CC BY
43УДК 536.24
Особенности расчета аккумуляторов теплоты на фазовых переходах с промежуточным теплоносителем
© Н.А. Россихин МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва 105005, Россия
Для конечной стадии режимов зарядки и разрядки проточного аккумулятора теплоты фазового перехода капсульного типа, характеризующейся наличием зоны, где фазовый переход в капсулах с теплоаккумулирующим материалом (ТАМ) осуществился полностью, в рамках одномерной модели выведены соотношения для вычисления изменения удельной и всей массы фазы ТАМ, а также скорости перемещения границы, разделяющей однофазную и двухфазную области. Они необходимы для описания завершающей стадии зарядки или разрядки аккумулятора, которая может занимать в процессе его работы большую часть времени, чем начальная.
Ключевые слова: аккумулятор теплоты, зарядка, разрядка, фазовый переход, жидкая фаза, твердая фаза.
Аккумуляторы теплоты фазового перехода (АФП), которые находят в настоящее время все более широкое применение в качестве устройств, предназначенных для сохранения поступающей теплоты при последующем его использовании, в ряде случаев отличаются неравномерностью распределения потоков теплоты в объеме. В проточном АФП температура теплоносителя, движущегося в пространстве между капсулами с ТАМ, существенно изменяется в направлении его движения (см. рисунок), что приводит к значительной разности в температурных напорах по его длине и неравномерности скорости изменения массы фазы, жидкой или твердой, по длине АФП. В результате создается значительная неравномерность распределения массы расплавившегося или затвердевшего ТАМ.
С течением времени это приводит к ситуации, когда в области входа потока теплоносителя в АФП весь ТАМ, заключенный в капсулах, претерпевает фазовое превращение, и фазовый переход прекращается, тогда как в остальной части он продолжается. Эти области разделяются плоскостью поперечного сечения с координатой ха (см. рисунок). При этом доля ТАМ с незавершенным процессом плавления или затвердевания, остается еще довольно значительной, что необходимо учитывать при анализе работы АФП. Этот оставшийся участок имеет длину Ьа. В процессе дальнейшей зарядки или
разрядки она постепенно уменьшается и, когда фазовый переход прекращается во всем ТАМ, становится равной нулю. При этом АФП оказывается полностью заряженным или разряженным.
Распределение температуры теплоносителя и удельной массы расплавившегося ТАМ в проточном АФП в конечной стадии процесса зарядки
Таким образом, для этой стадии функционирования АФП зависимости1 оказываются непригодными, поскольку при их выводе предполагалось, что фазовый переход в капсулах с ТАМ происходит по всей длине АФП, а это соответствует выполнению условия La = = L = const (см. рисунок). Поэтому возникает необходимость получения расчетных соотношений с учетом изменения длины участка фа-
1 Россихин Н.А. Уравнение изменения массы фазы в аккумуляторе теплоты фазового перехода. Инженерный журнал: наука и инновации, 2013, вып. 5. URL: http://engjournal.ru/catalog/machin/criogen/726.html
зового перехода Ьа в процессе зарядки или разрядки АФП, что предполагает использование временной зависимости Ьа(Т).
Когда в некотором сечении х прекращается фазовый переход и остается одна фаза, жидкая или твердая, начинается перестройка температурных полей. При этом ТАМ постепенно прогревается (или охлаждается), и температура теплоносителя в этом месте приближается к его температуре на входе в АФП. Теплота, приходящаяся на единицу длины АФП,
Здесь срТАМ — изобарная массовая теплоемкость ТАМ; т', Т' — время начала прогрева (после завершения фазового перехода) и окончания прогрева ТАМ в поперечном сечении с координатой х; Твх — температура теплоносителя на входе в АФП.
Если этой теплотой пренебречь, что соответствует исходным посылкам одномерной теории проточного АФП [1], то можно считать температуру теплоносителя от входа до поперечного сечения с координатой ха такой же, как на входе, т. е. равной Твх.
В соответствии с изложенным будем считать, что теплообмен осуществляется только на участке с фазовым переходом, а именно на отрезке Ха ^ х ^ Ь длиной Ьа(т), где координата Ха разделяет области в АФП, заполненные капсулами с ТАМ, находящимся в однофазном и двухфазном состояниях. При этом в начале данного участка (при х = = ха) температура теплоносителя равна Твх(т).
Определим время окончания начальной стадии тн процесса зарядки или разрядки в АФП. Будем считать, что в начальный момент времени АФП полностью разряжен или заряжен. Это время равно времени полного расплавления или затвердевания ТАМ при х = 0 и определяется из условия
40, Тн) =0.
С использованием выражений1 получим уравнение для определения времени начальной стадии зарядки или разрядки:
Здесь Л' — производная функции А(х) — площади поверхности сферических капсул (для рассматриваемого случая Л(х) = Л'х); т0 = рЬЛ С(1 -е) — удельная (на единицу длины АФП) масса ТАМ,
0/ = тсртам [Т(х, т') - Твх (х, т'')].
(1)
Здесь и далее используются формулы, приведенные в указанной работе.
