УРАВНЕНИЯ ДРОБНОГО ПОРЯДКА ДЛЯ ДИФФУЗИИ И РЕЛАКСАЦИИ В ФРАКТАЛЬНЫХ СРЕДАХ Текст научной статьи по специальности «Математика»

2016

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Математика. Механика. Информатика

Вып. 2(33)

УДК 530.1, 536 .75

Уравнения дробного порядка для диффузии и релаксации в фрактальных средах*

В. С. Кирчанов

Пермский национальный исследовательский политехнический университет Россия, 6140990, Комсомольский пр., 29 [email protected]; 89091048466

Получено решение дробного уравнения, описывающего аномальную релаксацию и диффузию в изотропном фрактальном пространстве, в виде произведения функции Фокса на функцию Миттаг-Леффлера, обобщающее результат, полученный в работе [7] и более простое, чем в работе [6]. Использовалась дробная производная Римана-Лиувилля с (0<а <1). В квантовом случае получено решение обобщенного дробного квантовостатистического уравнения Неймана-Колмогорова для неполного статистического оператора, описывающего случайные блуждания квантовой спиновой частицы по фрактальному пространству и задерживающейся в ловушках. Решение содержит квантовые миттаг-леффлеровские (негармонические) дробные осцилляции, аномальную релаксацию, шумовые дробные осцилляции и экспоненциальное дробное диффузионное затухание.

Ключевые слова: фрактальное пространство; дробные производные; аномальные диффузия и релаксация.

DOI: 10.17072/1993-0550-2016-2-30-37

Введение

Целью работы являются два примера на применение дробного исчисления. Это простой модельный пример решения дробного уравнения, описывающего аномальную релаксацию и диффузию во фрактальных[1-5] пространствах и времени, который ранее рассматривался, например, в работах [6, 7].

Вторым примером является квантовый случай, где мы рассматриваем решение обобщенного квантовостатистического уравнения Неймана-Колмогорова для статистического оператора, ранее полученного методом случайных траекторий [8, 9], для фрактальных пространства и времени.

В обоих случаях для контраста сначала рассматриваем уравнение и его решение в целочисленном дифференциальном исчислении и затем его обобщение в дробном исчислении.

© Кирчанов В. С., 2016

"Статья написана по материалам международного симпозиума "Дифференциальные уравнения. Сто лет математической науке Урала". Пермь. 16-19 мая 2016.

1. Диффузия и релаксация в классической системе

Рассмотрим классическую задачу Коши для функции / (х, t) где переменными являются координаты х =(х\, х2, х3) и время 1 (0<КГ)

^ = V)-1 /М, (1.1)

дt т

где G - коэффициент диффузии, У2 = А -оператор Лапласа, т - время релаксации.

Это уравнение описывает трехмерный нестационарный массообменный процесс при постоянном коэффициенте диффузии. Его фундаментальное решение в трехмерном случае хорошо известно [10]:

/(х,t) = 8-1 (^)-! ехр |- " Т}. (!.2)

Обобщение уравнения (1.1), описывающее стохастический перенос во фрактальных пространстве и времени, имеет вид [6]

D? / (х^ ) = GУ2Р/{х^)--1 / (х^),

т

(0< а <1), (0< 2р <1) (1.3)

с начальным условием / (х, t = 0) = /0 (х).

Здесь приводится регуляризованная дробная производная Римана-Лиувилля по времени t [7]

^(х,')-^ f(х' ^ =

(1.4)

_ 1 /о ( x) Г(1 _а) ta

где Г(1-а) - гамма функция.

Будем искать фундаментальное решение уравнения (1.3). Применим к нему прямое комплексное преобразование Фурье по координате x:

1 1X1

Fx [/ (t)] := 7—7 J / (x, t) e^dx . F (k, t) ,

(2л) _X

k = (kj,k2,k3) , (1.5)

Fx [DoV (x, t)] = Doa+ F (k, t),

[V2/(x,t)]=(_ /k)2p F (k,t) ], (1.6)

где (_ ik)2ß = |k|2ß ex^(_ ircß sign k). (1.7)

Радиальная часть дробного лапласиана может быть представлена виде [1]

V 2ß =.

