Научная статья на тему 'Определение численного значения гравитационной постоянной при сложной форме взаимодействующих тел'

Определение численного значения гравитационной постоянной при сложной форме взаимодействующих тел Текст научной статьи по специальности «Физика»

CC BY
81
11
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
ГРАВИТАЦИОННАЯ ПОСТОЯННАЯ / GRAVITATIONAL CONSTANT / КРУТИЛЬНЫЕ ВЕСЫ / TORSION BALANCE / ДИНАМИЧЕСКИЙ МЕТОД / DYNAMIC METHOD / МЕТОДИКИ РАСЧЕТА / CALCULATION METHODS / ДЕСТАБИЛИЗИРУЮЩИЕ ФАКТОРЫ / DESTABILIZING FACTORS / ПОТОКИ РАЗРЕЖЕННОГО ГАЗА / NON-EQUILIBRIUM RAREFIED GAS FLOWS

Аннотация научной статьи по физике, автор научной работы — Шахпаронов Владимир Михайлович

Приводится пример расширения функциональной возможности методик для расчета гравитационной постоянной при сферической форме взаимодействующих тел. Проведен анализ результатов, полученных на установке, в которой рабочее тело выполнено в виде кварцевого параллелепипеда. Неудачный выбор формы и материала рабочего тела крутильных весов при наличии в вакуумной камере неравновесных потоков привел к систематической погрешности измерений.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Текст научной работы на тему «Определение численного значения гравитационной постоянной при сложной форме взаимодействующих тел»

РАДИОФИЗИКА, ЭЛЕКТРОНИКА, АКУСТИКА

Определение численного значения гравитационной постоянной при сложной форме взаимодействующих тел

В. М. Шахпаронов

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, физический факультет, кафедра физики колебаний. Россия, 119991, Москва, Ленинские горы, д. 1, стр. 2.

E-mail: shahp@phys.msu.ru

Статья поступила 31.05.2013, подписана в печать 14.09.2013.

Приводится пример расширения функциональной возможности методик для расчета гравитационной постоянной при сферической форме взаимодействующих тел. Проведен анализ результатов, полученных на установке, в которой рабочее тело выполнено в виде кварцевого параллелепипеда. Неудачный выбор формы и материала рабочего тела крутильных весов при наличии в вакуумной камере неравновесных потоков привел к систематической погрешности измерений.

Ключевые слова: гравитационная постоянная, крутильные весы, динамический метод, методики расчета, дестабилизирующие факторы, потоки разреженного газа.

УДК: 534.1. PACS: 06.20.Jr, 04.80.Cc.

Введение

В современной физике и радиофизике, а также метрологии встречаются различные виды гравитационных экспериментов — поиск гравитационных волн [1], проверка принципа эквивалентности [2], определение численного значения гравитационной постоянной [3-18]. К фундаментальным следует отнести прежде всего гравитационно-волновые эксперименты, которые являются современным магистральным направлением. Проверку принципа эквивалентности можно рассматривать как в аспекте проверки положений теории относительности, так и фундаментальной метрологии. История этого эксперимента насчитывает более трех столетий. Измерения гравитационной постоянной G продолжаются около двухсот лет. При этом значимые результаты, полученные динамическим методом и основанные на доступных записях протоколов измерений, являются единичными и уникальными.

В более ранних работах использовался только статический режим, в котором измеряемой величиной является смещение положения равновесия весов. В конце XVIII в. Г. Кавендиш провел опыты по определению гравитационной постоянной, массы и средней плотности Земли [3]. Прибор размещался в изолированном помещении. Наблюдения за отклонениями весов проводились с помощью оптической трубы. В расчетах не учитывалось притяжение коромысла весов. Было получено значение гравитационной постоянной

G = (6.74 ± 0.05) • Ю-11 Н • м2/кг2.

Суть динамического метода заключается в измерении периодов и амплитуд колебаний крутильных весов при различных позициях притягивающих масс. Динамический метод измерения гравитационной постоянной G является одним из основных методов получения численного значения этой фундаментальной константы. Процесс получения окончательного результата состоит из разных этапов. Сначала измеряют массы и геомет-

рию всех взаимодействующих тел, а также их взаимное положение. Затем проводят многократные измерения периодов и амплитуд колебаний крутильных весов при всех заданных положениях притягивающих масс. На заключительном этапе на базе полученных данных вычисляют значение гравитационной постоянной G во всех комбинациях позиций притягивающих масс.

