CC BY
27
Пзвестпя Саратовского университета. 2005. Т. 5. Сер. Математика. Механпка. Информатика, вып. 1
НАУЧНЫЙ ОТДЕЛ
МЕХАНИКА
УДК 593.3
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ РЕШЕНИЙ В ОКРЕСТНОСТЯХ ФРОНТОВ ВОЛН В ВЯЗКОУПРУГОМ СТЕРЖНЕ ПРИ БОЛЬШИХ ЗНАЧЕНИЯХ ВРЕМЕНИ
H.С. Анофрикова, Л.Ю. Коссович, В.П. Черненко
Саратовский государственный университет,
кафедра математической теории упругости и биомеханики
E-mail: [email protected]
Рассматривается задача о распространении нестационарных продольных волн в вязкоупругом стержне при больших значениях времени. С помощью асимптотических методов выводятся уравнения погранслоев в окрестностях фронтов волн с длительной и мгновенной скоростями, строятся их решения.
Asymptotic methods for obtained solutions in vicinities of wave fronts in viscoelastic rod at large time
N.S. Anofrikova, L.Yu. Kossovich, V.P. Chernenko
Non-stationary longitudinal waves in viscoelastic rod at large time are considered. Equations for the wave fronts are derived by means of asymptotic methods. Solutions of these equations are obtained.
I. Постановка задачи
Рассмотрим тонкий вязкоупругий полубесконечный стержень цилиндрической формы. Вязкоупругие свойства материала будем описывать с помощью определяющих соотношений, взятых в интегрально-операторной форме [ 1 ]. Пусть стержень подвергается ударному торцевому воздействию. Краевая задача, описывающая данный тип воздействия, имеет вид
da(x.t) d2u(x,t)
— р——- = 0 .
Эх
Э t2
Э u(x,t) 1 дх
с граничным условием
I
a (х, t) + J К (t - и) о (х, t) dtt
(1.1)
а (0 ,t) = lH{t)
и начальными условиями
ст(х,0) = 0, \ =0, at
(1.2)
(1.3)
где и - перемещение, a - напряжение, х - продольная координата,
£ - время, р- плотность материала, / -амплитуда воздействия, Е - мгновенный модуль упругости, Н(С) - единичная функция Хевисайда, К^ - и) — разностное ядро ползучести Работнова, которое имеет вид
" )"<"2 (1.4)
K(t) = kt~xl2У у, ;,-.»
1; а [(й+1)/2]
где /? > 0, к > 0 - параметры материала.
Подставляя второе уравнение системы (1.1) в первое уравнение той же системы, получим следующее разрешающее уравнение относительно напряжения:
В уравнении (1.5) перейдем к безразмерным переменным по формулам
х = сТк%Л = Ткт,и=сТки,сг = Ео-\ (1-6)
где с = у[е]~Р - мгновенная скорость, Тк = 1/к1 - масштабный множитель, имеющий размерность времени. Получим разрешающее уравнение в следующем виде:
= (1.7)
дс, дт дт ^
- (-R \"т"'2
В дальнейшем для простоты опустим звездочки у безразмерных величин.
Анализ свойств решений для нестационарных волн показывает, что напряжённо-деформированное состояние (НДС) для фиксированного времени г = const »1 можно расчленить на четыре зоны применимости различных типов асимптотик (рис. 1): I - зона квазиупругого решения, II - погранслой в окрестности фронта волны с длительной скоростью сх - (1 + к!/3)ла с (квазифронт), III - зона малоамплитудного решения, IV - погранслой в окрестности фронта волны с мгновенной скоростью с [2].
а 1 к
I \ III IV -w
4
Рис. 1
В статье [2] точное решение исходной краевой задачи (1.1)-(1.3) было получено с помощью интегрального преобразования Лапласа. Обращение изображения производилось путём
Известия Саратовского унпверсптета. 2005. Т. 5. Сер. Математпка. Механика. Информатика, вып. 1
деформирования первоначального контура интегрирования, в результате чего был получен следующий оригинал решения:
/
a = — Е
, 1 Г 1
1--— ехр
л{ р
р + Р{Р+\) + ((р + рг)(р + {Р+\)2))
1/2 \
X
xsm
£1
-р-Р(Р + \)+({Р + Р2)(Р + (Р + 1)2
1/2 Ч1/2
dp
(1.8)
2. Уравнение погранслоя в окрестности фронта волны с длительной скоростью
Получим уравнение погранслоя в окрестности фронта волны с длительной скоростью (зона П, см. рис. 1). Дадим определение дробной производной Эги от функции и порядка /[3]:
Dru =
d г и (г.) <*тоГ(1-у)(т-т.)
d"\ и (т.) J
dT о Г(и-у)(т —т.)
