CC BY
49
УДК 539.3
Влияние микро- и макроразрушения на распространение ударных волн в анизотропных композитах
A.A. Лукьянов
Липецкий филиал Международного института компьютерных технологий, Липецк, 398055, Россия
Представлена физико-математическая модель необратимого деформирования для анизотропного углеродно-волокнистого композита с учетом микро- и макроразрушения при ударном нагружении. С использованием соотношений нелинейной анизотропной повреждаемой среды и обобщенной декомпозиции тензора напряжений исследована тройная структура ударной волны для углеродно-волокнистых композитов в различных направлениях, состоящая из нелинейной анизотропно-упругой, переходной (волны разрушения) и изотропно-упругой частей. Проведенные численные расчеты уровней напряжений Гюгонио хорошо согласуются с экспериментальными данными для выбранного углеродно-волокнистого эпоксидного композита.
Ключевые слова: анизотропия, уравнение состояния, ударная волна, композит, поврежденность
Effect of micro- and macrofracture on shock wave propagation in carbon fiber-epoxy composites
A.A. Lukyanov
International Institute of Computer Science Technologies, Lipetsk Branch, Lipetsk, 398055, Russia
A consistent physicomathematical model of irreversible deformation in anisotropic carbon fiber-epoxy composites which takes into account micro- and macrofracture under shock loading is proposed. For a selected carbon fiber-epoxy composite, the three-component shock wave structure consisting of nonlinear anisotropic, transition (fracture wave), and isotropic elastic components is examined in different directions using nonlinear anisotropic constitutive equations for damageable solids and generalized stress tensor decomposition. Numerical calculation shows that predicted Hugoniot stress levels agree well with experimental data for the selected carbon fiber-epoxy composite.
Keywords: anisotropy, equation of state, shock wave, composite, damage
1. Введение
В связи с рядом практических приложений в последнее время уделяется повышенное внимание моделированию процессов деформирования и разрушения композиционных материалов при ударном нагружении. Модель среды, претендующая на достаточно полное описание процессов, происходящих в материале под действием интенсивных динамических нагрузок, должна учитывать нелинейное поведение (уравнение состояния), необратимые конечные деформации и возможность описания процессов накопления повреждений в материале, их развитие, слияние, образование магистральных трещин вплоть до разрушения материала. В то время как механизмы и определяющие факторы разрушения композиционных материалов при динамическом
растяжении достаточно хорошо изучены, процессы ударного сжатия представляются в значительной мере неясными. Учесть многие из процессов, сопровождающих ударное нагружение тел, позволяет подход, основанный на введении структурных параметров. В качестве таких параметров принимаются либо некоторые усредненные характеристики внутренней структуры материала, либо некоторые макропараметры, ответственные за те или иные эффекты, наблюдаемые в макроэкспериментах. Современная техника регистрации параметров процессов деформирования и разрушения, сопровождающих ударно-волновое сжатие твердых тел, позволяет получать обширную информацию о кинетических закономерностях явления. Особый интерес представляет гипотеза, выдвинутая в 60-х гг. прошлого века, о возможности протекания процесса фрагменти-
© Лукьянов A.A., 2013
рования материала в относительно тонком слое (т.е. в волне разрушения), распространяющемся по неразрушенной среде. Соответствующую библиографию и анализ различных результатов по волнам разрушения можно найти в работах [1-3].
Долгое время считалось, что поведение анизотропных композиционных материалов и анизотропных металлов при ударном нагружении является изотропным и не зависит от ориентации ударного нагружения [47], и лишь недавно было экспериментально показано анизотропное поведение ударных волн в анизотропных материалах [8-10]. В данной работе рассмотрено поведение анизотропного углеродно-волокнистого композита при ударно-волновом сжатии. Анализ экспериментальных данных показывает [10], что классический подход построения уравнения состояния, основанный на линейных соотношениях между скоростью ударной волны и скоростью частиц, приводит к разрывным соотношениям между этими фундаментальными величинами [11]. Для устранения этих разрывов исследована тройная структура ударной волны для углеродно-волокнистых композитов в различных направлениях, состоящая из нелинейной анизотропно-упругой, переходной (волны разрушения) и изотропно-упругой частей, с использованием соотношений нелинейной анизотропной повреждаемой среды и обобщенной декомпозиции тензора напряжений [11-13]. Заметим, что волны разрушения отчетливо наблюдались в стеклах. Эта волна представляет собой пример самоподдерживающегося разрушения при сжатии, в котором происходит переход потенциальной упругой энергии напряженного хрупкого тела в поверхностную и кинетическую энергию его фрагментов. Данный процесс подобен волне детонации, устойчивое распространение которой происходит за счет расходования химической энергии вещества.
