CC BY
100
УДК 539.3
Изотропное упрочнение металлической транстропной преграды при ударном нагружении
М.Н. Кривошеина, М.А. Козлова
Институт физики прочности и материаловедения СО РАН, Томск, 634021, Россия
В работе численно моделируется на основе уравнений механики сплошной среды динамическое нагружение металлической транстропной преграды стальными ударниками различной формы, но одинаковой массы. Скорости нагружения преграды составляют 300 и 600 м/с. Проведен анализ изменения в различных направлениях пределов текучести материала преграды в процессе его упругопластического деформирования при использовании модели изотропного упрочнения.
Ключевые слова: пластичность, динамическое нагружение, упрочнение, численное моделирование, анизотропия
Isotropic strengthening of the transtropic metal target under shock loading
M.N. Krivosheina and M.A. Kozlova
Institute of Strength Physics and Materials Science SB RAS, Tomsk, 634021, Russia
In the paper we use equations of continuum mechanics to numerically simulate dynamic loading of the transtropic metal target by steel strikers of different shape but similar mass. Loading rates comprise 300 and 600 m/s for the target. A model of isotropic strengthening is employed to analyze the yield stress variation in different directions during elastoplastic deformation of the target.
Ключевые слова: plasticity, dynamic loading, strengthening, numerical simulation, anisotropy
1. Введение
При математическом моделировании динамического нагружения элементов конструкций, выполненных из анизотропных металлических материалов, необходимо исследовать вклад анизотропии упругих и пластических свойств в итоговую картину деформирования таких материалов. В работе рассмотрено формирование зон изменения пределов текучести в начально анизотропном материале преграды при ее ударном нагружении.
Для конкретизации определяющих соотношений, описывающих поведение начально анизотропных упрочняющихся сред, применяются различные модели упрочнения материала. Наиболее широкое применение получили гипотезы изотропного, кинематического и комбинированного (изотропно-кинематического) упрочнения.
В законе изотропного упрочнения, предложенном Хиллом и Ходжем [1, 2], предполагается, что при пластическом течении поверхность текучести расширяется, сохраняя свою форму и положение относительно начала
координат в пространстве напряжений. Закон изотропного упрочнения не принимает во внимание наблюдающийся в рассматриваемых материалах эффект Баушин-гера. Идеальный эффект Баушингера учитывает закон кинематического упрочнения Прагера, который основан на том, что поверхность текучести по форме не изменяется, а перемещается как жесткое целое в направлении приращения пластической деформации. А.Ю. Иш-линский [3] предложил математическую теорию пластичности, учитывающую гипотезу кинематического упрочнения изотропного материала. Ю.И. Кадашеви-чем и В.В. Новожиловым [4] разработан другой вариант теории пластичности, основанный на положении о комбинаторике гипотез изотропного и кинематического упрочнения. В работе [5] изложен вариант обобщения теории Кадашевича-Новожилова, в рамках которого моделируется анизотропное упрочнение начально изотропного материала. Практическое применение в рамках теории течения этого варианта упругопластического
© Кривошеина М.Н., Козлова М.А., 2009
деформирования материала с анизотропно-трансляционным упрочнением связано с недостатком в научной литературе экспериментальных исследований скалярных и векторных свойств материалов.
Повсеместно вошло в практику введение геометрических образов в исследование соотношений между напряжениями и деформациями в пластической области [6]. Напряженное состояние представляется точкой в некотором шестимерном пространстве напряжений, каждая из осей которого соответствует одной из компонент тензора напряжения. Соотношения между напряжениями и деформациями в пластической области должны согласовываться с соответствующими соотношениями в упругой области в пограничном случае, когда точка, изображающая напряженное состояние, перемещается по некоторой поверхности текучести.
Теория для материалов с упрочнением разработана слабее, главным образом, вследствие большой сложности определения соотношений между напряжениями и деформациями. Проблема установления данных соотношений для материалов с упрочнением частично связана с описанием формы поверхности текучести и ее изменения в ходе процесса нагружения. Другая часть этой проблемы состоит в учете пластических деформаций.
