ФУНКЦИЯ ЭВОЛЮЦИИ ОПЕРАТОРА -(-∆)ν Текст научной статьи по специальности «Математика»

Функция эволюции оператора — (—Д)^

В. Н. Ваховский,а П. И. Пронин6

Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова, физический факультет, кафедра теоретической физики. Россия, 119991, Москва, Ленинские горы, д. 1, стр. 2.

Поступила в редакцию 08.06.2018, после доработки 06.08.2018, принята к публикации 29.08.2018.

Вычислена функция эволюции дифференциального оператора — (—Д)^ в (¿-мерном евклидовом пространстве. Получено ее аналитическое выражение через пси-функции Фокса-Райта, которое хорошо определенно при как целых, так и нецелых значениях V и Обсуждены возможные применения полученных функций в квантовой теории поля и связи с дробным анализом.

Ключевые слова: метод собственного времени, метод теплового ядра, функции Грина, функции эволюции, пси-функции Фокса-Райта, дробное интегро-дифференцирование. УДК: 51-71, 51-72, 517.95, 517.984.5, 517.956.227, 517.588, 530.145, 530.145.7. РАС$: 02.30.Gp, 02.30.Jr, 03.70.+к.

ВВЕДЕНИЕ

Исследование классических уравнений математической физики и их приложений основано на изучении поведения их фундаментальных решений — функций Грина соответствующих линейных дифференциальных операторов. В квантовой теории поля (КТП) функции Грина — пропагаторы элементарных частиц — также играют фундаментальную роль. С помощью перенормированной теории возмущений из них строятся вакуумные средние от произведений фундаментальных полей (которые в КТП также обыкновенно называются функциями Грина, а в статистической физике — корреляционными функциями), эффективное действие теории, учитывающее квантовые поправки, и наблюдаемые в эксперименте величины, например сечения рассеяния.

Однако в середине прошлого века, благодаря основополагающим работам Фока [1], Минакшисундара-ма [2, 3], Швингера [4] и ДеВитта [5], стало ясно, что вычисление как различных физических величин, так и самих функций Грина удобно проводить с помощью введения новых объектов — функций эволюции, зависящих от дополнительного параметра — «собственного времени» (см. разд. 1). Успех этого нового вычислительного алгоритма, получившего дальнейшее развитие, в частности в работах Сили [6] и Джилки [7, 8], был обусловлен тем фактом, что для дифференциальных операторов второго порядка функция эволюции связана с фундаментальным решением уравнения теплопроводности — хорошо известным «тепловым ядром» (см. разд. 2). Этот факт позволяет построить фундаментальные инварианты дифференциальных операторов — коэффициенты Адамара-Минакшисундарама-ДеВитта-Сили (HMDS).

В настоящее время метод теплового ядра является одним из наиболее мощных инструментов математической физики, находящим применения в широком спектре областей от чистой математики (спектральная геометрия) до анализа финансовых рынков. В КТП его важность обусловлена тем, что, будучи объединенным с методом фонового поля, он позволяет вычислять эффективное действие и исследовать перенормируемость теорий, наличие в них аномалий и т. д. непосредственно в координатном пространстве. Это делает его

а E-mail: vladvakh@gmail.com

6 E-mail: petr@phys.msu.ru

незаменимым для вычислений в присутствии внешних полей или на искривленном пространстве-времени, что критически важно для калибровочных теорий и особенно для квантования гравитации [9-11].

Метод теплового ядра применим также к операторам высшего порядка. Это имеет значение при регуляризации высшими ковариантными производными, а также для теорий с высшими производными, вызывающими большой интерес в последние годы, - Д2-гравитации, нелокальных и суперперенормируемых теорий [12, 13], моделей Хоравы-Лифшица [14, 15] и т.д. Одна из возможных модификаций метода теплового ядра была предложена в работе [16]. Она состоит в том, что операторы высших порядков деформируются к минимальным операторам, являющимся степенями оператора типа Лапласа, что позволяет использовать тепловое ядро и НМБ8-коэффициенты. Обсуждение применения метода теплового ядра для операторов высшего порядка можно также найти в [17, 18].

