Схема замещения системы «Провод конечной длины над проводящей землей» с учетом параметров земли и излучения электромагнитной энергии Текст научной статьи по специальности «Физика»

ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ЭНЕРГЕТИКИ

УДК 621.311

Н.В.Коровкин, С.В.Кочетов, С.В.Ткаченко, Б.В.Ефимов СХЕМА ЗАМЕЩЕНИЯ СИСТЕМЫ

«ПРОВОД КОНЕЧНОЙ ДЛИНЫ НАД ПРОВОДЯЩЕЙ ЗЕМЛЕЙ»

С УЧЕТОМ ПАРАМЕТРОВ ЗЕМЛИ И ИЗЛУЧЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ЭНЕРГИИ*

Аннотация

Рассмотрен альтернативный по отношению к [1] подход, позволяющий учитывать при расчете волновых процессов в длинных линиях концевой эффект. Рассмотренный подход основан на тех же уравнениях, что и [1], позволяет упростить схему замещения крайних звеньев линии, вносящих наибольший вклад в излучение электромагнитной энергии. При большей простоте результаты расчетов волновых процессов с применением рассмотренного в настоящей работе подхода совпадают с рассмотренными в [1]. В рамках предложенного подхода относительно просто учитывается частотная зависимость эквивалентных параметров длинной линии от частоты, вызванная поверхностным эффектом и эффектом близости.

Ключевые слова:

схема замещения длинной линии конечной длины, частотные характеристики, излучение электромагнитной энергии проводами длинной линии.

N.V.Korovkin, S.V.Kotchetov, S.V.Tkachenko, B.V.Efimov

EQUIVALENT CIRCUIT OF SYSTEM «FINITE LENGTH WIRE

ABOVE THE CONDUCTIVE PLANE» WITH TAKING INTO ACCOUNT ELECTROMAGNETIC

PARAMETERS OF EARTH AND RADIATION OF ELECTROMAGNETIC ENERGY

Abstract

An alternative for approach [1] that allows to take into account the finite length of transmission line during calculations of wave processes is considered. The approach is based on the same equations what we considered in [1], but it gives simplification of equivalent circuit of outside (left and right) parts of transmission line. Exactly these parts give the maximum contribution to radiation of electromagnetic field by the wires of transmission line. The results of wave processes calculations obtained by the considered approach agrees with [1]. Within the bounds of the approach the frequency dependences of equivalent parameters of transmission lines, that are determined by the skin- and proximity effects, are easy to consider.

equvalent circuit of the finite transmission line, frequency characteristics, radiation of electromagnetic energy by wires of transmission line.

В работе [1] была поставлена задача создания подхода, позволяющего одновременно учитывать поверхностный эффект, эффект близости и излучение электромагнитной энергии в проводах линий, основанного на обобщенной системе телеграфных уравнений. Фактически в [1] рассмотрен подход, позволяющий с высоким уровнем детализации учитывать конечность размеров линии. Там же в соответствии с работами [2-4] получена в частотной области система уравнений для провода конечной длины над проводящей поверхностью:

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 11-08-00690).

Keywords:

(1)

jo4%eU (z) - g (z, l )I(l) + g( z,G)I (G).

dz

где I - длина линии; Ее‘ (г) - внешнее электрическое поле, возбуждающее ток I в линии;

- ]К4 (г - г О2 + а2 - ]К^ (г - г) + 4/г

д (7 ') = е - е - функция Грина задачи;

у1(г - г')2 + а2 7(г - г')2 + 4Н2

и - скалярный электрический потенциал; а - радиус провода; / - высота его подвеса над идеально проводящей землей; К=ю/Ус - волновое число; Ус - скорость света; ю - угловая частота;

Р {1( г)}_ | д (г, г') I (г ')йг'

Схема замещения линии с учетом излучения, полученная в [1], довольно сложна и ее использование в расчетах затруднено. В заключении [1] на основании анализа поведения функции Грина задачи был сделан вывод о том, что существенный вклад в излучение электромагнитной энергии с проводов линии вносят только ее концы. В физическом плане это может быть объяснено тем, что именно концы линии представляют собой «неоднородности». В настоящей работе предлагается новый подход, в котором указанное обстоятельство учитывается в качестве упрощающего схему замещения линии предположения.

Выполним преобразование системы обобщенных телеграфных уравнений (1) к виду, удобному для построения цепной схемы замещения.

