Уравнение изменения массы фазы в аккумуляторе теплоты фазового перехода Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 536.24

Уравнение изменения массы фазы в аккумуляторе теплоты фазового перехода

© Н.А. Россихин МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, 105005, Россия

Для проточного аккумулятора теплоты фазового перехода предложено понятие удельной (на единицу длины) массы теплоаккумулирующего материала и выведено уравнение изменения фазового состава в процессе зарядки или разрядки. С его помощью в рамках одномерной квазистационарной модели могут быть рассчитаны массы жидкой и твердой фаз в процессе фазового перехода в условиях заданной тепловой нагрузки, определяемой временным графиком изменения температуры на входе.

Ключевые слова: аккумулятор теплоты, зарядка, разрядка, фазовый переход, жидкая фаза, твердая фаза.

Аккумуляторы теплоты фазового перехода (АФП) в настоящее время находят все более широкое применение. Особенно они эффективны в гелиоустановках, поскольку позволяют использовать теплоту низкопотенциальных источников, обеспечивающих небольшие температурные напоры.

Пример применения АФП капсульного типа в вентиляционно-отопительной системе, использующей солнечную энергию, накопленную в период инсоляции, для ночного отопления можно найти в [1]. В этой системе воздух, поступающий в здание извне, проходит через солнечный коллектор, и в период поступления солнечной энергии нагревается, в результате чего осуществляется зарядка аккумулятора. Его разрядка происходит при отсутствии инсоляции, когда температура воздуха на входе в АФП меньше температуры фазового перехода теплоаккумулирующего материала (ТАМ). При этом ТАМ подобран таким образом, чтобы воздух на выходе из АФП обеспечивал комфортные условия — температура его фазового перехода равна 20 °С.

В [1] приведена формула распределения температурного поля на участке АФП, основанная на допущении о стационарности потоков теплоты от теплоносителя к ТАМ. Ее можно применить на длине АФП по ходу теплоносителя от поперечного сечения на входе до любого другого:

(1)

с ppVR

Здесь Т(х, т) — средняя по поперечному сечению температура теплоносителя в АФП (см. рисунок); х — координата на оси, направленной вдоль потока теплоносителя; Тф — температура фазового перехода ТАМ; Твх(т) — температура теплоносителя на входе в АФП (Т(0, т) = = Твх (т)); А(х) — общая площадь внешней поверхности капсул в АФП от входа до поперечного сечения с координатой х; ср — изобарная массовая теплоемкость теплоносителя, Дж/(кгК); р — плотность теплоносителя, кг/м3; V — объемный расход теплоносителя, м3/с; Я — термическое сопротивление между потоком теплоносителя и поверхностью фазового перехода ТАМ по потоку теплоты, отнесенному к площади внешней поверхности капсул А(х), м2 К/Вт. Оно определяется соотношением

0 _ Т(х, т) - Тф

A(x) R

где Q — тепловой поток от теплоносителя к поверхности фазового перехода.

Для сферических капсул диаметром D

A(x) = 6Ас (1 - e)x/D, (2)

где Ас — площадь поперечного сечения проточной части АФП; е — пористость при заполнении пространства АФП сферическими капсулами.

Из (2) видно, что при неизменных значениях площади поперечного сечения Ас, пористости е и диаметров шаров D величина A(x) пропорциональна x, т. е. A(x) = bx, где b — постоянная величина. Формула (1) выведена при условии постоянства параметров b, cp, р, R, Твх. Для этого случая b = A' = const, где A' — производная функции A(x).

В [1] перечислены допущения, позволяющие прийти к уравнению (1), выражающему изменение средней по поперечному сечению АФП температуры теплоносителя вдоль оси x:

• рассматривается одномерный теплообмен в потоке теплоносителя (T(x, y, z, т ) = T(x, т ));

• тепловой поток через поверхность шара является однородным;

• плавление и затвердевание происходят при одинаковой постоянной температуре ТАМ;

• изменение теплофизических свойств не учитывается;

• все капсулы одинаково заполнены ТАМ.

