CC BY
7
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА УДК 517.956.224
УРАВНЕНИЕ ГЕЛЬМГОЛЬЦА С КОСОЙ ПРОИЗВОДНОЙ И УСЛОВИЕМ ДИРИХЛЕ НА СТОРОНАХ РАЗРЕЗОВ НА ПЛОСКОСТИ
П.А. Крутицкий, К.В. Прозоров
(.кафедра математики) E-mail: kprozorov@afrodita.phys.msu.su
Доказаны теоремы существования и единственности решения краевой задачи для неволнового уравнения Гельмгольца вне разрезов на плоскости, когда условие Дирихле и условие с косой производной заданы на разных сторонах разрезов. Получено интегральное представление для решения.
На плоскости х = {х\,х2) € Ж2 рассмотрим совокупность простых разомкнутых кривых Гх,..., Tjv, класса С2,А, А € (0,1], не имеющих общих точек, в том числе и концов. Эту совокупность кривых будем называть контуром Г. Пусть контур Г параметризован, и в качестве параметра выступает дуговая абсцисса (длина дуги) s: Г„ = {х: х = x(s) = (x1(s),x2(s)), s € [ап, Ьп]}, n=l,...,N. Параметризацию выберем так, чтобы для различных п отрезки [ап,Ьп] на оси Os не имели общих точек, в том числе и концов. Вектор касательной к Г в точке ж(в), указывающий направление возрастания параметра s, обозначим тх = {cosa(s), sina(s)}, а вектор нормали, совпадающий с вектором касательной при повороте на угол 7г/2 против часовой стрелки, обозначим пх = {sina(s), — cosa(s)}. При выбранной параметризации x[(s) = cosa(s), x'2{s) = sina(s). Совокупность отрезков оси Os, отвечающих контуру Г, будем также обозначать Г. Будем говорить, что функция T{s), определенная на Г, принадлежит банахову пространству Г), г е (0,1], хт е [0,1), ее-
ЛИ То(з) = Hs) Un=i IK* - ««)(* - МП € С0,Г(Г).
Норма в пространстве Г) определяется формулой 11^(5)11^ (г) = ||<?го('®)|1с°>г(г) ■ Предположим, что плоскость Ж2 разрезана вдоль контура Г. Через Г+ обозначим ту сторону контура Г, которая остается слева при возрастании параметра s, а через Г- — противоположную сторону. Через X обозначим множество точек плоскости, состоящее из концов Г: X = [)n=1(x(an)Ux(bn)).
Будем говорить, что функция и(х) = и(хi,x2) принадлежит классу гладкости Q, если: 1) и(х) € е С°(Ж2 \Г), т.е. и(х) непрерывна вне разрезов Г, непрерывно продолжима на разрезы Г слева и справа во всех точках, а также непрерывно продолжима на концы разрезов Г; 2) иХ1,иХ2 еС°(Ж2\Г\Х), где X — множество концов контура Г; 3) на концах разрезов Г функции иХ1,иХ2 могут иметь
интегрируемые особенности, т.е. при х —> х{<£) € X для некоторых констант 8 > — 1, А > 0 справедливо неравенство
\их,(х)\^ А\х-хЩ6, з = 1,2, (1)
где й = ап либо й = Ъп, п = 1,..., N.
Сформулируем смешанную задачу для уравнения Гельмгольца вне системы разрезов на плоскости.
Задача 14. Найти вещественную функцию и(х) из класса 0, удовлетворяющую в Ж2 \ Г в классическом смысле уравнению Гельмгольца
Аи^к2и = О, к = Яек>0, (2)
граничным условиям
«(®)|г+= /+(*), (3)
и условиям на бесконечности
|«(®)| = о (М-1/2), = о (М-1/2),
II / 2 , 2\г/2 ^
\х\ = \х{ + ж|) ^ оо.
Считаем, что — заданные веществен-
ные функции и /3 — заданная вещественная константа.
Аналог задачи Ы для уравнения Лапласа изучен в работе [1]. Далее под будем понимать
1а" •••^8. Используя метод энергетических тождеств, можно доказать следующую теорему.
Теорема 1. Если Г е С2,А, А е (0,1], тогда задача и имеет не более одного решения.