В данной работе использован макроскопический континуальный подход для обобщения на случай анизотропного материала существующей теории экстраполяции состояний Гюгонио к другим термодинамическим состояниям для изотропных материалов. Поведение композитных материалов при ударном нагружении приводит к нелинейному поведению и конечным деформациям, поэтому предложено уравнение состояния для точного описания экстраполяции состояний Гюгонио к другим термодинамическим состояниям для анизотропных углеродно-волокнистых композитов любой симметрии. Сравнение численных расчетов с экспериментальными данными проведено для выбранного углеродно-волокнистого эпоксидного композита.
2. Определяющие соотношения для анизотропных тел с учетом микро- и макроразрушения при ударном нагружении
В основу определяющих соотношений для повреждаемых анизотропных тел при ударном нагружении по-
ложена концепция обобщенной декомпозиции тензора напряжений на обобщенные давление и девиатор напряжений [11-15]:
Ъу = -Р*а* (ю) + а* (“)<% =
Р* = PEOS + Р* (ю)*У(ай (ю)Рй (ю)).
Sij _ Cijkl (<a)dkl, j (®) =
(1)
(2)
(3)
■'ijkl
_) ( ) aij(Ю)« pq (m)Cpqkl (ЮЯ
- IjM Ю «mn (®)amn (ю)
dkl _ D kl ~^kl Diil3,
(4)
(5)
где р* — значение полного обобщенного давления; Б у — значения компонент обобщенного девиатора напряжений; ю — параметр поврежденности материала; dk¡ — девиатор тензора скоростей деформаций; Dн — тензор скоростей деформаций; символ V обозначает конфигурационно-инвариантную (объективную) яуман-новскую производную. Алгоритмы расчета компонент а* (ю) и в* (ю) известны [11-15]. Для расчета компонент и обобщенных модулей растяжения-сжатия Кс (ю) и К* (ю) используются следующие формулы:
(6)
(7)
аш (ю) _ + 2 Cki (ю) 13КДю), к _ 1,2,3, aj (ю)с£. (ю) _ 3,
K» _
1
9K* (ю)
1
кс(ю) _ 3/3х
XJ 2 Cli(ю) * + + Е C*i(ю) 1 + + 2 C3*i(ю)
ßkk (ю) _ + 2 Jki (ю) 13KS (ю), к _ 1, 2,3, ßj-(rc)ßj.(ö)) _ 3,
_л/3 х
К*(ю)
XJ 2 (ю)* ++24(ю) 1 ++24(ю)
(8)
(9)
C* (ю) _ (1 -ю)са + ю^
(10)
(11)
где С* (ю) — компоненты симметричного тензора упругих постоянных для поврежденного состояния ю; Cfj — компоненты симметричного тензора упругих постоянных для неповрежденного материала (т.е. для ю = 0); Cj — компоненты симметричного тензора упругих постоянных для полностью поврежденного материала (т.е. для ю = 1); J* (ю) = [С* (ю)]-1 — компоненты симметричного тензора податливостей. Фундамен-
-1,
тальные тензоры а* = [а*- (ю)] и в* = [Р* (ю)] определяют полное обобщенное давление и давление для поврежденного состояния ю, соответствующее обьемным деформациям. Полученные выражения редуцируются к классическим соотношениям для изотропного тела (повреждаемого или неповреждаемого). Давление рЕ^ описывается распространенной формой уравнения состояния Грюнайзена с калибровочной кривой Гюгонио
[11-17]:
pEOS = ^И(ю)| 1 (2")М' | + рГ(ю)(е - е0), (12)
* , (13)
0 Р ^ Р0(ю)
где /Ц — давление Гюгонио; |х — относительное изменение обьема; Р0(ю) — начальная (разгрузочная) плотность для поврежденного состояния ю; р — текущая плотность; е0 — начальная удельная внутренняя энергия (т.е. внутренняя энергия в единицу массы). В дальнейшем полагаем, что начальная удельная внутренняя энергия е0 равна нулю. Параметр Грюнайзена равен Г(ю) = (Уо(ю) + а(ю)ц)/(1 + ц), (14)