При сложном нагружении материала форма и размеры поверхности текучести изменяются. В работе [7] приведены результаты экспериментального исследования нагружения трубчатого образца из технически чистого алюминия 1100-0. При совместном растяжении, кручении и внутреннем давлении построены трехмерные поверхности текучести. Начальные поверхности текучести практически совпадают с эллипсоидом Мизе-са. Показано, что форма и размеры поверхности пластичности претерпевают большие изменения (эффект Баушингера) и поперечного эффекта Баушингера не наблюдается. В экспериментах [8], в которых трубчатые образцы из технически чистого алюминия 1100-0 подвергали растяжению, кручению и нагружению внутренним давлением, наблюдается следующая закономерность изменения формы поверхности текучести: фронтальная поверхность текучести вытягивается, а тыльная поверхность становится более плоской (эффект Бау-шингера). При этом нет расширения поверхности текучести в поперечном направлении, т.е. нет поперечного эффекта Баушингера, а есть анизотропное изменение поверхности текучести и пределы текучести в различных направлениях изменяются с разной степенью.
Поскольку при ударном нагружении преграды кинематическое упрочнение материала преграды не влияет на торможение ударника [9], в данной работе рассмотрено формирование зон изменения пределов текучести в материале преграды в результате только изотропного упрочнения материала (на примере транстропного алюминиевого сплава Д16Т).
2. Упругопластическое деформирование ортотропных материалов с учетом изотропного упрочнения
Система уравнений, описывающая нестационарные адиабатные движения сжимаемой анизотропной среды, включает в себя [10]:
уравнение неразрывности Эр
дt
+ divpv = 0,
уравнения движения сплошной среды dvk дак
dt дх,
- + Fk
уравнение энергии
йЕ 1 ,
- = —а .
й: р у
Здесь р — плотность среды; V — вектор скорости; Fk — компоненты вектора массовых сил; ау — конт-равариантные компоненты симметричного тензора напряжений; Е — удельная внутренняя энергия; ву = = 1/2 (V V у + V у V,) — компоненты симметричного тензора скоростей деформаций; V, — компоненты вектора скорости; і, j = 1, 2, 3.
Введем предположения:
- полная деформация представима в виде суммы упругой и пластической деформаций,
- упругая деформация определяется с помощью обобщенного закона Гука,
- пластическое течение материала не зависит от гидростатического давления (такое предположение возможно для материалов, имеющих невысокую степень анизотропии упругих и пластических свойств),
- характеристики упругих свойств не зависят от пластических деформаций.
Упругое поведение материала описывается обобщенным законом Гука:
йа у й:
ук1вк1 ’
где СуЫ — компоненты тензора упругих постоянных.
Примем ассоциированный закон течения в виде: *=*■£- •
При упругой деформации параметр Л = 0, а при пластической всегда положителен, определяется с помощью условия пластичности; ёер — приращение пластической деформации; f— функция пластичности.
Давление как функция удельной внутренней энергии Е и плотности р для анизотропного материала определяется в зависимости от конкретных условий нагружения из уравнения состояния:
Р = Р(Р, Е).
В расчетах скорости нагружения составляют 300 и 600 м/с, при определении гидростатического напряжения используется модель баротропной среды.
Процессы нагружения и деформирования ортотроп-ного материала представляются в пятимерных векторных пространствах напряжений Si и деформаций Эг-Ильюшина. Вместо 6 зависимых между собой функций Sij вводятся 5 независимых функций Si так, чтобы преобразования были взаимнооднозначно линейными [6]. Преобразования компонент девиатора напряжений из шестимерного пространства в пятимерное записываются следующим образом [6]:
Я =
2
= л/2&
11,
S2 =л/2|
1
ГЯ11 + S22
S4 = л/2Я235 Я5 = у/2Я3
В формулах Si и Sij — компоненты девиаторов напряжений в пятимерном и шестимерном евклидовых вещественных пространствах соответственно. По такому же правилу происходит преобразование компонент де-виаторов деформаций, записанных в пятимерных и шестимерных пространствах.