-dr„ 0</<1
—rdx,, у> 1
у-п+1 ' '
(2.1)
и формулу для преобразования Лапласа дробных производных:
—у у
D 11 = s и,
(2.2)
где 5 - параметр преобразования Лапласа по переменной г, черта означает изображение соответствующей функции.
Запишем уравнение (1.7) в изображениях Лапласа по переменной г:
d2a d?
-s2o -s2K a =0,
(2.3)
где а, К =(р + - изображения по Лапласу а и К соответственно [1]. Представим изображение разностного ядра К в виде ряда:
á Р" '
(2.4)
Возвращаясь в уравнении (2.3) к функциям-оригиналам и учитывая формулу (2.2) для изображения (2.4), получим
Э2С7 1 Э2сг 1 Э2
Э£2 к] Эг2 р Эг2
tí Р"
= 0
(2.5)
щек2=р/(р + \).
Рассмотрим данную задачу при больших значениях времени, т.е. когда г» 1. Вводим масштабированные переменные в соответствии с характерным масштабным временем Т» 1, т.е.
' ■. т = Ттт, £ = Т£т, (2.6)
где тт и - величины порядка единицы. Тогда разрешающее уравнение (2.5) относительно напряжения примет вид
д2а 1 Э2
1 Э2
К Эт2 р дт\
13 Ря Т
я/2
= 0
(2.7)
где Ит - оператор производной по переменной тт.
Введём в рассмотрение характеристические переменные
Тогда уравнение (2.7) в характеристических переменных примет вид
д\
1 Э2сг к2.
( -\1
' дудт1 Г1/3 дт2 р
1 Э
ду2 Т13 дудт, Т2/Зд т,
2 Л
+ ■
(-1)" 1 (о
,„/2
13 Р" Г
,(п-1)/3
_Т_
2-1/3
(2.8)
= 0. (2.9)
Оставляя в уравнении (2.9) члены порядка 0(1/Г1/3) и преобразуя асимптотически второстепенные члены с учётом соотношения между асимптотически главными, получим
д2а
( Э2 3 + •
э2 Уд
\1/2
ЭуЭт, Р(Р + 1){ду2 2Г1/3 ЭуЭт,
■'т
сг +
1 Э2
/?2(/3 + 1)Г1/3 ду2
рт
2*1/3
V /
С7 = 0
(2.10)
Интегрируя (2.10) по и возвращаясь к масштабированным переменным (2.6), получим следующее соотношение:
1
, Э а да к.-+ ■
1
(К д ^ 3 Э
1 1 Э 2/32(/3 + 1)7э^а = ° (2Л1)
д%т дтт 2(3((3 + \)у 2 д<;т 2 дт{ )Т1/2 т
Возвращаясь в соотношении (2.11) к переменным Е, и г, записывая его без дробных произ водных с учётом (2.1), получим уравнение погранслоя в окрестности фронта волны с длитель ной скоростью:
к д тг 1 да
7 да да к„ — + —+
Э2ст
_____Г 1
д^ дт^ 2р2{р + \)дт2 4р(р + \)^дт 1(т-т,)1/2
-с1т, —
Г СГй?Т»
4р(р + 1)^ дт2{(т-т,)
(2.12)
Порядок уравнения (2.12) на единицу меньше порядка точного уравнения (1.7). Кроме того, вместо ядра Работнова (уравнение (1.7)) мы имеем более простое ядро Абеля (уравнение (2.12)).
Известия Саратовского университета. 2005. Т. 5. Сер. Математика. Механика. Информатика, вып. 1
Решая уравнение (2.12) с помощью интегрального преобразования Лапласа по переменной т, получим следующее выражение для изображения напряжения:
о =1 - ехр
5
1-
5 40(0 + 1) 202(0 + 1)
1-
40(0 + 1)
(2.13)
где I* = НЕ.
Раскладывая показатель степени экспоненты в выражении (2.13) в ряд по положительным степеням параметра 5 и ограничиваясь двумя членами разложения, получим окончательное выражение для изображения напряжения:
- г* 1 <т — / — ехр
к
„3/2
- +
40 + 3
20(0 + 1) 802 (0 + 1)2
(2.14)
С помощью метода контурного интегрирования [2] получаем следующий оригинал изображения (2.14):
СУ — I
1 171
1--— ехр
яоР
(
\ \
А
\\
Р + В^р'
/-1
$ т(Л£ру2)ф
(2.15)
А =
В =
40 + 3
20(0 + 1)*, 802(0 + 1)Ч
Решение (2.15) уравнения погранслоя в окрестности фронта волны с длительной скоростью (2.12) совпадает с асимптотикой точного решения (1.8) в зоне II, полученной в [2].
На рис. 2 представлены графики зависимости приведенных значений напряжения о/Т* от продольной координаты £ для г = 100, /?= 1. Сплошная линия соответствует графику точного решения (формула (1.8)), пунктирная линия - графику приближённого решения (формула (2.15)).