где у0(ю) — начальное значение параметра Грюнайзена для поврежденного состояния ю; я(ю) — коэффициент обьемной поправки к значению у 0(ю) для поврежденного состояния ю. Давление Гюгонио вычисляется в предположении, что материал впереди ударной волны находится в покое:
/Ц(ю) = Ро(ю)^а Ир
(15)
где и — обобщенно-объемная скорость ударной волны для анизотропного материала; ир — скорость частиц материала. Далее предполагается некоторая зависимость и8а от ир (например кубическая [11-17]):
Ц1 (ю) = с(ю) + 51 (ю)ир +
/ \ / \2
+ ^2(ю)
Ир Ир + ^2(ю) Ир
иа V ъ ) иа V а /
(16)
Полученные выражения (1)-( 16) редуцируются к классическим соотношениям для изотропного тела (поврежденного или неповрежденного). Далее для параметров уравнения состояния предполагаются следующие соотношения:
с(ю) = (1 - ю)са + юс1,
Б (ю) = (1 - ю)5га + ю5‘ , I = 1,2, 3,
У о(ю) = (1 -ю)у 0 + юу‘0, а(ю) = (1 - ю)аа + юа1,
Р0(ю) = (1 - ю)р0 + юр0. (19)
Заметим, что в соотношениях (17)-( 19) с(ю) = са, 51 (ю) = 5а, 52(ю) = ^ 5з(ю) = 5а, у0(ю) =у0, д(ю) = = а0а, р0(ю) = р0 для неповрежденного материала (т.е. для ю = 0) и с(ю) = с1, Б1(ю) = 511, 52(ю) = 52, 5з(ю) =
(17)
(18)
= 53, У 0 (ю) = У‘0, а(ю) = а0, р0 (ю) = р‘0 для поврежденного материала (т.е. для ю = 1). Для выбранного углеродно-волокнистого эпоксидного композита в работе используются следующие значения: у 0 = у 0 = = 0.85, а0а = а0 = 0.5.
3. Описание структуры ударных волн
3.1. Описание эксперимента
Возмущение создается соударением тонкой пластины-ударника (дюралюминий 6082-Т6) толщиной 5 мм и тонкой пластины-мишени (углеродно-волокнистый анизотропный эпоксидный композит) толщиной 2.3...5.7 мм с различными скоростями в диапазоне от 504 до 940 м/с [10, 14, 15]. Плоский фронт ударной волны распространяется в пластине-мишени. Импульс ударной волны фиксируется двумя пьезометрическими датчиками. Первый датчик расположен между пластинами из полиметилметакрилата шириной 12 и 1.5 мм, прикрепленными к пластине-мишени с задней стороны. Второй датчик расположен между пластиной-мишенью и пластиной из дюралюминия 6082-Т6 шириной 1 мм, прикрепленной к мишени с передней стороны. На рис. 1 показана схема расположения датчиков и пластины-мишени. Экспериментальные данные из [10] согласуются с экспериментальными данными [8, 9].
Рассмотрим две прямоугольные системы координат (х, у, z) и (х, у', z/). Первая система координат соответствует осям ортотропии композита ^, у, z) — материальная система координат, а вторая система координат ^у', z/) строится так, что вектор скорости нагружения материала направлен вдоль координатной линии x' (рис. 1). Экспериментальное нагружение проводилось в направлении, перпендикулярном плоскости укладки волокон x/ о z, и в направлении, параллельном плоскости укладки волокон (ориентация 0°) x/ о x.
—2
Рис. 1. Схема расположения датчиков и пластины-мишени: 1 — композит; 2 — пластина из полиметилметакрилата; 3 — датчики; 4 — место удара
“г!•:>
'т**:-',-»•??:- ¿■¡•У ' ч *
Рис. 2. Микроструктура ортотропного углеродно-волокнистого эпоксидного композита
Для описания упругого поведения структурированного ортотропного углеродно-волокнистого эпоксидного композита достаточно девяти упругих постоянных [13-15] и двух упругих постоянных для неструктурированного (разрушенного) изотропного углеродно-волокнистого эпоксидного композита. На рис. 2 показана структура ортотропного углеродно-волокнистого эпоксидного композита.
