Уравнение состояния для анизотропных материалов при ударном нагружении Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3

УРАВНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ ДЛЯ АНИЗОТРОПНЫХ МАТЕРИАЛОВ ПРИ УДАРНОМ НАГРУЖЕНИИ1

© 2008 А.А.Лукьянов, В.Б.Пеньков2

Предложена корректная нелинейная модель уравнения состояния распространения ударных волн в анизотропных материалах. Уравнение состояния обобщает нелинейное уравнение Грюнайзера на случай анизотропии материала и редуцируется к классическому варианту в случае изотропии. Предложена концепция полного обобщенного давления и давления, соответствующего термодинамическому отклику, т.е. уравнению состояния.

Введение

Исследование поведения анизотропных материалов представляет собой существенный интерес в связи с их нарастающим широким применением в современных технологиях. Влияние реологии на развитие ударных волн предполагает при моделировании учет множества сложных физических явлений, описание которых требует детального изучения.

Задачей работы является исследование уравнения состояния для анизотропных материалов. Соответствующая тематика получила глубокое освещение как в России, так и за рубежом, и, к настоящему времени, представляет собой сформировавшуюся теорию [1—6]. Попытки модернизации уравнений состояния для анизотропных материалов были предприняты Андерсоном и др. [7], Лукьяновым [8]. Основными аспектами описания поведения материалов при ударном нагружении являются: 1) уравнение состояния; 2) модель упругопластического или упруговяз-копластического поведения.

Долгое время предполагалось, что материал при ударном нагружении является изотропным, и только недавно был поднят вопрос об анизотропном характере поведения ударных волн в анизотропных материалах (например, Грей и др. [9, 10], Лукьянов [8]). Данная работа является развитием исследования Лукьянова [8], в котором строилась термодинамически и математически корректная нелинейная модель состояния анизотропного материала с линейным и-ир — соотношением, предназначенная для описания распространения ударных волн.

1 Представлена доктором физико-математических наук, профессором Ю.Н. Радаевым.

2 Лукьянов Александр Алексеевич (aaluk@mail.ru), Пеньков Виктор Борисович (vbpenjkov@mail.ru), кафедра теоретической механики Липецкого государственного технического университета, 398600, Россия, г. Липецк, ул. Московская, 30.

1. Классические соотношения для ортотропного материала

Сформулируем основные требования, которые следует выдерживать при построении уравнения состояния для анизотропных материалов. Общеизвестно, что изотропный материал характеризуется двумя параметрами Ламе. Для описания упругого поведения ортотропного материала требуется девять постоянных. Определяющие соотношения таковы:

&ЛЛ

гуу

ггг

2ех

2гх

2еу:

1 V

~Ёх ~ту Ег

Уху 1 ^

Ех ~ЁУ Ег

Чхг Vyz 1

Ех Еу X

0 0 0 0 0 0 0 0 0

1

о

0 0

1

- 0

охг

0 1

оуг

хУ 0

о о —

Оуг

(1.1)

Здесь Ех, Еу, Ег — модули одноосного растяжения; Оху, Охг, Оуг — модули сдвигов; V] —коэффициенты Пуассона. Выполняются условия симметрии (суммирования по повторяющимся индексам нет):

Е, Е:

(1.2)

хх

уу

гг

ху

хг

V

V

1.1. Классическая декомпозиция тензора напряжений

Традиционно давление определяется как взятый со знаком минус первый инвариант тензора напряжения. Для изотропных упругих материалов давление напрямую связано с объемными деформациями, и декомпозиция имеет классический вид:

О] = -рЬц + Б], р = -Кг, Би = 2ц (ее, (1.3)

где р — гидростатическое давление, Б,] —девиатор тензора напряжений, К — объемный модуль сжатия-растяжения, ц — модуль сдвига. Для анизотропных материалов декомпозиция тензоров напряжений и деформаций на шаровую и деви-аторную части взаимнооднозначно не связана. У анизотропных материалов гидростатическое напряжение зависит от девиаторной части тензора деформации, и декомпозиция не обладает такими же свойствами. Классическое выражение для давления имеет вид:

Р= -^(Охх + вуу + в^)- (1-4)

В случае ортотропного материала определение давления переписано в следу-

ющем виде (Андерсон и др. [7]): -1 9р

2 [Ex (vyx + VzxVyz) + Ex (vzx + VyxVzy) + Ey (v^ + VzxVxy)]} E-

-TjJ {■Ex (l " Vyz^zy) + Ex (Vyx + VzxVyz) + Ex (Vzx + Vvzy)}

P = {Ex (l - VyzVg,) + Ey (I- VXZVZX) + Ez (l - VxyVyx) -+

^ V1 ~ vyzvV>) ^ ^xyyx f- vzxvyzj t r^xyzx f- bxyzy)\ ext~ (1.5)

-jj {Ex (vyx + VzxVyz) + Ey(l- VXZVZX) + Ey (v^ + VxyVZx)} 4y~

{Ex (vzx + VyxVzy) + Ey (vg, + VxyVzx) + Ez(l - VxyVyx)} 4

эр

где в = 1 - VxyVyx - VxzVzx - VyzVzy - 2VyxVzyVxz.

Соотношение (1.5) предполагает зависимость классического давления от деви-атора деформаций. Определение (1.4) ведет к инвариантному объекту, поскольку получено тензорными операциями (свертка тензора напряжения с единичным тензором, поделенная на квадрат евклидовой нормы (нормы Фробениуса) для диагональной матрицы (или умноженная на нормирующий коэффициент)). Инвариантность нарушается, если определять давление как часть полного давления (1.5) (его величина не может быть выражена как свертка тензора напряжения с каким-либо тензором второго ранга). При формулировании нового уравнения состояния необходимо добиваться инвариантности определения физических величин.

1.2. Уравнение состояния Грюнайзера (изотропный случай)

В процессе прохождения ударных волн материал обнаруживает нелинейное поведение, поэтому требуется адекватное уравнение состояния. Уравнение состояния для изотропных тел определяет давление как функцию плотности р (или удельного объема v) и внутренней энергии е. К настоящему моменту времени самым распространенным является уравнение состояния Грюнайзера в форме [5]:

Г (v)

p = f(p,e) = Pr(v)+^(e-er(v)), (1.6)

V

где V — удельный объем, Г (v) — параметр Грюнайзера, определяемый соотношением

r(v) = v(f)v' ^

Традиционно параметр Г фиксируется: Г = Го; другим вариантом является пред-ГГ

положение — = — = const. Функции Pr (v) и er (v) предполагаются известными из

V0 V

обработки калибровочной кривой, в качестве которой могут приниматься: ударная кривая Гюгонио; стандартная адиабатическая кривая (адиабата, проходящая через начальную точку состояния (ро, Vo)); изотерма при 0K; изобара р = 0; кривая е = 0; композиция перечисленных кривых, покрывающая рабочий диапазон параметра V. Распространенная форма уравнения состояния Грюнайзера для изотропного деформируемого тела с калибровочной кривой Гюгонио имеет вид:

p = f(9,e) = PH-[\-T-^ + 9Te, (1.8)

где Рн—давление Гюгонио, |i = ——1 — относительное изменение объема.

Ро

Условие Ранкинэ-Гюгонио для разрывных решений может быть определено отношением между любыми двумя переменными р, р, е, up и U [5]. В данной

работе давление Гюгонио и скорость ударной волны и являются нелинейными функциями скорости частиц ир и связываются соотношением [11]:

\2

¡ир\ ¡ир \2

51Ир + 521 —|ир + 531 —I ир,

II = с + 8хир + + Ьъ\

где с — объемная скорость звука.