Поскольку при принятых предположениях шести компонентам тензора напряжений могут быть в соответствие поставлены среднее гидростатическое давление и пять независимых компонент девиатора напряжений, то для ортотропных материалов, одинаково сопротивляющихся растяжению и сжатию, в пятимерном пространстве напряжений принимается начальное условие пластичности [11], записанное через девиаторы в пятимерном пространстве напряжений:
2
К С 2 с 2 Л
/ Я) =
Я32 Я42 +~+~+ г3 г4 г5
Г и с- — функции, связанные с пределами текучести материала в направлении осей анизотропии и пределами текучести при сдвиге в плоскостях осей анизотропии:
л/2а1Т (^2т + о"зт)
' + я! Л 2 + 2 + (1 -п)(ОД + С1Я1)
_ V Г г2 V 1 А )
С 2 ^ = 1 2 1
5
1Т 5
Л/16(ст1т )2
(ст2Т + СТ3Т
)2
= 42\
= 42л
г5 =42х
31Т 5
Ci = С (ст1Т 5 СТ2Т )-
Здесь стгТ — пределы текучести в направлении осей симметрии материала; т, т — пределы текучести материала при сдвиге в плоскостях анизотропии. Параметры, используемые в условии пластического течения упрочняющегося ортотропного материала, одинаково сопротивляющегося при растяжении и сжатии, определяются при нахождении в эксперименте следующих характеристик материала:
СТ1Т 5 СТ2Т 5 СТ3Т 5 Т12Т 5 Т23Т 5 Т31Т, Л-
Используемое условие текучести ортотропных материалов определяет в пространстве главных напряжений
цилиндрическую поверхность с образующей, параллельной гидростатической оси, и девиаторным сечением в виде выпуклого неправильного криволинейного шестиугольника. Условие текучести при варьировании константы (0 < п < 1) модифицируется при п = 1 в условие пластичности Мизеса-Хилла, либо при п = 0 в условие Треска, обобщенное на анизотропные материалы. Для условия пластичности Треска из предположения о том, что в анизотропном материале, как и в изотропном, сопротивление сдвигу пренебрежимо мало зависит от действия нормального напряжения, параллельного площадке сдвига, следует, что грани шестиугольной призмы должны быть параллельны проекциям соответствующих главных напряжений на девиаторную плоскость.
Так как в данной постановке принята модель изотропного упрочнения для описания эволюции поверхности текучести, уравнение последующих поверхностей нагружения имеет вид:
2
К е2 е2 Л
— (Я 5 R) =
гг2 гг2 гг2
+%+%+4 - «2=о-
г3 г4 г5
Для конструкционных сплавов в условиях статического нагружения функция R инвариантна к виду напряженного состояния [12]. Данная функция может быть определена из опытов на простое нагружение и линейно зависит от эффективной пластической деформации ^:
R(V) = 1 + ^¥, где у = | (¿Э рdЭ р )^ ; для рассматриваемых алюминиевых сплавов £ = 5.5.
В пятимерном пространстве закон Гука для анизотропных сред записывается в приращениях:
пЛ| ' Л + (1 -П)(ОД + С2Я2)
_ V ч Г12 ^ ,
¿я, = DJg (¿э к - аэ р) = ц
г
аэ к - ах
д—
Ж
Л
где j, к = 1, ..., 5; Ц, — компоненты матрицы упругих постоянных в пятимерном пространстве; Э и Эр — полная и пластическая деформации соответственно;
дЯ- дЯ1
дЯр дЯр
V у
где
др
дЯк
+ (1 -п)(С1Я1 + С2 Я2 )
+ 2(1 -п)Як при к = 1, 2;
д— С
— = 2-2 при к = 3, 4, 5;
д-к г,
нижние индексы ^у, к, I, п, т,р = 1, 5.
Напряжения, определенные в элементе, жестко повернутом в пространстве, пересчитываются с помощью производной Яуманна и приводятся к системе координат:
Цад ¿ад к дк
----=------- а ю - а кЮк 5
где Юу = 1/2<УдV -ViVд)-
3. Постановка задачи
Методом конечных элементов численно моделируется в трехмерной постановке нормальное ударное нагружение изотропными стальными ударниками транстроп-ной алюминиевой цилиндрической преграды [13].
Материал преграды — транстропный сплав Д16Т со следующими характеристиками (направление 1 соответствует направлению ударного нагружения и особой оси материала преграды ОХ): р = 2700 кг/м3, Ех = = 92.1 ГПа, Е2 = Е3 = 86.7 ГПа, у12 = 0.34, V 31 = 0.32,
^23
: 0.33, G]
12
- 31 ГПа, G23 = 33 ГПа.
Для описания пластического течения сплава Д16Т использовались константы: а1Т = 350 МПа, а 2Т = а3Т = = 290 МПа, т12Т = т13Т = 300 МПа, т23Т = 240 МПа, п = = 1. Здесь — модули Юнга; Од — модули сдвига; V у — коэффициенты Пуассона.