Будем строить решение задачи 14, предполагая, что /+(в) € С1,А(Г), /~(в) € С°'А(Г). Заметим, что коэффициент Гёльдера А при определении гладкости контура Г и функций /+(з), предполагается
одним и тем же. Если эти коэффициенты различны,
то в качестве А следует брать наименьший. Вместо граничного условия (3) запишем эквивалентное:
ди
дтх
г+
= f'+(s),
f'+(s)
df+(s)
е С0,Л(Г), (6)
¿8
и(х(ап)) = /+(ап), п = 1,...,М. (7)
Через Ко(г) обозначим функцию Макдональда нулевого порядка [2], которая является сингулярным решением уравнения (2).
Решение задачи Ы будем строить с помощью теории потенциала для уравнения (2). Ищем решение задачи Ы в виде
u[fi,v}(x) = VM(x)+T[v](x), 1
(8)
где !ф](ж) = ± ¡Г ц(<т)К0(к\х - у(<т)\)(Ьт -
потенциал простого слоя для уравнения (2) и Т\у\(х) = ^ /г 1/(сг)и(х, а) ёа — угловой потенциал для уравнения (2). Угловой потенциал для уравнения Гельмгольца изучался в работе [3]. Плотности //(я), г/(з) будем искать в Банаховом пространстве С£.(Г), г е (0,1], ж е [0,1). Ядро углового потенциала II(ж, а) определено на каждой дуге Г„ (в = 1,..., И) формулой
U(x,a) =
<Эп,
К0(к\х — y(£)\)d£, & £ [оJI) Ьп],
где у = у(0 = ЫО.ЫО):
=
I® - 2/(01 =
Ниже будем по-
yi(0)2 + (®2 - У2(0)2 лагать, что плотность углового потенциала удовле творяет дополнительным условиям [2, 3]
v{a) da = 0, п = 1,
(9)
Интегрируя Т[р]{х) по частям и используя (9), выразим угловой потенциал через потенциал двойного слоя:
= ~ /рН^-К0(к\х^у(а)\)ёа, г
где р(сг) = !/($) а е [ап, Ьп], в = 1,..., N. Очевидно, что потенциалы Т[р]{х) и У[ц](х) удовлетворяют как уравнению (2) вне Г, так и условиям на бесконечности (5).
Аналоги потенциалов Т[р]{х) и У[ц](х), содержащие в ядрах функцию Ханкеля первого рода нулевого порядка вместо функции Макдональда,
изучены в [3]. Так как Н^\г) = то
теория потенциалов Т[р]{х) и У[ц](х) по существу содержится в [3], поэтому ниже будем пользоваться результатами этой работы. В работе [3] показано, что если /х(в),г/(в) е Сх(Г), г е (0,1], >с € [0,1) и выполнены условия (9), то функция (8) принадлежит классу 0 и удовлетворяет всем условиям задачи Ы за исключением граничных условий (3), (4). В част-
ности, неравенство (1) выполняется с 6 = ^хг, если (0,1).
Для того чтобы удовлетворить граничным условиям, мы подставляем функцию (8) в выражения (4), (6), используем предельные формулы для углового потенциала из [3] и получаем интегральные уравнения для плотностей //(я), г/(з) на Г:
+ а)) йа+
= f'+(s)
ß{s) + ßv{s) 1 Г д
2п I дп7
x(ß(a)KQ(k\x(s) - у(а)\) + v(a)U(x(s),a)) da+ Л [ д +ß2«jTs*
г
x(li(<T)K0(k\x(s)-y(<T)\)+v(<T)U(x(s),<T))d<T=f-(s).
(10)
Подставляя функцию (8) в условия (7), получим дополнительные уравнения для v(s), ß(s):
V[ß)(x(an)) + T[v]{x{an)) = /+(о„), в = 1,..., N.
(Н)
Из приведенных выше рассуждений вытекает следующая теорема.
Теорема 2. Пусть Г е C2'\ f+{s) е С1,А(Г), f~(s) 6 С0,Л(Г), А 6 (0,1]. Если система уравнений (9)—(11) имеет решение v(s), ß(s) такое, что v(s), fi(s) €Е С£(Г), г е (0,1], хг€[0,1), то решение задачи U существует и дается формулой (8). Уравнения (10) можно записать в виде (s € Г)
"(*) + - [-
TT J CT — S
г г
v{a)v\ (s, er) der
ß(cr)v2(s, er) der = 2f'+(s)
- /Зф) - - [Н*) - РК*))— +
7г ] ег — в
г
ц{а)юз(в, cr)dcr - J г/(сг)г!4(5, а) da = 2 г г
(12)
где «1(«,<т) = ^Щх(з),а), у2(з,а) = = 1£к0(к\х(з) - у(а)|) - у3(з,а) =
= 1(^К0(к\х(3) - у(а)\) - + ±^К0(к\х(3) -
- у(а)|), г;4(*,сх) = ^¿Щх(з),а) - ^ _
— IПоскольку Г е С2,А, то из [3, леммы 2, 3] и [4, леммы 1, 3] следует, что
сг) е С0,Ро(Г х Г) при у = 1,..., 4, где
А,
если 0 < А < 1,
Ро =
1 —£о, для любого £q €Е (0,1], если А=1.