3.2. Структура ударных волн углеродно-волокнистого анизотропного эпоксидного композита с учетом микро- и макроразрушения
В данной работе рассмотрена тройная структура ударной волны для описания экспериментальных данных. Данное предположение позволяет получить устойчивую ударную волну во всех направлениях [17]. Для подтверждения адекватности данного предположения необходимо сравнить уровни напряжений Гюгонио для тройной структуры ударной волны с экспериментальными данными, используя предложенное уравнение состояния. Для этого экспериментальные данные были аппроксимированы тройной структурой ударной волны, а именно, зависимостями Ц - ир (в направлении, пер-
пендикулярном плоскости укладки волокон): Ц(ю) = с0(ю) + 5|(ю)ир,
(20)
с0 = (1 -ю) с0а1 +ЮС01, 51 = (1 -ю) Б!1 + Ю5;1 (21)
и Ц - ир (вдоль волокон 0°-ориентации): Ц1(Ю) = С0(Ю) + 51(ю)Мр, с0 = (1 - ю) с^ + юс^,
= (1 -ю) 5^ +ю5,.
(22)
(23)
Обычно реакция материала полностью определяется набором параметров состояния среды в данной частице и не зависит от состояния соседних частиц. В случае волны разрушения появляется густая сетка трещин, распространяющихся от частицы к частице, поэтому реакция выделенной частицы материала на нагрузку определяется не только состоянием частицы, но и состоянием
среды в соседних частицах. Параметр поврежденности описывается нелокальной моделью поврежденности:
Ю =
°’ Ы12 -I и
ир р - ир* р
2 2
* **
ир р - ир р
2 2
N
X
П2
ЫН N12
(24)
1 Ы12 >1 |иР
где ир — скорость частицы в момент начала разрушения; и** — скорость частицы в конце разрушения; ИХ — параметр материала; Ц*Ц 2 — евклидова норма. Заметим, что все эти параметры зависят от ориентации. Также предполагается, что геометрическое место точек значений критических скоростей частиц и параметров распространения ударной волны (в одноосно деформируемом состоянии) представляет собой эллипс:
(ир )2
К )2
и)2
-=1,
(«"У («„У (и"У
«*’** =7 и)2+(«У)2+«)2,
С )2
С )2
(cоaf)2 С*)2 (С0а1)
(4 )2
а1 2
= 1,
аХ
:7(Со )2 + С )2 + (4)2 ,
(5Х )2 + (5у )2 + = 1
(5^)2
(5Г)2
(5а1)2
^аХ _____
51 =
)2 + (Бу )2 + 5 )2,
(25)
(26)
(27)
где (х, у, z) — прямоугольная система координат, соот-
*,** аХ
ветствующая осям ортотропии материала; ир , С0 ,
аХ Р
51 — параметры состояния материала в произволь-
ном направлении, определяемом системой координат
(х, у, z,).