Тем не менее функции эволюции дифференциальных операторов сами по себе являются важными величинами. Поэтому упомянутая возможность применения метода теплового ядра к операторам высшего порядка не делает менее интересной задачу исследования их функций эволюции, являющихся обобщениями теплового ядра. При этом прежде чем переходить к рассмотрению операторов на многообразиях, необходимо исследовать поведение функций эволюции в евклидовом пространстве. Настоящая статья, посвященная вычислению функции эволюции оператора — (—Д)и, и является первым шагом к реализации программы исследований поведения оператора эволюции для теории с высшими производными.

Разд. 1 и 2 носят вводный характер. В разд. 1 определяется функция эволюции для произвольного дифференциального оператора ^ в евклидовом пространстве и приводятся соответствующие интегральные представления для функций Грина. Затем в разд. 2 в качестве примера приводится применение стандартного метода теплового ядра к вычислению функции Грина Од» (х). В разд. 3 двумя различными способами проводится вычисление функции эволюции оператора —(—Д)^, а в разд. 4 приводится ее представление через пси-функцию Фокса-Райта.

Оказывается, что полученные решения хорошо определены не только при целых, но и при нецелых значениях V. В последнем случае оператор —(—Д)и

следует понимать как оператор дробного интегро-дифференцирования — производную Рисса, а уравнение на его функцию эволюции (8) — как дифференциальное уравнение дробного порядка, называемое дробным уравнением диффузии. Соответствующие уравнения и их решения давно обсуждаются в литературе [19-23]. Поэтому в разд. 5 мы кратко обсуждаем отличия настоящей работы от результатов, полученных в [20, 23]. Наконец, в Заключении кратко обсуждаются полученные результаты и перспективы развития их в теории дробного интегро-дифференцирования.

1. МЕТОД СОБСТВЕННОГО ВРЕМЕНИ

Пусть Р — некоторый дифференциальный оператор в плоском ¿-мерном евклидовом пространстве. Наша задача состоит в нахождении функции Грина этого оператора, т.е. такой функции ОР(х), что

РОР (х) = —¿(х).

Эта задача разрешается, если известна функция ир(т; х), удовлетворяющая дифференциальному уравнению

дтир (т; х) = ТОр (т; х)

с начальным условием

Ир (0; х) = ¿(х).

(1)

(2)

В этом случае параметр т называется «собственным временем», а функция ир(т) = еРт — «функцией эволюции» оператора Р.

Пусть оператор Р таков, что, во-первых, фундаментальное решение ир (т; х) определено при всех т > 0, во-вторых, ир (т; х) -> 0 (для этого необходимо,

чтобы Р был строго отрицательным и, в частности, невырожденным) и, наконец, функция ир (т; х) при стремлении т к бесконечности убывает достаточно быстро, чтобы сходились приведенные ниже интегралы.

Легко видеть, что при выполнении этих трех условий для функции Грина оператора Р — т2, где т2 — некоторая константа, существует интегральное представление

получающийся добавлением к лапласиану потенциального члена, и, соответственно, если РV — минимальный оператор, являющийся натуральной степенью оператора типа Лапласа. Интересно было бы попытаться точно охарактеризовать класс всех таких (псевдо)диф-ференциальных операторов для которых существуют представления (3), (4). К сожалению, если эта задача и решена, то соответствующие работы неизвестны авторам. В этой и следующей, готовящейся к публикации статье, мы покажем, что при т2 = 0 условия выполняются при произвольном й по крайней мере для всех операторов вида — (—Д)" с V > 1/2, а при т2 = 0 — при 1/2 < V < ¿/2, а также приведем выражения для более широкого класса операторов.