где рЬ — плотность жидкой фазы ТАМ; Ас — площадь поперечного сечения проточной части АФП; е — пористость при заполнении пространства АФП сферическими капсулами.
Подставив выражение для определения т0 в (1), получим
Тн
| Твх (т) йТ-ТфТн
р ¿Ас(1 -е) Qф К
А • ('2)
С использованием уравнения (2) время Тн можно найти по известному графику тепловой нагрузки на входе в АФП Твх(т) или по аппроксимирующей зависимости для Твх(т) = Т(0, т).
Для получения соотношений теплообмена в конечной стадии зарядки или разрядки перейдем к подвижной системе координат О'х', начало координат которой находится в точке ха, перемещающейся со
йХа ,
скоростью иа =- в направлении движения теплоносителя (см. ри-
йТ
сунок). Очевидно, что одномерное температурное поле в теплоноси-
Т
теле записывается как Т(х', т), где х' = х - ха = х - | иайт. При этом
Тн
выполняется условие
Т(0, т) = Твх(т).
С учетом движения точки а расход V в системе координат О'х' V = V - иа (т) А с =[ит - иа (т) ] А с - V,
где ит — средняя скорость потока теплоносителя.
Поскольку процессы плавления и затвердевания протекают медленно, скоростью иа можно пренебречь (иа<< ит).
В этом случае температурное поле в теплоносителе выражается аналогично:
( Ах }
Т (х, т) = Тф - [Тф - Твх (т) ] ехр--— , 0 < х < Ь - ха. (3)
^ с ррКК )
Как отмечалось1, уравнение (3) выведено в предположении квазистационарности процессов, протекающих в АФП. Фактор перемещения точки а не нарушает этого условия, поскольку процессы плавления и затвердевания происходят гораздо медленнее, чем перестройка потока теплоносителя и выравнивание температурных полей в АФП.
1 Россихин Н.А. Там же.
Соотношение для расчета изменения удельной (на единицу длины) массы фазы ТАМ
йт = йт = \Т (х', т) - Тф | йт й т QфR
и формула для определения оставшейся твердой или жидкой (в случае затвердевания) массы ТАМ с учетом (3) запишется в виде
т(х , т) = т0(х) -—— [ Твх(т) - ТфI exp
QФR тн
( Ах ^
V "р
с pPVR
й т,
где т0(х ) = т (х , тн) = т(х, тн) — удельная масса ТАМ в конце начальной стадии зарядки или разрядки. Поэтому можно записать
( Ах
т0( х) = т0 -
А Qф R
exp
V "р
с pPVR
В результате получим
, Л ( Л х т(х , т) = т0--exp
Qф ^
V CppVR у
(
| Твх (т) йт- Тф тн
"н
| Твх (т) йт- Тф тн
Qф ^
I |Твх (т) - Тф| exp
Л'х' Л
тн
V "р
с pPVR
й т.
Замена х' на х дает
Л ( Л'х т( х, т) = т0--exp
Qф ^
V "р
с pPVR
н
I Твх (т) йт- Тфтн
Qф ^
Твх (т) - Тф exp
тн
Л [х - ха (т)] с pPVR
й т,
для т > тн, х > ха(т).
Вынеся множитель, не зависящий от времени за знак интеграла, придем к выражению
Л ( Л'х Л
т( х, т) = т0
Qф R
exp
V "р
с pPVR
"н
I Твх (т) йт- Тфтн
(
+ I |Твх (т) - Тф| exp
тн
Л'хд (т)
с pPVR
V "р
й т
(4)
Координата ха (т) может быть записана как ха (т) = | иайт.
Тн
Для описания конечной стадии зарядки или разрядки АФП необходимо знать временные зависимости перемещения границы зоны фазового перехода ха и ее длины Ьа (т):
Ьа(т) = Ь - Ха. (5)
Положение точки а в момент времени т можно найти из условия
т( Ха, т) = 0.
Использовав это условие в (4), получим уравнение для определения ха:
А (
-ехр
ОфЯ
АХа(т) сррУК
\
"И
I Твх (т) йт- Тф т
(
+ I |Гвх (т) - Тф| ехр
тн
Ах а (т) с ррУЯ
V "Р
йт
то
или
н
I Твх (т) йт-Тф тн
+ I Твх(т)-Тф ехр
Ах а (т) с ррУЯ
V "р
й т =
mоQфЯ ( Аха (т) =-т— ехр -—
А
( Аха (т) ^ V сррУЯ )
Для того чтобы найти зависимость ха(т), возьмем производную от правой и левой части:
Твх (т) - Тф| ехр
(
Аха (т) ^ = mоQф ( Аха (Т)
с ррУЯ
V "р
(
с ррУ
ехр
Л
с ррУЯ
V "р
х'а (т)
или
Отсюда
Твх(т) - Тф| = ^х'а(т). с ррУ
иа (т) = х'а (т) = сррУ Твх (т) - Тф I,
mоQф
о
т
н
что дает после интегрирования
ха(т):
с ppV moQф
| |Твх (т) - Тф| й т.