Из анализа экспериментальных данных [10] были определены следующие значения в соотношениях (20)-(27): са1 = 3 274.0 м/с, б^1 = 1.2, с“ = 3 145.2 м/с, б?1 = = 1.0544, с, = 6666 м/с, 5^ = 7.95, с, = 3 145.2 м/с, 5, = 1.0544, саа = 3 590.6 м/с, 5“ = 10.755, с0а = = 2745.7 м/с, 51а = 2.9119, са* = 6762 м/с, 5^ = 8.06, с0„ = 3 145.2 м/с, 5™ = 1.0544. В данной работе были использованы следующие параметры для расчета параметра поврежденности в различных направлениях: ир* = и** = 53.8 м/с, ир = и* = 538.5 м/с, N1 = 16, ир* = = и** = 58.9 м/с, ир = и* = 566.1 м/с, И, = 25, ир* = и* = = 57.3 м/с, и* = и* = 550.1 м/с, И* = 25. Свойства углеродно-волокнистого эпоксидного композита до фазового перехода характеризуются следующими значениями: начальная плотность р0 = 1500 кг/м3, модуль Юнга в продольном направлении (направление 1) Е1 = = 68.467 ГПа, модуль Юнга в поперечном направлении (направление 2) Е2 = 66.537 ГПа, модуль Юнга в на-
правлении, перпендикулярном направлениям 1 и 2 (направление 3), Е3 = 13.678 ГПа, коэффициенты Пуассона v21 = 0.04, v31 = 0.0045, v32 = 0.00 44. Компоненты тензоров до фазового перехода aj и ра таковы: a11 = 1.2290, a22 = 1.195 6, a33 = 0.2454 и Р1а1 = 0.3155, Р22 = 0.3254, Р33 = 1.6717, а обобщенные объемные модули растяжения-сжатия принимают значения: K£ = = 19.436 ГПа, Ksa = 7.6902 ГПа. Свойства углеродноволокнистого эпоксидного композита после фазового перехода характеризуются следующими значениями: начальная плотность р0 = 1400 кг/м3, параметры Ламе X = 10.434 ГПа, G = 0.18 ГПа (где K = K = X + 2/3 G), а также компоненты тензоров aj и Pj: aj1 = 1.0, a‘22 = = 1.0, a33 = 1.0 и Р11 = 1.0, Р‘22 = 1.0, Р33 = 1.0. Тензоры упругих постоянных для анизотропного структурированного композита Сан и изотропного неструктурированного композита после фазового перехода C jH рассчитываются, используя упругие модули выше.
Из соотношений (25)-(27) следует, что «* = «*,
** ** aX al aX al P
«р = Mj , c0 = c0, S1 = S1 в направлении, перпенди-
кулярном плоскости укладки волокон (направление z,
aX af 0aX 0af
когда x f о z), up = uf, up = uf .
c0 ,
rtdA ______ rta
S1 = S1
вдоль волокон 0°-ориентации (направление x, когда
t , v \ * * ** ** aX aw caX caw________
x ox) и Up = Mw, Up = «w, Co = Co , S1 = S1 вдоль
волокон 90°-ориентации (направление у, когда x o y). Согласно теореме Эйлера о вращении, переход от одной системы координат (x', у , z) к другой (x, у, z) в R3 может быть описан тремя углами вращения (или матрицами вращения), где общая матрица перехода от одной системы координат к другой определяется композицией трех матриц вращения. В данной работе в качестве углов вращения выбираются классические углы Эйлера (ф, 0, n). В данных обозначениях матрица перехода от (x', у , z) к (x, у, z) принимает вид в R3:
Q = %X i = 1, 2, 3, j = 1, 2, 3, (28)
где
q11 = cos n cos ф-cos 0 sinф sinn,
q13 = sin n sin 0, q33 = cos 0,
q12 = cos n sin ф + cos 0 cos ф sin n, q23 = cos n sin 0, q21 = - sin n cos ф - cos 0 sin ф cos n,
q31 = sin 0 sin ф,
q22 = - sin n sin ф + cos 0 cos ф cos n, q32 = -sin 0 cos ф.
Таким образом, направление, перпендикулярное плоскости укладки волокон, соответствует углам Эйлера ф = П2, 0 = П2, n = V2, направление вдоль волокон 0°-ориентации — ф = 0, 0 = 0, n = 0, направление вдоль волокон 90°-ориентации — ф = 0, 0 = 0, n = ~П 2. Используя матрицу перехода (28) и предположения (25)-(27), можно получить значения критических скоростей частиц в момент фазового перехода и скорость ударной волны в направлении вдоль координатной линии x (т.е.