Рис. 2
3. Уравнение погранслоя в окрестности фронта волны с мгновенной скоростью
Получим уравнение погранслоя в окрестности фронта волны с мгновенной скоростью (зона IV, см. рйс. 1). Данную задачу будем также рассматривать при больших значениях времени, т.е. когда г» 1. Введем в уравнении (1.7) масштабированные переменные (2.6) в соответствии с характерным масштабным временем Г» 1. Тогда разрешающее уравнение (1.7) запишется в виде
1
'ЭЧг
Э2сП 1 Э2
Э£/ Эт7
Т дтт2 0
¡к[т(тг-т;)]ст(г4г,гт;)с/т;=о.
(3.1)
Введём в рассмотрение функцию
Ф^г,тг)=Г2]к[т(тг-т'т)]ст^гУг)с/т^
(3.2)
Интеграл в соотношении (3.2) равен нулю в пределах от 0 до так как для соответствующих значений времени фронт волны ещё не дошёл до рассматриваемой точки. Величина этого интеграла пропорциональна величине промежутка тт), имеющего порядок 0(1/Т), следовательно интеграл также имеет порядок 0(1/Т).
Введём характеристические переменные
у = Т(тт-£т), г, =тг. Уравнение (3.1) в характеристических переменных примет вид
„ д2ст 1 д2а д2Ф 2 д2Ф 1 Э2Ф л
2 —— + — —г + —- + — —— + — -—г = 0
(3.3)
(3.4)
дудт, Т Эт, ду Т дуд т, Т Эт,
Оставляя в уравнении (3.4) члены порядка 0(1/Т) и преобразуя асимптотически второстепенные члены с учётом соотношения между асимптотически главными, получим
д2а 3 д2Ф 1 д2Ф
= 0
(3.5)
дудт, 4Т дудт, 2 ду2
Интегрируя (3.5) noy и возвращаясь к масштабированным переменным (2.6), получим следующее соотношение:
да да 1 ЭФ 3 ЭФ ^ ■ + -— +--+--= 0.
Э£г дтт 4Т д£т 4Т дтт
(3.6)
Разложим разностное ядро Работнова в ряд по степеням (ту - ту) внутри малого промежутка тт):
1
TVlyfñ(ту -ту)
/3 + 0
ТУ2(тт-т*т)
1/2
(3-7)
Возвращаясь в соотношении (3.6) к переменным г, учитывая асимптотику (3.7), получим уравнение погранслоя в окрестности фронта волны с мгновенной скоростью:
да да /ГгЭст, 30 1 г
— +--— —dr,——а + —
Э£ Эт 4{д% 4 J
1 j 3 Э Г 1 , л
Извести Саратовского университета. 2005. Т. 5. Сер. Математика. Механика. Информатика, вып. 1
Порядок уравнения (3.8) на единицу меньше порядка точного уравнения (1.7). Кроме того, вместо ядра Работнова (уравнение (1.7)) мы имеем более простое ядро Абеля (уравнение (3.8)).
Решая уравнение (3.8) с помощью интегрального преобразования Лапласа по переменной г, получим следующее выражение для изображения напряжения:
/
- г*1 a -1 -ехр
s
1 +
v
J5__3/3
4 Vs 4s
i+ ' -Л
4 y/s 4 5
£
(3-9)
Раскладывая показатель степени экспоненты в выражении (3.9) в ряд по отрицательным степеням параметра 5 и ограничиваясь двумя членами разложения, получим окончательное выражение для изображения напряжения:
-
су — 1 -ехр s
(
s + -
Л
/ -J
ехр
1+1 2 8
(3.10)
Пользуясь таблицей преобразования Лапласа [4], получим следующий оригинал изображения (3.10):
( к \
(7-1 ехр
erfc
2 °°
erfc[x) = -j= Jexp(—x2^dx
(3.11)
Получившееся решение (3.11) уравнения погранслоя в окрестности фронта волны с мгновенной скоростью (3.8) совпадает с асимптотикой точного решения (1.8) в зоне IV, полученной в [3].
На рис. 3 представлены графики зависимости приведенных значений напряжения о/Г от продольной координаты £ для т= 10. /?= 1,25. Сплошная линия соответствует графику точного решения (формула (1.8)), пунктирная линия - графику приближённого решения (формула (3.11)).
Библиографический список
1. Работное Ю Н. Элементы наследственной механики твердых тел. М., 1974.
2. Коссоеич Л.Ю., Сухоловская М.С. Решение задачи о нестационарных продольных волнах в тонком вяз-коупругом стержне //Механика деформируемых сред: Межвуз. науч. сб. Саратов, 2002. Вып. 14. С. 93-98.
3. Rossikhin, Shitikova. Applications of fractional calculus to dynamic problems //Appl. Mech. Rev. 1997. V. 50, №1.C. 16-18.
4. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и таблицами. М., 1979.