1 öß

с

ôr

ßß

n—1 u

Л

ôr

(1.8)

где радиальная производная является дробной производной Римана-Лиувиллля по радиальной переменной:

_ôû_ ôrß

' (г,' ^Г^)! [ ' (г * - г Г ',

(0 < г), (0< в <1), (1.9)

что соответствует случаю диффузии в изотропной фрактальной среде.

Подставляя (6-9) в (3) получаем уравнение для Фурье трансформы:

М=- ^ Е(к^), (1.10)

с начальным условием Е(k,0) = Е0 (к) . Здесь

= G(- /к)2р- -1. (1.11) Га(к) У ' ха

Решение уравнения (1.10) - это функция Миттаг-Леффлера (см. приложение, формулу (П1))

( t ^

уа

V 1 J

F (k, t) = Fo (k ) Еад

X ~G (_ik)2ß_T_а

Fo (k)ZL V '

(1.12)

Г (an +1)

Применяя обратное Фурье преобразование, получаем

1 X

/ ( x, t )=T^nr J e<kkF ( k, t )db

( 2л) _X

1 X x I G (_ik)

— J dkeikxF0 ( k --

(2л)п _X ^ ^ Г (an +1)

(1.13)

2ß _a — X

t

п=0 г < + 1

Рассмотрим частные случаи формулы

(1.13).

а) Если коэффициент диффузии G = 0, возникает чистая аномальная релаксация, описываемая уравнением

Da / (x,t )=_-! / (x,t )

(1.14)

с начальным условием / (х, t = 0) = /0 (х).

Решением уравнения (1.14) является функция Миттаг-Леффлера, которая играет роль экспоненциальной функции в дробном

исчислении

a,1

/ ( x, t ) = /0 ( x ) E

X 1

/o (xW T~A Г (an +1)

С t a ^

Xa

VJ

(1.15)

n=0

Xa

VJ

Решение проверяется прямой подстановкой выражения (1.15) в уравнение (1.14) и использованием формулы дробного дифференцирования степной функции с произвольным показателем (см. П5).

Функцию Миттаг-Леффлера также можно выразить через функцию Фокса [11], представляемую в виде интеграла Меллина-Бернса (см. П7-8)

/ ( x, t )=/о ( x ) я

уг( s )Г(1 _ s ) 2%i J. г(1 _as)

G_ IX \ /

(0,1)

I

(W) (0,a)

(1.16)

-z sds

где z =

(tx_1 )a.

n

t

П

r

ß

ß

n—1

r

an

t

a

X

Пример 1

t

Если а = 1, то / (х, t) = /0 (х)е т - экспоненциальная релаксация, 1

если а = —, то 2

/ (х,^ = /0 (х)(2к)-17 2 е ^Ег/Щ , (см. П. 4).

б) Если т~а = 0, то получаем из (1.3) уравнение для аномальной диффузии:

Dа / (х^ ) = GV2Р / (х^ ). (1.17)

В работе [6] к этому уравнению после преобразования Фурье по координатам применяют преобразование Лапласа по времени. Мы будем следовать подходу, развитому в работе [7]. Перепишем трансформу Фурье (12) для модуля к .

^ (| Щ, t ) = 4 (IЩ

t аОк

,2Р

п=0

Г(ап +1) (1.18)

К, (к|)Н" tаG |к|2Р | (0Л> ч

0 М I/ 1,2 II 1 (0,1), (0,а)

и применим п-мерное обратное Фурье преобразование для радиальной функции (формулу Бохнера) (см. П. 6):

/0—4/2 ш п

/(х,,|рЧ (р|х)х

(

х 2 0

(1.19)

Н

1,2

О^рГ I ((0Д> ,

I I 1 (0,1), (0,а)

d р.

