CC BY
171
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Т о м III 197 2
УДК 678-06-419.8:539.4 669.018.95:539.4
УПРУГИЕ СВОЙСТВА волокнистых КОМПОЗИЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ
А. А. Алексеев, Е. В. Макаров
Рассматривается совместная макроскопическая деформация матрицы и арматуры волокнистого композита, которая возникает в результате взаимодействия структурных составляющих в пограничном слое.
Определяются анизотропные упругие свойства такого материала в зависимости от геометрических и физических параметров его структурных составляющих.
Задача решается с использованием упругих потенциалов матрицы и арматуры. Проведенное исследование позволяет также определить напряженное состояние композита и его структурных составляющих при различных направлениях растяжения и сдвига.
Композиционные материалы, армированные волокнами, всюду сохраняющими свои макроскопические направления, обладают ярко выраженной механической анизотропией. Их упругие, пластические, вязкие и прочностные свойства существенно зависят от макроскопической ориентации и относительного объема волокон,, от направления внешней нагрузки. Каждой ориентации волокон соответствует своя упругая симметрия материала. Наибольший практический интерес представляют композиции с плоской арматурой, при которой все волокна лежат в плоскостях, параллельных друг другу, образуя ряд элементарных слоев с одинаковой структурой. Поэтому для определения упругих свойств таких материалов в зависимости от свойств их структурных составляющих — матрицы и волокнистого усилителя — достаточно рассмотреть макроскопически однородное упругое состояние лишь одного слоя.
При этом необходимо иметь в виду, что в композите, как и в любом микронеоднородном теле, возникает пограничный слой. Он является наружной областью материала, где проявляется взаимодействие сил упругой и пластической неоднородности структурных составляющих — матрицы и арматуры, получающих здесь существенно неоднородную деформацию. Речь идет о пограничном слое, образующемся у края композита, где расположены концы волокон.
Хотя этот слой и занимает пренебрежимо малый объем, он играет важную роль в механизме той совместной деформации структурных составляющих, которая возникает в остальной внутренней части композита. Именно в этом слое перераспределяется внешняя нагрузка или возникает дополнительная внутренняя нагрузка на структурные составляющие, которая приводит их в состояние однородной деформации, образующейся в остальной, основной части композита при простом растяжении. Такой макроскопический эффект влияния пограничного слоя и представляет собою физическое обоснование существования совместной однородной деформации структурных составляющих композита, которое до сих пор постулируется в литературе.
Однако пограничный слой композита существует только в тех случаях, когда его арматура находится в напряженно-деформированном состоянии при заданной краевой нагрузке. Как будет показано, в условиях простого растяжения композита пограничный слой отсутствует при плоской арматуре, если только она имеет критическую ориентацию относительно оси растяжения, исключающую возможность удлинения волокон.
1. Растяжение композита в произвольном направлении. Рассмотрим растяжение тонкой пластины, представляющей собой изотропную среду, армированную тонкими нитями. Примем, что &0 — объемное содержание среды; — объемное содержание нитей, причем ^0 + ^ = 1; Х0, [х0 — упругие постоянные среды; Я! —модуль
Юнга нити. Коэффициентом Пуассона нити пренебрегаем, полагая, что это допустимо при малом
Пластина нагружена растягивающим напряжением, как это показано на фиг. 1, а, из которой видно также, что нити расположены несимметрично относительно выбранной системы координат. Угол между нитями обозначим 2а. Угол между осью х и осью симметрии композита обозначим р.1 Поставим задачу об определении упругих постоянных такой композиции.
На фиг. 1,6 показана также элементарная ячейка. Объемное содержание нитей элементарной ячейки есть
Рсь симметрии арматуры^, х
*1:
2^1
2/7і
М2 зіп 2а Л/ эт 2а ^
(1.1)
и)
Здесь: I, а, Л — четыре независимых параметра, характеризующих структуру композита; г і = . V,---площадь косого се-
ет 2а
чения нитки; = Ы — площадь грани ячейки (фиг. 1, б); Г] — площадь поперечного сечения нитки. Косинусы углов, которые образуют нити первого и второго семейства с осями х и у, заданы таблицей.
