более
Значения гравитационной постоянной при расчете по методике 1 (столбец 8) и методике 2 с учетом членов при (столбец 9) и ф (столбец 10). Погрешность расчетов по методике 1 дается величиной а1,
по методике 2 — по столбцу 9 — а2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
N п Т, с Т, с Ф01, мрад Ф0/, мрад Оц • 1011 Нм2/кг2
0441 1 2 1607.347 1660.962 46.98 47.78 6.6747326 6.6747468 6.6747506 2.70 • 10-6 5.69 • 10-7
0442 2 3 1660.962 1708.410 47.78 48.19 6.6726179 6.6726255 6.6726265 1.29 • 10-6 1.50 • 10-7
0443 1 3 1607.347 1708.410 46.98 48.19 6.6737890 6.6737995 6.6738022 1.98 • 10-6 4.05 • 10-7
0444 3 2 1708.410 1660.953 48.19 47.95 6.6742030 6.6742102 6.6742113 1.24 • 10-6 1.65 • 10-7
0445 2 1 1660.953 1607.327 47.95 47.11 6.6766578 6.6766706 6.6766746 2.52 • 10-6 5.99 • 10-7
0446 3 1 1708.410 1607.327 48.19 47.11 6.6755616 6.6755725 6.6755751 2.02 • 10-6 3.89 • 10-7
0674 1 2 1607.611 1661.108 52.22 53.12 6.6726337 6.6726533 6.6726606 4.03 • 10-6 1.09 • 10-6
0675 2 3 1661.108 1708.490 53.12 53.58 6.6715742 6.6715829 6.6715848 1.59 • 10-6 2.85 • 10-7
0676 1 3 1607.611 1708.490 52.22 53.58 6.6721607 6.6721756 6.6721805 2.97 • 10-6 7.34 • 10-7
2836 1 2 1608.279 1661.267 71.98 73.27 6.6745053 6.6745611 6.6746120 1.60 • 10-5 7.63 • 10-6
2837 2 3 1661.267 1708.351 73.27 73.94 6.6744077 6.6744203 6.6744336 3.88 • 10-6 1.99 • 10-6
2838 1 3 1608.279 1708.351 71.98 73.94 6.6744630 6.6744997 6.6745337 1.06 • 10-5 5.09 • 10-6
2956 1 2 1608.565 1661.372 78.02 79.41 6.6752060 6.6752867 6.6753706 2.47 • 10-5 1.26 • 10-5
2957 2 3 1661.372 1708.340 79.41 80.14 6.6740354 6.6740537 6.6740753 5.98 • 10-6 3.24 • 10-6
2958 1 3 1608.565 1708.340 78.02 80.14 6.6746839 6.6747357 6.6747917 1.62 • 10-5 8.39 • 10-6
3121 1 2 1609.285 1661.679 89.82 91.50 6.6728554 6.6729201 6.6731144 3.88 • 10-5 2.91 • 10-5
3122 2 3 1661.679 1708.409 91.50 92.39 6.6742756 6.6742820 6.6743329 8.59 • 10-6 7.63 • 10-6
3123 1 3 1609.285 1708.409 89.82 92.39 6.6734939 6.6735344 6.6736643 2.55 • 10-5 1.95 • 10-5
3221 1 2 1609.718 1661.732 99.76 101.60 6.6746631 6.6746968 6.6750647 6.02 • 10-5 5.51 • 10-5
3222 2 3 1661.732 1708.228 101.60 102.57 6.6759000 6.6758918 6.6759877 1.31 • 10-5 1.44 • 10-5
3223 1 3 1609.718 1708.228 99.76 102.57 6.6752222 6.6752377 6.6754832 3.91 • 10-5 3.68 • 10-5
3427 1 2 1611.562 1662.558 123.32 125.56 6.6740600 6.6736591 6.6750021 1.41 • 10-4 2.01 • 10-4
3428 2 3 1662.558 1708.422 125.56 126.74 6.6735300 6.6733883 6.6737345 3.06 • 10-5 5.19 • 10-5
3429 1 3 1611.562 1708.422 123.32 126.74 6.6738264 6.6735418 6.6744344 9.11 • 10-5 1.34 • 10-4
совершенный вариант методики 2 позволил определить фактическую погрешность как методики 2, в которой еще не использовались члены при так и методики 1. Погрешность достигла величины 0.3 ррт, которая в 45 раз ниже уровня 13.7 ррт [4]. Следовательно, наши методики расчета не внесут погрешность в определение гравитационной постоянной даже в тех работах, где заявлены наиболее низкие погрешности. Использование формы взаимодействующих тел, отличающейся от шаровой, не только исключает применение более простой и надежной методики 2, но и существенно осложняет использование методики 1. Она в этом случае может быть реализована только после предварительного вычисления моментов притяжения.
