Уравнения и схема замещения длинной линии с учетом излучения электромагнитной энергии Текст научной статьи по специальности «Физика»

ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ЭЛЕКТРОЭНЕРГЕТИКИ

УДК 621.31

Н.В.Коровкин, С.В.Ткаченко

УРАВНЕНИЯ И СХЕМА ЗАМЕЩЕНИЯ ДЛИННОЙ ЛИНИИ С УЧЕТОМ ИЗЛУЧЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ЭНЕРГИИ*

Аннотация

В настоящей работе рассмотрен подход, позволяющий приближенно учитывать поверхностный эффект, эффект близости и излучение электромагнитной энергии в проводах линий. Подход основан на обобщении системы телеграфных уравнений. Область применения результатов - расчеты процессов в распределенных системах (длинных линиях) при действии импульсов с нано- и пикосекундными фронтами.

Ключевые слова:

телеграфные уравнения, длинные линии, поверхностный эффект, эффект близости, излучение электромагнитной энергии, функция Гоина, уравнение Поклингтона.

N.V.Korovkin, C.V.Tkachenko EQUATI ONS AND EQUIVALENT CIRCUIT OF TRANSMISSION LINE WITH TAKING INTO ACCOUNT THE RADIATION OF ELECTROMAGNETIC ENERGY

Abstract

In the present work is considered an approach allowing simultaneously take into account the skin effect, proximity effect and radiation of electromagnetic energy from wires of transmission lines. The approach is based on generalization of the telegrapher's equations. A scope of results - calculations of processes in the distributed systems (transmission lines) under influence of impulses with nano- and picoseconds fronts.

Key words:

Telegrapher’s equations, transmission lines, skin effect, proximity effect, radiation of electromagnetic energy, Green's function, Poklington's equation.

Целью настоящей работы является создание подхода, позволяющего одновременно учитывать поверхностный эффект, эффект близости и излучение электромагнитной энергии в проводах линий, основанного на обобщенной системе телеграфных уравнений.

Общей современной тенденцией является расширение диапазона частот электромагнитных влияний. Так, многие воздействия, рассматриваемые в задачах ЭМС, имеют в своем спектре частоты порядка единиц гигагерц и выше. Это делает актуальной разработку математических моделей, адекватно воспроизводящих динамику процессов в весьма широком диапазоне частот. Необходимо отметить, что к настоящему времени хорошо развиты методы, позволяющие рассчитывать системы при высоких (до терагерц) частотах с учетом излучения электромагнитной энергии (например, метод моментов), но не позволяющие учитывать поверхностный эффект и эффект близости, и, в частности, дополнительные потери и дополнительное затухание, вносимые этими эффектами. С другой стороны, методы, позволяющие учитывать поверхностный эффект и эффект близости, также хорошо известные, не позволяют рассчитывать системы с учетом излучения.

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 11-08-00690).

При разработке математических моделей, предназначенных для использования в широком диапазоне частот, необходимо учитывать, что электромагнитные параметры объектов являются функциями частоты и распределены в пространстве. Правильное отражение именно этих свойств реальных объектов представляет основную сложность при математическом моделировании. В классической формулировке телеграфные уравнения не дают возможности учитывать частотные свойства объектов, однако для практических расчетов в работах многих авторов обоснован и широко используется подход, позволяющий учитывать изменение эквивалентных параметров системы от частоты в тех случаях, когда эти зависимости носят монотонный или близкий к нему характер [1-2]. Правомочность использования этих моделей неоднократно подтверждалась сопоставлениями с экспериментальными результатами. Методы учета эффекта излучения электромагнитной энергии проводами линии, находящиеся в рамках телеграфных уравнений, напротив, развиты весьма слабо. Поэтому их развитие представляет значительный интерес.

Уравнения длинной линии с учетом излучения

Рассмотрим горизонтальную линию, проходящую над плоской проводящей поверхностью. К концам линии подсоединены произвольные нагрузки (1 и 2 на рис.1). На рассматриваемую цепь действует импульс электромагнитного поля, распространяющегося в пространстве в виде плоской волны. Будем искать токи и напряжения в линии при следующих допущениях. Проводимость воздуха равна нулю, проводимость земли бесконечно велика, активное сопротивление провода равно нулю. Пусть е0 ,ц0 - электрическая и магнитная постоянные, в, ц- относительная диэлектрическая и магнитная

проницаемости земли, а - радиус провода, к - высота подвеса провода, ЕехХ - вектор напряженности электрического поля, воздействующего на систему, к- волновой вектор.