Полагаем, что внутри области, охватываемой тонким пограничным слоем пластинки, деформация однородна, т. е. среда и
нити получают всюду одинаковую макроскопическую деформацию, при которой они находятся в нейтральных напряженных состояниях, не оказывая никакого влияния друг на друга.
Семей- Оси координат
ства
нитеи X У
Первое 1\х= сое (р + а) ку = 8ІП (Р + °0
Второе 12х = сое (Р — о) 12у = віП (Р - а)
В элементарной ячейке каждый отрезок нити имеет длину I и обладает жесткостью сх = Т7,
Нить подчиняется закону упругости
(1.2)
где — усилие нити я; — ее относительное удлинение, определяемое по формуле '
=== ехх “Ь Ьу ^уу “Н Ьг ег2 “Г 1ах 1$у £гу + 1.чх £дгг “Ь ^у ®уг> 0
причем направляющие косинусы 1ах. . . . берутся из таблицы.
При деформировании ячейки обе нити, находящиеся внутри ее объема, получают абсолютное приращение длины
(1.4)
Потенциальная энергия деформации, которую они накапливают, вычисляется следующим образом:
П„=£
(1.5)
5 = 1
Поскольку упругий потенциал П1 нитей представляет собой объемную плотность потенциальной энергии деформации (1.5), то
П,
Пн
/2Л8іп2а 2 /2 Л эіп2а -7
Учитывая (1.1), последнее выражение приведем к виду
, 2
(1.6)
Подставляя (1.3) в (1.6) и принимая во внимание таблицу, получим
Пх = Е1к1[в'гхх(1\х Ц- 1\х) -|-Вуу (1\у -}- 1\у) + ъ\у{1\х1\у + 1\хйу) +
еххеуу^ (А-Г и у + ^2х^1у)'>ггххгху 2(/и 1\у~^ Ьх^у) + еуугху^(^1х^У "Ь Ьх^у)\- О ^)
Упругий потенциал П0 изотропной части с учетом объемного содержания равен
По — К
0 ~2 1X0 (®** + ВУУ + ®«) + х0 (гхх ®уу + ехх ®гг + еуу ®гг) +
+ -^(4+£^+е^1. (1.8)
Здесь Х0, (л0 — постоянные Ламе, которые связаны с модулем Юнга Е0 и коэффициентом Пуассона у0 соотношениями
Еп V
0 (1+,0)(1-2у0)’
!*о:
(1.9)
Упругий потенциал П целого материала находится сложением потенциалов (1.7) и (1.8):
П = П„ + П1. (1.10)
Результирующие напряжения определяются по формулам Грина:
= к0 (Х0 Д + 2Н «„) + -1- кг Е1 [вхх {1\х + 4) +
-\-Ьуу{([хйу-{- 1\хЬу) + гху^х1\у + 4*^2 у)];
— ~ ^оО'о ^ Ч~2р.0еуу) [гуу(Ау + 4у) +
уу А
-\-&хх{1\ х1\у+ 1\Х1\у)-\- ЬХу{к х ^уЛ- кх&у)]'*
дп
Ху — ^ — К Н’о ел-у + ~2 ^1 Е1 [®ху (Ьхку 1гх1гу) +
+ гххФ\х1\у -{- /2 у) + еуу(^1х^у +^2х^)];
-^-г л. — «о Н’О ®лг> иехг
V А
/г— ^ —•«о!л08уг-
■уг
(1-11)
При этом макроскопические напряжения матрицы и арматуры имеют следующие значения:
Х*0=^ = К (10 А + 2ц0 .„); *у 0 = = к0 ц# гху-
1'.о = -5^ = к0 (К Д + 2^ «,у); Х20 = ^ = к0 к-о
уа~ Л„
■2го = = К (Х0 Д -)- 2[А0 егг); Уг0 — —^ = £0 [10 е^,г;
УУ
<?ПВ
хг
дЩ
-уг
*х1 ~ 5^=Т [£~+
+ еху(Ах1\у -\-1\х1гу)]\
¥у1= ~2~Ь\Ег Iе уу (^?у + Ау) -\-гхх{^х1\у + 1\хйу)-\-
-\-гху^1х^У-\-^2х^%)]',
ХУ1 = -0^- = ~2-кхЕ\ [&ху (1\хйу + йхйу) + 2ХХ (1\X 1\у + 1\х /2+ ху
+ гуу (1\х$у + ^2х^у)\;
. ^, = £=0; «'..-■^=0.