(13)
Положим с = + 1, с± = с ± /3 = + 1 ± ¡3. Произведем замену неизвестных функций по формулам
Ф) = (pi(e) + c+p2(s))/(2c),
M«) = (Рг(в) - c+pi(e))/(2c). Уравнения (12) в новых переменных примут вид (*€Г)
(14)
(15)
piW-^
7Г
Pl(^)-
da
а
Pi(a)Y11(s,a) da
P2(<j)Y12(s, a) da = 2 (cf'+(S) + Г (s))
P2(s) + —
Ж
P2{v)
da
a
= /1(в)еС°'Л(Г),
Pi(a)Y21(s,a) da +
Р2(ст)¥22(з, а) da = 2с_(с/'+(*) - /-(я)) =
г (16)
где У"ц(в,£т) = {сг*1 (в, а) - с+(су2(в, а) + г;3(в,£т)) -
— г»4(в,о")}/(2с), У12(я,сг) = {с+су1(з,а) + су2(з,а) + +г!з(5,о-)^с+г!4(5,о-)}/(2с), У21(в, а) = {с-си^з,^)-
- су2(в, а) + уз(з, а) + С-Ю^в, а)}/(2с), У22(з, а) = = {0^1(5,0") + с-(су2(в,а)-уз(з,(т)) + р4(з,а)}/(2с). Из гладкости функций ^(з, а),..., ^4(5, а) вытекает, что У^(з,а) € С0,Ро(ГхГ), = 1,2; ро берется из (13).
В терминах рг(з), р2(в) условия (9), (11) примут вид
V \р2(з) - с+рг(з)] (х(ап)) +
+Т [рх(в) +с+р2(в)] (х(ап)) = 2с/+(а„),
Ь, (17)
(рг(з) + с+р2(з)) da = 0, п =
Система (16), (17) является частным случаем систем, изученных в работе [5]. По теореме 1 из [5] все решения рг(з), р2(з) системы (16), (17), принадлежащие С£(Г) с г е е (0,1], ж е [0,1), представимы в виде р^(з) = = Р]*(»)/<2Л»), ¿ = 1,2, где ри(з),р2*(з)еС°>ш(Г),
ш = min{À,7,1/2—7}, Qi(«) = П
JV
П=1
(|1/2-
= € С°'Т(Г);
число 7 определяется равенством 7 = ^ агс^ /3 е
е (0,1/2). Отсюда следует, что р\(з), р2(з) е
где
д = тах {| + 7, 1 — 7} ,
¡п {а;, \\ — 2-у |} , если 7 ф\, (18)
ш =
тт • и,
если 7 =
Докажем, что среди функций ¿>1(5), р2(з) е С^(Г) однородная система (16), (17) имеет только тривиальное решение. Пусть р^(з), р2(5) — решение однородной системы (16), (17) в пространстве Сд(Г), где ш я q берутся из (18). Тогда функции ^°(з) = (р^(з) + с+ р2(з)) / (2с), = (/°2(5) — с+Р?(5))/(2с), построенные по формулам (15), дают решение однородной системы (9)—(11). Очевидно, что однородной задаче Ы (с /+(з) = = 0) соответствует однородная
система (9) — (11). Согласно теореме 2 функция и°(х) = У[р°}(х) +Т[г/°](ж) является решением однородной задачи Ы. Используя теорему 1, имеем: и°(х) = 0. Из предельных формул для касательной и нормальной производных потенциалов [3] получаем:
/00 =
ди° ди°
дпх a;(s)er+ дпх x(s)eT-
ди° ди°
дтх a;(s)er+ дтх x(s)eT-
:0,
:0,
откуда Pi(s) = p2(s) = 0. Тем самым однородная система (16), (17) имеет только тривиальное решение среди функций Pi(s), p2(s) G С%(Г), где 07 и q берутся из (18). Из теоремы 1 (пункт 1) и теоремы 2 из работы [5] вытекает следующая теорема.
