Научная статья на тему 'К задаче дирихле-неимана для уравнения Гельмгольца вне разрезов на плоскости'

К задаче дирихле-неимана для уравнения Гельмгольца вне разрезов на плоскости Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
51
13
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — П. А. Крутицкий

Изучена краевая задача для уравнения Гельмгольца вне разрезов на плоскости. При этом на одной стороне каждого разреза задается условие Дирихле, а на другой — условие Неймана. Доказаны теоремы существования и единственности решения краевой задачи. Получено интегральное представление для решения в виде потенциалов. Плотность в потенциалах определяется из однозначно разрешимой системы интегральных уравнений.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — П. А. Крутицкий

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

The Dirichlet-Neumann problem for the Helmholtz equation outside cuts in a plane

For the Helmholtz equation outside cuts in a plane a boundary-value problem is studied. The Dirichlet condition is specified on one side of each cut and the Neumann condition, on its other side. The existence and uniqueness theorems for the solution of the boundary-value problem are proved. An integral representation for the solution is obtained in the form of potentials. From a uniquely solvable system of integral equations, the density in the potentials is determined.

Текст научной работы на тему «К задаче дирихле-неимана для уравнения Гельмгольца вне разрезов на плоскости»

УДК 517.956.224

К ЗАДАЧЕ ДИРИХЛЕ-НЕЙМАНА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ГЕЛЬМГОЛЬЦА ВНЕ РАЗРЕЗОВ НА ПЛОСКОСТИ

П. А. Крутиц ий, К. В. Прозоров

(.кафедра математики) E-mail: крговг ov@afrodita.phys.msu.su

Изучена краевая задача для уравнения Гельмгольца вне разрезов на плоскости. При этом на одной стороне каждого разреза задается условие Дирихле, а на другой — условие Неймана. Доказаны теоремы существования и единственности решения краевой задачи. Получено интегральное представление для решения в виде потенциалов. Плотность в потенциалах определяется из однозначно разрешимой системы интегральных уравнений.

В работах [1, 2] были изучены задачи Дирихле и Неймана для уравнения Гельмгольца вне разрезов на плоскости. В [3, 4] изучались смешанные задачи для уравнения Гельмгольца, когда на одной совокупности разрезов задается условие Дирихле, а на другой — условие Неймана. В настоящей работе изучается краевая задача для уравнения Гельмгольца вне разрезов на плоскости, при этом на одной стороне каждого разреза задано условие Дирихле, а на другой — условие Неймана.

На плоскости х = {х\,х2) € R2 рассмотрим совокупность простых разомкнутых кривых Г1,...,Г# класса С2,А, А € (0,1], не имеющих общих точек, в том числе и концов. Эту совокупность кривых будем называть контуром Г. Пусть контур Г параметризован и в качестве параметра выступает дуговая абсцисса (длина дуги) s: Г„ = {х: х = x(s) = (x1(s),x2(s)), s € [ап, Ьп]}, n=l,...,N. Параметризацию выберем так, чтобы для различных п отрезки [а„, Ьп] на оси Os не имели общих точек, в том числе и концов. Вектор касательной к Г в точке x(s) обозначим тх = {cosa(s),sina(s)}, а вектор нормали, совпадающий с вектором касательной при повороте на угол ж/2 против часовой стрелки, обозначим пх = {sina(s), — cosa(s)}. При выбранной параметризации x[(s) = cosa(s), x'2{s) = sina(s). Предположим, что плоскость R2 разрезана вдоль контура Г. Через Г+ обозначим ту сторону контура Г, которая остается слева при возрастании параметра s, а через Г- — противоположную сторону. Совокупность отрезков оси Os, отвечающих Г, будем также обозначать Г. Через X обозначим множество точек плоскости, состоящее из концов Г: X = \J*=1(x(an)Ux(bn)).

Будем говорить, что функция T{s), определенная на Г, принадлежит банахову пространству Г), г е (0,1], ж е [0,1), ее-

ли r0(s)=Hs)Iln=i\[(^an)(S^bn)r\ €С°'Г(Г). Норма в пространстве С£.(Г) определяется формулой = ll^ro(s)|lc'0,r(p) •

Будем говорить, что функция и(х) = и(х i,x2) принадлежит классу гладкости Q, если: 1) и(х) €

(1)

*п либо d, = bn,

е C°(R2 \Г), т.е. и(х) непрерывна вне Г, непрерывно продолжима на Г слева и справа во всех точках, а также непрерывно продолжима на концы Г; 2) uxi,ux2 е C°(R2 \Г\Х), где X — множество концов Г; 3) на концах разрезов Г функции иХ1,иХ2 могут иметь интегрируемые особенности, т.е. при х x(d) е X справедлива оценка

|ия,.(®)| < A\x^x(d)f, i = 1,2,

где константы <5 > — 1, А> 0 и d = а% п = 1,..., N.