Рис.1. Система «провод над землей» при действии внешнего электромагнитного поля

Уравнения для электродинамических векторного А и скалярного и потенциалов электромагнитного поля имеют вид [5]:

уу2 -А д2А у

оі

ги

где Je - плотность тока, наведенного внешним электромагнитным полем в проводе,

р - объемная плотность электрического заряда в проводе, обусловленные действием внешнего поля. Переходя в комплексную область и учитывая, что векторный потенциал имеет только г-компоненту, имеем:

'V2Az+K2Az=-[ljz,

2 ■ 2 ■ Р (2)

у2и+к2и = -~,

где К=ф/Ус - волновое число, Ус - скорость света. Решение волновых уравнений (2) для совокупности точечных зарядов и элементарных токов в декартовой системе координат имеет вид:

4 О) = 7" І^0')£0, и(г) = 1 рО')£0, г')ёг',

4 п' 4 пв'

+а2 ^]К^(г-г')2+ 4/г2

§(*,*') = ■

(3)

7(2 - г')2 + а2 ^(г -г')2 + 4Й2 '

Из принципа непрерывности электрического тока:

р=__и/=-і-іВД

/СО /СО б/г

И второго уравнения (2), получим:

Щг) = - . 1 (4)

7 ш • 4лє * ог

Из допущения о равенстве нулю активного сопротивления провода, граничное условие на его поверхности имеет вид равенства нулю касательной

составляющей вектора напряженности электрического поля: вх х (Кех1 + Е5) = 0 , где Е* - напряженность электрического поля, обусловленного токами,

^ т-’ЄХІ

протекающими в системе «провод над землей», Е - напряженность внешнего поля, действующего на электромагнитную систему. Таким образом:

Щ+Ё?= 0. (5)

Выразим Е* через электродинамические векторный и скалярный потенциалы:

™ -л дй(г) . ц г- дй(г)

Ег = -уш4------- — = -уш — I1(г ^(г, г )ек------ — . (6)

ог 4л* ог

Подставив выражение (6) в (5), получим следующее уравнение:

дй(г) . [о,

-Р^\І(ЇШ2Х№ + ЕГ(і). (7)

02 4п *

Возьмем по частям интеграл в (7) и используя тождество г, г') _ д§(г,г’)

дг' дг

получим:

Щ2) = —

1

]ш•4пв

£0, ОНО - §(*, 0)І(0) + ^ |І(г'Жг, гуь'

(8)

Введем обозначение для интеграла свертки Р\і{г)\ = ^ £{і,і')І{і')сЬ.' и,

используя его, перепишем уравнения (6) и (8) в виде системы уравнений, описывающей процессы в системе «провод конечной длины над проводящей поверхностью»:

^ = -]ъ±-Щг^ + ЁГ(г),

02 4% у *

- Г • -> (9)

<М/(г)} • • •

---= -]а>4пеи(г)-ё(г,1)1(1)+ ё(г, 0)1(0).

аг

Полученная система уравнений, имеет вид системы телеграфных уравнений и описывает процессы в линии длиной I с учетом излучения электромагнитной энергии. В [4] она была названа системой обобщенных телеграфных уравнений.

Математическая модель линии с учетом эффекта излучения

Рассмотрим далее построение математической модели линии конечной длины в следующей постановке. Будем рассматривать линию длиной £, с проводом радиуса “а”, расположенную параллельно проводящей поверхности на высоте к от нее. Ток в линии возбуждается падающей внешней электромагнитной волной или (и) создается сосредоточенными источниками. Предполагается также, что на концах линии заданы либо ток, либо напряжение (как, например, на левом конце линии, представленной на рис.2), либо имеется связь между током и напряжением (как на правом конце линии, представленной на рис. 2). Будем также предполагать, что в начальный момент времени напряжение и ток в линии отсутствуют. Отметим, что последнее допущение принимается только в целях минимизации выкладок.

Интегро-дифференциальные уравнения (9) для рассматриваемой задачи, полученные в предположении об отсутствии потерь в линии, приведены выше в них.