В то же время уравнение (1) пригодно, когда температура Твх(т) и термическое сопротивление R(x, т) являются медленно изменяющимися функциями и в каждый момент времени температурные поля в

АФП близки к стационарным. В этом заключается квазистационарный поход к решению задач стефановского типа, разработанный для задачи промерзания грунта [2] и в дальнейшем применявшийся для решения других подобных задач. В случае очень быстрого изменения температуры на входе эта зависимость оказывается непригодной и требуется использование нестационарной модели теплообмена.

Распределение температуры теплоносителя и удельной массы расплавившегося ТАМ в проточном АФП в процессе зарядки

Общее термическое сопротивление

Я = Ят + Яоб + Ятам,

где Ят = 1/а — термическое сопротивление между потоком теплоносителя и поверхностью капсул, а — коэффициент теплоотдачи; Яоб — термическое сопротивление оболочки капсулы; ЯТАМ — термическое сопротивление между внутренней поверхностью капсулы и поверхностью фазового перехода в ТАМ.

Коэффициент а определяется с использованием известных критериальных зависимостей. Наличие временной зависимости Rta.m(x, т) связано с тем, что в капсулах с ТАМ происходит фазовый переход. В то же время Rq6 = const, и также можно считать, что Rt = const.

При плавлении ТАМ термическое сопротивление Rta.m(x, т) « « const, что связано с наличием конвективной составляющей тепло-переноса в жидкой прослойке между оболочкой капсулы и поверхностью фазового перехода. При этом осуществляется контактное плавление — твердая часть тонет и ее нижняя часть находится в непосредственной близости к внутренней поверхности оболочки.

В процессе затвердевания можно считать R-^Мт) « const, когда используются капсулы небольшого размера или рассматривается начало процесса и толщина затвердевшей корки ТАМ невелика.

При выводе уравнения (1) не учитывается теплота, идущая на изменение температуры в фазах ТАМ, доля которой заметна в начале процесса зарядки или разрядки, когда осуществляется начальный прогрев или охлаждение ТАМ. Однако по сравнению с теплотой, затрачиваемой на фазовый переход, она значительно меньше.

Для полного описания процесса в АФП уравнение (1) следует дополнить соотношением для определения массы ТАМ, изменившего в процессе фазовое состояние — расплавившегося или затвердевшего в зависимости от режима работы аккумулятора.

Рассмотрим изменение параметров в АФП на участке dx (см. рисунок). Поток теплоты через поверхность капсул в АФП в слое толщиной dx определяется соотношением

Использование модуля позволяет объединить в одной формуле режимы зарядки и разрядки.

Вследствие подвода (отвода) теплоты йт осуществляется фазовый переход:

Здесь йМ — уменьшение массы фазы ТАМ за время йт; 0ф — теплота фазового перехода. В соотношении (4) считаем > 0. Знак минус в формуле означает, что количество твердой или жидкой фазы (соответственно при зарядке или разрядке) уменьшается, процесс начинается со стороны оболочки капсулы с ТАМ. Из (3) и (4) следует

(3)

dQd т = —9фйМ.

(4)

Отсюда получается дифференциальное соотношение для расчета изменения удельной (на единицу длины) массы фазы ТАМ:

йш = _ \Т(хт) -Тф\ а

йт бфЯ , ( )

. йМ . 4

где ш( х, т) =- — удельная (по длине АФП) масса оставшейся по-

йх

сле фазового перехода части ТАМ. Подстановка (1) в (5) дает

dm

|Гвх (т)- Тф| exp [- Ах 1 eppVR

У А'

dT QфR

A'. (6)

Необходимо отметить, что Гвх(т) — известная зависимость температуры от времени, а термическое сопротивление R зависит от перемещающейся во времени поверхности фазового перехода, положение которой определяется условиями теплообмена в АФП. В соответствии с этим происходит убыль количества фазы Мк(х, т), жидкой или твердой, прилегающей к поверхности оболочки капсулы. Здесь Мк(х, т) — масса фазы в одной капсуле. Соответственно получается однозначное соответствие между термическим сопротивлением RrAM и Мк, а именно RтАм = RтАм (Мк).

