CC BY
87
УДК 629.7.07
УРАВНЕНИЕ ЭВОЛЮЦИИ В КВАНТОВОЙ МОДЕЛИ АЭРОДРОМНОЙ ВОЗДУШНОЙ ЗОНЫ В ТЕРМИНАХ МАРКОВСКИХ ЦЕПЕЙ
П.В. ФИЛОНОВ, А.А. ФИЛОНОВА
Статья представлена доктором технических наук, профессором Кузнецовым В.Л.
В работе развивается подход к задаче оценки пропускной способности аэродрома на основе квантовой модели аэродромной воздушной зоны. Рассматривается вопрос влияния пересечений воздушных трасс на теоретическую оценку пропускной способности. Предложено описание эволюции системы квантовых состояний в форме марковской цепи. Обсуждаются вопросы построения системы переходов между состояниями соответствующего марковского процесса с учётом связанных состояний. Приводится формальная постановка задачи оптимизации для определения теоретического значения пропускной способности.
Ключевые слова: пропускная способность аэропорта, квантовая модель, марковская цепь.
Введение
Согласно рекомендациям ИКАО [1], полномочному органу ОВД следует оценить и заявить пропускную способность для диспетчерских районов, диспетчерских секторов в пределах диспетчерского района и для аэродромов. Пропускная способность каждого органа воздушного движения должна выражаться максимальным количеством ВС, которое может быть принято под управление за определенный период в данном воздушном пространстве или на соответствующем аэродроме. Рекомендуется использовать в качестве наиболее приемлемой меры пропускной способности поток воздушного движения, который может быть обслужен в час.
На данный момент не существует единой утвержденной общедоступной методики расчета пропускной способности аэропорта.
В приложении 1 к приказу Минтранса РФ [2] предлагается вычисление пропускной способности аэропорта на основании характеристик ВПП и классов обслуживаемых ВС.
Подсистема "РЕСУРСЫ", входящая в состав автоматизированной системы комплексного обслуживания рейсов в аэропорту Кобра-2 [3], производит оценку возможности реализации запросов на выполнение полетов при планировании расписаний и отдельных рейсов, основываясь на таких ресурсах аэропорта, как стойки регистрации пассажиров, выходы на посадку, зоны прибытия пассажиров, транспортеры выдачи багажа, взлетно-посадочные полосы, места стоянок ВС, пункты пограничного и таможенного досмотра.
В работе [4] исследуются поведения спутных следов за самолетами и их воздействия на другие самолеты при различных погодных условиях на этапах взлета и посадки. Предложенный комплекс программ сделал возможным построить расширенную матрицу безопасных дистанций, учитывающую конкретный тип самолетов (а не класс, как в матрице ИКАО) и погодные условия (скорость ветра, уровень турбулентности или число Ричардсона), а знание расширенной матрицы безопасных дистанций, в свою очередь, может позволить повысить пропускную способность аэропорта и обеспечить безопасность полетов.
Система имитационного моделирования SIMMOD [5] позволяет оценить пропускную способность аэропорта с учётом многих факторов и, в частности, топологии воздушных трасс, которые описываются на основе графа переходов ВС между контрольными точками. Одним из основных ограничений данной модели является возможность учёта только продольных норм эшелонирования, что не позволяет оценить влияние такого важного элемента топологии, как пересечение SID и STAR на величину пропускной способности.
Причиной такого большого количества подходов к расчету пропускной способности аэропорта является ее зависимость от многих факторов, включая структуру маршрутов ОрВД, навигационную точность ВС, использующих данное воздушное пространство, метеорологические факторы и рабочую нагрузку на диспетчера. ИКАО рекомендует принимать все меры для обеспечения достаточной пропускной способности [1], рассчитанной на нормальные и пиковые уровни воздушного движения; однако, при этом, ответственный орган ОВД должен обеспечить необходимые уровни безопасности полетов.
Из практики управления движением ВС в воздушной зоне аэродрома известно, что наличие пересечений воздушных трасс может приводить к нарушению требований по безопасности полётов. Для исключения ситуации опасного сближения ВС на пересечении воздушных трасс следует использовать возможности по управлению текущими положениями высоты, либо уменьшать число ВС, одновременно находящихся в воздушной зоне аэродрома. В расчётных моделях для вычисления пропускной способности данная проблема не находит своего отражения ввиду сложности учета всей топологии аэродромной воздушной зоны. В работах [6-8] предложен подход на основе квантовой модели, в котором основное внимание уделено влиянию структуры маршрутов ОрВД и пересечений SID и STAR на искомую величину пропускной способности. Данная работа развивает идеи квантовой модели для решения задачи оценки теоретической пропускной способности аэропорта с учётом топологии воздушных трасс.