Ф. Райх [4] сделал первую попытку по применению динамического метода. В опытах по определению гравитационной постоянной G австрийский физик из Вены К. Браун наряду со статическим уже успешно использовал и динамический метод, а венгерский физик Р. Этвеш впервые стал использовать только динамический. Измерение G Брауном и Этве-шем проводилось в атмосферных условиях. Результат Брауна (6.658 ± 0.002) • 10"11 Н•м2/кг2 опубликован в 1897 г. [5], а Этвеша (6.657 ± 0.013) • 10"11 Н• • м2/кг2 — в 1896 г. [6].

Реализация динамического метода существенно упрощается, когда все взаимодействующие массы имеют сферическую форму [7]. Настоящая статья посвящена анализу [8, 9] тремя независимыми методиками с использованием содержащихся в [10] моментов притяжения блока с двухслойным металлическим покрытием. В ней устранена допущенная в [11] ошибка вычислений моментов притяжения рабочего тела весов, выполненного в виде позолоченного кварцевого блока. Это позволило более четко и достоверно выявить ряд проблем, с которыми столкнулись авторы [9]. Реальную толщину покрытия на гранях кварцевого блока выяснить не удалось, что затруднило проведение более тщательного анализа. Дополнительная методика 3 представлена в [9].

Совпадение результатов, полученных независимыми методиками 1 и 2, повышает достоверность. Аналогичные результаты, полученные по дополнительной методике 3 с использованием приведенных в [9] протоколов измерений, дополнительно свидетельствуют о достоверности расчетов по методикам 1 и 2.

В методике 1 [11-15] периоды ангармонических колебаний определяют интегрированием уравнений

+ ( 2п )2 + К1

+ (тъ) ф1 + т = 0

+ ( 2п )2 + Кз ъ

-жф3+Т=0

методом Рунге-Кутта, где К1, К3 — моменты притяжения при размещении притягивающих масс в позициях 1 и 3, т — момент инерции рабочего тела весов, т0 — период колебаний при отсутствии притягивающих масс, Ф — угол отклонения весов от положения равновесия. Численные интегрирования проводят при О = О0(1 ± £), где О0 — стандартное значение гравитационной постоянной. В двух позициях при двух значениях О, которые задаются параметрами О0 и £, вычисляют разность обратных квадратов периодов колебаний т1 и т3. Величина £ существенно меньше 1 (обычно она принимается равной 0.001). Ее можно изменять в широких пределах. Результаты расчета О при изменении £ или О0 сохраняются. Гравитационную постоянную О13 определяют по формуле

О13 = О0(1 - £) + 2О0£Техр ~ Т3.

Т1 - Т3

Аналогичный результат обеспечивает и другой вариант этой формулы

О13 = О0(1 + £) + 2О0£Техр - Т1.

Т1 - Т3

Методика 2 [11-15] предусматривает расчеты по аналитическим формулам. Моменты сил притяжения раскладывают в ряд по степеням угла отклонения весов ф. Линейные члены моментов притяжения суммируют с основными линейными членами, нелинейные дают свой вклад с весом 3ф0/4 и амплитуда колебаний.

В экспериментах многих авторов [8-10, 16-18] использовались сложные для расчетов формы взаимодействующих тел. В этих случаях невозможно в аналитическом виде представить моменты притяжения. Возник вопрос: как использовать имеющиеся методики для обработки таких экспериментов?

1. Расчет гравитационной постоянной

Рассмотрим относительно простой случай, когда притягивающие тела со средней массой М = = 778.17785 г имеют шаровую форму, а рабочее тело весов выполнено в виде блока из кварца массой т = 63.38388 г, покрытого двухслойной металлической пленкой массой 49.863 мг [8-10]. Длина блока составляет 91.46546 мм, высота 26.21618 мм, ширина 12.01471 мм. В ряде других работ [16-18] использовались взаимодействующие тела значительно более сложной формы, что ощутимо усложняло проведение расчетов.