После применения формулы интегрирования (П.9), выражение становится следующим:

/ (I х|, t ) =

п 22

V п/2 I

п-2 п+2

Н

3,2

(2к) |х| 2 |х| 2

Gtа

2

VI х1 У

I (22П,Р) (0,1) (0,1) 1 (0,1), (0,а)

(1.20)

Применяя формулу симметрии (П. 10) получаем выражение

/ ( х|, t ) =

1

Н

2,1

п — 2,3 о I |п

ар

12р ео

( 1Д } (1,а)

(^ОЛ (1,1)

(1.21)

Используя формулу понижения порядка для функции Фокса (П. 11) приходим к окончательному результату:

/ ( ^ ) = -±- Н1

К2 х

I |2Р

х (1,а

I (п

22Р t аО' (2е)( 11)

(й(и>

. (1.22)

Решение (1.22) может быть выражено через интеграл Меллина-Бернса в виде

/ (I х|, t ) =

(2га)

-1 а+г«Г| п + Р^]Г(1 + 5)

2 ' ^ .

К2 х а-да

Г(1 + ая)

(1.23)

При Р = 1 решение (1.22) уравнения (1.17) переходит в формулу, полученную в работе [7].

В случае Е0(к) =1, т.е. £>(х)= 5(х) можно предложить приближенное решение уравнения (1.3) в виде

/ (I х|, t ) = ■

1

2

К2 х

г I 1

Е,

г tа^

а,1

Та

V 1 У

(1.24)

Оценки при п = 1, а = Р, приводят к формуле [6].

/ ( ехР

Ot12

х

г

22а tаО та

. (1.25)

2. Диффузия и релаксация в квантовой системе

Ранее в теории магнитной релаксации методом случайных траекторий для спиновой подсистемы отделенной от решетки было получено точное уравнение для неполного среднего матрицы плотности <р> [8]

^ хt) = (-^ (х, 5)+4 (х, t ))<р>( х, г)

(21)

где (х,5)... = К 1 \н (х,5),...] - оператор Лиувилля, 5 - спиновая переменная, х -классическая переменная, Ьх - оператор уравнения Фоккера-Планка (Колмогорова)

I = лП.

п

п

X

п

1,1

X

1,2

I

В простейшем одномерном случае это уравнение принимает вид [9] р(х, t) = Еа

д<р>( х, t)

д:

-- + G

Ы

дх2

= —гЬ (х, „?) < р > (х, t) +

2 Л (2.2)

р > (х, t)

Используя подстановку

< р > (х,t) = ехр(— гЬ(х, 5У)р* (t) (2.3)

получаем решение уравнения (2.2) в следующем виде:

< р > (х, t) = ехр | —гЬ (х,5) t — — I х

G дЬ (х, 5) ехр < —г—G—

1 2 дх2

. (2.4)

ехр

——3 G

3

(

дЬ (х, 5)

у

дх

р'(0)

Здесь первый сомножитель - затухающие резонансные осцилляции, второй сомножитель -шумовые осцилляции, третий сомножитель -диффузионное затухание, содержащее квадрат оператора Лиувилля. Подробности в работе [9]. Наличие осцилляционного члена в уравнении (2.1) отличает диффузию в квантовом случае от классического случая (1.1).

Для квантовой спиновой частицы, совершающей случайные блуждания по фрактальному пространству и задерживающейся в ловушках, можно предложить уравнение, обобщающее (2.1).

(

1

д2р

Л

Дар(х,t) = 1 — гЬ(х,5) — — + Gых^Г |р(х, 1),

(0< а <1), (0< 2в <1). (2.5)

Рассмотрим частные случаи уравнения

(2.5).