Методика 2 практически сохранила прежнее время вычислений, которое примерно на два порядка меньше времени вычислений по методике 1. При этом появилась возможность увеличить диапазон значений , в котором гарантируется низкая погрешность расчетов. Однако существенный рост нелинейности при увеличении амплитуды колебаний ограничивает верхний предел примерно на прежнем уровне порядка 80 мрад. При
дальнейшем росте амплитуды значительно повышаются требования к точности ее измерения.
Во всех выполненных экспериментах в файле констант вместо величины ф0 = 80 мрад, задающей верхнюю границу расчетов по методике 2, было установлено более высокое значение ф0 = 100 мрад. Специальный ключ программы автоматически осуществляет переход с методики 2 на методику 1 при превышении ф0 заданного уровня. При заявленной погрешности 75 ррт [9] увеличение ф0 в большинстве имеющихся массивов измерений существенно не снизило точность определения О. Однако в некоторых массивах, содержащих большие значения ф0, при учете более высокой нелинейности наблюдалось уточнение О. При изменении любой величины в файле констант новые расчеты массивов, содержащих почти 100000 строк протокола, при использовании данного ключа проводятся в течение нескольких часов.
Автор выражает свою глубокую признательность заведующему кафедрой физики колебаний, физического факультета МГУ доктору физ.-мат. наук, профессору С. П. Вятчанину за ряд очень ценных замечаний и
доктору техн. наук О. В. Карагиозу за поддержку и обсуждение рукописи.
Список литературы
1. Luo J., Liu Q., Tu L.C., Shao C.G. et al. // Phys. Rev. Lett. 2009. 102, N 24. 240801-4.
2. Tu L.C., Li Q, Wang Q.L. et al. // Phys. Rev. D. 2010. 82, № 2. 022001-36.
3. Quinn T.J., Parks H.V., Speake C.C., Davis R.S. // Phys. Rev. Lett. 2013. 111, N 10. 101102-5.
4. Gundlach J.H., Merkowitz S.M. // Phys. Rev. Lett. 2000. 85, N 14. P. 2869.
5. Armstrong T.R., Fitzgerald M.P. // Phys. Rev. Lett. 2003. 91, N 20. 201101-4.
6. Сагитов М.У., Милюков В.К., Монахов Е.А. и др. // Доклады АН СССР. 1979. 245. № 3. С. 567.
7. Кузнецов А.И., Карагиоз О.В., Измайлов В.П. // Измерительная техника. 2005. № 9. С. 11.
8. Колосницын Н.И. // Метрология. 1990. № 11. С. 3.
9. Карагиоз О.В., Измайлов В.П. // Измерительная техника. 1996. № 10. С. 3.
An equation of oscillations for the arrangement of attracting solids on the equilibrium line of a balance with account for nonlinearity of up to the seventh power
V. M. Shakhparonov
Department of Physics of Oscillations, Faculty of Physics, M. V. Lomonosov Moscow State University, Moscow 119991, Russia. E-mail: shahp@phys.msu.ru.
The accuracy of calculating the gravitational constant, G, using a method based on the numerical integration of an equation of oscillations and a method based on the nonlinear oscillation theory is analyzed. Taking account of a higher (the seventh) power at an amplitude of 80 mrad reduces the error of calculating the moment of attraction forces by 47 times. This reduces the error of calculating G from 15 to 0.3 ppm.
Keywords: nonlinear oscillations, equation of oscillations, asymptotic methods, gravitational constant, torsion balance, time-of-swing method, destabilizing factors. PACS: 06.20.Jr, 04.80.Cc, 07.10.Pz, 02.60.Lj. Received 29 January 2014.
English version: Moscow University Physics Bulletin 4(2014). Сведения об авторе
Шахпаронов Владмимир Михайлович — ведущий электроник; тел.: (495) 939-21-46, e-mail: shahp@phys.msu.ru.