Обозначим индексами I и ] позиции притягивающих масс. Если I = 1, ] = 3, то проводится прямой цикл измерений. Если I = 3, ] = 1, то цикл становится обратным. Они непрерывно чередуются. К сожалению, невозможно тут же разместить массы в позиции 2,

3ф0/4 и 5^4/8, где фо —

поскольку они находятся внутри камеры и не могут быть удалены без ее разгерметизации.

В позиции 1 притягивающие массы расположены со стороны торцов подвешенного на крутильной нити блока, в позиции 2 отсутствуют, в позиции 3 повернуты на 90°. Расстояния от центров притягивающих сферических масс до оси вращения рабочего тела весов в позициях 1 и 3 равны и составляют 7.858075 см, поскольку массы перемещаются вращением поворотного стола. В позиции 2 массы удаляются, их взаимодействие с кварцевым блоком исключается. Поскольку они расположены внутри вакуумной камеры, эта процедура вызывает проблемы. При размерах сторон ячеек порядка 50 мкм рассчитаны моменты притяжения К1 и К3 блока без металлического покрытия. Согласно [10], с учетом покрытия и некоторых элементов конструкции весов моменты притяжения К1 и К3 увеличиваются соответственно на 974 и 846 ррт. Воспользуемся данной рекомендацией, которая пока является предметом дискуссий. Далее определим аналогичные значения Ь1т и Ь3т в модельной системе, при которых на малой амплитуде выполняются условия К1т = К1, К3т = К3. В модельной системе блок с покрытием заменен на тонкий стержень массой т = 63.433743 г. Соответствующие величины в модельной системе снабжены дополнительным индексом т. Для уменьшения К1т и К3т до уровня К1 и К3 вводится коррекция в положение притягивающих масс. В позиции 1 на линии равновесия блока находим, что Ь1т = 8.0436221 см, а в позиции 3 расстояние Ь3т = 7.929161 см.

Для обеспечения работоспособности методик 1 и 2 до амплитуды колебаний 80 мрад введем в уравнения движения дополнительные коэффициенты £1 и £3, уравнивающие моменты притяжения реальных и модельных тел в широком диапазоне ф. Тогда уравнения движения весов представим в виде [11]

ё2ф1 (2п\2 _ ^ 1 + £1ф1

dt2 +1 To Ф1 + Kl"

J

= o,

^ +(|)! Ф3+K3. J = 0,

K1m = GMm

aia =

a1a + a1b

sin ф ' Llm + L COS ф1

L (L2 + L21m + 2LLim cos Ф1)

1/2'

a1b = --

L 1m - L COS Ф1

L(L2 + Lfm - 2LL1m cos Ф1) K3m = GMmL3m(b2a + b2b), b2 = L23m - LL3m sin Ф3

4 1/2'

b2b = -

LL23m (L2 + L23m - 2LL3m sin Ф3) оозф3 L23m + LL3m sin ф3

LL3m (L2 + L23m + 2LL3m sin Ф3)1/2 cos ф3

В методике 3 [8, 9] расчеты гравитационной постоянной G13 проводятся по простой приближенной формуле

T-2 _ T-2

G13 = 4^2JGoФ -JL_.

K1 - K3

Она представляет частный случай методики 2. Ее основная ценность состоит в том, что она проста и помогает лишний раз подтвердить эффективность и надежность наших двух методик 1 и 2, поскольку при очень малых амплитудах колебаний достигнуто практически полное совпадение результатов по всем методикам. Расчеты по методикам 1 и 2 проводятся по разработанной программе, написанной на языке Borland C. С введением корректирующих коэффициентов k\ и k2 программа была усложнена и приспособлена для расчетов [9] при амплитуде до 80 мрад и даже более.

По опубликованным экспериментальным данным [9] проведем расчеты гравитационной постоянной как по методике 2, так и по методике 3. Расчеты по методике 1 идеально совпадают с расчетами по методике 2 и поэтому не приводятся. Результаты даны в табл. 1.