Параметр Грюнайзера определяется соотношением

70 + ац

Г =

1+ц

(1.9)

(1.10)

Как следствие, уравнение Грюнайзера с кубической зависимостью скорости ударной волны от скорости частиц среды и-ир может быть представлено следующим образом:

р=

р0с2ц[1 + (1 - 0ц- Ец2]

'(ц+1)2

+ (1 + ц) Г ■ Е, ц > 0,

(1.11)

р = р0с2ц + (1 + ц) Г ■ Е,

где Е — удельная внутренняя энергия Е =

К

Р0: е

Р0

ц < 0,

(1.12)

51, 52, 5з —коэффициенты, харак-

теризующие кривую и-ир, а — коэффициент линейной поправки объемного параметра у0. Параметры с, 51, 5 2, 5 з, у0, а отражают материальные свойства, которые определяют уравнения состояния.

1.3. Уравнение состояния Андерсона и К°

Ниже освещен подход Андерсона и др. [7] при описании уравнения состояния ортотропных материалов. Первое важное отличие от классического подхода состоит в способе аппроксимации давления Гюгонио Рн. Классическая аппроксимация Рн исходит из его кубической зависимости от параметра ц:

А1ц + Л2ц2 + А3ц3, ц > 0,

Рн =

А1 ц, ц < 0,

(1.13)

где АI, г = 1,2, 3 определяются из условия наилучшего приближения экспериментальных данных по ударному сжатию (данные Гюгонио). Заметим, что для изотропного материала коэффициент А1 вырождается в объемный модуль растяжения-сжатия. Андерсон и др. [7] предложили для ортотропных материалов использовать зависимость:

Рн =

А1ц + Л2ц2 + А3ц3, ц > 0, А1 ц, ц < 0,

где А1 определяется выражением

А'\ = Щ (ЕЛ1 " ЧугУф) + Еу( 1 - + 1 - \ху\ху)+

у

+ 2 [Ex(Vyx + VyгVZy) + Ex(Vгx + VyxVzy) + Еу^ + VzxVxy]) .

(1.14)

(1.15)

Параметр А1 интерпретируется как "эффективный" или "средний" объемный модуль Ке¡. Параметры А2, А3 определяются из сравнения с экспериментом. Это

2

обеспечивает адекватное описание поведения материала при высоких и низких давлениях. Окончательное выражение для уравнения состояния получается на основе соотношений (1.8), (1.14), (1.15) и выглядит так:

Г

2*.

~ ™ \Е* " ^ту) + Ех (уух + V„v},г) + Ех (у,х + у^)) гхх-3в 1 (1.16) -ТХ {ех (уух + V„v},г) + Еу( 1 - ух,у,х) + Еу + гйуу-

р = РАн[1-^} + рТе-

зр

{ех + УуХУ;у) + Еу ^ + у^у^) + Ег (1 - у^уу^} е^

н ™тт",тт™

где Р'Н описывается соотношениями (1.14), (1.15).

Заметим, что величины Л{, Л2, Аз можно определить аналитически разложением в ряд Маклорена давления Рн. Предположим линейную зависимость скорости ударной волны и от скорости частиц материла ир. Тогда получим следующие коэффициенты разложения зависимости Гюгонио по параметру ц:

ро ■ с2 ■ ц (1 + и) Ря=г ° (1-17)

[1 - ц (5 - 1)]2

Л1 = рос2, Л2 = Л1 ■ [1 + 2(5 - 1)], Аз = Л1 ■ [2(5 - 1) + 3(5 - 1)2],

и = с0 + 5ир, (1.18)

где скорость звука со определяется как

со=л—■ (1.19)

В случае изотропного материала гидростатическое напряжение индуцирует объемное изменение материала, в то время как девиатор напряжений вызывает изменение формы. Для сохранения такого свойства у анизотропных материалов определение понятия «гидростатическое напряжение» необходимо обобщить, поскольку нагружение анизотропного тела гидростатическим давлением, определенным традиционно, приводит к изменению формы.

