CC BY
10УДК 539.3
УРАВНЕНИЯ АНТИСИММЕТРИЧНЫХ КОЛЕБАНИЙ УПРУГОЙ ТРЕХСЛОЙНОЙ ПЛАСТИНЫ
Ш.Р.Яхшибоев
ф.-м.ф.б.,(PhD), sherzodyaxshiboyev@,maiLm +998972855943
Н.Меликулов
Сам ГАСУ, к.т.н., доцент, normat.meliqulov@,bk.ru;+998937494887
С.К.Кучкоров
НамИСИ, PhD., доцент, qo sobirjo n@gmail. co m +998941590032
Аннотация: Разработана теория свободных колебаний трехслойной упругой пластинки исходя из плоской постановки задачи на основе точных решений уравнений линейной теории упругости в преобразованиях. Получены уравнения колебания антисимметричных колебаний бесконечной в плане трехслойной пластинки. Предложен алгоритм, позволяющий по полю искомых функций однозначно определить НДС произвольного слоя пластинки.
Abstract: The theory of free vibrations of a three-layer elastic plate is developed on the basis of a flat formulation of the problem on the basis of exact solutions of the equations of the linear theory of elasticity in transformations. Equations of vibrations of antisymmetric vibrations of an infinite in plan three-layer plate are obtained. An algorithm is proposed that allows one to uniquely determine the VAT of an arbitrary layer of a plate.
Ключевые слова: трехслойная пластинки, напряжения, перемещения, колебания.
Key words: three-layer plate, stresses, displacements, vibrations.
Введение. Теория упругих пластин представляет собой один из разделов трехмерной теории упругости. В этом разделе рассматриваются такие задачи их расчета, при которых краевые условия на боковых поверхностях пластинки заданы в напряжениях. При этом построение оснзовных соотношений теории пластин заключается в приведении трехмерной задачи к двумерной. Для достижения цели используют различные методы и подходы. Обыкновенно для этого применяют различного рода упрощающие гипотезы и предпосылки. Эти гипотезы и предпосылки вместе с упрощениями приводят к существенным недостаткам и погрешностям [1].
В последние десятилетия в различных областях строительство, авиастроение, приборостроение широко применяются трехслойные, в частности двухслойные пластинки. Поэтому, расчет таких пластин на действие различных динамических нагрузок находят широкое применение в проектировании и эксплуатации инженерных конструкций, работающих зачастую в экстремальных условиях действия взрывных, сейсмических и других нагрузок. В большинстве случаев расчета пластин[1], в том числе и многослойных [2,3], исследователи применяют теорию, основанную на гипотезах Кирхгофа и её модификаций. Применяют теорию типа Тимошенко, учитывающую деформацию поперечного сдвига или же теорию Рейсснера [4], которые также основаны на некоторых гипотезах и предпосылках, упрощающих уравнения колебания до достаточно простого уровня.
Профессором Г.М.Петрашенем было обосновано применение метода рядов при
разработке теории колебания упругих [5] и неидеально-упругих тонких пластин [6], основанная на методе использования точных решений в преобразованиях. Данный метод был развит профессором И.Г.Филипповым [7] на случаи вязкоупругих стержней и пластин. Дальнейшее развитие метод получил в работах проф. Х.Худойназарова применительно к цилиндрическим слоям и оболочкам, взаимодействующим с деформируемой средой [8]. В этих работах были разработаны общие уравнения колебания стержней, пластин и цилиндрических оболочек с учетом реологических и анизотропных свойств. Из полученных уравнений, как частные случаи, следуют уточненные уравнения типа Тимошенко и классические уравнения типа Кирхгофа, Кирхгофа-Лява, а также уравнения стержневой теории.
Данная статья посвящена выводу общих, а из них уточненных и приближенных уравнений колебания трехслойной упругой пластинки несимметричной структуры, а также решению задачи о собственных колебаниях трехслойной упругой пластинки на основе полученных уравнений колебания.
Постановка задачи. Рассмотрим трехслойную, бесконечную в плане, упругую пластинку. Этом ось 02 - вертикально вверх, а ось Ох направлен вдоль средней линии продольного сечения.
Будем считать, что пластинка состоит из двух несущих слоев с толщинами и й2 и срединного слоя толщиной 2\ (Рис.1). Лк, /лк, рк- упругие коэффициенты и объемные плотности слоев ( к = 0,1,2 ).
