Моделирование упруго-прочностных свойств многослойных материалов Текст научной статьи по специальности «Физика»

Естественные и точные науки

• ••

9

ФИЗИКО - МАТЕМАТИЧЕСКИЕ

НАУКИ

УДК 517. 375

МОДЕЛИРОВАНИЕ УПРУГО-ПРОЧНОСТНЫХ СВОЙСТВ

МНОГОСЛОЙНЫХ МАТЕРИАЛОВ

MODELING THE ELASTIC-MECHANICAL PROPERTIES

OF MULTILAYER MATERIALS

© 2oi5 Курбанмагомедов А. K., Макаров Е. В., Раджабов З. Р.

Московский государственный машиностроительный университет

© 2015 Kurbanov А. K., Makarov Е. V., Radzhabov Z. R.

Moscow State Machine-Building University

Резюме. В статье рассматриваются композиционные материалы, представляющие собой матрицу, армированную волокнистым наполнителем и обладающие ярко выраженной механической анизотропией. Их упругие, пластические, вязкие и прочностные свойства существенно зависят от ориентации и относительного объема волокон и от направления внешней нагрузки.

Abstract. The authors of the article discuss the composite material of a matrix reinforced with fi-berfill, have a pronounced mechanical anisotropy. Their elastic, plastic, viscous and mechanical properties depend strongly on the orientation and the relative volume of the fibers and the direction of the external load.

Rezjume. V stat'e rassmatrivajutsja kompozicionnye materialy, predstavljajushhie soboj matricu, armirovannuju voloknistym napolnitelem i obladajushhie jarko vyrazhennoj mehanicheskoj anizotro-piej. Ih uprugie, plasticheskie, vjazkie i prochnostnye svojstva sushhestvenno zavisjat ot orientacii i otnositel'nogo ob#ema volokon i ot napravlenija vneshnej nagruzki.

Ключевые слова: композит, анизотропия, материалы, свойство, состояние, коэффициент. Keywords: composite, anisotropy, materials, property, condition, rate.

Kljuchevye slova: kompozit, anizotropija, materialy, svojstvo, sostojanie, kojefficient.

Полимерные композиционные материалы в силу своей гетерогенной структуры представляют собой материалы с ярко выраженной анизотропией физикомеханических свойств. Их свойства существенно зависят как от объемных долей структурных составляющих матрицы и армирующего волокна, так и от степени их взаимодействия. Установлено, что при горячем прессовании таких материалов между матрицей и армирующим наполнителем образуется граничный слой с характерными

для него свойствами, отличными от матрицы и наполнителя [1; 3]. Поэтому при анализе свойств композитных материалов возникает необходимость учета свойств граничных слоев и построения такой математической модели, которая достаточно точно описывала бы рассматриваемый материал.

Анизотропия упругих свойств такого материала, в зависимости от геометрических и физических параметров структурных составляющих, определена в работе [2].

10

• ••

Известия ДГПУ, №1, 2015

Анизотропию физико-механических свойств слоистых металлоорганопластиков на основе экспериментальных методов исследовали в [1], где показано, что анизотропия вязко-упругих свойств металлоорганопластиков зависит от объемной доли армирующего наполнителя, температуры и от угла между осью образца и направлением армирующего наполнителя.

В настоящей работе представлена математическая модель композита для исследования коэффициента Пуассона в зависимости от способа армирования и объемных долей составляющих. Для этого изучим однородное упругое состояние однослойного полимерного композита.

Рассмотрим растяжение тонкой пластины, представляющей собой изотропную матрицу, армированную двумя семействами тонких нитей. Пластина нагружена растяги-

вающим напряжением в направлении оси OX, а нити расположены несимметрично относительно выбранной системы координат. Угол между основными и уточными нитями армирующего наполнителя обозначим 2а, а угол между осью OX и осью симметрии композита Р (рис. 1). Пусть К0 - объемное содержание матрицы, К -объемное содержание армирующего наполнителя, причем К0 + Кх = 1 и К {К0 ,

х0, н0 - упругие постоянные Ламе матрицы, Е1 - модель Юнга армирующих нитей.

Коэффициент Пуассона vyx, характеризующий поперечное сужение в направлении оси OY при растяжении вдоль оси ОХ, имеет следующее значение [2]:

К Е К E К2 E2

(КоНо axy)[2КоЕоЛо + (Ло + 2^о)-у^аху] - (Ло + 2Ео)^-^b,b

Vxy =

К1Е,

2

4

х у

К Е

(КоЕо + ~axy)[4КоЕо + (х0 +М)) + (Ло + 2А))

КЕ К,2 Е2

—— ау ] - (Ло + 2Но) ЬУ

(5)

Рис. 1. Зависимость Vyx от £ между нитями армирующего наполнителя

Формула (5) имеет довольно громоздкий вид, что затрудняет ее анализ, поэтому исследуем полученное выражение для частного случая растяжения композита вдоль оси симметрии арматуры, для чего нужно положить Р = о. В этом случае коэффициенты (4) с учетом (1) примут вид:

4 0*4

ах = cos а; ау = 2sin а; аху =

= 2sin2 acos2 а; Ьх = Ъу = 0. (6)

Подставляя (6) в (5), получим:

£

240Н0 + —^—(Л + 2н0 )sin2 acos2 а

v =----------К--------------------(7)

Ух К

4 Но (Л + 2 Но)+—1-р (Л + 2^о) sin4 а

К о

Удобнее перейти от постоянных Ламе Л, Но к модулю Юнга Ео и коэффициенту Пуассона v0 с помощью соотношений [4]:

j _ ЕоV

Л = -

Е,

(1 + Vо)(1 - 2Vо)

■Но =

^. (8)

2(1 + Vо)

Естественные и точные науки

11

• ••

Тогда выражение (7) примет вид:

о

1 -о Кп

К, — sin2 а

л—L E-

4

(9)

1

^Ki~ . 4

л—LEsin a

(1 + u0)2(1 -u0) К о — E

где e = —L.

Eo

Исследуем зависимость коэффициента Пуассона vx от угла a , решив уравнение:

до __ху

да

= 0.

(10)

Уравнение (10) приобретает вид:

о Г ■ 4 2(1 °0 00 ) ■ 2

sin2a{sin а----=------0---—----sin а

КТ?

К— (1 +00)(1-002)

Кг,

+ -

(1 + 00)(1 - 0,2)К —1

■=} = 0. (11)

К0

В уравнении (11) выражение в скобках не имеет действительных корней, так что экстремум достигается функцией (9) при ах= 0 и п

а 2 =

2

Таким образом, максимальное и минимальное значение коэффициента Пуассона

п

при а = 0 и а = — соответственно имеет

2

вид:

^ xy max

о—Л°) = о0 +о2;

(Пл =

°xymin ( л )

00 + 00

К — 9

1 + -1 —1(1 + 002)(1 -о) К

-. (12)

На рис. 2 представлен график зависимости Vyx от £.

В силу сложности природы процессов, происходящих на границе раздела матрица - волокно, приведенная математическая модель не предусматривает вклад граничного слоя в коэффициент Пуассона. Сравнение полученных результатов с экспери-

% =

1

ментальными данными позволит точно оценить вклад граничного слоя.

Таким образом, значение коэффициента Пуассона зависит от угла между осью армирования и направлением действующей внешней силы. Качественный характер кривой зависимости коэффициента Пуассона композита v от угла а , согласно (12),

имеет вид, представленный на рисунке 2, и определяется значением v0 матрицы композита.

Рис. 2. Графическая модель растяжения пластины

Приведенная в работе математическая модель позволяет провести сравнительный анализ упруго-прочностных свойств сложных полимерных систем.

Полученные в работе результаты могут быть полезны при конструировании композиционных материалов и предложены как неразрушающий метод контроля свойств композитных материалов.

Литература

1. Айвазов А. Б., Магомедов Г. М., Машинская Г. П., Раджабов З. Р., Анизотропия вязко-упругих свойств слоистых металлоорганопластиков // Механика композитных материалов. 1989. Т. 25. С. 559-563. 2. Алексеев А. А., Макаров Е. В. Упругие свойства волокнистых композиционных материалов // Ученые записки ЦАГИ. 1972. Том II. № 3. 3. Бубман С. З., Магомедов Г. М., Раджабов З. Р. Релаксационные свойства композитов на основе жидкокристаллических сополиэфиров // Механика композитных материалов. Серия Б. 1991. Том. 33. № 6. С. 475. 4. Макаров Е. В. Основы математической теории упругости. М. : МГОУ, 2007. 350 с.

References

12

• ••

Известия ДГПУ, №1, 2015

1. Ayvazov A. B., Magomedov G. M., Mashinskaya G. P., Radzhabov Z. R., Anisotropy of visco-elastic properties of laminated metalloorganic plastics // Mechanics of composite materials. 1989. Vol. 25. P. 559-563.

2. Alekseev A. A., Makarov E. V. Elastic properties of fibrous composite materials // Scientific notes of TSAGI. 1972. Vol. II. # 3. 3. Bubman S. Z., Magomedov G. M., Radzhabov Z. R. Relaxation properties of composites based on liquid crystal copolyethers // Mechanics of composite materials. Series B. 1991. Vol. 33. # 6. P. 475. 4. Makarov E. V. Fundamentals of mathematical theory of elasticity. M. : Moscow State Open University, 2007. 350 p. References

1. Ajvazov A. B., Magomedov G. M., Mashinskaja G. P., Radzhabov Z. R., Anizotropija vjazko-uprugih svojstv sloistyh metalloorganoplastikov // Mehanika kompozitnyh materialov. 1989. T. 25. Sr. 559-563. 2. Alekseev A. A., Makarov E. V. Uprugie svojstva voloknistyh kompozicionnyh materialov // Uchenye zapiski CAGI. 1972. Tom II. № 3.

3. Bubman S. Z., Magomedov G. M., Radzhabov Z. R. Relaksacionnye svojstva kompozitov na osnove zhidko-kristallicheskih sopolijefirov // Mehanika kompozitnyh materialov. Serija B. 1991. T. 33. № 6. S. 475. 4. Makarov E. V. Osnovy matematicheskoj teorii uprugosti. M. : MGOU, 2007. 350 s.

Статья поступила в редакцию 06.02.2015 г.