Решение начальной задачи для одной системы трёх дифференциальных уравнений с производной дробного порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.968

Б01: 10.21779/2542-0321-2018-33-1-78-84 Т.И. Ибавов

Решение начальной задачи для одной системы трёх дифференциальных уравнений с производной дробного порядка

Дагестанский государственный университет; Россия, 367001, Махачкала, ул. М. Гаджиева, 43а; [email protected]

В работе исследована задача Коши для системы трех дифференциальных уравнений с производными дробного порядка Сари1о. С помощью преобразований Лапласа получены образы функций x(p), уф), z(p). Для нахождения решения задачи выражения для образов функций x(t), у(0, z(t) разложены на простые дроби с помощью корней характеристического уравнения. Найдено решение Задачи Коши. Получены некоторые соотношения для функции Миттага-Леффлера, позволяющие упростить полученное решение.

Ключевые слова: дробная производная, дифференциальное уравнение, преобразования Лапласа, функция Миттага-Леффлера.

Введение

Учет нелокальных эффектов в рамках традиционных подходов приводит к появлению в дифференциальных уравнениях интегрального оператора, где ядра интегральных операторов несут информацию о природе нелокальности. Для решения подобных уравнений интегральные операторы представляются в виде ряда дифференциальных операторов с возрастающими показателями порядка дифференцирования и при наличии малого параметра ограничиваются несколькими членами ряда. В отсутствии малого параметра такой подход оказывается непродуктивным, и, кроме того, полученные уравнения также не всегда удается решить.

Операция дробного дифференцирования, представляя определенную совокупность операций дифференцирования и интегрирования, открывает новый подход к теории нелокальных дифференциальных уравнений, вносит новый уровень понимания динамики соотношения необратимых и обратимых процессов, когда существенно учтены нелокальные свойства системы. Дробное исчисление вносит в теорию дополнительные параметры в виде показателей дробной производной, дает возможность использования широкого класса многопараметрических функций и открывает тем самым принципиально новые возможности интерпретации экспериментальных данных и создания адекватных количественных моделей процессов нелокального переноса [3].

Решению задач типа Коши для дифференциального уравнения дробного порядка посвящено множество различных работ. В монографии [3] приведены решения задачи Коши для осцилляторных уравнений с производным дробного порядка Римана-Лиувилля и Сари1о. В работе [4] исследована начальная задача для фрактального осциллятора, а в работе [5] исследована задача Коши для системы двух линейных дифференциальных уравнений дробного порядка. Работа [6] посвящена исследованию решения задачи Коши для обобщенного уравнения Эйри. Исследованию нелинейных дина-

мических систем, описываемых дифференциальными уравнениями с производными дробного порядка посвящены работы [7, 8, 9, 10].

В данной работе исследована начальная задача для одной системы трех дифференциальных уравнений дробного порядка.

Задача Коши для системы трех дифференциальных уравнений дробного порядка. Рассмотрим в области Оа задачу Коши для системы трех дифференциальных уравнений с производными дробного порядка вида:

д0 = - У -д1=х+аУ-

д1 = кх+ч2-

где 0 <а <1, д®и(Г) = 1

а^,к —

некоторые

постоянные

(1)

параметры,

]-— ОЛ - дробная производная Сари1о.

Г(1 -«)о(* - 8)а

Постановка задачи. Найти решение х(0, у(0, ЕАС2[0,Т] системы

дифференциальных уравнений (1), удовлетворяющее начальным условиям х(0) = хо,У(0) =Уо,^(0) = г0.