При одноосном растяжении напряжением Хх имеем
Х,-г,^ху=хг=у,=о.
Тогда уравнения (1.11) получают вид:
К (^0 Д + 2^0 ехх) + ^ 2(ехх ах + еуу аху + еху Ьх) = Хх; (1.12)
А0 (Х0 Д + 2^0 •„)■+ (е.™ «гу + V ау + е*у *у) = 0; 0 •13)
(^о д + 2р0 егг) = 0; (1-14)
А £
*0 Ро елгу Н 2 ^дг "Т" ®уу &у “Н е*у &ху) 0 ■
ъхг = Ьг = 0-
При этом введем обозначения: .
#*•= ^1д: + йл:; ау= 1\у1%у\ аху=1\хИ1у-\-1\х$1у',
Ьх = 1\х1\уЛ- йх 1гу\ Ьу-=Ау1\х^с12у^х-
Из уравнений (1.14) и (1.15) следует, что
X,
гг Ь + ^
^1 Е\
2
е
(1.16)
%^ (•«+«,*)•’ о-17)
(£ХХ^Х “Ь ®уУ Ьу)
У аху
Из уравнений (1.17), (1.18) и (1.13) получим соотношения
(1.18)
где коэффициенты Пуассона чух, vгJ.> характеризующие поперечное сужение в направлениях осей у и г при растяжении вдоль оси х, имеют значения
1*о + ^2* йху) |Л° Л° (^о+2|-1(|) -®2 а-ху j — (^о+2р-о) —1--1- Ьх Ьу
"х иу
'*УХ' / ь с \Г г. р 1 А2£2 ’
|*о,цо ~Ь ^ 1 ■ аху^ ИА0 (ч(^о-)-(^о) + (^о+2цо) —2—ау|—(?о+2|х0) ^ 1 Ь^
\ Р IX ^
ко (*0 + — аху | 2Й(| >1,1 Л0+ А0 —■у1- (й^/--Яд-у) ---^(Ьу — &*)
------------------------^------------------------------------------------------^е2 -. (1.22)
а-гу) ^^о!хо(^о+!ло) + (Хо+2но) —1-^1 | —(Ао + 2цо) ^ 1 Ьу
Из (1.12) — (1-14) следует, что
4 1
X
(ЗХ0 2р0) &0
X \хх------Ь^Ъхх^х + аху) + 5уу(ауЧ~аху) + £лу(^+^у)]|. (1.23)
Подставив (1.19) и (1.21) в (1.18), получим соотношение
г
ху — ®ху.хвхх> (1-24)
где множитель &ху,х является коэффициентом влияния линейной деформации на сдвиг. Он аналогичен коэффициенту Пуассона и характеризует сдвиг в плоскости ху, возникающий при растяжении образца вдоль оси х. Его величина определяется по формуле
Е\ ( „ Е\
—2 12*о Н-о [2 (Хо+ М-о) Ьх — *о ] —)~ (/-о 4~ 2[х(|) ^ (ау Ьх Ьу йХу)
ху, X
ка !-Ч> + оХу
4*оН'О(^'о + ,^о)+ (А0 + 2цо) ~2^ -,] —
к,ЕлЛ чКЕ
(Х0 + 2|д.0)
Р р2
11£1 иЧ
(1.25)
~4~ у
Пользуясь соотношениями (1.23), (1.19) и (1.24), преобразуем выражение (1.12) к канонической форме
Хх = Ех*хх, (1.26)
где £■_<. —модуль Юнга композита в направлении оси х. Он определяется по формуле
р МЗХо + Зл,) , Ех чх Ьх~к9 хо + Н'о + к1 ЦК + ы Х
2 1 ,5
^ [2(Ь0 + (Х0) (Х0 + 2р0)Л] + ^1Л0|10(Х2В + ХОЛ)С+140) +
^ (Ь0 + 2^о) Н + ^ *о (Х0 У + ц0 2К) +
+ ^о{1о(^о^' + ^о^о^’+Ио^) I /1 97ч
'+Ао^4(Х0 + ро)
Здесь введены следующие обозначения:
А = ахау аху — а% — ауЬ2х4- 2ахуЬх Ьу — ахЬ2У;
В = 8ах аху + 2ах ау — 10а% + 2ау аху — 8Ь2Х -}- 8Ьх Ьу — 2Ь2У;
С = \ 6ах ахУ + 6ах ау — \4а1у— 166* + 8ЬХ Ьу,
И = 8ах ахУ + 4ах ау — 4а2ху — 8Ь2Х, Е = 8ах — 8аху -+- 2ау;
^=16 ах — 8 аху\ О = 8ах\ Н = ауаху — Ь\\
У = ау + 4 аху; К=ау + 2 аху.