2. Математически корректная модель анизотропного тела

В основу определения обобщенного давления положим требование: давление, приложенное к анизотропному телу, ведет только к объемным деформациям, т.е. к изменению масштабов без изменения формы тела. Такой подход позволяет определить направление вектора обобщенного давления в пространстве напряжений [8,12].

2.1. Декомпозиция тензора напряжения

Для получения математически корректного обобщения уравнения состояния для анизотропных материалов необходимо принять во внимание возможность редукции обобщенной модели к классическим уравнениям для изотропных материалов. Направление вектора обобщенного давления определяется тензором а^ так,

что его диагональные компоненты в пространстве напряжении определяют вектор обобщенного давления, а смешанные компоненты равны нулю. Разумно предположить, что полное давление Р определяется как произведение скаляра на тензор ац:

Р = - р*аи, (2.1)

где р* —значение полного давления. В дальнейшем будет показано, что полное давление представляется шаровым тензором и девиатором напряжений. Аналогичный эффект был описан Андерсоном и др. [7] в работе, посвященной построению соотношений анизотропии. В отличие от этого подхода, из предлагаемого варианта следует, что соотношения анизотропии удовлетворяют всем физическим свойствам, присущим соотношениям изотропии. Переходим к детальному описанию модели.

Потребуем, чтобы девиатор напряжений не зависел от обобщенного давления, т.е. их свертка должна равняться нулю:

Р: 5 = 0, аи§Ц = 0, аи = -р*аи + §и. (2.2)

В соответствии с классическим определением, обобщенный девиатор § ¡1 тензора напряжения определяется так:

§ ч = оу + р*ау. (2.3)

Используя (2.2), (2.3), получаем выражение:

р. = .^21 = а (2.4)

аиаи ||а||2 11

где ||а||2 = а^ац = а2! + а22 + а3з —квадрат евклидовой нормы (нормы Фробениуса) для диагональной матрицы. Окончательно выражение для обобщенного девиатора тензора напряжения записывается так:

5у = ау - а^ ■ —аы. (2.5)

| а| 2

Алгоритм расчета компонент тензора ац был ранее опубликован [8,12]. Согласно ему элементы тензора ац и обобщенный модуль сжатия-растяжения Кс имеют вид:

ац = СкЬккЬиЬц • 3Кс, (2.6)

Кс = ( ф [(Си + Ci2 + с13)2 + (Ci2 + с22 + С23)2 + (Ci3 + с23 + Сзз)2]) *,

Кс = —, (2.7)

9 Кс '

II 1|2

аи аи = ||a;j || = 3. (2.8)

Такое определение обобщенного давления допускает редукцию к классическому гидростатическому давлению в случае изотропного материала. Параметры а^ и Кс описывают фундаментальные свойства анизотропного материала.

Для получения связи между полным обобщенным давлением p* и его компонентами воспользуемся обобщенным законом Гука. Пользуясь в законе Гука декомпозицией тензора деформаций, получаем:

1

Oij = Cijkl

3 1 (2.9)

= CiJkiàki-e + (е% Cm; = Ксг ■ аи + (е% Сщ,

где Ски] — матрица жесткости, е — объемная деформация. Вектор давления определяется как

Ри = ~^£С1кЬккЬцЬц = -Кс ■ е • = р- р =-Кс • £, (2.10)

где р — часть полного обобщенного давления, соответствующая шаровому тензору деформаций. Свертывая (2.10) с тензором второго ранга Р^ по двум индексам, получаем выражение:

= вцац ■ Ксе + РуСун (ее^ = -вцОц ■ р + РуСуи (ее^ . (2.11)

Для любого девиатора е^ потребуем

вцСт(ее )ёы = 0. (2.12)

Тогда из (2.11), (2.12) получим:

Параметр р напрямую зависит от шарового тензора деформаций. Кроме того, значение р является инвариантной величиной, так как получено в результате тензорных операций. Данный факт решает проблему, обойденную Андерсоном и др. [7] при формулировании уравнения состояния для анизотропных сред. В задачах поведения материала при ударном нагружении физическая величина р определяется уравнением состояния Грюнайзера. И в этом случае представленные выше рассуждения позволяют корректно описывать поведение материала при высоком давлении.