Таблица 1

Расчет Gj в первом эксперименте при двухпозиционной схеме

N i 1 Ti, с Tj, с 10%j, Нм2/кг2 1011Gij, Нм2/кг2

1 3 1 535.809800 532.56028 6.67875 6.67870

2 1 3 532.560280 535.80557 6.67013 6.67009

3 3 1 535.805570 532.55578 6.67944 6.67940

4 1 3 532.555790 535.80066 6.66944 6.66940

5 3 1 535.800660 532.55122 6.67892 6.67888

6 1 3 532.551220 535.79711 6.67169 6.67165

7 3 1 535.797110 532.54797 6.67843 6.67839

8 1 3 532.547970 535.79296 6.66998 6.66994

9 3 1 535.792960 532.54438 6.67743 6.67739

10 1 3 532.544380 535.79059 6.67260 6.67256

11 3 1 535.790590 532.54198 6.67758 6.67754

12 1 3 532.541980 535.78766 6.67161 6.67157

13 3 1 535.787660 532.53898 6.67783 6.67779

14 1 3 532.538980 535.78497 6.67235 6.67231

15 3 1 535.784970 532.53606 6.67841 6.67837

16 1 3 532.536060 535.78180 6.67195 6.67191

17 3 1 535.781800 532.53382 6.67660 6.67656

18 1 3 532.533820 535.77985 6.67263 6.67259

19 3 1 535.779850 532.53128 6.67790 6.67786

Методики 2 и 3 дают практически неразличимые результаты. Использование методики 3 при амплитуде колебаний 2 мрад занижает G13 на 6 ррт, а G12 — на 8 ррт. Это обусловлено тем, что она не учитывает оставшуюся нелинейность. В первом эксперименте получены значения

= 6.67138(40) Нм2/кг2, Gзl = 6.67816(25) Нм2/кг2.

Среднее значение G = 6.67477 Нм2/кг2. Разность G31 и G13 составила 1017 ррт. Строгое чередование

более высоких значений G31 в обратных циклах измерений, начинающийся с более удаленной позиции 3, и более низких значений G13 связано с неуклонным дрейфом периода колебаний весов в сторону его уменьшения.

Во втором эксперименте [9] использовались шары со средней массой М = 778.17776 г. Их центры удалены на расстоянии Ь = 7.8685055 см от оси вращения блока. При положении масс в позиции 1 расстояние Ь1т = 8.0537799 см. При положении масс в позиции 3 расстояние Ь3т = 7.939579 см. Расчеты G двумя методиками в двухпозиционной схеме даны в табл. 2.

Таблица 2

Расчет Gj во втором эксперименте при двухпозиционной схеме

N i j Ti, с Tj, с 10nGij, Нм2/кг2 10nGij, Нм2/кг2

1 1 3 532.84127 536.07102 6.66407 6.66403

2 3 1 536.07102 532.83246 6.68241 6.68237

3 1 3 532.83246 536.06499 6.67008 6.67004

4 3 1 536.06499 532.83818 6.65817 6.65813

5 1 3 532.83818 536.06152 6.65108 6.65104

6 3 1 536.06152 532.82485 6.67883 6.67879

7 1 3 532.82485 536.05907 6.67382 6.67378

8 3 1 536.05907 532.82311 6.67745 6.67741

9 1 3 532.82311 536.05755 6.67434 6.67430

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

10 3 1 536.05755 532.82167 6.67734 6.67730

11 1 3 532.82167 536.05622 6.67462 6.67458

12 3 1 536.05622 532.82034 6.67739 6.67735

13 1 3 532.82034 536.05492 6.67473 6.67469

Получено

Glз = 6.66896(332) Нм2/кг2, G3l = 6.67526(351) Нм2/кг2.

Разность G31 и G13 составила 944 ррт при среднем значении 6.67211 Нм2/кг2, что отличается от результатов первого эксперимента.

Заметим, что первые пять результатов второго эксперимента дают

^з = 6.66174(561) Нм2/кг2, G31 = 6.67029(212) Нм2/кг2.

Разность G31 и G13 составила 1282 ррт при среднем значении 6.66017 Нм2/кг2. Последние восемь дают другой, более достоверный результат

= 6.67438(20) Нм2/кг2, G31 = 6.67775(36) Нм2/кг2.

Разность G31 и G13 составила 505 ррт при среднем значении 6.67606 Нм2/кг2. Разница двух полученных средних значений достигла 1505 ррт (рис. 1).