Рис.1. Элемент трехслойной пластинки и действующие внешние силы
Зависимость напряжений от деформаций в точках изотропных слоев пластинки описываются законом Гука для каждого слоя (к = 0,1,2 ) . Уравнения движения точек
составляющих слоев в декартовой системе координат
А1) - „ т"т (г)
о
1
(1)
значительно упрощаются введением потенциалов (рк и щк продольных и поперечных волн по формуле
и ^) = + тМщ
и принимают вид волновых уравнений.
( =
Рг д(
Лп &
2 '
Ащ =
М1 д12
(2) (3)
где А - двухмерных оператор Лапласа;
В случае плоской деформации перемещения точек слоев равны
и(г)= и ■ 1 + Щ ■ к; (4)
—. -*■
где г, к - единичные векторы осей координат
% = %1 (х, гщ = щ г)] , (5)
где ] - единичный орт оси Оу, чтобы уравнения движения точек слоев пластинки приобрели вид
_. д
4 + дг2 ' щ щ дг2
^; ; (6)
где А = дVдх2 + дVдг2 .
Предполагается, что при I < 0 пластинка находилась в покое, а в момент г = 0 к её граничным поверхностям прикладываются динамические воздействия Поперечные колебания пластинки возбуждаются при граничных условиях
=±fl{x,г); = ±f2{x,0; ^^ = 0; к* = ко + и, { = l,2), (7)
где функции f (х, г) и f2 (х, г) антисимметричные части функции внешних динамических нагрузок. Кроме того, на поверхностях срединного слоя, при г = ±И0 должны выполнятся следующие динамические и кинематические условия
ет(°)=ет('), т(°)=т(г), т{°)= о (8)
гг 22 * хг хг * у2 х у
и
П, при г = Н0 иа = и., Ж = ж, г = \ •
0 г ' 0 г' /-ч 1
[2, при г = -п0
Начальные условия задачи считаются нулевыми.
При задании компонент перемещений в виде (4) напряжения задаются выражениями
(9)
г« =4 (А%к ) + [д-%-дЩг\, ^=4 (А%к ) + 2Щ
дх дхдг
Гд% | д К дх2 дхдг
д 2%к д 2щк д 2щк
2------1--—
ч дхдг дг дх у
(10)
Для решения поставленной задачи функции внешних воздействий из (7) представим в виде
/1 (х,0= Т 5Шкх V171 (к,р)еР'йр, f2 (х,г)=?005кх1^кГ% (к,р^р, (11)
0 - 005кх) (I) 0Я1Пкх) (I)
где функции ~ (к, р) и _/2 (к, р) - аналитические, принимающие произвольные значения в промежутки (0, к0), убывающие при к ^да, как к , и пренебрежимо малые при к > к0; (/) -контур Яе р = у> 0 на комплексной плоскости (р), оставляющего область О(к,р) правее себя.
В соответствии с принятыми представлениями для функции внешних воздействий потенциальные функции %т(х,г,г) и щт(х,г,г), также представим в виде (11), подстановка которых в (6) дает обыкновенные дифференциальные уравнения Бесселя относительно преобразованных по (11) функций %ш(2,к,р) и Щт(г,к,р)
d 2<Рк dz2
~ак(Рк = О,
d 2¥k dz2
-ßlvk = 0:
(k = 0,1,2)
(12)
где al = k2 +pmp2(Xm +2pm)-1; ßm2 = k2 + ,pmp2M,1; arg« = argß = 0, при p> 0.