Рис.2. Возбуждение длинной линии внешним электромагнитным полем

Уравнения (9) следует дополнить начальными: г1^)\/=0=0, и/(г)\*=0=0' а также граничными условиями. Как уже отмечалось, выбор граничных условий может быть различен. Здесь примем Ц(0)=е(У), и(1)=г1(1). Возможность рассчитывать процессы при различных граничных условиях является важной, так как они используются для объединения моделей в системы и соединения их с нагрузками. Выполним регуляризацию уравнений. Вблизи z’=z модуль функции Грина имеет ярко выраженный максимум. Поэтому в целях существенного улучшения численных свойств задачи представим функцию /'"\1(г)} в виде:

(10)

1

1

где R(z)=\gr(z,z')dz', ёг(г,г') = -==^^— Г о о 0 Г(2 ~ 2') + а у(2 ~ 2') + 4И

Функцию gl.(z,z') естественно назвать регулирующей функцией для функции Грина ^г(г,г'), а функцию Щг) - регуляризирующей функцией (регуляризатором) исходной задачи. Интеграл в (10) может быть взят аналитически

Я( 2) = 1п

{г + л/г2 + а21{г -1 + у/(г- I)2 + 4Ь21 {г + л/г2 +4 Ь21 {г - £ + у/(г- £)2 +а21

Подставляя (10) в (9), имеем: ёи (2)

^ + Ь'( 2 ) р1 (2) = -Ц рР {I (2 )} + Е(И,2)

П(2) ♦ С'<2)ри(2) = --1-- й(2 )'

Я(2) д 2

(11)

(12)

где В( 2 ) =

ещ о - £(г,0)/(0)

аг

/ВД,

Ц 4я£

Ь'(г) = — Я(г), С'(г) =------- - могут быть интерпретированы как некоторые

4ж Я(2)

приближения к соответственно погонной индуктивности и погонной емкости линии. Графики функций и(г) и С’(г) представлены на рис.3 для случая а=0.005 м, Ъ=6 м, (' = 100 м. Величины /,,. (г) и (],(:). представленньге на рис.З, являются

соответственно погонными геометрическими индуктивностью и емкостью двухпроводной линии, используемыми в приближениях телеграфных уравнений. Отличие П от П’а в середине линии может быть приближенно оценено из

соотношения

ВД|,.„;=4-4(4 /г-<г)/('= . Оценка для С’ и С’а имеет аналогичную степень малости. Таким образом, I » к, Ь '-> Ь 'а .

с,

Рис. 3. Приближенная зависимость погонных параметров линии от координаты

Рассмотрим подробнее слагаемое 0(2 в правой части второго уравнения в (12). Для производной от функции Щё), входящей в 0(2) имеем

~Г~ = \ 4-§Лг^')с1г' = -\ -77^Д^^')^' = -^Д^ 0 + ^Д^0).

аг * аг - аг

Подставляя последнее соотношение в выражение для 0(2), получим

£>(г) = [Й(г, 0/(0- Ег(г,£)1(г) - (Цг,0)1(0) -gr(z,0)/(г))]/ К(г).

Имея в виду быстрое убывание модуля функций gr(zJ) и gr(Z'0) в “а”- окрестности 2=0 и 2= £, а также планируемую в дальнейшем

дискретизацию по 2 с шагом ^>>а, можно считать, что

gr(z, 0)1 (г) = gr(z, 0)1(0), gr(z, О/(г) = gr(z, е)Щ).

Тогда

Л(г) = [(Й-,0 -Я, (г, 0)1 (?) - (я(-,0) - Й, (;,0))/(0)]/ Д(г)=

= [г(г,/)/(0-г(г,0)/(0)]/Д(г),

где g - регуляризованная функция Грина задачи. Таким образом, уравнения (12) приведены к виду:

и2! + Ь'(2) р1 (2) = -Ц рР {I (2)} + Е (Ь,2),

^ + С '(2) ри (2 ) = - 1

а 2

Я(2 )

^(->}-Ы, ОАО - г(--,0)А0)]

02

(13)

Для дискретизации (13) по координате используем шаблон, представленный на рис.4, порождающий Т-образные схемы замещения [1].

Цс) Ц U2

Un-1 Цп Цп+1

^/2 / \ d / \ d

• •••••

/ d \/ d \/

\/ d \/ d

—* «

10 11 12

!п-2 ^п-1 1п

Рис. 4. Шаблон для дискретизации уравнений линии по координате

Система уравнений, соответствующая этому шаблону имеет вид:

и1- е + (^/2) р1о =-(ц/4*)(а/ 2) рр {1 (2 )}2=0 + (а/ 2)Е (Ь,0) =

= -{^/^)рР0+Е0/2,

иш~ик +ЬрЬ=-{^!Аж)р^ +еь>

г1п -ип + (4/2)р1п = -(Ц/8*рР + Еп/2,

А “А +С1/2/^1 = -(1/ад){^о + 4&(гЖ -£М)/0]}[

- Р0 + а (&2,п1п - ^1/2,010 )]Ч

=а/ 2

1/2

(14)