Рис. 1. Вариации О во втором эксперименте

Достоверность первых пяти результатов вызывает большие сомнения. Об этом прежде всего свидетельствует немонотонный дрейф периода Т1 (рис. 2). Кроме того, нарушено характерное условие О31 > О13 в смежных циклах. Однако если уменьшить значение периода Т1 = 532.83818 с на 10.5 мс, дрейф периода станет монотонным (рис. 3), а вариации О во втором эксперименте будут иметь такой же вид (рис. 4), как и в первом эксперименте. При этом будут получены следующие результаты:

О13 = 6.67194(146) Нм2/кг2,

О31 = 6.67873(80) Нм2/кг2.

Разность О31 и О13 составила 1017 ррт при среднем значении 6.67533 Нм2/кг2, что почти повторяет результаты первого эксперимента. Причина единственного сбоя может быть вызвана как флуктуацией потоков, так и колебанием верхней точки подвеса весов.

ДГ1, мс

1 - - - .

-1 -?

6 12 18 24 30 Сут

Рис. 2. Усредненный (1) и текущий (2) дрейф периода Т1 во втором эксперименте

ДГЪ мс

Рис. 3. Усредненный (1) и текущий (2) дрейф периода Т1 во втором эксперименте после уменьшения значения периода Т1 = 532.83818 с на 10.5 мс

в, 10"ПНм2/кг2

Рис. 4. Вариации О во втором эксперименте после уменьшения периода Т1 = 532.83818 с на 10.5 мс

Использование периодов Т0 при отсутствии притягивающих масс дает исключительно ценный результат. Значения Т0 приведены в [9] и тщательно измерены в течение длительного времени. Авторы уделили большое внимание их измерению, но в расчетах не использовали. Для удаления притягивающих масс пришлось раскрыть вакуумную систему, а затем вновь ее герметизировать. При этом ситуация принципиально изменилась. Наглядно проявился мощный дестабилизирующий фактор. Детальный анализ привел к выводу, что трудно контролируемые неравновесные потоки разреженного газа внесли существенный вклад. Появление такого эффекта связано с размещением притягивающих масс и шагового двигателя внутри вакуумной камеры. Перемещение масс на новую позицию изменяет воздействие потоков на кварцевый блок. Их заметный вклад обусловлен малой величиной гравитационного взаимодействия, большой поверхностью блока, недостаточно высоким вакуумом, малой амплитудой колебаний. Защитный дюралевый экран существенно снизил величину эффекта, но не устранил его полностью.

Использование Т0 в качестве Т2 позволяет преобразовать двухпозиционную схему в трехпозиционную. Рассмотрим в первом эксперименте три обратных цикла измерений гравитационной постоянной (О32, О21 и О31) и три прямых (О12, О23 и О13). Они приведены в табл. 3 и составляют 18 строк. Оказалось, что значения О32 и О23 существенно занижены:

О32 = 5.47050 Нм2/кг2, О23 = 5.44569 Нм2/кг2. Напротив, значения О21 и О12 завышены:

О21 = 7.05462 Нм2/кг2, О12 = 7.04891 Нм2/кг2.

Во втором эксперименте, для которого результаты расчета О также приведены в табл. 3, при том же количестве циклов получены другие значения:

О12 = 6.53799 Нм2/кг2, О21 = 6.54211 Нм2/кг2, О23 = 7.06737 Нм2/кг2, О32 = 7.09341 Нм2/кг2.

По сравнению с первым экспериментом комбинации с позицией 2 поменялись ролями. Это объясняется тем, что в первом эксперименте Т0 завышено, а во втором занижено. Для уравнивания всех значений гравитационной постоянной в первом эксперименте требуется снизить Т0 примерно на 138 мс, а во втором увеличить на 47 мс.

Неравновесные потоки вносят в систему отрицательную жесткость. Со временем они ослабевают, что приводит к постепенному уменьшению периода. Скорость такого дрейфа периода уменьшается со временем. В связи с дрейфом обратные циклы, начинающиеся с удаленной позиции 3, дают более высокие значения О по сравнению с прямыми. В начале второго эксперимента данная картина временно нарушена вследствие наличия заметного сбоя в дрейфе периода Т1 . После