Сформулируем смешанную задачу для уравнения Гельмгольца вне системы разрезов на плоскости.

Задача U. Найти функцию и(х) из класса Q, удовлетворяющую в R2 \ Г в классическом смысле уравнению Гельмгольца

Аи + k2u = 0, 0 ^ arg fc < я", граничным условиям

«(ж)1г+ = /+(5)' ди

и условиям на бесконечности. Если argfc = 0, т.е. к = Rek > 0, то на бесконечности потребуем выполнения условий излучения Зоммерфельда:

\и(х)\=о{\х\-^2),

ди(х) / ._1/2\ . . (5)

—j--гки{х)=оу\х\ ' J, |ж| —> оо.

Если 0 < arg к < ж, т. е. Im к > 0, то на бесконечности потребуем выполнение следующих условий:

(2)

(3)

(4)

ж ^ оо.

|«(®)| = о (|жГ1/2) , IV«! = о (|жГ1/2)

(6)

Аналог задачи Ы для уравнения Лапласа изучен в [5]. Далее под /г ... будем понимать

1а" ■ ■ ■ ■ Используя метод энергетических тождеств, можно доказать следующее утверждение.

Теорема 1. Если Г е С2,А, А € (0,1], тогда задача Ы имеет не более одного решения.

Будем строить решение задачи Ы, предполагая, что /+(в) € С1,А(Г), /~(в) € С°'А(Г). Заметим, что коэффициент Гёльдера А при определении гладкости контура Г и функций /+(з), предполагается

одним и тем же. Если эти коэффициенты различны, то в качестве А следует брать наименьший. Вместо граничного условия (3) запишем эквивалентное:

ди

дтх

= f'+(s),r(s)

i+i

г+

df+(s)

е С0,Л(Г), (7)

ёв

и(х(ап)) = /+(ап), п = 1,...,М. (8)

Через обозначим функцию Ханкеля I рода

нулевого порядка, которая является сингулярным решением уравнения (2).

Решение задачи Ы можно получить с помощью теории потенциала для уравнения (2). Ищем решение задачи Ы в виде

u[fi,v}(x) = VM(x)+T[v](x), r(i),

(9)

где V[n](x) = \$тц(ег)Щ s(k\x - y{er)\)der — потенциал простого слоя для уравнения (2) и T[v](x) = \ /г v(er)U(x, er)der — угловой потенциал для уравнения (2). Угловой потенциал для уравнения Гельмгольца изучался в [1]. Плотности fj,(s), v{s) будем разыскивать в банаховом пространстве Г), г е (0,1], ж €Е [0,1). Ядро углового потенциала U(x,er) определено на каждой дуге Г„ (n = 1,..., N) формулой

Щх,а) = Г ^€[о„А],

Ja„ опУ

где у = у(£) = (yi(Q,y2(0), |® - у(0\ = = \/(®i — 2/1 (С))2 + (®2 — 2/2(С))2- Ниже будем полагать, что плотность углового потенциала удовлетворяет дополнительным условиям [1, 2]:

Ьп

v(a)da = 0, n = l,...,N. (10)

Интегрируя Т[р]{х) по частям и используя (10), выразим угловой потенциал через потенциал двойного слоя

Т[и](х) =

д

где р(сг) = !/(£)<*£, сг € [ап, Ьп], п = 1,..., N. Очевидно, что потенциалы Т\р](х) и У[г/](х) удовлетворяют как уравнению (2) вне Г, так и условиям на бесконечности (5), (6).

Свойства потенциалов Т\р](х) и У[г/](х) изучены в [1]. В работе [1] показано, что если е С1ХГ) с г* € (0,1], >с е [0,1), и выполнены условия (10), то потенциалы Т[/х](ж), У[г/](х) принадлежат классу 0. В частности, неравенство (1) выполняется с 6 = , если хге (0,1). Более того,

функция (9) принадлежит классу 0 и удовлетворяет всем условиям задачи Ы за исключением граничных условий (3), (4).

Чтобы удовлетворить граничным условиям, мы подставляем функцию (9) в условия (7), (4), используем предельные формулы для углового потенциала из [1] и получаем интегральные уравнения для плотностей //(я), г/(з) на Г:

11 ^(ц(а)Н^(к\х(в)^у(а)\) + г

(И)

+v(a)U(x(s),a))da = f-(s).