Таким образом, формулы (1.21), (1.22), (1.25) и (1.27) дают зависимость коэффициентов -*ух, vг_t., Ьху,х и модуля Юнга Ех композита от упругих постоянных матрицы А0, и армирующих нитей £,.
Указанные выражения обнаруживают сильную зависимость упругих характеристик композита как от угла а между нитями, так и от угла р, характеризующего отклонение направления приложенной силы от оси симметрии композита.
На фиг. 2 показаны кривые ^(Р), построенные по формуле {1.27) при следующих значениях параметров: Е0= 195 кгс/мм2; у0--=0,35; £„ = 0,9; Л, = 0,1; Я, = 36750 кгс/мм2; а = 0, 20°, 40°, 60°, 80°, 90°. Из графика видно, что кривые Ехф) в диапазоне углов 20°<а<<70;5 имеют максимум при а = 8, что физически непротиворечиво, так как в этом случае направление приложенной силы совпадает с направлением второго семейства нитей.
На фиг. 3 показаны кривые (Р)> построенные по формуле
(1.21) при прежних значениях параметров Е0, v0, £0,
Поведение этих кривых объясняется наличием плоского напряженного состояния матрицы при простом растяжении целого композита. Под воздействием добавочных растягивающих или сжимающих поперечных напряжений, возникающих в пограничном слое от арматуры, она получает добавочные поперечные деформации. Наличие этих деформаций и оказывает влияние на величину коэффициента Пуассона композита. Отрицательные значения чух являются следствием поворота арматуры, сопровождающегося увеличением проекций нитей на ось у при сдвиге в плоскости ху, ко-
торый сопутствует растяжению композита в направлении оси х, когда р ф 0.
Фиг. 4 дает представление о поведении коэффициента Пуассона ч2х, а фиг. 5 —об изменении коэффициента влияния ЬХу,х- Кривые на фиг. 4 и 5 построены по формулам (1.22) и (1.25) при ранее принятых параметрах структурных составляющих.
Фиг. 3
Изменение объема А композита при простом растяжении вычисляется по формуле
Д = (1 ~Ь ехх) (1 Ч- еуу) (1 ~Ь ezz) ^ == vyx vzx) sxx ~ °*x sxx'
из которой следует, что коэффициент объемного изменения может быть как положительным, так и отрицательным. Отрицательные значения параметра обусловлены тем, что когда
klEl'^>kaEQ. При v,>0 этот эффект возрастает.
Формулы (1.21), (1.22), (1.25) и (1.27) имеют довольно громоздкий вид, что затрудняет их анализ. Более подробное исследование полученного решения дается для частных случаев деформации.
2. Растяжение композита вдоль оси симметрии арматуры. Положим угол р=0, что соответствует случаю симметрично приложенной нагрузки.