Предъявим алгоритм назначения компонент тензора второго порядка Ру [8]:

вцСцк1 = 3К5 ан, (2.14)

где К представляет собой второй обобщенный модуль сжатия (расширения). Воспользуемся соотношением (2.13), которое может быть записано так:

р=рй; 'е+Сирг (£в)"г]= ~Кс'е' (2'15)

Линейная система уравнений с неизвестными компонентами тензора Ру представляет собой соотношение (2.14), которое может быть разрешено относительно величин Ру. Последние выразятся при этом через элементы матрицы податливостей. Как и для тензора ау, квадрат нормы (нормы Фробениуса) тензора Ру предпола-

2

гается равным РуРу = 11Ргл1 = 3. Поэтому выражения для компонент тензора Ру имеют вид:

Рц = 1тЬккЬц8У ■ 3К8 (2.16)

^ = Уд/з • [(/п + /12 + /13)2 + (^12 + /22 + Лз)2 + (/13 + Лз + /зз)2]' (2Л?)

РуРу = 3, (2.18)

где /у — элементы матрицы податливостей.

После определения параметра р в терминах тензоров второго порядка ау, Ру и тензора напряжения можно выписать зависимость между полным обобщенным давлением р* и давлением р:

Р1}а1} ■ р = -рг^ = ■ (-а^ ■ р* + 5(2.19)

и, таким образом,

12 20»

Итак, тензор напряжений декомпозирован на обобщенные шаровой тензор и де-виатор. Использование фундаментальных тензоров а^, вц позволило определить полное обобщенное давление и давление, соответствующее объемным деформациям. Полученные выражения редуцируются к классическим соотношениям для изотропного тела:

Р=-тЧг = -Ч°кк, р = -^- = --акк, р*=р, (2.21)

Ок/Ок/ 3 вк1 ак1 3

где р* = р классическое гидростатическое давление. Определены также два параметра Кс, К§ , которые представляет собой первый и второй обобщенные объемные модули сжатия-растяжения. В изотропном случае оба модуля приводятся к объемному классическому модулю сжатия-растяжения [8].

2.2. Уравнение состояния для анизотропного тела

Как было показано для упругих анизотропных сред, полное гидростатическое давление выражается зависимостью (2.20). Для описания поведения материала при высоких давлениях необходимо соответствующее уравнение состояния, и его предлагается записывать в виде:

р

ЕОБ

р0с2ц[1 + (1 - - Ец2]

1-(51-1)Ц-52'

Г

- §3

Г

ц + 1 " (ц + 1)2 р0с2ц + (1 + ц) • Г • Е, ц < 0.

+ (1 + ц) • Г • Е, ц > 0,

(2.22)

Таким образом, выражение для полного обобщенного гидростатического давления при высоких давлениях приобретает вид:

р* = рЕ05 +

вк/ак/

(2.23)

Соотношение (2.23) корректно описывает поведение материалов также при малых деформациях. Определим объемную анизотропную скорость звука как

с =

= С0,

(2.24)

где первый обобщенный объемный модуль сжатия-расширения Кс дается выражением (2.7). При постулировании линейной зависимости скорости ударной волны от скорости частиц (как это было сделано в [8]) давление Гюгонио Рн для анизотропного случая приводится к виду (1.17), а разложение в ряд Маклорена ведет к выражениям (1.18), в которых

л{ = Р0с2, А2 = л{ • [1 + 2 (§ - 1)], Аз = А • [2(§ - 1) + 3(§ - 1)2].

(2.25)

Построенные выше соотношения могут быть использованы для любых анизотропных материалов и представляют собой математически корректное обобщение соответствующих изотропных соотношений.