Подставив функцию (9) в условия (8), получим дополнительные уравнения для г/(з), //(я):

У[р)(х(ап)) + Т[и](х(ап)) = /+(о„), п = 1,..., N.

(12)

Из приведенных рассуждений вытекает

Теорема 2. Пусть Г е С2'\ /+(а) е С1,А(Г), ¡-(в) е С°'А(Г), А е (0,1]. Если гф),/Ф) е е ¿Х(Г) — решение системы (10)-(12), где г е (0,1], хт е [0,1), то формула (9) дает решение задачи Ы.

Уравнения (11) можно записать в виде (в е Г) :

"(*) + - íViv)-^— ■

-к J а — s

г г

v{a)v\ (s, er)der+

ß(er)v2(s,er)der = 2f'+(s)

1 f da f ^^

-ß(s)--/ v{er)--h / n(a)vz(s,(j)d(j-

k J er — s J

г г

v(er)vt{s,er)der = 2f (s),

где V!(з,а) = и(х(з),а), у2(з,а) = §¿Я^ х х(к\х(зУу(а)\Уф^ , у3(з,<т) = ¿¿Н^(к\х(з)-- 2/Н1), щ(«,сг) = и(х(з),а) - ^фщ. Из

лемм 2, 3 работы [1] и лемм 1, 3 работы [2] вытекает, что р3(з,а) е С°'А(Г х Г) и Ру(з,а) е С°'ро(Г х Г) при ] = 1, 2,4;

А,

если 0 < А < 1,

Ро =

1 — so, для любого ео £ (0,1], если А = 1.

(14)

Складывая и вычитая уравнения (13) и произведя замену неизвестных функций pi(s) = (v(s) — ß(s)) е е С£(Г), P2(s) = (v(s) + ß(s)) е С^П

v{s) = Ы*) + P2(s))ß, fi(s) = (p2(s) - Pl(s))/2,

(15)

запишем уравнения (13) в виде (s G Г) :

г

2

1=1 Ï,

pi(cr)Yji(s,cr)dcr =

(16)

= 2(/'+(*) - (-1 )*/"(*)) е С0,А(Г), j = 1, 2,

где = |{г»х(5, <т) + (—1)гг12(я, а) -

— + (—1)-7г»4(в, о")}. Из гладко-

сти функций г»х (я, <т),..., г»4(в, а) вытекает, что Уф,а) еС°'Р°(ГхГ), з,1 = 1,2; р0 берется из (14).

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

В терминах ^1(5), р2(в) условия (10), (12) примут вид

Ьп

(Р1(сг) + р2(сг))ёа = 0,

У[(р2(а) ^ Р1(а))/2](х(ап)) + (17)

+Т[(р1(а)+р2(а))/2)(х(ап)) = ^(ап),

п = 1,

Система (16), (17) является частным случаем систем, изученных в работе [6]. По теореме 1 из [6] все решения pi(s), p2(s) системы (16), (17), принадлежащие СХ-(Г) с г е (0,1], ж е [0,1), предетавимы в виде pj(s) = pjt.(s)/Qj(s), j = 1,2; где pi*(s),p2t.(s) G

G С°'Ш(Г), и = min{A, 1/4}, Q^s) = Un=i\8 ~

- a^/^s - bn\3/4 sign(s - an) G Q2(s) =

= Un=i \8 - Onl3/4k - bn|1/4 sign(s - On) G .

Отсюда следует, что pi(s), p2(s) G С^4(Г).

Докажем, что среди функций pi(s),p2(s) G G С^,4(Г) однородная система (16), (17) имеет только

тривиальное решение. Пусть p?(s), реше-

ние однородной системы (16), (17) в пространстве С^4(Г), где ш = min{A, 1/4}. Тогда функции

= (pI(s)+PUS))/2, = (PUS)^PI(S))/2,

построенные по формулам (15), дают решение однородной системы (10) — (12). Очевидно, что однородной задаче U (с f+(s) = f~(s) = 0) соответствует однородная система (10)—(12). Согласно теореме 2, функция u°(®) = V[(pl(8)-f%(8))/2](x) + T[(pl(8) + + p^s))/2}{х) является решением однородной задачи U. Используя теорему 1, имеем: и0 = 0. Из предельных формул для касательных и нормальных производных потенциалов [1] получаем

ди°

ди° дтх

(-1)'

<9п.