Тогда коэффициенты (1.16) принимают значения
ах = 2 cos4 а; ау = 2 sin4 а; аху = 2 sin2 а cos2 а; \
Ьх= Ь = 0. } ( ' ’
Подстановка (2.1) в формулы (1.21), (1.22), (1.25) и (1.27) приводит
их к виду
210 -т1 (К + 2!ьо) sin2 а c°s2 *
Кл
=; -------------У------------------------ . ^2 2)
4ft> (К + ft>) + ~г~ 0*о + 2f*o) sin4 а
«о
2\) Ро + sin2 а (1 — 2 cos2 а)
v’ -=-----------------------------------к.-; (2.3)
4[i0 (xo + ft)) + £i tt (Xo + 2(*0) sin4 а «0
vXy,x = 0, (2.4)
ZX
E —k 2^o) I
x 0 *0 + ft)
_J_& E _________________________ft) [(3X0 + 2|*0) cos2 я — x0]
<h + ft>)
4ft, (K + ft)) + fro + 2(*o) -r- ^iSin4 а
Kq
(2.5)
Сосредоточим внимание на формуле (2.5), которая с помощью соотношений (1.9) преобразуется к виду
р и р | и р vo)cos2a v0]s
UX — К0 с0 "Г «1 *-1 Т р
1 + -?-£Ч1-»2)81п4а
«0 £Zq
(2-6)
Введем безразмерные величины
Тогда
£,=*„ + *,£, [(1 . (2.8)
1 -}- -г- Ех (1 — ^о) вШ4 а ка
Исследуем зависимость модуля Ех от угла а, определив корни уравнения
■ ^ = 0. (2.9)
После преобразований уравнение (2.9) принимает форму
1 + ^-Et(l— v0) sin3а «0
[(1 + v0) cos2 а — v0] cos a sin а Отсюда видно, что
7Г
sina.= 0, a = 0; cosa = 0,
■ 0.
соэ
"‘ = ±'/тт^’ “-агссо5(±1/тТ7„
Ц-^-^О-Ув) 8П1га = 0.
«о
Из последнего уравнения следует, что
зш2« - — - .1----(2.10)
1-^0)
«о
Так как
^£1(l-v0)>O,
Kq
то не существует таких углов а, при которых выполнялось бы уравнение (2.10).
Таким образом, кривая ЁХ = ЕХ(а) имеет три точки экстремума. В точке а = 0 у кривой существует максимум £л(0) = &0-\-кхЕь что совпадает с формулой, полученной по „правилу смесей*1. В точке
+ ] f _.VQ-
- V l+v0
a=arccos ± I/ • I кривая имеет минимум
Ex ^arccos = k0,
а в точке a = кривая обнаруживает максимум
Тот факт, что арматура не оказывает никакого влияния на общий модуль Юнга композита при простом растяжении, когда
у
cosa= + - 0 - , находит себе простое объяснение. Отрезок прямой,
1 "Г vo
лежащей в плоскости арматуры ху под углом а к оси растяжения х, получает относительное удлинение е(а), определяемое по формуле (1.3) при условии, что = — \ЬХХ и егг = ед.у = е>,2 = е„ = 0. Тогда закономерность (1.3) принимает вид
s (a) = (cos2 а — v0 sin2 а) ехх и ее геометрическая интерпретация изображается кривыми (фиг. 6).
Как видно, среди всех прямых, находящихся в плоскости ху, в каждой точке ее существуют только две прямые, вдоль которых деформация среды отсутствует при любом удлинении &хх, отличном от нуля. Положения этих прямых находятся из решения уравнения
cos2 a — v0 sin2 a == 0,
и, следовательно, они определяются углами, косинусы которых суть
= ± / r+v
Естественно, что и армирующие нити, направленные по этим прямым, изменяя свою ориентацию в плоскости и расстояния друг от друга, не получают удлинений. Их усилия в этом случае исчезают вместе с пограничным слоем. При этом сопротивление деформированию композита оказывает только среда, что и следует из формулы (2.8).
Заслуживает внимания также и случай поперечной ориентации
" ТС *
арматуры композита, когда а = ■ Тогда арматура оказывает
влияние на модуль Юнга композита, если только коэффициент Пуассона матрицы v0 отличен от нуля. Это влияние осуществляется следующим образом. Поперечному сужению матрицы при ее продольном растяжении препятствует арматура. Препятствие возникает только внутри пограничного слоя композита и вызывается касательными напряжениями, возникающими на поверхностях волокон. В результате такого взаимодействия структурных составляю-
щих они получают общую однородную деформацию в основной части композита, сопровождающуюся поперечным растяжением матрицы и сжатием арматуры, При этом продольное растяжение матрицы уменьшается в соответствии с обобщенным законом Гука. Таким образом, сопротивление композита простому растяжению возрастает за счет поперечного влияния арматуры на матрицу.