2

Выводы

Построена непротиворечивая модель состояния анизотропных материалов, пригодная для исследования распространения ударных волн. Исходя из концепции обобщенной декомпозиции тензора напряжений, были построены два фундаментальных тензора ау и Ру, описывающие анизотропию материала. Построено уравнение состояния для анизотропных тел, являющееся обобщением классического уравнения Грюнайзера для изотропных тел.

Литература

[1] Зельдович, Я.Б. Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений / Я.Б.Зельдович, Ю.П. Райзер. - М.: Наука, 1966. - 588 с.

[2] Ударные волны и экстремальные состояния вещества / под ред. В.Е. Фортова, Л.В. Альтшулера, Р.Ф. Трунина, А.И. Фунтикова. - М.: Наука, 2000. - 425 с.

[3] Ударно-волновые явления в конденсированных средах / Г.И. Канель [и др.]. -М.: Янус-К, 1996. - 407 с.

[4] Жарков, В.Н. Уравнения состояния твердых тел при высоких давлениях и температурах / В.Н.Жарков, В.Н.Калинин. - М: Наука, 1968. - 311 с.

[5] Meyers, M.A. Dynamic Behavior of Materials / M.A. Meyers. - New York: Wiley. Inc., 1994. - 668 p.

[6] Drumheller, D.S. Introduction to Wave Propagation in Nonlinear Fluids and Solids / D.S. Drumheller. - Cambridge.: Cambridge University Press, 1998. -535 p.

[7] A constitutive formulation for anisotropic materials suitable for wave propagation computer program-II / C.E. Anderson [et al.] // Comput. Mech. - 1994. -No. 15. - P. 201-223.

[8] Lukyanov, A.A. Constitutive behaviour of anisotropic materials under shock loading / A.A. Lukyanov // Int. J. Plasticity. - 2008. - No. 28. - P. 140-167.

[9] Influence of Crystallographic Anisotropy on the Hopkinson Fracture "Spallation" of Zirconium / G.T.Gray III [et al.] // M.D. Furnish, L.C. Chhabildas and R.S.Hixson (Eds.). Shock Compression of Condensed Matter-1999. AIP Press. Woodbury. - NY, 2000. - P. 509-512.

[10] Influence of Microstructural Anisotropy on the Spallation of 1080 Eutectoid Steel / G.T.Gray III [et al.] // M.D. Furnish, N.N. Thadhani, Y. Horie (Eds.). Shock Compression of Condensed Matter-2001. - Melville. NY: AIP Press, 2002. -P. 479-483.

[11] Steinberg, D.J. Equation of State and Strength Properties of Selected Materials / D.J. Steinberg // Report No. UCRL-MA-106439. Lawrence Livermore National Laboratory. - Livermore: CA, 1991.

[12] Лукьянов, А.А. Корректная модель несжимаемой анизотропной ассоциированной пластичности: течение Хилла / А.А.Лукьянов, В.Б.Пеньков // Вестник Самарского госуниверситета. Естественнонаучная серия. - 2007. - №4(54). -C. 280-289.

Поступила в редакцию 28/77/2008; в окончательном варианте — 28/77/2008.

STATE EQUATION FOR ANISOTROPIC MATERIALS UNDER SHOCK LOADING3

© 2008 A.A. Lukyanov, V.B.Pen'kov4

Thermodynamically and mathematically consistent non-linear state equation suitable for shock wave propagation in anisotropic materials is proposed. The state equation represents mathematical and physical generalisation of the classical non-linear Mie-Gruneisen state equation for isotropic material and reduces to the classical state equation in the limit of isotropy. The concept of total generalized pressure and pressure corresponding to the thermodynamic (i.e. equation of state) response is discussed.

Paper received 28/ZZ/2008. Paper accepted 28/ZZ/2008.

3Communicated by Dr. Sci. (Phys. & Math.) Prof. Yu.N. Radayev.

4 Lukyanov Alexander Alekseevich (aalukSmail.ru), Pen'kov Victor Borisovich (viktorPaiipetsk.ru), Dept. of Theoretical Mechanics, Lipetsk State Technological University, Lipetsk, 398059, Russia.