в направлении нагружения):
Uf = CoX (ю) + Sf (ro)upr', Cf = (1 - ю)cf + rocjf ,
sf = (1 -ю) S“ +roS,
aX'
■if
(29)
(30)
где
(qn) + (q2p + (q31)
(uf,ff)2 (Mw,ff)2 (Mf,ff)2
-1/2
aX'
caX' _
S1 =
(q11) + (q21) + (q31)
i af \2 (c0 )
/ aw\2 (c0 )
i aK 2 (c0 )
-12
(31)
(q11) + (q21) + (q31)
(s1af)2 (saw)2 (sf1)2
-1/2
X
„„р ■ скорость частиц в направлении координатной
линии х . Заметим, что параметры , S1iX состояния композита после фазового перехода не зависят от ориентации нагружения. При этом тензор деформаций относительно материальной системы координат (х, у, z) для нагружения вдоль произвольной координатной линии х имеет вид:
(32)
н~т
Ц = е к! 0/>
где тензор деформаций е? определяется соотношениями для одноосно деформированного состояния в системе координат (х', у , г). Ударно-волновое нагружение приводит к возникновению больших деформаций. Следовательно, в качестве меры деформации можно взять деформацию Генки, меняющуюся от -^ до +^. Вос-
X' X
пользуемся соотношением между Ц - ир и соотношением Рэнкина-Гюгонио, выражающим закон сохранения массы для системы координат, в которой материал впереди ударной волны находится в покое. Тогда деформация Генки (в направлении, перпендикулярном плоскости укладки волокон), е н, описывающая одноосно деформированное состояние при ударном сжатии, и сжимающий фактор р0/р рассчитываются так:
Р0/Р = (иХ - ир)/ЦХ', Ц = р/р0 -1, (33)
ёН1/ = 1п(р0/Р), еН = еНг, еН2 = еНз' = 0, (34)
где х — направление 1' ; у — направление 2'; г — направление 3 . Далее используется следующий алгоритм аналитической экстраполяции состояний Гюгонио к другим термодинамическим состояниям (т.е. уровням напряжения Гюгонио за ударной волной) для рассматриваемого композита и различных углов Эйлера, используя (29)-(34):
(АеН )?+1/2 = (еН )?+1 - (еН \,
ю
9+1/2
= !/2(Ю9+1 +ю9 )
1
(^dkl)g+V2 = (A%)q+^2 3§kl (^Emm)g+V2,
(Sij )q+1 = (Sij )q + CijH (Юg+V2)(Adkг)q+1/2,
(35)
(36)
(37)
Рис. 3. Зависимость уровней напряжений Гюгонио ашь за ударной волной от скорости частиц ир в различных направлениях нагружения композита для тройной структуры ударной волны: ф= 0, 0 = 0, у = -п/ 2 (1); ф = п/ 2, 0 = п/ 4, у = п/2 (2); ф = 0, 0 = 0, у = п/4 (3); ф = п/4, 0 = п/4, у = тс/ 4 (4)
т Ta a - oa Us = c0 + S1 up’
(pEOs)q+1 = PH
Ph =p0Usa Up,
r(v)
(p )q+1 = (pEOs)q+1 +
+ РГ(V )(e)q
f % H
mnsmn
EOS^ q+1
P* *
kl ak
/^HSLx _ / fx * . %H
(aij )q+1 - -(P )q+1a ij + Sij ,
/_HSLn = 1 Г/_HSLn +/_HSL4 \
(^ij )q+1/2 2 L j q+1 + j )q \,
) q+V2(^8j ) q+1/2,
(e) q+1 = (e) q +^1(aHSL
(38)
(39)
(40)
(41)
(42)
_HSL
где aif — компоненты действительных напряжений
% H
Гюгонио за ударной волной; Sif — компоненты обобщенного девиатора тензора напряжений Генки; Cjkl — компоненты симметричного тензора упругих постоянных; р — текущая плотность, рассчитанная по формуле (33); ц — относительное изменение объема, рассчитанное по соотношению (33); r(v) — параметр Грюнай-зера, рассчитанный по соотношению (14). Итерационный процесс (35)-(42) продолжается до тех пор, пока не выполнено условие сходимости:
\(e)q+1 - (e)q| < |(e)q | • error,
где обозначения (•)q и (•)q+1 представляют собой физические величины в соотношениях (35)-(42) для q и (q + 1) итерационных шагов соответственно. Величина error = 10-5 представляет собой численную ошибку итерационного алгоритма (35)-(42). После сходимости алгоритма восстанавливается тензор напряжения в координатах (x', у , z) для получения уровней напряжения Гюгонио за ударной волной:
-HSL ^T-HSL^x
= Qil °lk Q
kj,
(43)
^HSL
где тензор деформаций о у определяется соотношениями (35)-(42) в материальной системе координат (х,у, z). На рис. 3 представлен эффект ориентации на
Рис. 4. Уровни напряжений Гюгонио за ударной волной в направлении, перпендикулярном (1) и параллельном (2) плоскости волокон: ф = п/2, 0 = п/2, у = п/2 (1); ф= 0, 0 = 0, ¥ = 0 (2)
величину анизотропной обобщенно-объемной ударной скорости и напряжений Гюгонио (43) за ударной волной в зависимости от скорости частиц в направлениях: 1)ф = 0, 0 = 0, у = -тс/2; 2) ф = п/2, 0 = п/4, у = тс/2; 3) ф = 0, 0 = 0, у = тс/4; 4) ф = п/4, 0 = п/4, у = тс/4 .