Таблица 3

Расчет Оу при трехпозиционной схеме в начале первого и второго экспериментов

N ( 1 Ъ, с Ъ, с 10110ц, Нм2/кг2 10110ц, Нм2/кг2

Расчет Оц в первом эксперименте

1 3 2 535.80980 535.17246 5.48456 5.48456

2 2 1 535.17246 532.56028 7.04987 7.04981

3 3 1 535.80980 532.56028 6.67875 6.67870

4 1 2 532.56028 535.17048 7.04456 7.04450

5 2 3 535.17048 535.80557 5.46529 5.46529

6 1 3 532.56028 535.80557 6.67013 6.67009

7 3 2 535.80557 535.16933 5.47520 5.47520

8 2 1 535.16933 532.55579 7.05369 7.05363

9 3 1 535.80557 532.55579 6.67944 6.67940

10 1 2 532.55579 535.16830 7.05093 7.05087

11 2 3 535.16830 535.80066 5.44191 5.44191

12 1 3 532.55579 535.80066 6.66944 6.66940

13 3 2 535.80066 535.16716 5.45173 5.45173

14 2 1 535.16716 532.55122 7.06030 7.06024

15 3 1 535.80066 532.55122 6.67892 6.67888

16 1 2 532.55122 535.16616 7.05762 7.05756

17 2 3 535.16616 535.79711 5.42986 5.42986

18 1 3 532.55122 535.79711 6.67169 6.67157

Расчет Оц во втором эксперименте

1 1 2 532.84127 535.25129 6.53806 6.53800

2 2 3 535.25129 536.07102 7.06826 7.06825

3 1 3 532.84127 536.07102 6.66407 6.66403

4 3 2 536.07102 535.24705 7.10490 7.10490

5 2 1 535.24705 532.83246 6.55069 6.55064

6 3 1 536.07102 532.83246 6.68242 6.68237

7 1 2 532.83246 535.24537 6.54617 6.54611

8 2 3 535.24537 536.06499 7.06754 7.06754

9 1 3 532.83246 536.06499 6.67009 6.67004

10 3 2 536.06499 535.24303 7.08777 7.08777

11 2 1 535.24303 532.83818 6.52424 6.52418

12 3 1 536.06499 532.83818 6.65818 6.65813

13 1 2 532.83818 535.24206 6.52162 6.52157

14 2 3 535.24206 536.06152 7.06630 7.06630

15 1 3 532.83818 536.06152 6.65108 6.65104

16 3 2 536.06152 535.23960 7.08756 7.08756

17 2 1 535.23960 532.82485 6.55140 6.55135

18 3 1 536.06152 532.82485 6.67884 6.67879

удаления притягивающих масс и вторичного получения вакуума изменился угол между направлением потоков и положением равновесия кварцевого блока. Поэтому

связанное со вторичной герметизацией камеры изменение периода т0 не позволило преобразовать двухпози-ционную схему измерений в трехпозиционную.

В приведенных расчетах исключалась поправка на наличие вязкости в нити подвеса. По оценке авторов [8, 9] она имеет величину порядка 212 ррт. Однако исследования показали [19-21], что внутреннее трение в твердых телах на низких частотах носит частотно-независимый характер. Оно обусловлено гистере-зисными потерями. Не прогнозируемое по величине рассеяние энергии происходит вследствие различных несовершенств атомно-кристаллического строения материала. Они ответственны за небольшую остаточную микропластическую деформацию, происходящую в объемах отдельных зерен структуры металлических материалов.

В подавляющем большинстве случаев неупругие эффекты в материале тем меньше по величине, чем больше его механическая прочность. Научной базой решения этой проблемы в физике твердого тела является теория дислокаций, представляющих собой линейные несовершенства структуры металлических материалов. При термомеханической обработке тугоплавких металлических нитей в вакууме под нагрузкой при температуре порядка 700°С снижается величина гистерезиса [22], а добротность повышается примерно на порядок. Наилучшие характеристики проявляют нити из тугоплавких материалов — вольфрама, молибдена, рения.

Внутреннее трение в металлических нитях, характеризуемое коэффициентом гистерезисных потерь, не зависит от частоты деформации, по крайней мере до сотен килогерц. Крутильные весы работают на низких частотах. При колебаниях крутильных весов затухание амплитуд происходит по экспоненциальному закону, что не связано с наличием вязкого трения. При этом логарифмический декремент затухания равен коэффициенту гистерезисных потерь материала нити подвеса. Частотно-зависимые потери можно внести в крутильную систему через систему демпфирования качаний. Их следует исключить увеличением жесткости дополнительной верхней нити подвеса.