1. Основные элементы квантовой модели аэродромной воздушной зоны
Требования по соблюдению безопасности полетов определяют минимумы эшелонирования. Вопрос о влиянии минимумов продольного эшелонирования и эшелонирования по высоте на пропускную способность аэропорта в условиях пиковых нагрузок является достаточно хорошо изученным. В документации ИКАО исследованы вопросы бокового эшелонирования для пересекающихся и параллельных воздушных трасс с точки зрения безопасности полетов. Из практики известно, что наличие подобных элементов в топологии SID/STAR сильно влияет на рабочую нагрузку на диспетчера, что, в свою очередь, может сказываться на пропускной способности аэропорта. В связи с этим возникает естественный вопрос: будет ли пропускная способность аэродрома совпадать с пропускной способностью ВПП при условии оптимального управления воздушными судами в аэродромном воздушном пространстве? Под управлением мы будем понимать команды диспетчера на смену ВС эшелонов по высоте. Это позволяет избежать конфликтов, связанных с нарушением норм эшелонирования на пересечениях воздушных трасс.
Отдельно следует рассмотреть случай, когда при заданных потоках ВС в условиях оптимального управления в модели не получается достичь бесконфликтной ситуации в воздушной зоне. Естественным выходом из подобной ситуации является исключение одного из конфликтующих ВС из соответствующего потока. Необходимость подобной процедуры, очевидно, будет приводить к простою ВПП и, как следствие, к уменьшению пропускной способности. Математическая модель описания данного процесса составляет основу вычисления пропускной способности аэродрома на основе аналогий с квантовыми системами.
Опишем кратко основные необходимые нам результаты для дальнейшего изложения. Для упрощения представления аэродромного воздушного пространства (рис. 1) представим его в путевых координатах, которые отсчитываются вдоль соответствующих SID/STAR. Введем понятие квантового состояния, под которым понимается область воздушного пространства, в которой может находиться не более одного воздушного судна. Появление в нем более одного воздушного судна неизбежно приведет к нарушению установленных минимумов эшелонирования. Проводя аналогию с квантовой теорией, воздушные суда подобны фермионам, для которых действует принцип запрета Паули. Упростим задачу переходом в дискретное время: вместо движения квантовых состояний вдоль воздушных трасс, будем рассматривать дискретные переходы воздушного судна от одного столбца квантовых состояний к следующему (рис. 2).
Рис. 1. Топология воздушной зоны аэропорта Рис. 2. Квантовая система состояний
Вернемся к рассмотрению проблем, связанных с пересечениями SID и STAR: учитывая принцип запрета Паули, при наложении квантовых состояний образуется так называемое сито Паули. Нахождение взлетающих и заходящих на посадку воздушных судов в квантовых состояниях на пересечениях воздушных трасс является взаимоисключающим. Введем матричный оператор R, с помощью которого можно произвести пересчет занятых квантовых состояний на SID на воздушные трассы STAR.
2. Эволюция системы квантовых состояний
Новым элементом данной работы является подход к описанию эволюции системы квантовых состояний в терминах марковских цепей. Текущее состояние всей квантовой системы будем представлять матрицами заполнения Q+k - для потока заходящих на посадку ВС; QjJk - для потока взлетающих ВС, где i - номер эшелона по высоте; J - номер продольного эшелона; k -номер SID/STAR. Индексы данных матриц определяют номер квантового состояния, а значения их элементов равны 0, если данное состояние свободно, или 1, если оно занято ВС. Из всех возможных Q± нас будут интересовать пары, удовлетворяющие следующим ограничениям.
Во-первых, для рассматриваемого нами случая 2-х ВПП, используемых независимо и одновременно, одна из которых работает только на взлет, другая - только на посадку, мы должны потребовать, чтобы в каждом продольном сечении могло находиться не более 1 ВС. Данное требование может быть выражено соотношением
Z % £ 1, Z QJk £ 1, "J. (1)
i,k
i,k
Второе ограничение связано непосредственно с наличием пересечений воздушных трасс, которые представляются нами как связанные квантовые состояния и описываются матрицей Ё . Требование отсутствия конфликтных ситуаций можно записать в виде (2), а выполнение данного условия можно трактовать как отсутствие 2-х ВС в связанных состояниях.
0+■ Ё ■ 0-= 0. (2)
Значения Q±, не соответствующие данным ограничениям, мы будем понимать как физически нереализуемые и исключим их из дальнейшего рассмотрения.
Множество всех состояний рассматриваемой системы, которое представляет собой пары Q, Q-, будем обозначать как
В таком случае в каждый момент времени воздушная обстановка в зоне аэродрома описывается одним из элементов 5.