На рис. 4 показано хорошее совпадение уровней на-
~ НЯГ
пряжений Гюгонио ац за ударной волной с экспериментальными данными в направлениях, перпендикулярном и параллельном плоскости волокон, где квадратами и кругами отмечены экспериментальные данные в соответствующих направлениях.
4. Выводы
Поведение выбранного углеродно-волокнистого композита в направлении, перпендикулярном плоскости укладки волокон, похоже на поведение простых полимеров. В направлении вдоль волокон 0°-ориентации предложенная модель позволяет объяснить форму волнового фронта, подобную фронту упругопластической волны в металлах (например орудийной стали). Такая форма волнового фронта позволяет определить две скорости — скорость нелинейно упругого предвестника снее (до начала микроразрушения) и скорость основной части волнового фронта снеав (рис. 3). Отметим, что в данной работе нелинейно упругий предвестник предшествует волне разрушения, а не пластической волне, как в классических упругопластических материалах (например орудийной стали). Экспериментальные значения для снеь и снеав для выбранного композита были определены в работе [10]. Численное моделирование структуры волны в направлении вдоль волокон 0°-ори-ентации позволяет определить средние значение скорости снее = 6900 м/с в диапазоне скоростей частиц [0; и* ], где и* = 58.9 м/с — скорость частиц в начале процесса разрушения. Приведенное значение снее согласуется с упругими свойствами рассмотренного композита, т.к. скорость снее больше скорости продольных упругих волн. В работе [15] проведен детальный
анализ экспериментальных данных [10] и установлено, что экспериментальные данные для снее могут быть аппроксимированы соотношением снее = с1 + +5ир, 51 > 0,ир > 0. Отметим, что величина 6666 м/с упругой продольной скорости звука для выбранного углеродно-волокнистого композита в направлении вдоль волокон 0°-ориентации также согласуется с предположением, что волна-предвестник распространялась по неповрежденному материалу с большей скоростью по сравнению с упругой продольной скоростью. В работе [10] было получено экспериментальное значение 7000 м/с для снеь, но при этом отмечался большой разброс экспериментальных данных для этой величины. Вторая волна снеао в направлении вдоль волокон 0°-ориентации для малых значений интенсивности ударной волны и параметра поврежденности выше скорости в направлении, перпендикулярном плоскости укладки волокон, а для больших значений интенсивности ударной волны и параметра поврежденности сходятся для всех направлений.
Величина нелинейно-упругого предела Гюгонио стнее в этой работе описывает полное напряжение, при котором начинается процесс перехода материала от неповрежденного к поврежденному состоянию (процесс начала микроразрушения при динамическом сжатии), и определяется скоростью частиц в момент начала процесса разрушения ир*. Приведенные в работе значения для снее и и** приводят к величине предела Гюгонио (полное напряжение) порядка стнее = 0.7 ГПа, что соответствует началу микроразрушения при сжатии в композите в направлении вдоль волокон 0°-ориентации. Отметим, что в классическом случае (для упругопластических сред) величина предела Гюгонио (полное напряжение) определяется пределом текучести среды Y0 (т.е. точкой перехода из упругой в упругопластическую зону) и коэффициентом Пуассона V через выражение (1 - v)/(1 - 2V) У0. Заметим, что, например, для упругопластической орудийной стали (с пределом текучести Y0 = 0.6.. .1.2 ГПа и коэффициентом Пуассона V = 0.3) полное напряжение Гюгонио, описывающее переход из упругой зоны в упругопластическую зону, но не начало процесса микроразрушения, будет порядка 1.05. 2.10 ГПа. Для начала процесса микроразрушения при сжатии в орудийной стали требуется намного большее напряжение.