2. ФУНКЦИЯ ГРИНА ОПЕРАТОРА (Д - гп2)

Если Р = Д — оператор Лапласа, то уравнение (1) будет уравнением теплопроводности

дтиД(т; х) = Дид(т; х),

а начальное условие (2) задают его хорошо известное фундаментальное решение («тепловое ядро»):

ид(т; х) =

1

(4пт )^/2

ехр

(5)

Подставляя (5) в (4), получаем следующее представление функции Грина оператора (Д — т2)" в виде интеграла по собственному времени1:

О

(Д-т2)^

(х) =

= (¿—^/¿тт''-2-1 ехр (-хт — т'т). (6)

0

Также это представление можно получить, если записать функцию Грина через интеграл в импульсном пространстве, стандартным образом представить знаменатель (к2 + т2)" в виде интеграла от экспоненты е-(к +т )т, выделить полный квадрат и взять гауссов интеграл по импульсам.

Интеграл (6) выражается через функции Ханкеля. Для них существует известное интегральное представление (см, напр., [24, с. 30])

О

р-т2

(х) = -

1

р _ т2

¿те-т тир(т; х). (3)

Функция Грина произвольной натуральной степени V оператора Р также выражается через функцию эволюции

-1

ОРV (х) = - = ^

У ¿тт^-1ир (т; х). (4)

Соотношение (4) можно проверить V раз поочередно действуя на него оператором Р и интегрируя по частям. Тот же ответ можно получить, если V — 1 раз продифференцировать представление (3) по параметру т2, а затем положить т2 = 0.

Известно, что приведенные выше три условия — а значит, и следующие из них представления (3), (4) — заведомо верны, если Р — оператор типа Лапласа,

(аг)

(—г)А+хад I ехр { | т + а~ I > т

А-1

¿т,

верное при 1т2 > 0 и 1т(га2) > 0. Полагая А = ¿/2 — V, 2 = 2гт2, а = х/2т и аг = гтж, получим (х = %/х2)

( —1)-Чп (— гх\" 2 (1)

О(Д—т2 )* (х) = (4п)^р^ ) ^-V (гтх).

1 Заметим, что выбор знака «—» перед т2 обусловлен тем, что мы работаем в евклидовом пространстве. При переходе в пространство Минковского с сигнатурой (+--... —) оператор Лапласа

А = д2 перейдет в оператор Даламбера — □ = — д2 + + д1 + ... + д|—1, а оператор А — т2 — во взятый с минусом оператор Клейна-Гордона — (□ + т2). (В импульсном представлении: — (к2 + т2) перейдет в к02 — к2 — т2.)

о

о

оо

Формуле можно придать более удобный вид, переписав ее через функции Макдональда

^ ( \ ( —( х V-1 „ , ,

(Х) = \2ш/ (тх)-

Это выражение справедливо для всех Ие т2 > 0.

В пределе г ^ |а2 — 1/4| асимптотика функций Макдональда имеет вид Ка(г) ~ у/п/2ге-2. Соответственно при тх ^ |(^/2 — V)2 — 1 /41

G(A—m2)v (х)

X \V —2 П

(-1)v-12 / \ (4n)d/2r(v) V2m/ V 2mx

В пределе z С \Jа + 1 имеем

K.W ~ {Т(if)'"'• °ри а = 0

I — 1n (22) — при а = 0.

Соответственно в пределе тх ^ \/И/2 — V| + 1 получим следующую асимптотику функции Грина

сг( 2 — v)

при d/2 > v,

G(A-m2)v (x) ~ <

C (2тГ2 [— 4mx) — Y

[СГ (v — d)

d^ md-2v

при d/2 = v, при d/2 < v,

где С = ( — 1)^-12(4п)-^2/Г(v). В первом случае функция Грина перестает зависеть от т, а в третьем — от х.

Устремляя т к нулю, получим, что при V < ¿/2

G ( — 1)V—1 r(d/2 — v) / 4

gav (X) = (4n)d/2r(v) ^X2

(7)

При V ^ ¿/2 предела не существует и функция Грина бд (х) не определена. Если взять исходный интеграл (6), положив в нем т = 0, то при V < ¿/2 он даст (7), а при V > ¿/2 будет расходиться при больших т.

3. ФУНКЦИЯ ЭВОЛЮЦИИ ОПЕРАТОРА — (—Д)*

Перейдем к вычислению функции эволюции оператора ^ = — (—Д)^. Будем обозначать ее ; х). Уравнение (1) в этом случае принимает вид

дтUv,d(T; х) = — (—Д)"Uv,d(T; х).