Решения уравнений (12) в случае поперечных колебаний пластинки, с учетом антисимметричности воздействий в граничных условиях (7), будут
q>m (z, k, p) = Al2) (k, p)sh(amz); ~m (z, k, p) = B® (k, p)ch (ßmz) (m = 0,1,2). (13)
Подстановка общих решений в граничные условия дают уравнения Mi (2k«iAl2)ch(«i (h0 + hi ))-(ßi2 + k2)Bl2)ch(ßi (h0 + hi ))) = /(k,p);
(h2 + 2^)(a2 -k2)a^2)sh(a2(h0 + h2))+2m2«1 A(2)sh(a2z)-kß2B^2)sh(ß2(h0 + h2)))= f(k,p). Найдя постоянные A^2), B|2) A^2-1, B^2) из контактных условий после некоторых математических преобразований получено разрешающее уравнение колебания в безразмерных переменных
(i + hi К
а2 д2 )5 2щ(0) hl
dt2 дх2
dt2
б£/2
У
Ы
^ Я2
2 --2
V a0)
д2 б/2
д Л \ д б/0
~ + (i + 2,° )дХ2 + бТ
дt
д 1 ^ * ,(,+h).д*f"
д?2
(i + h2 ) h2
/2
(i - 2, )
'д 2
д 2
д/2 дх2
3/2 Ы 2/2
дх4
+ (i + hi)
д2 oh 7 V д4 |д^00) д 2f(]
д?2
д2 8Ъ2<?2 (i + h2)2 д* 1 дщ;
(0)
д/ 2
3Ы
-х 4
дх
(14)
2£
X - (i - 2.0 + К
д?2 v о; дх2 h2
^+8ЫМ+М: ^ L.0)=*(,+h, )-^íll)+,2 ^+h2 f.
д?2 3Ъ2 дх4 J 0 V д? \
д_
д?2
Ы22 д2 f
Ъ2 дх2
дх
2
/
+
+
2
h
0
1
где a0 - скорость продольных волн в материале срединного слоя; Ъ0, Ы, Ы
г(0)
скорости поперечных волн в материалах слоев;а I - длина пластинки; Ж0{0) и и^ главные части поперечного и продольного перемещений точек срединного слоя наряду с уравнениями колебания выведены формулы для всех компонентов тензоров напряжений и векторов перемещений в точках всех трех слоев пластинки. Например, выражения для перемещений и и , а также напряжения сг^0 в точках срединного слоя,
соответствующие степени уравнений колебания (14) имеют вид
и 0 = 7 К
- ?„— W0(0) + - и00) | + -
0 дх 0 £ 0 ) £
0)
д2 1 ■'0 +1
и
(0)1
I z 2 z 4
W0 4+T(i - ,0 24
(i - ,0 )д 4 f (i - 2,0), (i - ,0)
a2X д?4
+ -
a,
д4
ilz2 z4
£1T+ 24
'i i
v Ы2 +"
a,
0
0 )
^ д2 „ д2 —5"-2—Г
д?2 дх2
4 и 00),
дх
щ(0) -
== M0 ■
Г=— -- — Ъ2 д?2 дх2 '
i + (i - 2,0)
2Ы
2 А
z С
Wi°) + i дх 0 £
i + z-2
2
V Ъо д?:
-(i + 2,0)
2
дх2
и
(0)!
(15)
3
0
2
Ъ
0
Аналогичные виды имеют выражения для напряжений и перемещений точек несущих слоев.
В качестве примера рассмотрим задачу об антисимметричных (поперечных) гармонических колебаниях трехслойной пластины на основе полученных приближенных уравнений колебания. При этом следует считать, что поверхности пластинки свободны от внешних нагрузок. Тогда правые части уравнений колебания (14) будут равны нулю. Решение дифференциальных уравнений (14) с нулевыми правыми частями будем искать в виде
Ж0(о) = , и«0 = , (16)
где ш -круговая частота колебаний; к - волновое число. Подставляя (16) в уравнения колебания будем иметь систему двух однородных алгебраических уравнений
относительно W и U0
a11Wo + a12Uo — 0, a21Wo + a22U0 = 0,
(17)
где
b2 h a" = "
b2 h3
boho к2
2;3
bj7
' a22 = „
4
b 2h2
_boho ,,4
2b2/2
(1 + 2q0)^2к2 -^q(1 + h)2к4 + 4
2b2/2
3/
b2
a„ =—-
2/„3 ^ A2
bo ho
6b2/
2 - 2
V ao
/
b2 h3
4 bo ho
6b2/3
4ho3 3/3
(1 + 2qo )a2к2--q1 (l + hj2к4 -
b h
b2/
a^-i — к
4ho4 q2 (1 + h )2 к 4 ■ bo2 ho2
3/
4
+ ■
2/2
b2 /
b2 h4
^ 2 . bo ho
2b2 /4
■(1 - 2qoК - ^(1 - 2qo)®2к2
2b2 /
Из (17) следует частотное уравнение
a11 ' a22 a21 ' a12
o
(18)
Последнее уравнение (18) решалось численно с помощью пакета прикладных программ «Maple 17». При этом расчеты проводились для стальных и алюминиевых несущих слоев пластины. Значения физико-механических их параметров материалов следующие: стал - £=2,0-10п Па; v=0,25; р=7850 кг/мъ; алюминий - E=0,7-1011 Па;у=0,35; р=2750 кг/м3 .