Толщина преграды составляет 30 мм. Нагружение преграды моделируется ударниками цилиндрической и сферической форм (рис. 1). Диаметры цилиндрических ударников составляют 7 и 4.94 мм, высоты цилиндров — 7 и 14 мм соответственно, диаметр сферического ударника — 8 мм. Все ударники имеют одинаковую
массу. Материал ударника — сталь 3, упругопластическое течение материала ударника описывается моделью Прандтля-Рейсса с использованием условия пластичности Мизеса. Предел текучести стали — 1 ГПа.
4. Результаты расчетов
Формирование зон изотропного упрочнения в материале преграды, возникающих вследствие ударного нагружения, зависит от физико-механических свойств материала преграды и кинематических и геометрических параметров ее нагружения. При применении ударников различной конфигурации, имеющих одинаковую массу и скорость удара, зоны упрочнения в материале преграды отличаются степенью упрочнения и объемной конфигурацией этих зон. В работе не рассматривается разрушение материала преграды с целью исключения влияния вида используемого анизотропного критерия разрушения на результаты расчетов. Поэтому рассматривается упругопластическое деформирование материала и в области, где материал мог быть разрушен.
Для случаев нагружения преграды ударниками различной конфигурации со скоростью 300 м/с кривые торможения ударников показаны на рис. 2. Отличия в конфигурациях ударников приводят к существенным различиям во временах отскока ударника и значениях накопленной пластической деформации в преграде и ударнике. Из трех представленных случаев на начальном этапе соударения минимальная площадь контакта с преградой возникает у сферического ударника, что приводит к заметному деформированию ударника и наименьшему торможению ударника в первые 5 мкс процесса соударения. Максимальное упрочнение материала преграды происходит при нагружении сферическим ударником. На рис. 3, а показаны в сечении зоны упрочнения материала преграды, причем максимальная накопленная пластическая деформация (в зоне преграды, примыкающей к контактной поверхности) составляет 0.2. Упрочнение материала преграды в случае ее нагружения сферическими ударниками достигает боль-
Рис. 1. Объемная начальная конфигурация ударника и преграды
Рис. 2. Кривые падения скорости ударников при взаимодействии с преградой
Рис. 3. Зона упрочненного материала в преграде при V = 300 м/с в зависимости от формы ударника
Рис. 4. Кривые падения скорости ударников при взаимодействии с преградой
10 0 0
: -0- __[]_
0.3
0.1
Рис. 5. Зона упрочненного материала в преграде при V = 600 м/с в момент времени 2 мкс в зависимости от формы ударника
ших глубин. Это объясняется малой контактной поверхностью в начале процесса соударения и распространением зоны упрочнения на начальном этапе вглубь преграды.
У компактного ударника на начальном этапе соударения максимальная контактная поверхность, поэтому торможение ударника происходит быстрее — за 8 мкс. После 20 мкс процесса, когда произошел отскок от преграды ударников всех форм, на рис. 3 показаны объемные конфигурации сдеформированных ударников и распределение зон упрочнения в сечениях преграды. Для случаев нагружения преграды цилиндрическими ударниками значения максимальной накопленной пластической деформации под ударником в преграде совпадают — 0.1, при этом область упрочненного материала преграды при нагружении компактным ударником увеличивается в 3-4 раза в глубину.
При нагружении преграды ударниками таких же конфигураций со скоростью 600 м/с кривые торможения ударников показаны на рис. 4. В этом случае наблюдается большая деформация всех видов ударников и первым происходит отскок от преграды ударника сферической формы. Площади контакта сферического и компактного ударников и преграды с течением времени сближаются и при одинаковой массе ударников кривые падения скорости ударников также сближаются.