(8)

Его решение записывается в виде следующего интеграла по импульсному пространству (к = л/к2):

/ddk

exp (—k2vт + гкх) . (9)

Мы возьмем этот интеграл двумя разными способами.

3.1. Первый способ вычисления Ц^(т; х)

Заметим, что функция эволюции, во-первых, инвариантна относительна вращений ; х) = ; а), где а = х2/2, и, во-вторых, масштабно инвариантна т; ах) = ; х). Поэтому она имеет вид

Uv,d(T; х) = Сот—¿Ev,d/2 (— , (10)

где £М/2(г) — некоторая неизвестная функция2, а С0 — нормировочная постоянная.

Найдем разложение функции £^/2(г) в ряд Тейлора. Используя соотношения Уак = ка'-1х и У(акх) = = (й + 2к)а', по индукции легко проверить, что для произвольной функции /(аа), где а — постоянная, выполнено следующее правило дифференцирования:

Дт / (аа) =

= (2аГ]=0 Ст Г^+Г) (аа)' / (т+к)(°а).

Полагая / = а = —1/2т, а = 0, получим

( Д)ти (т-0) Ст-Г(й/2 + т) с(т) (0) (—Д) иМ(т ;0)= С0т ^ Г(й/2) 5М/2(0)-

(11)

Однако эти величины легко вычислить непосредственно:

^ к2т ехр (—0 =

1 2nd/2

(2n)d r(d/2)

Jdkk2m+d—1exp(—k2vт) =

i/2 + m Г / d/2 +

т v Г

(4n)d/2v r(d/2)

. (12)

Сравнивая выражения (11) и (12), получим, что при выборе нормировки С0 = 1/(4п)^^ функция определяется следующим рядом Тейлора:

Ev,a(z) = £ mZm'

m!

где

em EV,a)(0)

Г ^ a+Vm^ Г(а + m)

(13)

3.2. Второй способ вычисления Uv,d(T; x)

Выражение (13) можно получить и другим путем. Пусть угол между векторами х и p в выражении (9) равен 0. Проинтегрировав по всем остальным углам, получим:

_ ( )= 1 2n(d-1)/2 иМ(т;х)= (2n)d г(d_1f Х

СЮ п

х^ e-fc2vтeikx cos 9 sind—2 0d0. (14) оо Разложим exp(ikx cos 0) в ряд Тейлора и проинте-

п

грируем по 0, пользуясь тем, что интеграл / cosm 0 х

о

х sinn 0d0 равен нулю при нечетных m и B ( m+-1, д++1) при четных m:

2 Мы используем для этой функции букву Е, поскольку она стоит на

месте экспоненты в обычном выражении для теплового ядра (5)

и в этом смысле может рассматриваться как одно из ее возможных обобщений. Однако это не функция Миттаг-Леффлера Еа,в (¿), которую также рассматривают как обобщение экспоненты и по-

этому обозначают той же буквой.

—mx

e

m

V

i —V

2

ехр(гкх сов 0) эт® 2 0^0

Е

(гкх)г

соэт 0 эт®-2 0^0 =

^ (гкж)2т в

т=0

а — 1 1

(2т)! V 2 ' 2

лДГ

1

^ (—х2)тк2т >■ лт^т /а

0 4тт!Г (| + т)'

Здесь в последней строчке мы воспользовались формулой удвоения Лежандра л/пГ(2т +1) = = 22тГ(т + 1/2)Г(т + 1).

Подставляя этот результат в (14) и интегрируя по к (этот интеграл в точности совпадает с тем, что был в формуле (12)), получим

и",а(т; х)

2

(—х2 /4)т

(4п)А/2 т=0 т!Г(^/2 + т)'

х У ехр(—к2"т)к2т+а-^к =

-Й/2"

Е

г

V "

/ —а

(4п)а/^ т=0 т!Г(^/2 + т^4тV"

. (15)

Полученное выражение совпадает с результатом, задаваемым формулами (10) и (13).

4. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧЕРЕЗ ПСИ-ФУНКЦИИ ФОКСА-РАЙТА

Из разложения (13) следует, что

Ела (г) = 1ф1

1 ) ;(а,1); г V V '

где [(а, А); (6, В); г] — пси-функция Фокса-Райта, задаваемая рядом Тейлора

[(а, А); (6, В); г] =

Е

к=0

Г(а1 + А1к)... Г(ар + Арк) гк Г(61 + В1к)... Г(6д + Вч к) к!.

(16)

Эта довольно редко встречающаяся специальная функция является одним из возможных дальнейших расширений обобщенного гипергеометрического ряда (рРд[а; 6; г] = [(а, 1); (6,1); г]Г(6)/Г(а)) и находит применения, в частности, в теории дробного интег-ро-дифференцирования и ее приложениях [19, 21-23, 25-27]. Она была впервые введена в 1935 г. в работах Э. М. Райта, изучившего ее асимптотическое поведение [28, 29]. В последние годы свойства пси-функции Фокса-Райта подробно исследовались в работах [30-33].

Таким образом, имеем следующее представление функции эволюции

иV,® (т; х)

-а/2 V

(4п)а/2

1

1

V

^ 1 )•-

2, 4т V"

Выражение (17) является обобщением известного теплового ядра. Действительно, при V =1

Е1,а(г) = Л[(а , 1); (а, 1); г] = в2,

что при подстановке в (17) приводит к (5).

Члены ряда (16) хорошо определены при таких параметрах (а1,А1), ..., (ар,Ар), что ао- + Ао-т = = 0, —1, —2,... для всех ] = 1,... ,р и всех т. При этом известно, что ряд абсолютно сходится на всей комплексной плоскости если при положительных Ао-

и Во выполнено 5

q р

Е Во — Е Ао > —1.

о=1 о=1

Применительно к функции <Е,,а(г) оба эти условия выполнены при действительном V > 1/2 и комплексном а = —т — «.V, для натуральных т и п. Таким образом, при этих значениях параметров £„,а (г) является целой функцией г. Соответственно функции и„,а(т; х) хорошо определены не только при всех натуральных и V, но и при всех V > 1/2 и = —2т — 2^.

5. ДРОБНОЕ УРАВНЕНИЕ ДИФФУЗИИ

При нецелом V полученное выражение (17) является решением уравнения (8), в котором оператор — (—Д)" следует понимать как так называемую дробную производную Рисса порядка 2v, определяемую с помощью преобразования Фурье [25]:

Щ«/(х)

Т-^к/(к)), / (к)= Т (/(х)).

Соответствующие уравнения называются дробными уравнениями диффузии и давно и широко обсуждаются в математической литературе, см., например, [19-23]. Однако в соответствующих работах обычно рассматриваются дробные уравнения в (1 + 1)-мерном пространстве.

Так, например, работа [23] посвящена нахождению фундаментальных решений уравнения

^«(х,^ ¿^«(х,-), а е М, - е М+,

где хВа — дробная производная Рисса—Феллера с ас-симетрией 0, переходящая в производную Рисса при 0 = 0, а — дробная производная Капуто или Рима-на—Лиувилля (подробнее об определениях и свойствах разных типов операторов дробного порядка смотрите в [25]). В работе получены интегральные представления и рассмотрены частные случаи функций Грина для значений параметров а, в е (0, 2), но не дано их общего представления в виде рядов или специальных функций. Таким образом, проведенное в ней рассмотрение является, с одной стороны, более общим, чем у нас, т. к. производная по времени также является дробной, а дробная производная по пространственной переменной имеет более общий вид, а с другой — гораздо менее общим, так как ограничивается случаем размерности (1 + 1), т. е. =1 в наших обозначениях.

Заметим, что ряд, аналогичный ряду (15), был приведен в работе [20] в контексте изучения аномальной диффузии в ¿-мерном пространстве и сферически симметричных устойчивых распределений. Однако в этой работе параметр V ограничен интервалом (1/2,1) и не приводятся выражения через пси-функции Фокса-Райта. Также сравнительно недавно аналогичный результат для = 3 был получен в работе [15] применительно к модели Хоравы-Лифшица.