В качестве заполнителя приняты следующие материалы и значения физико-механических их параметров: полимер - £Ь=5,5-1010 Па; v=0,4; р=1700 кг/'м ; стеклопластик - £Ь=1,8-1010 Па; v=0,35; р=1400 кг/'м ; древесный пластик - £Ь=1,2-1010 Па; v=0,35; р=1200 кг/м3 и текстолит - £0=0,4-1010 Па; v=0,35; р=1300 кг/м3
3
Геометрические характеристики трехслойной пластины, следующие: толщины внешних слоев Ъ1 = Ъ2 = 0,001 м; толщина заполнителя - И0 = 0,03; 0,05; 0,1 м.
Результаты проведенных расчетов приведены на рис.2-5 в виде зависимостей наименьшей частоты с от волнового числа
1
1■
0.3'
" 0.5
0.4
02
/ -1 /
/ / /
/ / г У
/ У / •X у
/ / у
кг" 5 ( 1
12-
0.8
0.5
0 -
0.1
А
/ / /
/ /
/ / / У
/ / /
У / у • •
С
5 1
к
■ Ь=0.03--Ь=0.05--Ь=0.1
■ь=0.03--Ь=0.05--Ь=0.1
Рис.2. Зависимости ш от к при ^ = = 0,001 Рис.3. Зависимости ш от к при ^ = Ь2 = 0,001
и различных йо . Материалы несущих слоев - сталь, а заполнителя - полимер.
и различных йо .Материалы несущих
слоев - алюминий, а заполнителя -полимер.
1.816 1.412 1
0.8 0 5 0.4 0.1 0
1 /
/ /
/ /
/ >
/ / *
/ / у
у У У /
Л-
: * 5 ! 1
1.4-
и-
0.8
0.5
0.4
02
/ / /
/ /
/ / /'
у У / у. г
У / г1 О -
* Г -у'"-
-
! ! 1
к
■ Ь=0.03--Ь=0.05--Ь=0.1
■ РоНгаег--Згйс1ор1ая:-- Вгетеэту р1а;ик
ГекзЫй
Рис.4. Зависимости ш от к при \ = и2 = 0,001 Рис.5. Зависимости ш от к при ^ = й2 = 0,001; и различных н0. Материалы несущих ий = 0,03. Материалы несущих слоев -
слоев - алюминий, сталь, а заполнителя -разные (полимер,
стеклопластик, древесный пластик, текстолит).
а заполнителя - стеклопластик.
Выводы.
Разработана теория нестационарных антисимметричных колебаний трехслойной упругой пластинки в плоской постановке свободной от гипотез и предпосылок.
-разработана теория нестационарных поперечных колебаний упругой трехслойной пластинки на основе общих решений в преобразованиях уравнений теории упругости, в плоской постановке;
- разработанная теория позволяет вычислить все компоненты вектора перемещений и тензора напряжений в сечениях пластинки в целом и всех слоев через введенные главные части промежуточной поверхности срединного слоя;
- полученные общие уравнения колебания позволяют получить уточненные уравнения типа Тимошенко и приближенные уравнения типа Кирхгоффа, которые могут быть применены для решения прикладных задач инженерной практики;
- из сравнительного анализа полученных численных результатов следует, что разработанные в работе уравнения колебания и формулы для определения НДС позволяют высокой степенью достоверности определять частоты антисимметричных колебаний трехслойных пластин. При этом частотный анализ, выполненный на основе представленной модели, требует минимальных вычислительных ресурсов;
- независимо от значения толщины срединного слоя зависимость частоты от волнового числа прямо пропорциональная. При фиксированном значении волнового числа,увеличение толщины срединного слоя пластинки приводит к росту частоты колебаний, которая сильно зависит от материала заполнителя. У пластинки с заполнителем с большими значениями модуля упругости и плотности частота колебаний меньше, чем с заполнителем с меньшими значениями модуля упругости и плотности.
ЛИТЕРАТУРА
1. Григолюк Э.И., Селезов И.Т. Неклассические теории колебаний стержней, пластин и оболочек // Итоги науки и техники. Сер. Механика деформ. твердых тел. - Т. 5 -М.: ВИНИТИ, 1973. - 272 с.