Можно совершить переход к зависимости RrAM от m. Для этого рассмотрим массу фазы М в объеме Ас dx (см. рисунок):

dM = Мк dn = Мк n'dx, (7)

где dn — число капсул в объеме Ас dx; n = — — число капсул, при-

dx

ходящееся на единицу длины АФП. Из(7)следует

»✓ m

Мк =—, n

и можно записать, что R-ам(m/n). Поскольку площадь Ас постоянна и пористость по объему АФП не изменяется (считаем, что капсулы одинаковые и одинаково уложены), то n = const, так что общее термическое сопротивление зависит только от удельной массы фазы ТАМ:

R(m) = R c + R об + R-ам (m / n).

Считаем, что Rc +Яоб = const. Поэтому в наиболее общем виде решение уравнения (6) может быть получено, если учесть изменение термического сопротивления в процессе, т. е. используя зависимость R(m(x, т)). Применим метод разделения переменных к уравнению (6):

m ( A'x Л A' т

IR(m)exp [ cppvRm)dm=-& |(т)-7ф d (8)

Отсюда с использованием конкретного выражения R(m) можно получить зависимость m(x, т).

Выведем зависимость термического сопротивления от удельной массы m при режиме разрядки АФП для капсул сферической формы. В этом случае на внутренней стороне оболочки капсулы образуется корка, толщина которой увеличивается с течением времени. Следует иметь в виду, что из-за неравномерности условий нагрева ее толщина может сильно изменяться по поверхности оболочки, но для вывода необходимых соотношений будем считать это изменение не слишком значительным и использовать ее среднюю толщину, определяемую диаметром Дф.

Сначала определим связь между m и Дф, которая получается из геометрических соображений. Отношение объема незатвердевшей фазы ТАМ к его объему внутри капсулы

Уф = Дф К D3.

Для слоя АФП объемом АсОг это отношение записывается как

йУфАФП _ Щф

(1 -е) Ас йх Щ3'

где й¥фАФП — объем жидкой фазы.

С использованием этого выражения запишем

йМ йУфАФП ,л . , Щ

т — _ (1 -е) Р

ах ах Щ3

или

т _ (1 -е)р¿АсЩф/Щ3.

Здесь р^ — плотность жидкой фазы ТАМ, обычно в применяемых фазопереходных веществах она меньше, чем у твердой. Для простоты при выводе последней формулы не учитывалась толщина обо-

лочки капсулы, что при необходимости нетрудно сделать. Отсюда получим

Дф

т

(1 -е) рьЛс

1/3

Д.

(9)

Известно, что для сферического слоя материала термическое сопротивление

Я

Д2 Г 1 1^

ТАМ

4А с

уДФ Д у

где — теплопроводность твердой фазы.

Подстановка Дф из (9) приводит к формуле для определения термического сопротивления ТАМ в капсулах:

Я

ТАМ -

Д

т

(1 -е)р ¿Лс

1/3

а общее термическое сопротивление оказывается равным

Я(т) - Я с + Я об +

Д 4А с

т

(1 -е)р ьЛс

1/3

При использовании этого соотношения в уравнении (8) получается довольно громоздкое выражение, которое более целесообразно решать, используя приближенный метод.

Наиболее простым допущением является условие постоянства Я. В этом случае уравнение (8) можно проинтегрировать и получить удобную формулу для определения удельной массы фазы:

Л Г Ах

т(х, т) - т0--ехр

Оф Я

у "Р

с ррУЯ

I ГвХ (т) ё т- ТфТ

(10)

Здесь т0 — удельная масса ТАМ, т. е. масса, приходящаяся на единицу длины, в начальный момент процесса зарядки или разрядки, а именно при т = 0. Ее можно рассчитать по формуле

то - т(х, 0) - М = р¿Лс(1 - е).