При переходе в следующий квант времени состояние системы изменяется в соответствии со следующим списком пунктов:
• переход ВС в следующий продольный эшелон;
• изменение эшелона ВС по высоте или отсутствие подобного изменения;
• появление новых ВС на краях системы квантовых состояний;
• устранение одного из ВС, попавших в конфликтную ситуацию.
Устранение ВС из потока в модели на практике соответствует необходимости удержания его в зоне ожидания или в аэропорту для обеспечения требуемого уровня безопасности. Подобные изменения системы квантовых состояний будут приводить к уменьшению теоретического значения пропускной способности.
Опишем эволюцию данной системы с помощью случайного процесса 5(0 в дискретном пространстве состояний и дискретном времени
Стохастика эволюции 5(0 обусловлена вероятностным управлением смены эшелона по высоте, распределением вероятности появления ВС на различных БГО/БТАЯ и характером устранения ВС из потока.
Для дальнейшего исследования свойств данной системы примем гипотезу о марковости системы, косвенное обоснование которой выглядит следующим образом: для принятия решения о переходе в новое состояние достаточно знать только текущую воздушную обстановку и нет необходимости помнить траектории движения всех ВС в прошедшие моменты времени.
Основной характеристикой марковской цепи является граф переходов между состояниями процесса и значения соответствующих вероятностей переходов. На рис. 3 на упрощенном примере приведена часть системы квантовых состояний, в случае, когда возможен конфликт двух ВС, и рассмотрены возможные переходы в другие состояния и их вероятности.
Введем следующие ограничения на управление за один такт времени: будем предполагать, что взлетающие ВС могут остаться на том же эшелоне по высоте или подняться на 1 эшелон, а заходящие на посадку либо остаться на прежнем эшелоне, либо опуститься на 1 эшелон. Будем понимать под и+ вероятность того, что ВС из потока заходящих на посадку сменит эшелон по
высоте, соответственно вероятность остаться на том же эшелоне по высоте будет равна (1 - и+ ) .
Для взлетающего ВС соответствующее управление описывается величинами и- и (1 - и-). Для
описания процесса принятия решения при возникновении потенциальных конфликтов введем понятие приоритета заходящих на посадку по отношению к взлетающим ВС, которое будем обозначать величиной а.
В том случае, когда назревает потенциальная конфликтная ситуация, будем с вероятностью а устранять ВС из потока взлетающих, и с вероятностью (1 - а) из потока заходящих на посадку. Примем гипотезу о независимости между управлениями различными ВС и устранении ВС из потока, тогда вероятности соответствующих переходов можно представить как произведение вероятностей описанных управлений. На рис. 3 показано, как для каждого перехода можно получить соответствующую ему вероятность.
(3)
5([м) = ^)], 5(0е 5.
(4)
Рис. 3. Элементы графа переходов процесса s(t)
Л
/
Отдельно стоит упомянуть ситуацию, которая изображена на рис. 4, когда ВС в следующий квант времени переходит в состояние, занятое на текущий момент ВС из противоположного потока. Поскольку было введено квантование по времени, в предыдущем случае данную ситуацию учесть не удавалось. Для повышения адекватности модели предлагается исключить подобные переходы в графе состояний системы. Развитие идеи запрета "рокировок" в дальнейшем может позволить учитывать ограничения, связанные с турбулентной безопасностью и зависимость норм эшелонирования от класса ВС.
Рассмотрим вероятность нахождения системы в 1 -м состоянии
Pl (t) = P[s(t) = Si ].
Опишем эволюцию данного случайного процесса с помощью вектора вероятностей
P(t) = (P(t),K, Pm(t))T, M =|5|. _
Уравнение эволюции системы описывает изменение вектора вероятности P
P (tk+1) = L(u) P (tk),
* /
/ Л
к'-""
V
- --«
—/— /
/ ?
е ......<*■
V
Рис. 4. Запрет «рокировок»
(5)
(6) (7)
где Л(и) - матрица вероятностей переходов, составление элементов которой описано на рис. 3, и - вектор вероятностей управлений, составленный из элементов и+, и- и а .
Принимая гипотезу о стационарности потоков ВС, мы можем предположить наличие стационарного решения данного уравнения ( Р(^к+1) = Р(^к) = Р), которое может быть получено из
(I-Л (и ))Р = 0, (8)
с учетом условия нормировки
м
Z Р = 1. (9)
i=1
В выражении (8) I - единичная матрица. Из (8) следует, что значение вектора стационарных вероятностей зависит от управления и ( Р = Р(и)).
Полученное стационарное решение позволяет оценить среднее число операций взлета и посадки следующим образом: будем выделять из всего множества состояний такие элементы, переход из которых в следующий такт времени влечет за собой посадку ВС или его уход из воздушной зоны аэродрома.