Теорема 3. Пусть Г G С2'Х, f+(s) G С1,Л(Г), f-(s) G <7°'а(Г), Л G (0,1]. Тогда неоднородная система (16), (17) имеет среди функций pi(s),p2(s) G С£(Г) (г G (0,1], лг G [0,1)) единственное решение. Это решение представи-мо в виде Pj(s) = pjSf(s)/Qj(s), j = 1,2, где pi*(s),p2*(s) € С0'Ш(Г), ш = min{A,7,1/2 — 7}, следовательно pi(s),p2(s) G Сд(Г) (Zo и q берутся из (18)).
Решение p(s), v(s) G С^(Г) системы (9)-(11) определяется по формулам (15), в которых Pi(s), p2(s) — решение системы (16), (17), гарантированное теоремой 3. Из теорем 1 и 2 следует еще одна теорема.
Теорема 4. Пусть Г G С2'А, f+(s) G С1,Л(Г), f^(s) G С0,А(Г), Л G (0,1]. Тогда решение задачи U существует, единственно и дается формулой (8), в которой плотности p(s), г/(s) берутся из (15), где функции pi(s),p2(s) G С£(Г) (ш и q заданы выражениями (18)) — решение системы (16), (17), гарантированное теоремой 3.
Теорема 4 устанавливает существование и единственность классического решения задачи U. Как следует из определения класса Q, градиент решения задачи U может иметь особенности на концах контура Г. По теореме 5 (пункт 3) из [3] неравенство (1) выполняется с S = —q. Выпишем явные асимптотические формулы, опиеыва-
ющие особенности V« на концах контура Г. Пусть х{й) — один из концов контура Г, й = ап или ё = Ьп, п = т.е. х{й) € X. Вве-
дем в окрестности х{<£) полярную систему координат XI = \х — х{й)\сО Я<р, Х2 = \х — х(с1)\8\шр. Напомним, что а(з) — угол между направлением оси Ох 1 и вектором касательной тх в точке ж(з) е Г. Будем считать, что е {а{<£),а{<£) + 2ж), если й = ап, и е (а{й) — тт,а(ё) + тт), если й = Ьп, п = 1,N. Полагаем по непрерывности, что а(ап) = а(ап + 0), а(Ьп) = а(Ьп — 0). Введем функции Р1(ап,з) = — ап I1/2-7,
/М0«,5) = — ап|1_7> являющиеся гёльде-
ровыми на Г в окрестности а„, и функции
Р1(Ьп, в) = р1(з)\з-Ьп\^2+^, Р2(ЬП, в) = являющиеся гёльдеровыми на Г в окрестности Ъп. Повторяя рассуждения из [6], получим следующую теорему.
Теорема 5. Пусть х —> х{й) € X, где й = ап или й = Ьп, п = 1,..., N. Тогда в окрестности точки х{й) для производных решения задачи Ы справедливы формулы.
1) при й = ап:
ди dxj
х^х(а,г) Р2(ап,а„) " 2\х —
Pi(gw,Qn)
2\х — x{an)\il2^1
с+ cos[j7t/2 - в(ап, 1 - 7)]-
cos[j7r/2 — в(ап, 1/2 — 7)] + O(l),
i = 1,2,
2) при d = bn:
du dxj
P2(bn,bn)
;C+ COs[j'7t/2 -0(bn,j)]-
x-+x(bn) 2|ж — ж(Ь„)|т
ßl{brM 8Ш\зк/2-6(Ьп,1/2 + 'Г)] + 0(1),
2\x - xibn^/z+'r
3 = 1,2,
где в(ап,г]) = гцр + (1 -r])a(an), в(Ьп,т]) = гцр + + (1 — r])a(bn) — 7Г7, через O(l) обозначены функции, непрерывные в окрестности точки x(d), разрезанной вдоль контура Г. Более того, функции, обозначенные как O(l), непрерывны и в самой точке x{d).
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант 05-01-00050).
Литература
1. Крутицкий ПЛ., Сгибнев А.И. // Препринт Института прикладной математики им. М. В. Келдыша РАН. 2004. № 8. С. 28.
2. Никифоров А.Ф., Уваров В.Б. Специальные функции математической физики. М., 1984.
3. Крутицкий П.А. ЖВМ и МФ. 1994. 34, №8-9. С. 1237.
4. Крутицкий П.А. ЖВМ и МФ. 1994. 34, № 11. С. 1652.
5. Крутицкий ПЛ., Колыбасова В.В. Докл. РАН. 2004. 394, №4. С. 444.
6. Крутицкий ПЛ., Сгибнев А.И. // Дифф. уравнения. 2003. 39, №9. С. 1165.
Поступила в редакцию 17.05.04
