CC BY
29
= - Я Ф° sincp d\\i скр + cosip (сЛ|/ + dtp ей/1) = £2". (8)
Таким образом, нахождение поступательного перемещения твердого тела вдоль связанной оси г в результате ее движения по линейчатой замкнутой поверхности сводится к вычислению криволинейного интеграла второго рода (7) или поверхностного интеграла (8). Отметим, что формула (8) может быть также получена из формулы (7) с помощью формул Стокса и Грина.
Среди важных приложений теоремы о дуальном телесном угле и полученных формул отметим задачи пространственной инерциальной навигации, а также задачи механики пространственных механизмов и роботов-манипуляторов, в особенности механизмов с винтовыми кинематическими парами, в которых непосредственно реализуются повороты на дуальные углы. В этих задачах полученные формулы могут быть использованы для оценки поступательных перемещений движущихся объектов и выходных звеньев механизмов и манипуляторов в случаях, когда они совершают описанные неголономные пространственные движения.
Другим важным примером являются задачи навигации и управления движением, в которых информация о кажущемся ускорении и кажущейся скорости движущегося объекта используется как для целей навигации, так и управления движением.
УДК 593.3
В. П. Черненко, Н. С. Анофрикова
УРАВНЕНИЕ ПОГРАНСЛОЯ ДЛЯ ВЯЗКОУ1ТРУ1 ОГО СТЕРЖНЯ В ОКРЕСТНОСТИ ФРОНТА ВОЛНЫ С ДЛИТЕЛЬНОЙ СКОРОСТЬЮ
Рассмотрим тонкий вязкоупругий полубесконечный стержень цилиндрической формы. Пусть стержень подвергается ударному торцевому воздействию. Краевая задача, описывающая данный тип воздействия, имеет вид [1]
да(х,е) д2и(х,1) _
ох
du(x,t) _ 1 дх Е
с граничным условием
и начальными условиями
дг
^О,
а(.т,г) + \K(t - t. )a(.v,f„) dl,
о
a(0,f ) = /#(/)
(1)
(2)
ofcoM. aaf^ = o, (3)
ot
где и - перемещение, о - напряжение, х - продольная координата, t -время, р - плотность материала, / - амплитуда воздействия, Е - мгновенный модуль упругости, H{l) - единичная функция Хевисайда, К(г-и) -разностное ядро ползучести Работнова, которое имеет вид [2]
оо ( пУ,и/2
= (4)
я=о +1). 2 J
где (3 > 0, к > 0 - параметры материала, Г[ ■ ] - гамма-функция.
Подставляя второе уравнение системы (1) в первое уравнение той же системы, получим следующее разрешающее уравнение относительно напряжения:
-,2 з2 I
с <У р о а р д с \ t \ ,
—=- - ^г—у- - -zr—y J А (/ - U )а (.х, и )dt* = 0 . (5)
схг Е дг Е дг о В уравнении (5) перейдем к безразмерным переменным и безразмерному напряжению по формулам
х — сТк, t = Ткх, ст = Еа . (6)
где с=у]Е/р — мг новенная скорость, Тк=\/к2 - масштабный множитель, имеющий размерность времени. Получим разрешающее уравнение в следующем виде
^2 « т2 * ~2
о а ост о
,, \К,(х-х,)а£,х»)с1х. = 0, (7)
дс, сх ах~ (,
й=0ГК« + 1)/2]
В дальнейшем для простоты опустим звездочки у безразмерных величин.
Переходя в уравнении (7) к изображениям по Лапласу по переменной х, представляя изображение разностного ядра А' в виде ряда
ас 1 )П
к = X Vй-. (8)
а"
п=а р
после возвращения к функциям-оригиналам получим д2о 1 с2ст I 82
дс,2' к2с дх2 Р дх2
где к2 =Р/(Р + 1), О" 2 — оператор дробного дифференцирования [3].
Рассмотрим данную задачу при больших значениях времени, т.е. когда т»1. Вводим масштабированные переменные в соответствии с характерным масштабным временем Т»1, т.е.