а) Пусть G = 0, тогда уравнение (2.2) становится следующим:

да / ч 11

-р( х, t)-----—

д^^К') г(1 — а) tа

—гЬ ( х, 5) р (х, t) — -1р( х, t)

р(х, t ) =

. (2.6)

Его решением согласно (1.15) является функция Миттаг-Леффлера

л 1 — гь (х,5 )tа —

р(х,0). (2.7)

Решение проверяется путем прямого почленного дробного дифференцирования степенной функции с произвольным показателем (см. П.5). Для вычисления матричных элементов полезна формула

Е.

а,1

—гь (х, ,5) t а]р( х,0) =

Еа1 [— гГ1И ( х, 5 ) t а]х (2.8)

р( х,0) Еа1 [+Ж1И ( х, 5) t,

Приближенное решение уравнения (2.5) можно принять в следующем виде

р(х, t) = Еа 1 [— гЬ(х, 5)— а ]еал ^}(х,0) .

(2.9)

Первый сомножитель дает квантовые негармонические осцилляции, которые мы назовем миттаг-леффлеровские осцилляции, второй - аномальную релаксацию.

б). Если положить т—а = 0, то получается следующее уравнение:

д2р

Дар(х, t) = — гь (х, 5 )р(х, t) + G —^ р(х, t).

дх р

(2.10)

Применим подстановку

р(х,t) = Еа1 [—гь(х, 5)tа] р*(:), (2.11)

тогда для вычисления дробной производной от статистического оператора будем использовать обобщенную формулу Лейбница для дробного дифференцирования произведения двух функций с остаточным членом (П.13) с п=2.

о,°р(х,:) = (— гЬ(х,5): а)р*(:)]-О+а(и • у),

(2.12)

где

О+а(и • V ) = Д"[ ЕаД (—гЬ ( х, 5) 1 а)]-р*( 1) +

аО а

Еа,1 (—гЬ (х, 5) 1 Ч]^ + ^

(2.13)

Поскольку функция Миттаг-Леффлера является решением уравнения (1.14), то справедливо выражение

О—а Еал (— гЬ (х, 5):а) = — гЬ (х, 5)ЕаЛ (— гЬ (х, 5):а).

(2.14)

т

т

X

Остаточный член согласно формуле (П.13) принимает вид

Я2 = Я --

Г

(-а)|

Еа д (- iL (х,5)еа)др*(е)

1 г(-а) 0 (t -е)

де

dе,

Я1 =-Г(-а)! {t -е)а+1 Иt)

(2.15)

р (¡)-р (е)ке.

* / *

(2.16)

Оценки остаточных членов Я1 и Я2 требуют отдельного рассмотрения.

Для вычисления дробной второй производной по координате используем формулу почленного дробного дифференцирования (П.12):

дР / ч ^ 1 дР

дхР

р(х^ ^ ГоЪ) дУ- ^(х,5 )t а]к.

(2.17)

Предположим степенную зависимость оператора Лиувилля от координаты

L(х,5) = Ьхп • L(5), где п =1, 2,..., Ь — постоянная.

(18)

Тогда, используя повторно формулу почленного дифференцирования и формулу (П.5) для дробного дифференцирования по координате х, получаем

д2р / - \ (5)¡аьх Ъ Ей (-* (х5) t =

.-Ц (х, 5) Г )=, , ч

^ > ' к=0 Г(ак +1) (2.19)

Г(1+пк) 1

Г(1+пк - 2р) ^

Подставляя выражения (2.13-15), (2.19) в (2.10) и опуская R2, получаем уравнение для ^ ):

аВ+Хд \-iLL (х, 5) I

дрв{t)_

дt

д2Р О^г Е.