Заключение

Наши две методики вычислений О позволяют рассчитать практически любые системы, реализующие динамический способ. При этом для упрощения расчетов не нужно ограничиваться предельно низкими амплитудами, увеличивая погрешность измерений вследствие усиления дестабилизирующего влияния микросейсмов и неравновесных потоков разреженного газа. Оптимальные амплитуды колебаний лежат в пределах от 50 до 80 мрад. Дальнейшее увеличение амплитуды ведет к уменьшению величины полезного сигнала, при этом расчеты проводятся только по методике 1.

При усложнении формы взаимодействующих тел вычисление моментов сил притяжения становится более трудоемким, но все этапы дальнейших преобразований сохраняются прежними. Наличие шаровых притягивающих масс позволило ограничиться трехкратным интегрированием. В более сложном случае оно становится шестикратным, а время расчета существенно

возрастает. При использовании современных распространенных и доступных вычислительных средств время составит десятки часов, но это уже не представляет каких-либо проблем. Следовательно, изложенные в данной работе методики могут быть использованы при анализе других работ, в которых проводились аналогичные измерения.

Описанный эксперимент [8] может быть улучшен повышением глубины вакуума, увеличением плотности тела весов и притягивающих масс, использованием пьезоэлектрического шагового двигателя. Для исключения магнитного взаимодействия следует разделить блок и притягивающие массы экраном из пермалоя. Кварцевый блок можно покрыть чрезвычайно тонкой электропроводной прозрачной пленкой двуокиси олова. Тогда исчезнут проблемы, которые возникли при расчете момента притяжения.

Можно предположить, что при описанной методике напыления торцы блока имели существенно более тонкое покрытие по сравнению с со всеми другими гранями. В этом случае момент притяжения снизится, а значение гравитационной постоянной возрастет. Отсутствие строгих данных о толщине покрытия на всех гранях блока при достаточно толстой средней его величине порядка 0.4 мкм ставит под сомнение результаты расчета, так как задача становится некорректной. Можно попытаться получить дополнительные данные о толщине покрытия на различных участках блока четырехзондовым методом, широко используемым при измерении удельного сопротивления полупроводников. При малой толщине металлического покрытия он может оказаться полезным. Но его практическая реализация потребует огромных усилий. Поэтому лучше просто предположить, что толщина покрытия на торцах блока практически равна нулю, поскольку при напылении они находились в недоступной зоне. Это приведет к увеличению значения гравитационной постоянной, что, безусловно, не устроит авторов работы [8]. Зато на оставшихся гранях толщину покрытия можно рассматривать как равномерную, что приведет к частичной или полной компенсации.

Следует все же провести дополнительные измерения после регенерации магниторазрядного насоса, восстановив его первоначальную производительность. Тогда измерения выйдут на качественно новый уровень. При этом можно будет более достоверно ответить на ряд вопросов, на которые пока трудно дать однозначный ответ. Появится возможность в уже проведенные измерения ввести поправку на имевший место дестабилизирующий фактор, физическая природа которого теперь известна. Процедуру регенерации насоса в случае необходимости можно повторять. Неиспользованный резерв данного эксперимента видится также в замене стальных притягивающих шаровых масс на тела аналогичного диаметра из более плотного материала, например, вольфрама. При этом улучшится отношение полезного сигнала к шуму и дестабилизирующим факторам. Еще проще заменить стальные шаровые массы на цилиндрические, у которых высота и ширина будут равны радиусу шаров. При этом полезный сигнал дополнительно возрастет, а трудности, связанные с шестикратным интегрированием вместо трехкратного,

уже не представляют проблем при современном уровне техники. Желательно также провести дополнительные измерения при большей амплитуде колебаний весов с последующими расчетами по нашим методикам, которые предоставляют такую возможность. Автор настоящей работы надеется, что авторы [9] до настоящего времени сохранили свою установку в работоспособном состоянии. Тогда данная рекомендация может оказаться актуальной и чрезвычайно полезной. При минимальных затратах удастся уменьшить погрешность измерений, что, возможно, позволит даже без дополнительной позиции 2 приблизиться к введению поправки на имевший место дестабилизирующий фактор. Оперативные расчеты при более большой амплитуде колебаний, когда методика 3 уже не обеспечивает низкую погрешность, будет обеспечена. С этой целью и разрабатывался усовершенствованный вариант нашей программы, приспособленный конкретно именно для анализа работы [9]. Он уже принес реальную пользу при проведении описанных исследований и, в частности, позволил оценить погрешность расчетов по методике 3.