("1>

jdu0

дпх

x(s)e г+

:0,

¡Ф)ег-

где ] = 1,2. Тем самым однородная система (16), (17) имеет только тривиальное решение среди функций

е Сз/4(Г)' ш = т1п{Л, 1/4}. Из пункта 1 теоремы 1 и теоремы 2 работы [6] вытекает

Теорема 3. Пусть Г е С2'А, /+(«)€ С1,А(Г), /~(в) С С°'А(Г), А С (0,1]. Тогда неоднородная система (16), (17) имеет среди функций р1(в), рф) €Е Г) (г е (0,1], х С [0,1)) единственное решение. Это решение представимо в виде = 1 = 1,2, где ри(з),

Р2*(я) £ С°'Ш(Г), ш = тт{А, 1/4}, следовательно,

Решение /х(в), е С^4(Г) системы (10)—(12) определяется по формулам (15), в которых ^1(5), Рг(^) — решение системы (16), (17), гарантированное теоремой 3. Из теорем 1 и 2 следует

Теорема 4. Пусть Г б С2'\ /+(«)€ С1,А(Г), € С0,А(Г), А € (0,1]. Тогда решение задачи Ы существует, единственно и дается формулой (9), в которой плотности //(я), г/(з) берутся из (15), где функции р1(з),р2(з) 6 С^4(Г) (ш = тт{А, 1/4}) — решение системы (16), (17), гарантированное теоремой 3.

Теорема 4 устанавливает существование и единственность классического решения задачи Ы. Как следует из определения класса (/, градиент решения задачи Ы может иметь особенности на концах Г. Из пункты 3 теоремы 5 работы [1] неравенство (1) выполняется с 5 = ^3/4. Выпишем явные асимптотические формулы, описывающие особенности V« на концах Г. Пусть х{й) — один из концов Г, й = ап или й = Ьп, п = 1,..., Ж, т. е. х{<£) С X. Введем в окрестности х{<£) полярную систему координат ®1 = |® — х{<£)\ СОБ <р, х2 = \х — х{<£)\ БШ^. Напомним, что ск(в) — угол между направлением оси Ох 1 и вектором касательной тх в точке х(з) С Г. Будем считать, что ср е (а(с1),а(с1) + 2тт), если й = ап, и е (а{й) — тт, а{<£) + 7г), если й = Ьп, п = 1..... Л;. Полагаем по непрерывности, что а(ап) = а(а„+0), а(Ьп) = а(Ьп^0). Введем функции Рз/4(*) = Р2(Ф ~ ап|3/4 , = Р1(з)\з - а«]1/4 ,

являющиеся гёльдеровыми на Г в окрестности ап, и функции Рз"4(я) = рх(в)|в — Ьп\3^4,

^1/4= Р^(8)\8 ~ ьп\1/4 — гёльдеровые на Г в окрестности Ъп. Повторяя рассуждения из [7], получим следующую теорему.

Теорема 5. Пусть х х{й) € X, где й = ап или й = Ъп, п = 1,..., N. Тогда в окрестности точки х{й) для производных решения задачи Ы справедливы формулы:

ди дх\

(-

Sm^/4"

PÎ/4(d)

21® •

(d) |l/4 C0S^4

O(l),

ди дх2

x^x(d)" 2\x-x(d)\W

Pdlß(d)

cos 0i/4-

2\x-x{d)\V*

sm0(/4

0( 1),

гае = (3/4)<р + (1/4)а(ап), = (3/4)^ + + (1/4)а(Ьп)-Зтт/4, = (1/4)(р+(3/4)а(а„)+тг/2, = (1/4)^ + (3/4)а(Ь„) - Зтг/4; ¿(¿) = 2 гари

= а«/ Л«0 = 1 пРи Л = Ьп, п = 1,..., N; через 0(1) обозначены функции, непрерывные в окрестности точки х{й), разрезанной вдоль Г. Более того, функции, обозначенные как 0(1), непрерывны и в самой точке х{<£).

Авторы выражают искреннюю благодарность А. И. Сгибневу за полезные обсуждения. Работа

выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант 02-01-01067).

Литература

1. Крутицкий П.А. ЖВМ и МФ. 1994. 34, №8-9. С. 1237.

2. Крутицкий П.А. // ЖВМ и МФ. 1994. 34, № И. С. 1652.

3. Крутицкий П.А. // ЖВМ и МФ. 1996. 36, №8. С. 127.

4. Крутицкий П.А. // Дифф. уравнения. 1996. 32, №9. С. 1153.

5. Крутицкий ПЛ., Сгибнев А.И. // Дифф. уравнения. 2001. № 37, № 10. С. 1299.

6. Крутицкий ПЛ., Колыбасова В.В. // ДАН. 2004. 394, №4. С. 444.

7. Крутицкий ПЛ., Сгибнев А.И. // Дифф. уравнения. 2003. 39, №9. С. 1165.

Поступила в редакцию 05.12.03

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.