Интеграл свертки Р{I (г)} преобразовывается следующим образом:

Р {I (г )} = | д (г, г')1 (г'Цг'= I (г){ д (г, г ') йг' ■

О 0 I(г)

Заменим функцию I (г')/1 (г) двумя начальными членами ряда Тейлора в окрестности точки г =г:

I(г) I(г) йг'

Далее, введя обозначение

(г' - г). (2)

г=г

СДг) = | д (г, г')йгС2(г) = } д (г, г') (г' - г) йг

и используя свойство быстрого убывания функции Грина задачи за пределами окрестности точки 7=7’ [1], получим:

’ ^ (г) ’

Р {I( г)} «I (г) | д( г, гй+—Т-| д( г, г) (г' - г) йг =

йг

= /(гШ+^^и) ■ (3)

йг

0

0

0

Аналогично для производной:

йР {I (г)}

йг

где:

дг

ф2(а)

К (е

-;Кф(а) -]Кф(2к)\

I —

- ф12(2/)( е~Р^- ■' + е

;Кф(2/) + -]Кф(а)\

ф(х) =^1 (г - г )2 + х2, введя обозначения:

I I

01(г) = | в(г, г')йг', 02(г) = | в(г, г') (г' - г) йг ,

запишем:

йР {I (г)} .

I(г)| в(г, г')йг + | р(г, г') (г' - г) йг =

йг

йг

= I (г)01( г) + ^ 02( г)

йг

(4)

Подставляя (2)-(4) в (1), получим:

й и .и

---= 7®—

йг 4 п

СД г)-С 2(г)

0,( г) 02( г)

I +

0^-| К2и - 7®4_[д (г, I)I(I) - д(г,0)I(0)]} - Е;х‘ (г), (5)

02( г)

И = ;® ^и + -^1I + I(I) -^2 I(0).

йг 0 2 (г) 0 2 (г) 02( г ) 02( г)

Уравнения (5) приближенно описывают динамику процессов в линии с учетом ее неоднородности на концах и излучения электромагнитной энергии. При этом в (5) в явном виде выделяются эквивалентные параметры линии, зависящие от частоты и координаты. Явление излучения в (5) описываются при помощи добавочных членов, которые в области низких частот становятся малыми. Система телеграфных уравнений может быть получена из системы обобщенных телеграфных уравнений (5), если использовать в (2) только нулевой член разложения в ряд Тейлора, то есть положить I (г ')/1 (г) « 1 и, соответственно, считать линию однородной. Отметим, что полученные путем такого предельного перехода эквивалентные индуктивность

0

+

Ь/(ю) и емкость С/(ю) на единицу длины центральной части конечной длинной линии совпадают с известным выражением для погонных индуктивности 10 и емкости С системы «провод над идеально проводящей поверхностью»:

Ь0 = Ґ(ю) С0'= С '(ю)

Ш^-0

Ш^-0

г=1 /2 Ш^О

= 2пє Яе 021( г)

и , 2к 1п—, 2п а

2пє

г=1 /2 Ш^О

1п

2к

а

к << I.

Эквивалентная емкость и индуктивность на единицу длины линии L (ю, г) и С (ю, г) зависят от частоты и координаты, причем эта зависимость от координаты обладает свойством четности относительно центра линии, что следует из четности функции Грина относительно точки г=г’. Зависимость L (ю, г ) и С (ю, г) от г в области низких частот приведена на рис.1.

/.Гн/м

С , Ф/м

К

7е-07 6 5е-07 бе-07 5 5Є-07 5е-07 4 56-07 4е-07

Щ2

—Л Зе-11- 2Со С при

N. 2.86-11- її 1=1 10

Ь' при 2 66-11-

Л 1=1 200 А

/ \ 246-11-

/ \ 2 26-11- С’при

/ 1 Л 1=1 200

/. ’ при/ 26-11-

И 1=1 10 /

1 86-11-

г, м 1 6е-11-

0 02 04 О'б 0І8 1 ( о 0 0.2 0.4 06 08

Рис.1. Зависимости погонных индуктивности и емкости линии от г в области низких частот для различных соотношений к/1

Анализ свойств системы уравнений (5) позволяет условно разделить эквивалентную схему линии на три части (рис.2). Поскольку в центральной части линии функции 01(г) и ^г(г) становятся малыми, а 02(г) и ^(г) не зависят от координаты при любых частотах, для центральной части линии можно записать более простую систему уравнений с постоянными по координате параметрами. Будем называть концевыми участками те участки линии, где система уравнений (5) имеет существенно зависящие от координаты коэффициенты при переменных. Определим длину концевых участков ё0 из следующего условия: g(K, г, й0)Ь=о, г=0<0-01-§(0, 0, 0), что обеспечивает погрешность при переходе к упрощенной системе уравнений для центральной части линии не более 1%.