В терминах матриц заполнения данные конфигурации соответствуют случаю, когда в крайних сечениях матриц Q, Q присутствует единица
Z О» = 1, Z = 1. (10)
i,k i ,k
В выражении (10) для потока заходящих на посадку ВС рассматривается продольное сечение системы квантовых состояний, предшествующее заходу на ВПП ( j = 1), а для потока взлетающих - наиболее удалённое от ВПП сечение (j = N). Сумма берётся по всем воздушным трассам k и всем эшелонам по высоте i .
Обозначим множества индексов состояний s1, для которых выполняется (10) как L и L+
соответственно. Взвешивая все такие состояния с их стационарными вероятностями, можно получить оценки для количества операций взлета и посадки
с~ = Z Р с+ = Z p. (11)
le L- le L+
Рассмотрим задачу максимизации среднего количества операций взлет/посадка
C(и) = [C+ (P(и)) + С~(P(и))] ® max, (12)
где неявная зависимость Р(и) определяется соотношениями (8) и (9). Поскольку элементы и представляют собой вероятности управлений, то на них накладываются условия нормировки
0 < щ < 1, "i. (13)
Это позволяет получить значение для пропускной способности аэропорта путём решения оптимизационной задачи (11) при ограничениях (13).
Заключение
В данной работе предложен подход к описанию воздушной обстановки в зоне аэропорта в терминах системы квантовых состояний. Эволюция данной системы описана в терминах марковских цепей. Наиболее весомым результатом является постановка задачи оптимизации для оценки пропускной способности аэропорта с учетом потенциальных конфликтных ситуаций в аэродромной воздушной зоне, связанных с наличием пересечений SID/STAR.
В заключение авторы хотели бы выразить благодарность за детальное обсуждение данной работы профессору Кузнецову В.Л. и профессору Пантелееву А.В. за рекомендации по постановке задачи и полезные дискуссии.
ЛИТЕРАТУРА
1. Doc. 4444 (PANS-ATM), ATM/501. Организация воздушного движения. Правила аэронавигационного обслуживания. - Монреаль: ИКАО. - 2007. - 15-е изд.
2. Об утверждении Методики расчёта технической возможности аэропортов и Порядка применения Методики расчёта технической возможности аэропортов: Приказ Минтранса РФ от 24 февраля 2011 г. № 63 // Бюллетень нормативных актов федеральных органов исполнительной власти. - № 22.
3. РИВЦ-Пулково // http://www.rivc-pulkovo.ru/products/view-3.
4. Судаков Г.Г. Математические модели и численные методы расчёта характеристик спутных следов и их воздействия на самолёт: дисс. ... д-ра техн. наук. - М., 2005.
5. SIMMOD Manual // http://www.tc.faa.gov/acb300/more_simmod.asp.
6. Кузнецов В.Л., Чепурина А.А. Об одной аналитической модели пропускной способности аэропорта // Научный Вестник МГТУ ГА. - 2011. - № 169. - С. 94 - 98.
7. Кузнецов В.Л., Филонов П.В., Чепурина А.А., Задача о пропускной способности аэродрома в формализме ферми-систем // Состояние и перспективы развития автоматизированных систем планирования использования воздушного пространства в РФ: сб. тр. семинара. - М.: ГосНИИАС, 2011. - С. 222 - 229.
8. Кузнецов В.Л., Филонов П.В., Чепурина А.А. Метод построения системы квантовых состояний в модели расчёта пропускной способности аэропорта // Научный Вестник МГТУ ГА. - 2012. - № 184. - С. 23-28.
THE EVOLUTION EQUATION IN QUANTUM MODEL OF AIR ZONE WITH MAKROV CHAIN TERMINOLOGY
Filonov P.V., Filonova A. A.
This work develops an approach to airport throughput computation problem based on quantum air zone model. The influence of airway intersection on theoretical throughput is considered. The description of quantum states system evolution proposed in form of markov chain. Discusses the construction of transition system between states of corresponding markov process, taking into account connected states. The formal optimization problem for computing theoretical airport throughput shown.
Key words: airport throughput, quantum model, markov chain.
Сведения об авторах
Филонов Павел Владимирович, 1985 г.р., окончил МГТУ ГА (2007), кандидат физико-математических наук, доцент кафедры прикладной математики МГТУ ГА, автор 20 научных работ, область научных интересов - задачи распространения электромагнитных волн в неоднородных средах, математическое моделирование процессов УВД, информационные технологии.
Филонова Анна Александровна, окончила МГТУ ГА (2011), аспирантка МГТУ ГА, автор 6 научных работ, область научных интересов - математическое моделирование процессов УВД.