Пусть Юа сЛС2[0, Т] — область определения д0)(. Тогда для любых функций

х(£) ЕОа, у(0 ЕОа, ЕОа справедливы равенства [2]:

Б а = -У-* +

х(0)

Б

0*

Б

а 0*

- х + ау + ■ кх + +

Г (1 -а) *а

У(0) г (1 -а) а' * (0)

(2)

Г (1 -а) а

Пусть ЕБа, у(0 ЕБа, z(t^) ЕЯ а - решение системы (2). Тогда образы Лапласа системы (2) имеют следующий вид:

х0 Р2а - Ра(X0 Ч + х0 а + г0 + У 0) + аЧ х0 + г0 а + ЧУ 0

х( Р)

У( Р)

Р

1-а

р3а - р2а (д + а) + ра (ад + к + 1) - (ак + д) У 0 р2а - ра( х 0 Ч - х 0) - г 0 - дх 0 + кУ 0

Р

1 -а

р3а - р2а (д + а) + ра (ад + к +1) - (ак + д)

*0 р2а - р"(*0 а - кх0) + *0 - акх0 - кУ

а

(р) =

р

1 -а

р3а - р2а (д + а) + ра (ад + к +1) - (ак + д)

2а

Представим систему (3) в виде:

(3)

х( р)

1

xo

(Л Я2)(Я1- А3)(Л2- Л3) p1

x 0 q + x 0 а + z 0 + у 0

1-2а

---+-

1 -Л1 p-а 1-Я2 p-а 1-Я3 p-а

p

1-а

1

1

+

1

1 -Л1 Р 1-Л2 Р 1-Л3 Р

—а

+

+

x 0 aq + z 0 а + qy 0

Р

1

1

1

1 -Л1Р 1-Л2 Р 1-Л3 Р

—а

(4а)

У( Р)

1

(Л1 - Л2)(Л1 - Л3)(Л2 - Л3)

у 0 q - x 0

у 0

Р

1 - 2а

1

1

+-

1

1-а

+ •

Р

ку 0 - x 0 q - z 0

1

1 -Л1Р-а 1-Л2 Р-а 1-Л3 Р-а. 11

+

Р

1 -Л1 Р~а 1-Л2 Р"а 1-Л3 Р~а 1 1 1

+

+

1 -Л1Р 1-Л2 Р 1-Л3 Р

-а

< рУ

1

Л- Л2)(Л1- Л3)(Л2 - Л3) z 0 а - kxo

Z0

1 - 2а

1 -а

+

z 0 - ax 0

Р

к - ку.

Р 1

1

1

1

1 -Л1 р-а 1-Л2 р-а 1-Л3 р-а_ 11

Р

1 -Л1 Р~а 1-Л2 Р"" 1-Л3 Р~а. 1 1 1

+

+

1 -Л1Р 1-Л2 Р 1-Л3 Р

-а

где, Я±, Х2, Я3 — корни характеристического уравнения., ¿1 =

Я2 -£г

л/

ц + а

_ _

-р +

ц + а

где

¿3 = ¿2 + + - - 3 ,

^^■[ац+к+1]-ка-ц——[д+а]3 ац+к+1-~ [ц+а\2

Р=--г--— °

= -1 + л/3 2 " 2 .

27

(4б)

(4в)

1

1

1

Приведём некоторые вспомогательные соотношения из [3]:

й 1 1

1 е-Чй~'е = —, < 1,

0 а,Р 1 - *

1 ^ г

1 _ г (-¡а

= 1 е у Е л\Ми О*, Яер> 1, (5)

р(1-А-р-а) 0 7

1

-=1 е~р1ГаЕ 1 Ша)Л, Яер > 1.

р1 -а(1 -х-р~а) 0 а1 -а

из равенств (4а), (4б), (4с) с помощью соотношений (5) получим выражения для оригиналов функций х(£), у (О, z(t):

х(*) = ^-, )( , 1 , )( ,-ГТ"(х01-2а ((Я2 - А3)Ба,1-2а(А1*а)

¿1 - ¿2)Ы1 - ¿3)Ы2 - ¿3)

(Л2 - А3)Ба,1-2а(А1*а) + ¿1 - ¿2^,1^ ¿1а))- (х 0 Ч + х 0 а + * 0 + У 0) ((¿2 - ^3)Еа,1-а(^1*а) - ¿2 - ^3)Еа,1-а(^1*а) + ¿1 - ¿2)Еа,1-а ¿1* ") ))+ "0 ач + * 0а + чу 0 )((¿2 - Я3)Еа,1(Я1 *а) - (¿2 - Я3)Еа,1(Я1 *а) +