2. Худойназаров Х. Х. Нестационарное взаимодействие цилиндрических оболочек и стержней с деформируемой средой. - Т. Изд-во мед. лит. имени Абу Али Ибн Сина, 2003. -325 с.
3. Александров А.Я., Куршин Л.М. Трехслойные пластинки и оболочки // Прочность, устойчивость, колебания. - М.: Машиностроение, 1968, т.2. - С.245- 308.
4. Петрашень Г.И. Проблемы инженерной теории колебаний вырожденных систем // Исследования упругости и пластичности. - Л.: Изд-во ЛГУ, 1966 - №5. - С. 3-33.
5. Петрашень Г.И., Хинен Э.В. Об инженерных уравнениях колебаний неидеально-упругих пластин // Труды МИАН. Т. 95. - Л.: Наука, 1968. - С. 151- 183.
6. Филиппов И.Г. Уточнение дифференциальных уравнений колебания вязкоупругих пластин и стержней // Прикл. мех. - 1986. - 22, №2. - С. 71-78.
7. Мирзакобилов Н.Х. Колебания трехслойных пластин частного вида // Дисс. на соис. уч. ст. канд. наук. - Москва, 1992. - 139 с.
8. Филиппов И.Г., Чебан В.Г. Математическая теория колебаний упругих и ваязкоупругих пластин и стержней. - Кишинев: «Штиинца», 1988. - 188 с.
9. Худойназаров Х.Х., Филиппов И.Г. Уточнение дифференциальных уравнений продольно - радиальных колебаний круговой цилиндрической вязкоупругой оболочки // Прикл. мех. - 1990. - 26, №2. - С. 63-71.
10. Худойназаров Х.Х., Абдирашидов А., Буркутбоев Ш.М. Моделирование крутильных колебаний вязкоупругого круглого стержня, вращающегося с постоянной угловой скоростью. Математическое моделирование и численные методы, 2016, № 1 (9), с. 38-51.
11. Худойназаров Х.Х., Буркутбоев Ш.М., Математическая модель крутильных колебаний вращающегося цилиндрического слоя с учетом внутренней вязкой жидкости, Математическое моделирование и численные методы, 2017, № 4, с. 31-47.
12. Петрашень Г.И., Хинен Э.В. Об условиях применимости инженерных уравнений неидеально-упругих пластин // Вопросы динамики теории распространения сейсмической волны. № 11. - М.: Наука, 1971. - С. 48-56.
13. Худойназаров Х., Яхшибоев Ш.Р. Поперечные гармонические колебания трехслойной пластинки// Проб. Архит. и строит. 2020. №2.- С. 151-156.
14. Х.Худойназаров, В.А.Скрипняк, Ш.Р.Яхшибоев Нестационарные поперечные колебания трехслойной вязкоупругой пластинки // Проблемы механики АН РУз 2018. Вып. 2. С. 27 - 32.
15. Kh. Khudoynazarov and Sh.R Yaxshiboyev 2020 The Mathematical Model of Transverse Vibrations of the Three-Layer Plate. IOP Conf. Ser.: Earth Environ. Sci. 614 012062. DOI: 10.1088/1755-1315/614/1/012062.
16. Yaxshiboyev Sh. R. Chetlari sharnirli mahkamlangan elastik plastinkaning antisimmetrik tebranishlari// Me'morchilik va qurilish muammolari. 2020. №1.2-qism - С.106-109.
17. Melikulov N,. Khodjabekov, М. U.Ismatova D. M. Otaqylov A. FREE VIBRATIONS OF THE PLATE WITH THE ACCOUNT OF INFLUENCE OF LONGITUDINAL FORCES PERCEIVED BY THE REINFORCING RODS. European Journal of Research. volume 5, issue 8 2020 pages 20- 25
18. Melikulov N,. Khushvaktov U. Stability of Long Plates with Non-Symmetric Reinforcement of the Edges withThin-Walled Rods .MIDDLE EUROPEAN SCIENTIFIC BULLETIN 1 Middle European Scientific Bulletin, VOLUME 19 Dec 2021
19. M. M. Mirsaidov, О. М. Dusmatov and М. U. Khodjabekov, "Stability of nonlinear vibrations of plate protected from vibrations". Journal of Physics: Conference Series, 1921, (2021), https://doi.org/10.1088/1742-6596/1921/1/012097