Модель концевых участков линии

Модель центральной части линии

-

к±2

о

1-#о I

Рис.2. Модель линии с концевыми участками

Система уравнений для центральной части конечной линии совпадает по структуре с системой телеграфных уравнений:

Эквивалентные параметры уравнений центральной части линии (6) Xг(ю), У г(ю) зависят от частоты, причем в области низких частот выполняется условие Z' (7®) ~ ]юЬ0, У'(7®) ~ 7'юС0, а в области высоких частот проявляются новые

свойства, характеризующие линию как излучающую систему. Далее проводится анализ зависимостей от частоты эквивалентных параметров центральной части линии. Эквивалентное продольное сопротивление линии X' (7®) можно рассматривать

как X'(7®) = Я'(®)+ ]®Р'(®), где Ь(®) - внешняя индуктивность системы «провод над землей», а Я' (®) - эквивалентное сопротивление излучения. Индуктивность Ь (®) системы «провод над землей» складывается из Ь (®) - внешней индуктивности, Ь (ю) - внутренней индуктивности провода и Ь' (ю) - индуктивности, определяемой потоком, замыкающимся в земле: Ь'^ (ю) = Ь (ю) + Ь (ю) + Ь'8 (ю) . Активное продольное сопротивление Я (ю) системы «провод над землей» складывается из Я№ (ю) - сопротивления провода и Я'8 (ю) - сопротивления земли,

а также Я' (ю) - эквивалентного сопротивления излучения:

— = 2Х\]ю)І(г) + Б?(г), X (ю) = -^(ю,I/2),

-г 4п

(6)

Я'Ґ (ю) = Я'(ю) + Я (ю)+Я[ (ю).

Тогда:

X ; (;ю) = Я(ю) +Я (ю) +Я (ю) + ;ю(Ь(ю) +Ь (ю) +Ь (ю)).

Активное продольное сопротивление линии в области низких и средних частот определяется активным внутренним сопротивлением провода и земли, а в области высоких частот эквивалентным сопротивлением излучения конечной линии. В области низких и средних частот индуктивность системы «провод над землей» определяется как внутренней индуктивностью провода и земли, так и внешней индуктивностью системы «провод над землей», а в области высоких частот только частотно-зависимым внешним сопротивлением системы «провод над землей» (рис.3). На основе системы уравнений (6) может быть получена цепная схема замещения, моделируемая как длинная линия с Т-образными звеньями, содержащими в качестве продольных сопротивлений и поперечных проводимостей двухполюсники, аппроксимирующие зависимости от частоты эквивалентных параметров линии ^ (ю) и Y' (ю).

в

1.9

7.8

1.1

1.6

1.5

1.4

1.3

1.2

1.1

x 1O

-7

1

1O

L', Гн!м

(и) j

L' (И)

! Kh, рад

1O4

1O

1O

1O-'

1O

1O

1O

R', Ом/м r ; (и).

«Ли^.

/R '(и) Kh, рад

1O

1O-

1O0

1O-

1O

1O

-2

1O

Рис.3. Частотные зависимости параметров линии

Литература

1. Коровкин Н.В. Уравнения и схема замещения длинной линии с учетом излучения электромагнитной энергии / Н.В.Коровкин, С.В.Ткаченко // Труды Кольского научного центра РАН. Энергетика. Вып.5. - Апатиты, 2012. - С. 7-17.

2. Tkachenko S. Electromagnetic field coupling to a line of finite length: Theory and fast iterative solution in frequency and time domains / S.Tkachenko, F.Rachidi, M.Ianoz // IEEE Trans. EMC. - 1995. - Vol.37, № 4. - Р. 509-518.

3. Tkachenko S. High-frequency electromagnetic field coupling to long terminated lines / S.Tkachenko, F.Rachidi, M.Iano // IEEE Trans. EMC. - 2001. - Vol.43, № 2. - P. 117-129.

4. Nitsch J. Generalization of the full-wave transmission line theory for loaded lines with distributed excitation / J.Nitsch, S.Tkachenko, F.Rachidi // PIERS. - Beijing, 2009.

Сведения об авторах

Коровкин Николай Владимирович

заведующий кафедрой «Теоретические основы электротехники» СПбГПУ

Россия, 195251, г.Санкт-Петербург, ул.Политехническая, д.29

тел. (812) 552-75-72, эл. почта: nikolay.korovkin@gmail.com