Список литературы

1. Брагинский В.Б., Зельдович Я.Б., Руденко В.Н. // Письма в ЖЭТФ. 1969. 10, № 9. C. 437.

2. Брагинский В.Б., Панов В.И. // ЖЭТФ. 1971. 61, № 3(9). C. 873.

3. Cavendish H. // Phylos. Trans. Roy. Soc. London. 1798. 88. P. 469.

4. Reich F. // Philos. Mag. 1838. 12. P. 283.

5. Braun C. // Nature (London). 1897. 56. P. 127.

6. Eotvos R. // Ann. der Phys. und Chem., N. F. 59. 1896. P. 354.

7. Карагиоз О.В., Измайлов В.П. // Измер. техника. 1996. 10. C. 3.

8. Jun Luo, Qi Liu, Liang-Cheng Tu, Cheng-Gang Shao et al. // Phys. Rev. Lett. 2009. 102. P. 240801.

9. Liang-Cheng Tu, Qing Li, Qing-Lan Wang et al. // Phys. Rev. D. 2010. 82. P. 022001.

10. Shao C.G. et al. // Gravitation and Cosmology. 2011. 17, N 2. P. 147.

11. Shakhparonov V.M., Karagioz O.V., Izmailov V.P. // Gravitation and Cosmology. 2010. 16, N 4. P. 323.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

12. Измайлов В.П., Карагиоз О.В., Шахпаронов В.М. // Измер. техника. 2004. 10. C. 7.

13. Карагиоз О.В., Измайлов В.П., Шахпаронов В.М. // Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъемка. 2004. 5. C. 85.

14. Измайлов В.П., Карагиоз О.В., Шахпаронов В.М. // Метрология. 2005, 1. C. 3.

15. Karagioz O.V., Izmailov V.P. and Shakhparonov V.M. // Gravitation and Cosmology. 2004. 10, N 3(39). P. 245.

16. Heyl P.R. // Nat. Bur. Stand. (U. S.) J. of Res. 1930. 5. P. 1243.

17. Heyl P.R, Chrzanowski P. // Nat. Bur. Stand. (U. S.) J. of Res. 1942. 29. P. 1.

18. Сагитов М.У. и др. // Доклады АН СССР. 1979. 245, № 3. C. 567.

19. Granato A, Lucke K. // J. Appl. Phys. 1956. 27, N 6. P. 583.

20. Tabor D. // Proc. Roy. Soc. London. 1955. A229. P. 198.

21. Брагинский В.Б., Митрофанов В.П., Охрименко О.А. // Письма в ЖЭТФ. 1992. 55, № 8. C. 424.

22. Карагиоз О.В., Измайлов В.П., Шахпаронов В.М. Устройство для термомеханической обработки нити подвеса крутильных весов. Патент РФ № 114174. Приоритет полезной модели 19.09.11.

Determination of the numerical value of the gravitational constant in the case of a complicated form of interacting bodies

V. M. Shakhparonov

Department of Physics of Oscillations, Faculty of Physics, M. V. Lomonosov Moscow State University, Moscow 119991, Russia. E-mail: shahp@phys.msu.ru.

An example of extending the functionality of methods for calculating the gravitational constant for the spherical shape of interacting bodies is presented. The results that were obtained using an apparatus in which the working body is in the form of quartz box are analyzed. A bad choice of the form and material of the working medium for a torsion balance in a vacuum chamber with non-equilibrium flows led to a systematic measurement error.

Keywords: gravitational constant, torsion balance, dynamic method, calculation methods, destabilizing factors, non-equilibrium rarefied gas flows. PACS: 06.20.Jr, 04.80.Cc. Received 31 May 2013.

English version: Moscow University Physics Bulletin 1(2014). Сведения об авторе

Шахпаронов Владимир Михайлович — вед. электроник; тел.: (495) 939-21-46, e-mail: shahp@phys.msu.ru.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.