(6)
тн
Здесь в качестве нижнего предела интегрирования используется тн для того, чтобы выполнялось условие ха(тн) = 0.
Подстановка (6) в (4) позволяет придти к окончательному виду зависимости для определения удельной массы использованного ТАМ:
Л (
т(х,т) = т0 -—гexp QФ ^
т (
+ I |Твх (т) - Тф| exp
тн
Л'х с ppVR
н
I Твх (т) йт- Тф тн
+
Л'
V
moQф R
I |Твх (т) - Тф| йт
й т
(7)
После подстановки (6) в (5) получим выражение для вычисления длины зоны фазового перехода:
Ьа (т) = Ь-
Л
moQф R
I |Твх (т) - Тф| й т.
(8)
тн
Процесс зарядки или разрядки происходит полностью за время т, определяемое из условия Ьа(тп) = 0 или Ь = ха(тп). Отсюда можно получить уравнение для определения времени полного фазового перехода тп в процессах зарядки или разрядки:
I |Твх(т)-Тф|йт = Ь.
тн
Л
(9)
Так же как и для начальной стадии, здесь могут быть рассчитаны интересующие параметры процессов зарядки и разрядки. В этом случае масса оставшейся фазы
М(т) = I т(х, т) йх.
ха
После подстановки выражения (7) и интегрирования имеем
М (т) = М0 +
CpPV
Qф
exp
ЛЬ ^ ( Лха ^
V "р
сррт
- exp
V
сррт
тн
I Твх (т) йт- Тфтн
+
+
Твх (т) - Тф| ехр
А
то0ф Я
Твх (т) - Тф| йт
й т
(10)
Теплота фазового перехода в АФП, приходящаяся на единицу его длины, и вся теплота, затрачиваемая на фазовый переход, определяются по тем же формулам, что и для начальной стадии:
О (X, т) = 0ф [дао - т(х, т)];
0(т) = ] 0(х,т)йх = 0ф [о -М(т)].
ха
В случае постоянной температуры теплоносителя на входе в АФП можно получить более простые аналитические выражения для процессов зарядки или разрядки в АФП.
Время начала конечной стадии выражается в явном виде в соответствии с (1)
т =р ¿А(1 -е) 0ф Я тн |Твх - Тф| А •
Уравнение изменения удельной массы в соответствии с (7):
т( х, т) = т0
то0ф Я
А
0ф Я
(
ехр
А|Гвх - Тф
(
ехр
Ах к сррУЯ
А
|Твх - Тф
X
Л
|Тх - Гф|(т-тн)
-1
тоОфЯ
Перемещение точки а с течением времени в соответствии с (6)
Ха (т) = СрР^Твх (т) - Тф I (т - тн ).
то0ф
Длина участка фазового перехода в соответствии с (8)
А
Ьа (т) = Ь-
то0ф Я
|Твх(т) - Тф| (т-тн).
Время полного фазового перехода в процессах зарядки или разрядки в соответствии с (9)
тп = тн + ,
то0ф Я
А|ТвХ(т) - Тф
Ь.
Уравнение для определения массы оставшегося в процессе зарядки или разрядки ТАМ в соответствии с (10)
M (т) = M0 +
с ppV
Qф
тн
J Тх (т) dт- Тф Тн
"Г AL ) Г exp--- exp
срpVRJ F
Г
A xa
с ppVR
Y
+
J Твх (т) - Тф exp
тн
A
V
moQфR
|Твх(т) -Тф| (Т-Тн)
dт
Следует отметить, что выражение для удельной массы можно записать единообразно для всего периода зарядки или разрядки АФП, объединяющего начальную и конечную стадии:
m( x, т) = m0 При 0 < x < тн при тн < x < тп
J|Твх (т) - Тф| f (т)dт.
f(т) = exp
A
moQф R
J |Твх (т) - Тф| d т
тн
Таким образом, получены соотношения, описывающие изменение параметров в течение конечной стадии зарядки или разрядки, когда в области входа потока в АФП в ТАМ полностью осуществился фазовый переход. С их помощью можно рассчитать массу расплавившейся или затвердевшей (при разрядке) доли ТАМ и теплоту, идущую на осуществление фазового перехода при завершении процессов плавления или затвердевания в АФП. Выведена также формула для определения скорости перемещения точки, разделяющей двухфазную и однофазную область, в которой фазовый переход осуществился полностью.
Статья поступила в редакцию 21.06.2013
Ссылку на эту статью просим оформлять следующим образом: Россихин Н.А. Особенности расчета аккумуляторов теплоты на фазовых переходах с промежуточным теплоносителем. Инженерный журнал: наука и инновации, 2013, вып. 5. URL: http://engjournal.ru/catalog/machin/criogen/727.html
Россихин Николай Алексеевич родился в 1952 г., окончил МВТУ им. Н.Э. Баумана в 1976 г., МГУ им. М.В. Ломоносова в 1981 г. Старший преподаватель кафедры «Теплофизика» МГТУ им. Н.Э. Баумана. Автор 14 научных работ в области математического моделирования процессов в системах с фазовыми переходами. e-mail: ross1n@rambler.ru