дх2Р

(2.20)

а,1

-а (х, 5) t а}р*^)

Вычислим первый сомножитель в (2.20), используя формулы (П.12) и (П.5)

В аЕ

(х, 5) t

дtа 0+ъ Г(ак +1)

ъ

к=0

ъ

к=0

[-¿£ (х, 5)

да

(

Г(ак +1) дtаVг{l)

[-¿£ (х, 5да ( tак+1 ^ Г(ак +1) дtаVаk +1

1 ¡ ^ Геаkd е

1

= . (2.21)

ъ

к=0

[-!£ ( х, ) tс Г(ак + 2 -а)

Л-а

Решение уравнения (2.21) относительно ^ ) =

д2р

Е ( X, 5)е

ле

ехр

о Г дх2РЕа1

а о В"Г1Еа,1

(х, 5)еа

*. (2.22) р0

Если обозначим

' = * ^ е" • Ьк ■

ак =

Г(ак + 2 - а)

(2.23)

и подставим (2.19) и (2.21) в (2.22), то получим показатель экспоненты в виде отношения двух рядов

р* ^) = ехр

ъ Ьк

к=0

О

2^ <» ах 0 ъ ак1ке1-а

к=0

d е

р0 (2.24)

Применим формулу деления рядов (П.15), получим выражение для р*^) в виде

р*(t ) = ехр

ОГ( 2 -а)

ах

2Р

¡ /лак

к ¡ е"

ъск {-^ (5) Ьхп] dе

* р0

,к=0 0

(2.25)

После интеграции по времени получаем выражение для решения уравнения (2.20) в виде

а

к

к

1

к

7

X

а

р'( : ) =

ехр

GtаГ(2 — а) " [—'гЬ (5) Ьхп—

а2 х2р

I

к=0

к +1

(2.26)

Подставляя (2.26) в (2.11), и удерживая первые три члена в сумме, получаем окончательно следующее приближенное решение обобщенного уравнения (2.5):

р( х, 1 ) = Еа1 [—г—а Ь ( 5) Ьх

Е.

С 1 а ^

а,1

та

V 1 У

ехр-

ехр<

ехр<

': аGГ( 2 — а)' а2 Г(1 — 2р)

г:2 а Ь ( 5 ) bхnGГ( 2 — а)

2а2 х2р

С гх

1ЗаЬ2 (5) Ь2х2nGГ(2 — а)

3а х

^2Р

•...р*( 0).

( 0< а <1), ( 0< 2в <1) . (2.27) Коэффициенты с0, с1, с2 принимают вид

1

С0 =

г(1 — 2р):

С =

= Г(1 + п) Г(2 — а)

С2 =

г(1 + п — 2р) г(2)г(1 — 2р)' _ Г(1 + 2п) Г(2 — а) с Г(2 — а) с Г(1 + 2п — р) г(2) 1 Г(2 + а) 0

Если теперь сравнить решение (2.27) квантового дробного уравнения (2.5) с решением (2.4) квантового целочисленного уравнения (2.2), то видно, что первый сомножитель соответствует квантовым негармоническим (миттаг-леффлеровским) осцилляциям, второй сомножитель - аномальной релаксации, третий сомножитель - экспоненциально возрастает, четвертый - содержит шумовые осцилляции, пятый сомножитель - это диффузионное затухание, содержащее квадрат оператора Лиувилля. Остальные члены в решении (2.27) требуют отдельного рассмотрения.

(1.24) для аномальной диффузии и релаксации, обобщающая результат работы [7], и более простая, чем в работе [6]. В квантовом случае получен новый результат (2.27) при решении обобщенного квантовостатистиче-ского уравнения Неймана-Колмогорова для неполного релевантного статистического оператора, содержащий негармонические осцилляции, аномальную релаксацию и аномальное диффузионное затухание.

Для удобства применения составлено математическое приложение, см. также приложение в обзоре [2].

Приложение

1.Функция Миттаг-Леффлера [11] с. 221:

Еа(?)- Еа,1 (х) = 1

к=0

Г(ак +1)

. (П.1)

2.Функция типа Миттаг-Леффлера [11] с. 224, [13], с. 117:

си

Еа,р(х )=!"