203
уН1о"'2ст tx Р"
О, (9)
т = 7т
Т '
5 = ^7-,
(Ю)
где тг и - величины порядка единицы. Тогда разрешающее уравнение (9) относительно напряжения примет вид
д2а
1 о а
к,„2 дх27
1 д* РЗт \
ИГ
У
р"
1 п"</2„ тЫ2°Т С
= 0,
(И)
<'ЧГ «-С
где Ог - оператор производной по переменной хт.
Для получения уравнения погранслоя в окрестности фронта волны с длительной скоростью введём в рассмотрение характеристические переменные
У = Т^(тт-^т!кс\ т, =тг. (12)
Тогда уравнение (11) в характеристических переменных примет вид
2-^- + 8у&11
1 д2а
Т^ дг2 + Р
8' 2
+-
I
(-1)" 1 (А
дV2 ' Туз фй, V й,3 J
я/2
= о.
(13)
р" г(«-0/з (у/з
Оставляя в уравнении (13) члены порядка преобразуя
асимптотически второстепенные члены с учётом соотношения между асимптотически главными, интегрируя полученные уравнения по у и возвращаясь к масштабированным переменным (10), получим следующее со-
отношение:
, са да К—— +
1
кг 8 ^ 3 Э
1
-£>гст = 0.(14)
д1? 2р(р + 1)^2 ' 2дгт)т1'2 ' " 2р2(р+1)Гаг/
Возвращаясь в соотношении (14) к исходным переменным и записывая его без дробных производных, получим уравнение погранслоя в окрестности фронта волны с длительной скоростью:
1 д2о кг д V 1 со
, да да
.¡7
д£ дх 2р2(р + 1)5т2 4р(р + \у[к <?То(т - т.)1'2 д^
3
ек.
с2 | ай т»
- 0.
(15)
4Р(Р + 1)л/тг Зт2 ¿(т - х»)1'2 Порядок уравнения (15) на единицу меньше порядка точного уравнения (7). Кроме того, вместо ядра Работнова (уравнение (7)) мы имеем более простое ядро Абеля (уравнение (15)).
Решая уравнение (15) с помощью интегрального преобразования Лапласа по переменной т, получаем следующее выражение для напряжения:
I
ст = —
Е
Гг1 -- I ехр
п ¿р
(
р + В1р2
с У 204
ип (л$р32)ф
(16)
А =
2P(P + 1R. ' В 8p2(p + l)4
4Р + 3
Полученное решение (16) уравнения погранслоя в окрестности фронта волны с длительной скоростью (15) совпадает с асимптотикой решения точного уравнения, полученной в [1].
1, Коссович Л. Ю.. Сухоловская М. С. Решение задачи о нестационарных продольных волнах в тонком вязкоупругом стержне .// Механика деформируемых сред: Межвуз. сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2002. Вып. 14. С. 93 - 98.
2, Работное Ю. Н. Элементы наследственной механики твердых тел. М.: Наука, 1974. 338 с.
3, Rossikhin Yu. A., Shitikova М. V. Applications of fractional calculus to dynamic problems//Appl. Mech. Rev. 1997. Vol. 50, № 1. C. 16- 18.
В статье метод Давыдова численного решения сложных задач механики сплошных сред [1,2] обобщается на случай произвольной сетки.
Плоский случай
Рассматриваются краевые задачи для системы уравнений Эйлера нестационарного невязкого газа [1, 2]. При численном решении методом Давыдова схема расчёта разбивается на три этапа, но сетка теперь треугольная, что позволяет адаптироваться к произвольному обтекаемому телу и реализовать на теле граничное условие непротекания.
Выпишем разностные схемы метода Давыдова для случая треугольных крупных частиц. Все вычисляемые газодинамические параметры (плотность, скорость, полная энергия, давление) относятся к геометрическим центрам треугольников.
Укороченные дифференциальные уравнения эшерова этапа
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
УДК 533.6.011
С. II. Шевырёв
РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ МЕТОДА ДАВЫДОВА НА ПРОИЗВОЛ ЬНОЙ СЕТКЕ
р—+ ._£_ dt дх
дЕ дри Ят
+