п

п

т!

о

о

т

2

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Нами получено аналитическое выражение для функции эволюции и„,а(т; х) оператора —(—Д)являю-щейся обобщением известного теплового ядра, в терминах пси-функций Фокса-Райта. Следует подчеркнуть, что ее вычисление проведено двумя существенно разными методами, первый из которых перспективен для дальнейшего обобщения на случай искривленного пространства, а второй — на операторы более сложного вида.

Особый интерес вызывают обнаруженные пересечения с теорией дробного интегро-дифференцирования и тот факт, что полученные функции эволюции (17) хорошо определены как для целых, так и для нецелых значений и V .С одной стороны, это позволяет использовать их в КТП как при размерной регуляризации, когда формально рассматриваются пространства нецелой размерности, так и при вводе дифференциальных операторов нецелого порядка. Такие операторы можно использовать для регуляризации фейнманов-ских диаграмм в КТП вместо введения новых членов с высшими производными, смещая порядок исходных членов на малую величину V = 2 + е. Принципиальная возможность такой регуляризации показана недавно в работе [34] на примере безмассовой ф4-теории. Возможности и перспективы применения этого нового метода нуждаются в дальнейшем исследовании.

С другой стороны, связь с дробным анализом открывает перспективы применения полученных функций эволюции далеко за пределами КТП. Дело в том, что теория дифференциальных уравнений дробного порядка может быть эффективно применена для построения феноменологических моделей фрактальных сред, систем с памятью и нелокальным взаимодействием. Благодаря этому в последние годы она начинает все шире применяться в самых разных областях физики, химии и биологии — в гидродинамике и физике плазмы, теории металлов и полупроводников, полимеров и наноматериалов, описании аномальной диффузии, высокотемпературной сверхпроводимости и т. д. Можно говорить о быстром формировании новой междисциплинарной области и особой парадигмы исследований — «дробной динамики». Многочисленные применения дробного анализа к физическим задачам обсуждаются, например, в [35] и цитируемой там литературе.

Широкое применение этих новых методов к решению самых разных практических задач настоятельно требует дальнейшего совершенствования вычислительных методов. В связи с этим нам представляется, что объединение двух ранее не пересекавшихся областей — дробного анализа и метода теплового ядра — может оказаться чрезвычайно плодотворным и требует тщательного изучения.

В последующих статьях мы обсудим некоторые примечательные интегро-дифференциальные соотношения для функций Е",а(г) и их асимптотическое поведение, а также сделаем обобщение полученного результата на случай произвольных постоянных операторов в евклидовом пространстве, в частности приведем точные аналитические выражения для функций эволюции и функции Грина произвольного сферически-симметричного оператора.

Авторы выражают свою благодарность профессору кафедры теоретической физики А. В. Борисову и коллегам А. Е. Казанцеву, А. А. Лобашеву и М. М. Поповой за многочисленные и плодотворные обсуждения материала статьи.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Fock V. // Phys. Zeit. d. Sowjetunion. 1937. 12. P. 404.

2. Minakshisundaram S., Pleijel A. // Canadian Journal of Mathematics. 1949. 1. P. 242.

3. Minakshisundaram S. // The Journal of the Indian Mathematical Society. 1953. 17, N 4. P. 158.

4. SchwingerJ. // Phys. Rev. 1951. 82, N 5. P. 664.

5. ДеВитт Б. С. // Динамическая теория групп и полей. M. Наука. 1987.

6. Seeley R. T. // Proceedings of Symposia in Pure Mathematics. 1967. 10. P. 288.

7. Gilkey P.B. // Journal of Differential Geometry. 1975. 10. P. 601.

8. Eguchi T., Gilkey P. B, Hanson A.J. // Phys. Rep. 1980. 66, N 6. P. 213.

9. Avramidi I. G. // Heat kernel and quantum gravity. Berlin Heidelberg. Springer-Verlag. 2000.

10. Avramidi I. G. // Proceedings of the International Conference "Quantum Gravity and Spectral Geometry". Naples, Italy. 2001.