(11)

Считается, что в расплавленном состоянии ТАМ занимает всю капсулу. Толщина оболочки при выводе формулы (11) не учитыва-

лась. Также предполагается, что в начале процесса в АФП ТАМ находится полностью в жидком или твердом состоянии.

Вся масса фазы, в которой на момент времени т фазовый переход не произошел,

ь

М (т) = | т( х, т) йх.

После интегрирования получим

M (т) = M 0

с ppV

вф

(

1 - exp

A( L)

V "p

с „pVR

J ГвХ (т) d т- Тфт

(12)

Здесь М0 = т0Ь — общая масса ТАМ.

Для расчета затрат теплоты на фазовый переход можно воспользоваться следующими соотношениями:

О (х, т) = 0ф [то - т(х, т)].

При этом О (х, т) = — теплота фазового перехода в АФП,

—х

приходящаяся на единицу его длины.

Теплота, участвующая в фазовом переходе,

Ь

0(т) = 10 (х, т) —х = 0ф [о -М(т)].

Соотношения (10), (12) можно переписать в виде

m(x, т) = m0

M (т) = M0

A'

вф R с ppV

f

exp

A'x

вф

V CppVR

f

Твхср (т) - Гф| т; (13)

1 - exp

A( L)

V "p

с pPVR

[-^вх.ср(т) Тф|

где Твх.ср — средняя температура теплоносителя на входе в АФП:

1 f

Твх.ср (т) =- I Твх (т) dт.

Т "

При Твх = const температура Твхср равна его температуре на входе:

Т = Т

1 вх.ср 1 вх-

Условие постоянства температуры воздуха на входе в АФП достаточно хорошо соответствует ночному периоду разрядки. Также

можно с известной степенью точности в среднем по времени всего процесса аппроксимировать существенно меняющуюся температуру ее средним значением за интересующий период.

Формулы (10), (13) для определения удельной массы ТАМ и полной массы в АФП вещества, в котором не осуществился фазовый переход, и уравнение (1), позволяющее вычислить среднюю температуру теплоносителя в произвольном сечении проточного АФП, в том числе на выходе из него, полностью описывают процессы зарядки и разрядки АФП и позволяют рассчитать его характеристики.

Таким образом, выведен ряд аналитических зависимостей, дающих возможность проводить расчет параметров АФП, изменяющихся в процессе его зарядки или разрядки. С их помощью можно вычислить массу ТАМ, расплавившегося при зарядке или затвердевшего при разрядке, и, соответственно количество теплоты, передаваемой в процессе теплообмена на разных участках АФП. В рамках одномерной модели могут быть определены масса, ее изменение по длине АФП, а также затрачиваемая на фазовый переход теплота.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Arkar C. Enhanced Solar Assisted System Using Sphere Encapsulated PCM Thermal Heat Storage. IEA, ECES IA Annex 17, Advanced Thermal Energy Storage Techniques-Feasibility Studies and Demonstration Projects. 2nd Workshop, Ljubljana, 2002.

[2] Лейбензон Л.С. Руководство по нефтепромысловой механике. Москва; Ленинград, ОНТИ НКТП СССР, 1934.

Статья поступила в редакцию 21.06.2013

Ссылку на эту статью просим оформлять следующим образом:

Россихин Н.А. Уравнение изменения массы фазы в аккумуляторе теплоты фазового перехода. Инженерный журнал: наука и инновации, 2013, вып. 5.

URL: http://engjournal.ru/catalog/machin/criogen/726.html

Россихин Николай Алексеевич родился в 1952 г., окончил МВТУ им. Н.Э. Баумана в 1976 г., МГУ им. М.В. Ломоносова в 1981 г. Старший преподаватель кафедры «Теплофизика» МГТУ им. Н.Э. Баумана. Автор 14 научных работ в области математического моделирования процессов в системах с фазовыми переходами. е-mail: ross1n@rambler.ru