4+1 ~1к+С(2к-1)12 рик =-

Р +111 + а | 2(21-1)/2, п1 п - <

(24-1)/2,0

/д

■(2И)/2 ,

1п - 1п-\ + С(2п-1)/2рип =-

Рп Рп- + -(2я-1)/2,/п £ (2«-1^2,010

/ Д

(2я-1|/ 2

1

где ьк = аи (2 )|

с

2=кё ' С(2к-1)'2

=ас (2 )| г

, Ек = а • Е(Ь, ка) к = 0, п, - ЭДС,

=(2к-1)а/ 2

наводимая в к-ом звене тангенциальной составляющей электрического поля. Величина й может рассматриваться как элемент длины линии, моделируемый одной ячейкой схемы замещения. В (14) приняты также обозначения: (Х)(кй)=Хк, где X это I, и, Е, Я, g. Для завершения дискретизации в (14) необходимо выполнить вычисление интегралов, входящих в ^.

При использовании формулы трапеций, дискретизация 4 имеет вид:

т > х=п-1 (2х+ы/2

4 = | | $>{кс1а')1{1')с11'+ ^ | $>{кс1,1')1{1')с11'. (15)

г-т

Х=1 (2 х-1)<//2

На интервале длины звена положим I(z’) значение постоянным и равным значению в середине звена. Тогда (15) может быть представлено в виде:

^ а /2 £ х=п-1 (2х+1)а/2 ,2(0) ?(и) х=П-1 А

Рк = 10 | 2')+1п | 2)+ £ 1X I ^2 )а2= 10 -у + 1п у + Ё 12)- (16)

0 £-а /2 Х=1 (2х-1)^2 2 2 Х=1

В (16) наибольшее значение имеет слагаемое 1кф^к\ так как модуль функции Грина §(Ы,п') имеет на к-м интервале максимум и быстро уменьшается с удалением г' от М. На рис.5 приведен характерный вид модуля функции $7 (кривая 1) при значении волнового числа К=3.3, (И=6м, а=0.005м).

Величина волнового числа К=3.3 приблизительно соответствует частоте 1 ГГц. Длина й элемента линии, моделируемого одной ячейкой схемы замещения для воспроизведения процесса должна быть не менее 0.1 м, что близко к четверти длины волны с частотой 1 ГГ ц. Далее будем предполагать, что длина й элемента линии и определяющий спектр частот анализируемого переходного процесса находятся именно в таком соотношении. В данной работе для линии, характеризуемой геометрическими размерами И=6 м, а=0.005 ми ( > И. будем пренебрегать присутствием в частотном спектре переходного процесса гармоник с частотами свыше 1 ГГц.

Рис.5. Функция Грина 1 - исходной задачи. 2 - регуляризирующая функция, 3 - регуляризованная функция Грина

0

Регуляризирующая функция gr(zz’), приведенная на Рис.5 - кривая 2 также имеет явно выраженный максимум вблизи М. Поэтому приближенно можем положить:

( (2к+\)ё/2

Рк = ь\Ь'г(1<а^')сЬ' = | gr(kd,z')dz' = 1кф{к).

О (2к-\)ё/2

где Ф(к - регуляризирующая для функция. Вычисляя далее 1'\. получим

1(0) 7(п) х=п-\ _

^=^-1,К,=1^ + 1,^ + !^'+ Е «'"■ (17)

2 2 х=1, х^к

где ф(кк> = фкк> — ф(к* - регуляризованная функция. Выражение (17) может быть

существенно упрощено для Ате [5, и— где 5=2-^5. Модули функций : ]

быстро убывают с увеличением 5, поэтому при s=2^5 слагаемые ф[к т) т>$ могут быть отброшены, тогда:

Х=к+Я

Г„=1А"+ £ 1Ж"\ (18)

х=к —6, х^к

Физически это означает, что описываемый уравнением Поклингтона ток, наведенный в какой-либо точке линии, расположенной достаточно далеко от ее концов определяется только токами в соседних участках линии, и не «чувствует» влияния поля токов от участков, расположенных на расстоянии порядка нескольких длин волн.

Построение схемы замещения

Подставив далее соотношение (18) в систему уравнений (14) получим систему уравнений в форме, удобной для построения схемы замещения. Важно, что для вычисления Fk достаточно вычисления только функций фк х'> при каком-либо одном значении k. Следующее соотношение показывает, как могут быть определены все фкх'> , при (п=4) если известны только ф(х'>. Эти соотношения следуют из

симметричности (четности) функций ф(х '> относительно оси ординат, сдвинутой на

М. Структура уравнений позволяет построить схему замещения линии, состоящую из Т-образных звеньев. При этом сомножитель при ^ в левой части первого уравнения следует интерпретировать как Z(p) - продольное сопротивление ячейки,

а сомножитель при ^ во втором уравнении как Y(p) - поперечную проводимость ячейки. Величина Е^ входящая в первое уравнение представляет собой источник ЭДС, включаемый в каждое плечо звена.