к=0 Г(ак + р). (П 2) В книге [13] и справочнике [12] другое обозначение индексов.

3. Еа>Х а)=^ X 1—а |-Еа,1 (Ъ а) (П.3)

(X - постоянная), формула проверяется почленным дифференцированием рядов.

4. Ех_ (х12| = (2л)—'12е-хЕг/(^— х|, (П.4)

2

где Ег/е(х) = | ехр(— х2 )йх.

5. Дробная производная Римана-Лиувилля степенной функции с произвольным показателем [4], с. 140, ф. 1:

«и-ы>)=ггй5(п.5)

6. Формула Бохнера для радиальной функции (зависящей от х = г) [4] с. 358:

Заключение

Следует сказать, что из-за недостатка места не изучено асимптотическое поведение полученных результатов. Тем не менее, полученные результаты достаточно интересны: в классическом случае получена формула

- ад

У (Iх|, 1 ) = тгу \ егкхЕ (Iк1, 1)йк

(2л)

( 2л)2

п—2

(2л)п|х| п 0

|Е (р, 1 )р2(р|х|)йр

(П.6)

к

*

р

к

0

X

к

х

2

к

п

ад

2

7. Функция Фокса - интеграл Меллина- где Бернса [12] с. 626:

ттт,п Нр,Ч

1

2к'

/

(а1,А1),... (ар,Ар) (Ь1, В1),... (Ьч, вч)

т п

ПГ(Ь1 + В5 )ПГ(1 - а] - ])

]=1

]=1

ПГ( а] + А}5 )ПГ(1 - Ь1 - В5 )

5d5

а-'ад I I Г(а] + А;5)

1=п+1 1=т+1

(П.7)

8. Выражение функции типа Миттаг-Леффлера через функцию Фокса [12] с. 728:

(0,1)

Е",Р (- ^ ) = Н £

(0,1), (1 -Р,а)

. (П.8)

9. Формула для интегрирования функции Фокса и специальной функции [12] с. 355:

/ х Дах ) Н

•хг |

[ap, Ар ]

2е

•V!) |

К, вч ] ,Г ], [ap, Ар ], (1-

[Ьч, Вч ]

, а + V г

1-—,21, [V- ^

ттт,п+1 ~ Н р+2,ч

"-V г

2 ,2

(П.9)

10. Формула симметрии функции Фокса [12] с. 628:

ттт,п

Нр,Ч

z|

ар,Ар Ь ,В

- ч' ч

тгп,т = Нч,Р

1|гКЛ 1

41 - ар,Ар ]

. (П.10)

11. Формула понижения порядка функции Фокса [12] с. 628:

тгт,п НР,Ч

(al, А1),.. (ар, Ар )

Н

т,п-1

р-1,ч-1

р' р) а

[Ьч-1, Вч-1 ], (а1, А1) (а2,А),... (ар, Ар )

[Ьч-l, Вч-1 ]

2|

(П.11)

12. Формула для почленного дробного дифференцирования ряда [4] с. 215:

(

(X) \ I IX) \

Ва+ъ /п |(х) = п |ъ Ва"+ /п |(х) . (П.12)

V п=0

. п=0

13. Обобщенное правило Лейбница для дробного дифференцирования двух функций с остаточным членом [4] § 17:

В+а(и,у)=ъ , В+ак (и)- у(к)+ Яп, (П.13)

к=0

V к У

Яп =

Г^^. /(t- ТГ и(Т)^...

.../{t-СГ V (п)(^ С

)п-1 аГ(к -а)

- биномиальный

т

а

"!_(- 1)п-1 аГ(к -а)

V к У

Г(1 -а)Г(к +1) коэффициент.

14. Для дробного дифференцирования сложной функции /(^(х)) можно предложить формулу

«п.14)

где дробная производная функции /(х) по другой функции g(х) определяется формулой [4] с. 249.