11. Vassilevich D. V. // Phys. Rep. 2003. 388, NN 5-6. P. 279.

12. Tomboulis E. T. // Superrenormalizable gauge and gravitational theories. UCLA/97/TEP/2. 1997.

13. Modesto L. // Astron. Rev. 2013. 8, N 2. P. 4.

14. Barvinsky A. O., Blas D., Herrero-Valea M.et al. // JHEP. 2017. 6.

15. Mamiya A., Pinzul A. // Journal of math. phys. 2014. 55, N 6.

16. Barvinsky A. O., Vilkovisky G.A. // Phys. Rep. 1985. 119, N 1. P. 1.

17. Avramidi I. G. // Phys. Lett. B. 1997. 403, NN 3-4. P. 280.

18. Avramidi I.G. // Journal of math. phys. 1998. 39, N 5. P. 2889.

19. Псху А. В. // Уравнения в частных производных дробного порядка. M. Наука. 2005.

20. Золотарев В.М., Учайкин В. В., Саенко В. В. // ЖЭТФ. 1999. 115, №4. С. 1411.

21. MainardiF. // App. Math. Lett. 1996. 9, N 6. P. 23.

22. Gorenflo R., Luchko Y., Mainardi F. // Journal of computational and applied mathematics. 2000. 118. P. 175.

23. Mainardi F., Luchko Y., Pagnini G. // Fractional Calculus and Applied Analysis. 2001. 4, N 2. P. 153.

24. Бейтман Г., ЭрдейиА. // Высшие трансцендентные функции. Т. 2. M. Наука. 1966.

25. Самко С. Г., Килбас А. А., Маричев О. И. // Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Mинск. Наука и техника. 1987.

26. Kilbas A. A. // Fractional Calculus and Applied Analysis. 2005. 8, N 2. P. 113.

27. Lavault Ch. // Fractional calculus and generalized Mittag-Lefflertype functions. LIPN, Universite Paris 13. 2017.

28. Wright E. M. // Journal of the London Mathematical Society. 1935. 10, N 4. P. 286.

29. Wright E. M. // Proceedings of the London Mathematical Society. 1940. 46, N 2. P. 389.

30. Kilbas A. A., Saigo M., Trujillo J. J. // Fractional Calculus and Applied Analysis. 2002. 5, N 4. P. 437.

31. Килбас А. А., Королева А. А. // Вестник БГУ. 2006. 1, №2. С. 53.

32. Килбас А. А., Липневич В. В. // Труды Института математики НАН Беларуси. 2009. 17, №2. С. 15.

33. MehrezKh. // Preprint arXiv:1711.08368[math].

34. Tarasov V.E. // Preprint arXiv:1805.08566v1[hep-th].

35. Тарасов В. Е. // Модели теоретической физики с интегро-дифференцированием дробного порядка. М.-Ижевск. Институт компьютерных исследований. 2011.

The Evolution Function of the Operator — ( — W.N. Wachowski", P.I. Proninb

Department of Theoretical Physics, Faculty of Physics, Lomonosov Moscow State University. Moscow 119991, Russia. E-mail: "vladvakh@gmail.com, bpetr@phys.msu.ru.

The evolution function of the differential operator — (—in a d-dimensional Euclidean space is calculated. We obtain its analytic expression through the Fox—Wright psi-functions, which is well-defined for both integer and noninteger values of v and d. Possible applications of the obtained functions in quantum field theory and the connection with fractional calculus are discussed.

Keywords: proper time method, heat kernel method, Green's functions, evolution functions, Fox—Wright psi-functions, fractional integro-differentiation. PACS: 02.30.Gp, 02.30.Jr, 03.70.+k Received 08 June 2018.

English version: Moscow University Physics Bulletin. 2019. 74, No. 1. Pp. 17-23.

Сведения об авторах

1. Ваховский Владислав Николаевич — аспирант; e-mail: vladvakh@gmail.com.

2. Пронин Петр Иванович — канд. физ.-мат. наук, доцент; тел.: (495) 939-53-89, e-mail: petr@phys.msu.ru.