На рисунке 6 приведена зависимость (р\Х от значения волнового числа К.

Однотипный вид этих зависимостей для различных х позволяет использовать для

аппроксимации всего семейства этих кривых функцию вида |^р/ (р — а)2 +^2|, где

p=j(й, A, а, в - константы, определяемые численно из условия наилучшей аппроксимации.

Для Z(p) и Y(p) методами синтеза пассивных двухполюсников могут быть получены схемы замещения следующего вида:

Z(p)

Li Ri

►/YYY|------

Ci

R,

R

C,

нн

Рис. 7. Схемы замещения для Z(p) и для Y(p)

Эти пассивные двухполюсники составляют одно звено Т-образной схемы замещения однородной линии. Параметры R, L, C двухполюсников вычисляются через соответствующие константы А,оф. Зависящая от г величина L1 (С4) может в первом приближении интерпретироваться как продольная индуктивность (емкость) линии, остальные элементы схемы замещения воспроизводят эффект излучения линией электромагнитной энергии. Члены, входящие в правые части уравнений (12) могут интерпретироваться в терминах схем замещения как частотно-зависимые взаимные связи. По предложенным в [3] правилам эти частотно-зависимые связи могут быть исключены и заменены частотно-зависимыми двухполюсниками. Отметим, что

благодаря значительному преобладанию функций ф^к) над функциями ф

к

эти частотно-зависимые связи могут быть в первом приближении без значительной потери точности моделирования отброшены для «серединных» звеньев схемы замещения линии. Для крайних звеньев такое упрощение недопустимо, так как несимметрия взаимных влияний на краях линии существенно изменяет их свойства в сравнении со свойствами «серединных» звеньев. Это обстоятельство хорошо согласуется с экспериментально наблюдаемым явлением усиления излучения электромагнитной энергии по концам линии.

1. Предложена методика построения математической модели линии конечной длины в виде схемы замещения. Полученная схема замещения линии позволяет приближенно учитывать эффект излучения электромагнитной энергии проводами линии.

2. Определены структура и параметры Т-образной схемы замещения линии. Параметры схемы замещения каждого звена зависят от координаты эквивалентируемого участка линии. Полученная схема замещения отражает изменение излучающей способности проводов линии вдоль координаты.

3. Построенная схема замещения может применяться для расчетов переходных процессов в линиях при сосредоточенном и распределенном воздействии. Возможно объединение схем замещения в единую систему, включающую также линейные и нелинейные нагрузки.

Литература

1. Коровкин Н.В., Селина Е.Е., Моделирование волновых процессов в распределенных системах. СПб., 1992. 110 с.

2. Paul C.R. Introduction to EMC. J.Wiley, Inc., New York, NY., 1992. 602 p.

3. Демирчян К.С., Нейман Л.Р., Коровкин Н.В. Теоретические основы электротехники, т.1, т.2, СПб, Питер, 522 с., 430 с. 2009.

4. Tkachenko S., Rachidi F., Ianoz M., «Electromagnetic Field Coupling to a Line of Finite Length: Theory and Fast Iterative Solution in Frequency and Time Domains,» IEEE Trans. EMC., vol.37, no. 4, pp.509-518, 1995.

Сведения об авторах

Коровкин Николай Владимирович,

зав. кафедрой «Теоретические основы электротехники» СПбГПУ Россия, г.Санкт-Петербург, ул.Политехническая, 29 Тел. (812) 552-75-72, Факс (812) 552-75-72,

Эл. почта: nikоlay.korovkin@gmail.com

Ткаченко Сергей Владимирович,

научный сотрудник Otto-von-Guericke-Universitat Magdeburg Postfach 4120 D-39016 Magdeburg, Germany

УДК 621.311

Б.В.Ефимов, Н.И.Гумерова, Т.К.Кузнецов, А.Н.Данилин, В.Н.Селиванов

ЧИСЛЕННЫЙ И ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ РАЗВИТИЯ ГРОЗОВЫХ ПЕРЕНАПРЯЖЕНИЙ НА ПОДСТАНЦИЯХ*

Аннотация

В статье выполнен численный анализ результатов экспериментального исследования грозовых перенапряжений на высоковольтных подстанциях при ударах молнии в подстанцию. Выполнена оценка влияния различных упрощений и допущений в физической модели на развитие грозовых перенапряжений.

Ключевые слова:

моделирование, молния, грозовые перенапряжения, надежность.

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 11-08-00690).