+ (¿1- ¿2)Еа,1(^1*а))) ,

У(*) = Т,-IV, \ )( .-ГТ(У01-2а ((Л2 - ¿3)Еа,1-2а (¿1*а) -

¿1 - ¿2)Ы1 - ¿3)Ы2 - ¿3)

- (Л2 - ¿3)Еа,1-2а(Я1*а) + ¿1 - ¿2)Еа,1-2а ¿1а))- (У0Ч - х0)

((¿2- ¿3)Е а ,1-а (¿1*а) - (¿2 - ¿3)Е а,1-а (¿1*а) + (¿1- ¿^ЕаД-аЦ^)))

*^((¿2 - ¿3)Еа,1-аЦ1а) - (¿2 - ¿3)Еа,1-а(¿1а

(кУ 0 - * 0 - Чх 0) ((¿2 - ¿3)Еа,1^1 *а) - (¿2 - ¿3)Eа,1(¿1 *а) +

+

(¿1 ~ ¿2) Еа,1 (¿1 О),

) = (¿, " ¿2)(^1 - ¿ " ¿ ) ^ ^ ^^ " ¿3) Еа,1-2а ^¿1 * )

- (¿2- ¿3)Еа,1-2а(¿1 *а) + (¿1 - ¿2)Еа,1-2а(¿1 *а))- (я0 а - кх0) *-а(и2 - ¿3) Еа,1-а (¿1 *а) - (¿2 - ¿3)Еа,1-а(Я1 *а) + (¿1 - ¿2)Еа,1-а(Я1 *а)))

( * 0 - ак х 0 - к У 0) ^¿2- ¿3)Е а,l(¿1 *а) - (¿2 - ¿3)Е а,l(¿1 * а) +

+ (¿1- ¿2^,1^0»)) . Лемма 1. Для а > 0 имеет место равенство

' -аЕа,1 -а('а) =-^ + Еа,1('а). <6)

Г(1 -а)*а

Доказательство. Согласно определению функции Миттаг-Леффлера имеем

да а

-а(а)='~а (7)

п

= 0 Г(оп +1 - а)

В правой части равенства (7), заменяя П на п/ + 1, получим

да ,ап/ +а да ап/

-а

^ Е -;-= Е

/ = 1 Г(ап +а +1 -а) п / = 1 Г(ап' +1)

^ -а да tап/ t -а

+ Е -;-=—-- + Ео1(0

Г(1 -а) п "= 0Г(ап/ + 1) Г(1 -а) а1 Лемма 2. Для а > 0 имеет место равенство

'- 2аЕа,1 - 2а (^) =-Цг +-+ Еа,1 (°). (8)

Г(1 - а Г(1 - а)а

Доказательство. Согласно определению функции Миттаг-Леффлера имеем

2 2 да <ап

СЕ _ (°) = С2а Е ---, а > 0. (9)

аЛ - 2а п = 0 Г(ап +1 - 2а)'

В правой части равенства (9), заменяя п на п/ + 2, получим „ да +аг1 + 2а да .ап!

Г2а Е --= Е '

п/ =-1Г(ап/ + 2а+1-2а) п/ =-1Г(ап/ +1) .-2а .-а да аап! .-2а .-а

=-—+-— + е -V- =-—+-—+Еа1(а).