Из экспериментальных данных также видно, что при низких напряжениях смесь матрицы и волокон в направлении 0° жестче, чем в направлении, перпендикулярном плоскости укладки волокон. Однако с возрастанием скоростей частиц экспериментальные нап-
ряжения за ударной волной для направления волокон 0° приближаются к напряжениям в направлении, перпендикулярном плоскости волокон. Данное поведение согласуется с предложенной в этой работе моделью тройной структуры ударной волны и с критерием устойчивости для ударных волн [17].
Литература
1. Григорян С.С. О некоторых работах по разрушению хрупких тел в динамических условиях // МТТ. - 1977. - № 1. - С. 173-181.
2. Слепян Л.И. О моделях в теории волн хрупкого разрушения // МТТ. - 1977. - № 1. - С. 181-186.
3. Канель Г.И., Разоренов С.В., Фортов В.Е. Волны разрушения в ударно-сжатом стекле // Успехи механики. - 2005. - № 1. - С. 957.
4. Chen J.K., Allahdadi A., Сагпеу T. High-velocity impact of graphite/ epoxy composite laminates // Compos. Sci. Technol. - 1997. - V. 57. -P. 1268-1270.
5. Ha^hurst C.J., Hiermaier S.J., Clegg R.A., Riedel W., Lambert M. Development of material models for Nextel and Kevlar-epoxy for high pressures and strain rates // Int. J. Impact Eng. - 1999. - V. 23. -No. 1. - P. 365-376.
6. Anderson C.E., O’Donoghue P.E., Jr., Skerhut D. A mixture theory approach for the shock response of composite materials // J. Compos. Mater. - 1990. - V. 24. - P. 1159-1178.
7. Anderson C.E., Cox P.A., Johnson G.R., Maudlin PJ. A constitutive formulation for anisotropic materials suitable for wave propagation computer program. II // Comput. Mech. - 1994. - V. 15. - P. 201203.
8. Bo~rd^^lo^sk^ S.A., Karakhanov S.M., MerzhievsJ L.A. Shock Response of a Unidirectional Composite at Various Orientations of Fibers // Shock Compression of Condensed Matter / Ed. by S.C. Schmidt, D.P. Dandekar, J.W. Forbes. - Melville, NY: AIP Press, 1998. - P. 545548.
9. Hereil P-L., Allix O., Gratton M. Shock behaviour of 3D carboncarbon composite // J. Phys. IV. - 1997. - V. 7. - P. 529-534.
10. Millett J.C.F., Bourne N.K., Meziere Y.J.E., Vignjevic R., Lul^a-novA.A. The effect of orientation on the shock response of a carbon fibre - epoxy composite // Compos. Sci. Technol. - 2007. - V. 67. -No. 15-16. - P. 3253-3260.
11. Lulk'anov A.A. Anisotropic materials behaviour modeling under shock loading // J. Appl. Mech. - 2009. - V. 76. - P. 061012(1-9).
12. LuJ^anov A.A. Constitutive behaviour of anisotropic materials under shock loading // Int. J. Plasticity. - 2008. - V. 24. - No. 1. - P. 140167.
13. Лукьянов А.А., Пеньков В.Б. О распространении ударных волн в анизотропных материалах // Прикладная математика и механика. -2009. - Т. 73. - № 4. - С. 635-644.
14. Лукьянов А.А. Моделирование ударных волн в композиционных материалах // Вестн. СамГУ. Естеств. сер. - 2010. - № 2(76). -С. 105-120.
15. LuJ^anov A.A. An equation of state of a carbon-fibre epoxy composite under shock loading // Eur. Phys. J. B. - 2010. - V. 74. - P. 3545.
16. Steinberg D.J. Equation of State and Strength Properties of Selected Materials // Report Lawrence Livermore National Laboratory. - Livermore, CA: 1991. - No. UCRL-MA-106439. - 20 p.
17. McQueen R.G., Marsh S.P., Taylor J.W., Fritz J.N., Carter W.J. The Equation of State of Solids from Shock Wave Studies // High Velocity Impact Phenomena / Ed. by R. Kinslow. - N.Y.: Acad. Press, 1970. -P. 293-416.
Поступила в редакцию 16.04.2012 г., после переработки 11.03.2013 г.
Сведения об авторе
Лукьянов Александр Алексеевич, доцент ЛФ МИКТ, aaluk@mail.ru