В момент времени 2 мкс максимальная накопленная деформация в преграде наблюдается при нагружении сферическим ударником и составляет 0.22 (рис. 5, а). Объем зоны упрочненного материала преграды в момент времени 2 мкс максимален для компактного ударника (рис. 5, б). С течением времени зона упрочненного материала в преграде увеличивается при нагружении ее сферическим ударником (рис. 6, а). Это объясняется большей деформацией сферического ударника в начальный момент времени и, следовательно, увеличением контактной поверхности ударника и преграды. Из-за уменьшения значений пластических деформаций в преграде по мере удаления от контактной поверхности степень упрочнения материала преграды снижается, поэтому в этой части преграды предел текучести мате-
I
0 0 » щ Ы
0.1
0
Рис. 6. Зона упрочненного материала в преграде при V = 600 м/с в момент времени 5 мкс в зависимости от формы ударника
риала остается неизменным. В зонах преграды, где достигает 1.2, максимальная накопленная пластическая деформация в преграде достигает значения 0.22, константы условия пластичности г, связанные с пределами текучести материала во всех направлениях, увеличиваются в 2.1 раза. После 5 мкс процесса максимальная накопленная пластическая деформация в преграде наблюдается при нагружении сферическим ударником и составляет 0.27, в этом случае константы г увеличиваются в 2.5 раза. При этом в рамках модели изотропного упрочнения материала изменение предела текучести происходит одновременно и на растяжение, и на сжатие. Для ударников удлиненной формы отделение от преграды происходит после 18 мкс процесса, при этом объем упрочненного материала преграды минимален. Для случаев удлиненных ударников в отличие от сферического ударника контактная поверхность ударника и преграды увеличивается медленнее (рис. 5, в). При этом максимальный уровень накопленной пластической деформации после 5 мкс процесса достигает 0.2. Предложенный подход применим для невысоких скоростей нагружения преград (до 600 м/с) и масс ударников и позволяет прогнозировать упрочнение материала преграды до наступления его разупрочнения и разрушения.
5. Вывод
В рассматриваемом диапазоне скоростей нагружения (300-600 м/с) с увеличением скорости нагружения объем упрочненного материала в преграде увеличивается при прочих равных условиях с увеличением площади контактной границы ударника и преграды.
Работа выполнена по проекту 3.6.1.2 программы
фундаментальных исследований СО РАН и при частичной поддержке гранта РФФИ № 08-08-90008-Бел_а.
Литература
1. Хилл Р. Математическая теория пластичности. - М.: Гостехиздат,
1956. - 407 с.
2. Прагер В., Ходж Ф. Теория идеально пластических тел. - М.: Иностр. литература, 1963. - 311 с.
3. Ишлинский А.Ю., Ивлев Д.Д. Математическая теория пластичности. - М.: Физматлит, 2001. - 704 с.
4. Кадашевич Ю.И., Новожилов В.В. Теория пластичности, учитывающая остаточные микронапряжения // ПММ. - 1958. - Т. XXII. -Вып. 1. - С. 78-89.
5. Бондарь В.С., Фролов А.Н. Математическое моделирование процессов неупругого поведения и накопления повреждений материала при сложном нагружении // Изв. АН СССР. МТТ. - 1990. -№ 6. - С. 99-106.
6. Ильюшин А.А. Пластичность. Основы общей математической теории. - М.: Изд-во АН СССР, 1963. - 271 с.
7. Phillips A., Kasper R. On the foundations of thermoplasticity. An experimental investigation // J. Appl. Mech. - 1973. - P. 891-896.
8. Phillips A., Tang J.-L. The effect of loading path on the yield surface at
elevated temperatures // Int. J. Solids Struct. - 1972. - V. 8. - P. 463474.
9. Козлова М.А. Упрочнение анизотропных материалов при динамических нагрузках / Автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук. - Томск: ИФПМ СО РАН, 2007. - 149 с.
10. СедовЛ.И. Механика сплошных сред. - М.: Наука, 1976. - Т. 2. -574 с.
11. Косарчук В.В., Ковальчук Б.И., Лебедев А.А. Теория пластического течения анизотропных сред. Сообщение 1. Определяющие соотношения // Проблемы прочности. - 1986. - № 4. - С. 50-56.
12. Косарчук В.В., Ковальчук Б.И., Лебедев А.А. Экспериментальное исследование законов упрочнения начально анизотропных материалов // Проблемы прочности. - 1982. - № 9. - С. 3-9.
13. Кобенко С.В., Радченко А.В., Кривошеина М.Н. Разрушение ор-тотропной преграды при различной ориентации свойств материала // Физ. мезомех. - 2004. - Т. 7. - Спец. выпуск. - Ч. 1. - С. 293296.
Поступила в редакцию 21.07.2008 г., после переработки 28.10.2008 г.
Сведения об авторах
Кривошеина Марина Николаевна, к.ф-м.н., старший научный сотрудник ИФПМ СО РАН, тагта_пгк@таИ.т Козлова Мария Александровна, к.ф-м.н., младший научный сотрудник ИФПМ СО РАН, [email protected]