Г(1-2а) Г(1-а) у = 0Цт/ +1) Г(1-2а) Г(1-а) а1 '

Используя равенства (6) и (8), решение можно представить в виде:

^=Сл-ЛСлЛКЛ2-Л3) (Л1-Л3)Е^дМ+

+ ЛЛ- Л2)Еа,1 (лэга)) ■ и(1'- q - а + аф+Уo(q -1)+zo(a -1)) ,

(10а)

У('} = (Л,- Л2)(Л,-'Л3)(Л2- Л3) ((Л2 ■ ^3)ЕаД(л1'а)" (Л - ^М*

+ (Л1 - Л2)Еа,1 (Л3Га)У (у0(1 - Ф + к) - x0(ф - 1) - z0), (10Ь)

*) = (Л1- Л2)(Л'-1Л3)(Л2- Л3)((Л2 ■ (Л - ^^

+ (Л1 - Л2)Еа,1 (л 3 ^ 0(2 - а) + x 0 к (1 - а ) - к у 0 ) .

(10с)

Имеет место следующая теорема.

Теорема. Функции x(t) 6Da, y(t) 6Da, z(t) 6 Da будут решениями системы (1), если они представимы в виде (9а), (9b), (9с).

Литература

1. Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. - Минск: Наука и техника, 1987. - 498 с.

2. Нахушев А.М. Дробное исчисление и его применение. - М.: Физматлит, 2003. - 272 с.

3. Мейланов Р.П., Бейбалаев В.Д., Шахбанова М.Р. Прикладные аспекты дробного исчисления // Palmarium Academic Publishing, Saarbrücken: 2012. - 135 c.

4. Бейбалаев В.Д. Решение начальной задачи для дифференциального уравнения «фрактального» осциллятора // Вестник Самарского гос. тех. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. - 2009. - Т. 1 (19).

5. Назаралиев М.А., Бейбалаев В.Д. Динамические системы, описываемые двумя дифференциальными уравнениями с производными дробного порядка // Владикавказский математический журнал. - 2013. - Т. 15, № 1. - С. 30-40.

6. Паровик Р.И. Задача Коши для обобщенного уравнения Эйри // Доклады АМАН. - 2014. - Т. 16, № 3. - С. 64-69.

7. Бейбалаев В.Д., Мейланов Р.П., Назаралиев М.А., Шабанова М.Р. Особенности фазовой траектории «фрактального» брюсселятора // Сб. материалов седьмой Всероссийской конференции «Математическое моделирование и краевые задачи». - Самара 3-6 июня, 2010. - Самара, 2010.

8. Назаралиев М.А., Бейбалаев В.Д. Нелинейные колебания в средах с фрактальной структурой // Сб. трудов Международного Российско-Болгарского симпозиума, КБР, г. Нальчик, КЧР, а. Хабез 25-30 июня, 2010. - Нальчик, 2010.

9. Бейбалаев В.Д. Моделирование хаотического поведения динамических систем с фрактальной структурой // Сб. материалов восьмой Всероссийской конференции с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи», СамГТУ Самара, 2011. - Самара, 2011. - С. 27-31.

10. Тренькин А.А., Карелин В.И., Алисултанов З.З., Бейбалаев В.Д., Рагимха-нов Г.Б. Динамика электронов в ветвящихся системах газоразрядных каналов со спадающей концентрацией газа // Нелинейный мир. - 2017. - Т. 15, № 3. - С. 24-31.

Поступила в редакцию 27 февраля 2018 г.

UDC 517.968

DOI: 10.21779/2542-0321-2018-33-1-78-84

The solution of Cauchy problem for system of three differential equations with fractional derivative Caputo

T.I. Ibavov

Dagestan State University; Russia, Makhachkala, 367001, M. Gadzhiev st., 43 a; [email protected]

In the paper the Cauchy problem for system of three differential equations with fractional derivative Caputo is studied. The images of decision x(p), y(p), z(p) are obtained using Laplace transforms. To find the solution of the problem x(t), y(t), z(t), the image of solution was decomposed into simple fractions using the roots of characteristic equation. Some relations are obtained for the Mittag-Leffler function, which allow simplifying the obtained solution.The solution of Cauchy problem for system of three differential equation with fractional derivative Caputo is found.

Keywords: fractional derivative, differential equation, Laplace transform, Mittag-Leffler function.

Received27February, 2018