дgр а+^

^ В^/ ( х) =

Г(1 -Р) g'(х)

d I , /Ы Ч-|Рg'(У)dy

dх

[ g ( х )- g ( У )]Р

Однако выражения, полученные по формулам (П.12) и (П.14) для функции

/ ^ (х)) = Еа1 [- L (5 )Ьхntа ], совпадают

только при п = 1.

15. Формула для деления функциональных рядов:

ад /"ад Л 1 1 ад

ъ Ьк?к |ъак7к\ = - ъ Ск7к , (П15)

к 0 V к=0 У а0 к=0

где

-п = Ьп — ъ сп-как; с0 = Ь0;

ап к=1

п-к к 0 0

0 к=1

а

а

а

С1 Ь1 с0 ' С2 Ь2 С1 с0 .

а

а

а

16. Формула для вычисления экспоненциального оператора от квадрата оператора Лиувилля (двойного коммутатора) [8]:

ад

ехр{- а2 ^¿2}. = / dхeхp\-кх2 -'2л/К- хаЬ ] .

-ад ...

(П.16)

х

г

1

х

Список литературы

1. Зеленый Л.М., Милованов А.М. Фрактальная топология и странная кинетика // Успехи физических наук. 2004. Т. 174, № 8. С. 809-852.

2. Учайкин В.В. Автомодельная аномальная диффузия и устойчивые законы // Успехи физических наук. 2003. Т. 173, № 8. С. 847-874.

3. Нахушев А.М. Дробное исчисление и его применение. М.: Физматлит, 2003. 272 с.

4. Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск.: Наука и техника, 1987. 688 с.

5. Чукбар К.В. Стохастический перенос и дробные производные // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 1995. Т. 108, вып. 5(11). С. 1875-1884.

6. Кобелев В.Л., Романов Е.Н., Кобелев Я.Л. и др. Нелинейная релаксация и диффузия в фрактальном пространстве // ДАН. 1998. Т. 361, № 6. С. 755-758.

7. Кочубей А.Н. Диффузия дробного порядка // Дифференциальные уравнения. 1990. Т. 26, № 4. С. 660-672.

8. Кирчанов В.С. Диффузия в ЯКР // Известия вузов. Физика. 1985. № 6. С. 14-16;

9. Кирчанов В.С. Диффузия и релаксация дробного порядка во фрактальных средах в классическом и квантовом случае// Известия вузов. Физика. 2009. Т.52, № 4. С. 15-23.

10. Полянин А.Д. Справочник по линейным уравнениям математической физики. М.: Физматлит, 2001. 576 с.

11. Бейтман Г. и Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции // Эллиптические и автоморфные функции Ламе и Матье. М.: Наука, 1967. Т. 3. С. 221.

12. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Марычев О.И. Интегралы и ряды. Дополнительные главы. М.: Наука, 1986. 800 с.

13. Джрбашян М.М Интегральные преобразования и представления в комплексной области. М.: Наука, 1966. 672 с.

Fractional order equations for the diffusion and relaxation in fractal media

V. S. Kirchanov

Perm National Research Polytechnic University; 29, Komsomolsky prospekt, Perm, 614990, Russia [email protected], 89091048466

We used the fractional Riemann-Liouville derivative with (0 <a <1) and solved a fractional equation describing anomalous diffusion and relaxation in the isotropic fractal space. The solution is obtained as a product of Fox's function to the Mittag-Leffler function; it generalizes the result obtained in [7] and is simpler than in [6]. In the quantum case, we solve the generalized fractional quantum statistical Neumann-Kolmogorov equation for the incomplete statistical operator describing random walks of spin quantum particles in fractal space and their delays in traps. The solution contains quantum Mittag-Leffler (non-harmonic) fractional oscillations, abnormal relaxation, noise fractional oscillations, and exponential fractional diffusion attenuation.

Keywords: fractal medium; fraction derivate; anomalous diffusion and relaxation.