На фиг. б построена кривая Ех(а) по формуле (2.6) при следукь щих значениях параметров: &0£0= 1575 кгс/мм*, ч0 = 0,2, £\ =
= 20615 кгс/мм2. Там же показана экспериментальная кривая*. Сходимость результатов теории и эксперимента можно признать вполне удовлетворительной.
На фиг. 7 построены графики, иллюстрирующие зависимость
— Е
безразмерного модуля упругости композита Ея = ~ от безразмер-
£0
_ £
ного модуля упругости нитей Ех = ~ при различных углах ориента-
С0 . • • - - •
дни нитей. Как видно из фиг. 7, при углах между нитями, превышающих 80°, увеличение модуля упругости нитей приводит к малому росту модуля Юнга композита. Когда угол ,
'2а = 2агссо8 '|/Гу-^- = 2агссо8 "у/ р|=^120о,
модуль Юнга нитей вообще не оказывает влияния на модуль Ех, что находится в соответствии с выводами, полученными ранее.
Кривые на фиг. 7 построены при значении коэффициента объемного содержания нитей ^ = 0,2 по формуле (2.8).
3. Сдвиг композита в плоскости арматуры. Вопрос о нагружение сдвигающим усилием произвольно ориентированного (р Ф 0) композита может быть рассмотрен в плане первого раздела. Уравнения
* Экспериментальные данные заимствовали из работы R. В. Latz, К. Y. В а 1-dridge. Andle-plied boron/epoxy test methods. A Comparison of beam-tenslon and axial tension conpon testing. Composite Materials: Testing and Design, ASTM STP 460, American Society for Resting and Material?, 1,969, pp. 94—107.
7— Ученые записки № 3 97
(1.11) совместно с условиями Хх= Уу = 22 = Хг ^= Уг = 0 и Ху фО позволяют получить формулы для определения модуля сдвига и коэффициентов Пуассона композита. Ниже разберем частный случай.
Сохраняя предположение р = 0, рассмотрим вопрос об определении модуля сдвига композита при нагружении его внешним сдвигающим напряжением Ху (фиг. 8), полагая
; Хх~Уу=2г = Хг=У^ 0.
Фиг. 8
Принимая во внимание выражения (2.1), находим из основных уравнений (1.11)
&хх = ®уу == егг ~ехг = гуг= 0> X @аху- (3-1)
При этом модуль сдвига G имеет значение G = &0[*.0 + р-i cos2 a sin2 а.
(3.2)
Исследуем характер завйсимости б от угла а. Для этого решим уравнение
£-0. (3.3)
В соответствии с (3.2) оно имеет вид sin a cos а cos 2а = 0.
Корни этого уравнения суть:
«тс 04=0, «3 = —.
(3.4)
Таким образом, кривая в = 0(а) имеет три точки экстремума. ' ' ' ' тс
Легко убедиться в том, что в точках а*=0 и а = кривая имеет
минимум 6(0) => б ^ | =^0^0, а в точке а =-^- кривая обнаруживает максимум О = &о14о + ^1^1-...............
На фиг. 8 построена эакже кривая С = (/(*), определяемая формулой (3.2), при следующих значениях параметров;
Ег = 20615 кгс/мм2, £0 Е0 = 1575 кгс/мм1, у0 ••== 0,2.
Таким образом, при симметричном нагружении рассматриваемого композита наибольший модуль сдвига получается при угле между нитями 2а = 90°. ;
Отметим, что решение задачи о растяжении однонаправленного композита можно получить из общего решения, если в формулах(1.1),
(1.22), (1.25) (1.27) положить а = 0.
Проведенное исследование показывает, что анизотропные упругие свойства волокнистого композиционного материала и напряженно-деформированное состояние его структурных составляющих {матрицы и арматуры) при простом растяжении выходят за рамки тех представлений, которые следуют из теории сплошного однородного анизотропного тела.
Изложенная теория справедлива при; малом значении коэффициента Для сравнительно больших коэффициентов наполнения волокнами полученное решение будет достаточно точным для модуля упругости Ех в случае симметричного нагружения, по-видимому, только при углах армирования а <45° и для модуля сдвига О при углах 20°<а<;70о. Кроме того, следует иметь в виду, что пределы применимости изложенной теории находятся в зависимости от относительной толщины пограничного слоя композита, определение которой представляет собою особую проблему.
Рукопись поступила 8/Х 1971 г
